2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(浙江卷)文

1、2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(浙江卷)數(shù)學(xué)(文科)本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分.全卷共4頁,選擇題部分1至2頁,非選擇題部分3至4頁.滿分150分,考試時間120分鐘.考生注意:1.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙規(guī)定的位置上.2.答題時,請按照答題紙上“注意事項”的要求,在答題紙相應(yīng)的位置上規(guī)范作答,在本試題卷上的作答一律無效.參考公式:球的表面積公式s=4r2球的體積公式v=43r3其中r表示球的半徑錐體的體積公式v=13sh其中s表示錐體的底面積,h表示錐體的高柱體的體積公式v=sh其中s表示柱體的底面積,h表示柱體的高臺

2、體的體積公式v=13h(s1+s1s2+s2)其中s1,s2分別表示臺體的上、下底面積,h表示臺體的高如果事件a,b互斥,那么p(a+b)=p(a)+p(b)選擇題部分(共50分)一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2014浙江,文1)設(shè)集合s=x|x2,t=x|x5,則st=().a.(-,5b.2,+)c.(2,5)d.2,5答案:d解析:由已知得st=x|2x5=2,5,故選d.2.(2014浙江,文2)設(shè)四邊形abcd的兩條對角線為ac,bd,則“四邊形abcd為菱形”是“acbd”的().a.充分不必要條件b.

3、必要不充分條件c.充分必要條件d.既不充分也不必要條件答案:a解析:當(dāng)四邊形abcd為菱形時,其對角線互相垂直,必有acbd;但當(dāng)acbd時,四邊形不一定是菱形(如圖),因此“四邊形abcd為菱形”是“acbd”的充分不必要條件.故選a.3.(2014浙江,文3)某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則該幾何體的體積是().a.72 cm3b.90 cm3c.108 cm3d.138 cm3答案:b解析:由三視圖可知,該幾何體是一個組合體,其左側(cè)是一個直三棱柱,右側(cè)是一個長方體.其中三棱柱的底面是一個直角三角形,其兩直角邊長分別是3 cm和4 cm,三棱柱的高為3 cm,因此其體積v1=sh

4、=12×4×3×3=18(cm3).長方體中三條棱的長度分別為4 cm,6 cm,3 cm,因此其體積v2=4×6×3=72(cm3).故該幾何體的體積v=v1+v2=18+72=90(cm3),故選b.4.(2014浙江,文4)為了得到函數(shù)y=sin 3x+cos 3x的圖象,可以將函數(shù)y=2cos 3x的圖象().a.向右平移12個單位b.向右平移4個單位c.向左平移12個單位d.向左平移4個單位答案:a解析:由于y=sin 3x+cos 3x=2sin3x+4,y=2cos 3x=2sin3x+2,因此只需將y=2cos 3x的圖象向右平

5、移12個單位,即可得到y(tǒng)=2sin3x-12+2=2sin3x+4的圖象,故選a.5.(2014浙江,文5)已知圓x2+y2+2x-2y+a=0截直線x+y+2=0所得弦的長度為4,則實數(shù)a的值是().a.-2b.-4c.-6d.-8答案:b解析:圓的方程可化為(x+1)2+(y-1)2=2-a,因此圓心為(-1,1),半徑r=2-a.圓心到直線x+y+2=0的距離d=|-1+1+2|2=2,又弦長為4,因此由勾股定理可得(2)2+422=(2-a)2,解得a=-4.故選b.6.(2014浙江,文6)設(shè)m,n是兩條不同的直線,是兩個不同的平面.().a.若mn,n,則mb.若m,則mc.若m,

6、n,n,則md.若mn,n,則m答案:c解析:當(dāng)mn,n時,可能有m,但也有可能m或m,故a選項錯誤;當(dāng)m,時,可能有m,但也有可能m或m,故選項b錯誤;當(dāng)m,n,n時,必有,從而m,故選項c正確;在如圖所示的正方體abcd-a1b1c1d1中,取m為b1c1,n為cc1,為平面abcd,為平面add1a1,這時滿足mn,n,但m不成立,故選項d錯誤.7.(2014浙江,文7)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,且0<f(-1)=f(-2)=f(-3)3,則().a.c3b.3<c6c.6<c9d.c>9答案:c解析:由于f(-1)=f(-2)=f(-3),所以-

7、1+a-b+c=-8+4a-2b+c=-27+9a-3b+c.由-1+a-b+c=-8+4a-2b+c,整理得3a-b=7,由-8+4a-2b+c=-27+9a-3b+c,整理得5a-b=19,由3a-b=7,5a-b=19,解得a=6,b=11.于是f(-1)=f(-2)=f(-3)=c-6,又因為0<f(-1)=f(-2)=f(-3)3,因此0<c-63,解得6<c9,故選c.8.(2014浙江,文8)在同一直角坐標(biāo)系中,函數(shù)f(x)=xa(x>0),g(x)=logax的圖象可能是().答案:d解析:若a>1,則函數(shù)g(x)=logax的圖象過點(diǎn)(1,0),

8、且單調(diào)遞增,但當(dāng)x(0,1)時,y=xa(x>0)的圖象應(yīng)在直線y=x的下方,故c選項錯誤;若0<a<1,則函數(shù)g(x)=logax的圖象過點(diǎn)(1,0),且單調(diào)遞減,函數(shù)y=xa(x>0)的圖象應(yīng)單調(diào)遞增,且當(dāng)x(0,1)時圖象應(yīng)在直線y=x的上方,因此a,b均錯,只有d項正確.9.(2014浙江,文9)設(shè)為兩個非零向量a,b的夾角.已知對任意實數(shù)t,|b+ta|的最小值為1.().a.若確定,則|a|唯一確定b.若確定,則|b|唯一確定c.若|a|確定,則唯一確定d.若|b|確定,則唯一確定答案:b解析:|b+ta|2=(b+ta)2=|b|2+|a|2t2+2a&#

9、183;bt,令f(t)=|a|2t2+2a·bt+|b|2,由于|b+ta|的最小值為1,所以函數(shù)f(t)的最小值也為1,即4|a|2|b|2-4(a·b)24|a|2=1.又a,b均為非零向量,且夾角為,因此|b|2-|b|2cos2=1,于是|b|2=11-cos2,因此當(dāng)確定時,|b|2的值唯一確定,亦即|b|唯一確定,故選b.10.(2014浙江,文10)如圖,某人在垂直于水平地面abc的墻面前的點(diǎn)a處進(jìn)行射擊訓(xùn)練.已知點(diǎn)a到墻面的距離為ab,某目標(biāo)點(diǎn)p沿墻面上的射線cm移動,此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)p,需計算由點(diǎn)a觀察點(diǎn)p的仰角的大小.(仰角為直線ap與平面abc

10、所成角).若ab=15 m,ac=25 m,bcm=30°,則tan 的最大值是().a.305b.3010c.439d.539答案:d解析:由于abbc,ab=15 m,ac=25 m,所以bc=252-152=20 m.過點(diǎn)p作pnbc交bc于n,連接an(如圖),則pan=,tan =pnan.設(shè)nc=x(x>0),則bn=20-x,于是an=ab2+bn2=152+(20-x)2=x2-40x+625,pn=nc·tan 30°=33x,所以tan =33xx2-40x+625=331-40x+625x2=33625x2-40x+1,令1x=t,則6

11、25x2-40x+1=625t2-40t+1,當(dāng)t=4125時,625t2-40t+1取最小值925,因此625x2-40x+1的最小值為925=35,這時tan 的最大值為33×53=539此時x=1254.故選d.非選擇題部分(共100分)二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分.11.(2014浙江,文11)已知i是虛數(shù)單位,計算1-i(1+i)2=. 答案:-12-12i解析:1-i(1+i)2=1-i2i=(1-i)·i2i·i=1+i-2=-12-12i.12.(2014浙江,文12)若實數(shù)x,y滿足x+2y-40,x-y-10,x1

12、,則x+y的取值范圍是. 答案:1,3解析:畫出約束條件所確定的可行域(如圖中陰影部分所示).令z=x+y,則y=-x+z,畫出直線l:y=-x,平移直線l,當(dāng)l經(jīng)過可行域中的點(diǎn)a(1,0)時,z取最小值,且zmin=1+0=1;當(dāng)l經(jīng)過可行域中的點(diǎn)b(2,1)時,z取最大值,且zmax=2+1=3,故x+y的取值范圍是1,3.13.(2014浙江,文13)若某程序框圖如圖所示,當(dāng)輸入50時,則該程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果是. 答案:6解析:第一次執(zhí)行循環(huán)體s=2×0+1=1,i=1+1=2;第二次執(zhí)行循環(huán)體s=2×1+2=4,i=2+1=3;第三次執(zhí)行循環(huán)體

13、s=2×4+3=11,i=3+1=4;第四次執(zhí)行循環(huán)體s=2×11+4=26,i=4+1=5;第五次執(zhí)行循環(huán)體s=2×26+5=57,i=5+1=6,這時s=57>50,跳出循環(huán),輸出i=6.14.(2014浙江,文14)在3張獎券中有一、二等獎各1張,另1張無獎.甲、乙兩人各抽取1張,兩人都中獎的概率是. 答案:13解析:甲、乙兩人各抽取1張,一共有3×2=6種等可能的結(jié)果,兩人都中獎的結(jié)果有2×1=2種,由古典概型計算公式可得所求概率為p=26=13.15.(2014浙江,文15)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+2x+2,x0,-x2

14、,x>0,若f(f(a)=2,則a=. 答案:2解析:當(dāng)a0時,f(a)=a2+2a+2=(a+1)2+1>0,于是f(f(a)=f(a2+2a+2)=-(a2+2a+2)2,令-(a2+2a+2)2=2,顯然無解;當(dāng)a>0時,f(a)=-a2<0,于是f(f(a)=f(-a2)=(-a2)2+2(-a2)+2=a4-2a2+2,令a4-2a2+2=2,解得a=2(a=0,-2舍去).綜上,a的取值為2.16.(2014浙江,文16)已知實數(shù)a,b,c滿足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,則a的最大值是. 答案:63解析:由a+b+c=0可得c=

15、-(a+b).又a2+b2+c2=1,所以a2+b2+-(a+b)2=1,整理得2b2+2ab+2a2-1=0.又由a2+b2+c2=1易知0b21,-1b1,因此關(guān)于b的方程2b2+2ab+2a2-1=0在-1,1上有解,所以=4a2-8(2a2-1)0,-1-a21,2-2a+2a2-10,2+2a+2a2-10,解得a63,即a的最大值是63.17.(2014浙江,文17)設(shè)直線x-3y+m=0(m0)與雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)a,b.若點(diǎn)p(m,0)滿足|pa|=|pb|,則該雙曲線的離心率是. 答案:52解析:雙曲線x

16、2a2-y2b2=1的兩條漸近線方程分別是y=bax和y=-bax.由y=bax,x-3y+m=0,解得a-ama-3b,-bma-3b,由y=-bax,x-3y+m=0,解得b-ama+3b,bma+3b.設(shè)ab中點(diǎn)為e,則e-a2ma2-9b2,-3b2ma2-9b2.由于|pa|=|pb|,所以pe與直線x-3y+m=0垂直,而kpe=3b2ma2-9b2m-a2ma2-9b2=3b22a2-9b2,于是3b22a2-9b2·13=-1.所以a2=4b2=4(c2-a2).所以4c2=5a2,解得e=ca=52.三、解答題:本大題共5小題,共72分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程

17、或演算步驟.18.(本題滿分14分)(2014浙江,文18)在abc中,內(nèi)角a,b,c所對的邊分別為a,b,c.已知4sin2a-b2+4sin asin b=2+2.(1)求角c的大小;(2)已知b=4,abc的面積為6,求邊長c的值.分析:(1)利用二倍角的余弦公式及兩角和的余弦公式,將已知條件化簡.由a+b的余弦值,求出a+b的值,從而得出角c的大小.(2)利用三角形的面積公式求出a值,再由余弦定理即可求出c值.解:(1)由已知得21-cos(a-b)+4sin asin b=2+2,化簡得-2cos acos b+2sin asin b=2,故cos(a+b)=-22.所以a+b=34

18、,從而c=4.(2)因為sabc=12absin c,由sabc=6,b=4,c=4,得a=32.由余弦定理c2=a2+b2-2abcos c,得c=10.19.(本題滿分14分)(2014浙江,文19)已知等差數(shù)列an的公差d>0.設(shè)an的前n項和為sn,a1=1,s2·s3=36.(1)求d及sn;(2)求m,k(m,kn*)的值,使得am+am+1+am+2+am+k=65.分析:(1)利用等差數(shù)列前n項和公式與已知進(jìn)行基本量運(yùn)算,即可求出公差d,進(jìn)而求出sn.(2)利用等差數(shù)列的通項公式或前n項和公式可得出m,k的關(guān)系式,再由m,kn*,通過2m+k-1=13,k+1=

19、5,求出m,k的值.解:(1)由題意知(2a1+d)(3a1+3d)=36,將a1=1代入上式解得d=2或d=-5.因為d>0,所以d=2.從而an=2n-1,sn=n2(nn*).(2)由(1)得am+am+1+am+2+am+k=(2m+k-1)(k+1).所以(2m+k-1)(k+1)=65.由m,kn*知2m+k-1>k+1>1,故2m+k-1=13,k+1=5,所以m=5,k=4.20.(本題滿分15分)(2014浙江,文20)如圖,在四棱錐a-bcde中,平面abc平面bcde,cde=bed=90°,ab=cd=2,de=be=1,ac=2.(1)證明

20、:ac平面bcde;(2)求直線ae與平面abc所成的角的正切值.分析:(1)先由勾股定理的逆定理,證出線線垂直,再利用面面垂直的性質(zhì)定理,推出線面垂直,即得結(jié)論.(2)由面面垂直的性質(zhì)可得線面垂直,利用線面垂直的轉(zhuǎn)化,可求作并證明所求線面角(為eaf).將空間角轉(zhuǎn)化為平面角,再利用解直角三角形,求出線面角的正切值.(1)證明:連接bd.在直角梯形bcde中,由de=be=1,cd=2,得bd=bc=2,由ac=2,ab=2,得ab2=ac2+bc2,即acbc.又平面abc平面bcde,從而ac平面bcde.(2)解:在直角梯形bcde中,由bd=bc=2,dc=2,得bdbc,又平面abc

21、平面bcde,所以bd平面abc.作efbd,與cb延長線交于f,連接af,則ef平面abc.所以eaf是直線ae與平面abc所成的角.在rtbef中,由eb=1,ebf=4,得ef=22,bf=22.在rtacf中,由ac=2,cf=322,得af=262.在rtaef中,由ef=22,af=262,得taneaf=1313.所以直線ae與平面abc所成的角的正切值是1313.21.(本題滿分15分)(2014浙江,文21)已知函數(shù)f(x)=x3+3|x-a|(a>0).若f(x)在-1,1上的最小值記為g(a).(1)求g(a);(2)證明:當(dāng)x-1,1時,恒有f(x)g(a)+4.

22、分析:(1)由于f(x)解析式中含絕對值,因此要去絕對值符號.化簡解析式必須對a>0分情況討論,并對x所屬區(qū)間討論.再通過求導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,利用函數(shù)單調(diào)性求出函數(shù)f(x)的最小值g(a).(2)令h(x)=f(x)-g(a),問題轉(zhuǎn)化為h(x)4在x-1,1上恒成立.對恒成立問題,常轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題處理,即只需求出函數(shù)h(x)在-1,1上的最大值為4.因此,根據(jù)g(a)分情況討論h(x)的最大值,借助于導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性法求最值即可得解.(1)解:因為a>0,-1x1,所以當(dāng)0<a<1時,若x-1,a,則f(x)=x3-3x+3a,f'(x)=3x2-

23、3<0,故f(x)在(-1,a)上是減函數(shù);若xa,1,則f(x)=x3+3x-3a,f'(x)=3x2+3>0,故f(x)在(a,1)上是增函數(shù).所以g(a)=f(a)=a3.當(dāng)a1時,有xa,則f(x)=x3-3x+3a,f'(x)=3x2-3<0.故f(x)在(-1,1)上是減函數(shù),所以g(a)=f(1)=-2+3a.綜上,g(a)=a3,0<a<1,-2+3a,a1.(2)證明:令h(x)=f(x)-g(a),當(dāng)0<a<1時,g(a)=a3.若xa,1,h(x)=x3+3x-3a-a3,得h'(x)=3x2+3,則h(x

24、)在(a,1)上是增函數(shù),所以,h(x)在a,1上的最大值是h(1)=4-3a-a3,且0<a<1,所以h(1)4.故f(x)g(a)+4.若x-1,a,h(x)=x3-3x+3a-a3,得h'(x)=3x2-3,則h(x)在(-1,a)上是減函數(shù),所以,h(x)在-1,a上的最大值是h(-1)=2+3a-a3.令t(a)=2+3a-a3,則t'(a)=3-3a2>0.知t(a)在(0,1)上是增函數(shù).所以,t(a)<t(1)=4,即h(-1)<4.故f(x)g(a)+4.當(dāng)a1時,g(a)=-2+3a,故h(x)=x3-3x+2,得h'(x)=3x2-3,此時h(x)在(-1,1)上是減函數(shù),因此h(x)在-1,1上的最大值是h(-1)=4.故f(x)g(a)+4.綜上,當(dāng)x-1,1時,恒有f(x)g(a)+4.22.(本題滿分14分)(2014浙江,文22)已知abp的三個頂點(diǎn)都在拋物線c:x2=4y上,f為拋物線c的焦點(diǎn),點(diǎn)m為ab的中點(diǎn),pf=3fm.(1)若|pf|=3,求點(diǎn)m的坐標(biāo);(2)求abp面積的最大值.分析:(1)設(shè)出p點(diǎn)坐標(biāo),由于pf為焦半徑,因此由拋物線定義,可求出p