初中數(shù)學(xué)特殊的平行四邊形

1、4特殊的平行四邊形知識(shí)點(diǎn)基本要求略高要求較高要求菱形會(huì)識(shí)別菱形掌握菱形的概念、性質(zhì)和判左，會(huì)用菱形的性質(zhì)及 判定解決簡(jiǎn)單問題會(huì)用菱形的知識(shí)解決有關(guān) 問題正方形會(huì)識(shí)別正方 形掌握正方形的概念、性質(zhì)和判左，會(huì)用正方形的性 質(zhì)及判定解決簡(jiǎn)單問題會(huì)用正方形的知識(shí)解決有 關(guān)問題1. 菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.2. 菱形的性質(zhì)菱形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性質(zhì).回還具有自己獨(dú)特的性質(zhì): ® 邊的性質(zhì)：對(duì)邊平行且四邊相等. 角的性質(zhì)：鄰角互補(bǔ),i 對(duì)角線性質(zhì)：對(duì)角線互相垂直平分且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角 對(duì)稱性：菱形是中心對(duì)稱,也是7菱形的面積等于底乘以爲(wèi)，等于

2、對(duì)角線乘積的一半.點(diǎn)評(píng)：其實(shí)只要四邊形的對(duì)角線互相垂直，其面積就等于對(duì)角線乘積的一半.3. 菱形的判定判定：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判定：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形判定：四邊相等的四邊形是菱形4. 三角形的中位線中位線：連結(jié)三角形兩邊的中點(diǎn)所得的線段叫做三角形的中位線也可以過三角形一邊的中點(diǎn)作平行于三角形另外一邊交于第三邊所得的線段也是中位線. 以上是中位線的兩種作法，第一種可以直接用中位線的性質(zhì)，第二種需要說明理由為什么是中 位線，再用中位線的性質(zhì).定理：三角形的中位線平行第三邊且長(zhǎng)慶等于第三邊的一半.5. 正方形的定義：有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形.

3、6. 正方形的性質(zhì)正方形是特殊的平行四邊形.矩形.菱形.它具有前三者的所有性質(zhì)： 邊的性質(zhì)：對(duì)邊平行，四條邊都相等 角的性質(zhì)：四個(gè)角都是直角. 對(duì)角線性質(zhì)：兩條對(duì)角線互相垂直平分且相等.回每條對(duì)角線平分一組對(duì)角 對(duì)稱性：正方形是中心對(duì)稱圖形，也是M. 平行四邊形、矩形.菱形和正方形的關(guān)系：(¼)7. 正方形的判定判定：有一組鄰邊相等的矩形是正方形.判定：有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.板塊一、菱形【例1】已知菱形ABCQ的兩條對(duì)角線AC, BD的乘積等于菱形的一條邊長(zhǎng)的平方，則菱形的一個(gè)鈍角的大小是【解析】如圖，過點(diǎn)A作AE丄BC于E, AC BD = BC AE 9又AC BD =

4、AB29得AE = AB9 ZABC = 30q 9 ZBA£) = 150°【答案】150°【例2】 已知，菱形ABCD中，E、F分別是BC CD上的點(diǎn)，且ZB = ZE4F = 60% Zft4E = 18。求:ZCEF的度數(shù).B E【解析】連接AC9 T四邊形ABCD為菱形 AB = BC = CD = AD ABC和ZVlCQ為等邊三角形 AB = ACf B = ZACD = BAC = 60QJ ZEAF = 60°： ABAE = ZCAF：.ABEACF AE = AIV AEAF = 60P：.EF為等邊三角形 ZAEF = 60

5、76;V ZAEC = AB+ BAE = ZAEF+ ZCEF：.ZCEF = I 8°在矩形.菱形的定理題中，有時(shí)也常連對(duì)角線.把四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題.【答案】18。【例3】問題：如圖1,在菱形ABCD和菱形BEFG中，點(diǎn)A, B, E在同一條直線上，P是線段DF的中 點(diǎn)，連結(jié)PG. PC.若ZABC = ZBEF = 60°,探究PG與PC的位宜關(guān)系及竺的值.PC小聰同學(xué)的思路是：延長(zhǎng)GP交DC于點(diǎn)構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題得到解決. 請(qǐng)你參考小聰同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：（1）寫出上而問題中線段PG與PC的位置關(guān)系及竺的值；PC（2）將圖1中的菱形B

6、EFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使菱形BEFG的對(duì)角線BF恰好與菱形ABCD的邊 加在同一條直線上，原問題中的其他條件不變（如圖2）.你在中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā) 生變化？寫出你的猜想并加以i正明.（3）若圖1中ZABC = ZBEF = 2（0o<<90o）,將菱形BEFG繞點(diǎn)”順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度，原問 題中的英他條件不變，求竺的值（用含的式子表示）.PC【解析】省略【答案】線段PG與PC的位置關(guān)系是PG丄PC;= 3 .猜想：（1）中的結(jié)論沒有發(fā)生變化.證明：如圖，延長(zhǎng)GP交AD于點(diǎn)H,連結(jié)CH, CG. P是線段DF的中點(diǎn)， FP = DP.由題意可知AD/FG ZGFP = ZWP.

7、又 ZGPF = HPD,：.SGFPSHDP , ：. GP = HP9 GF = HD.四邊形 ABCD是菱形，：.CD = CB9 HDC = ZABCW由ZABC=ZBEF = 60° 9且菱形BEFG的對(duì)角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線 上，可得ZGBC = 60°：.HDC =乙 GBC 四邊形BEFG是菱形，: GF = GB, ：. HD = GB ：.GBC9 ：. CH = CG9 乙DCH = ABCG ：.DCH + ZHCB = ZBCG +ZHCB = 20q9 即 ZHCG = I20。V CH=CG9 PH = PG,：.PG

8、丄 PC, ZGCP = ZHCP = 60°. PG疋=510PG礦tan(9d).證明過程略.【點(diǎn)評(píng)】本題是一道探究性的幾何綜合題，本題的題干是以閱讀材料的形式呈現(xiàn)，從而降低了題目的難度,本題應(yīng)該是在05年大連中考?jí)狠S題的基礎(chǔ)上改進(jìn)而來的.【例4】如圖：菱形ABCD由兩個(gè)等邊三角形組成，點(diǎn)P是MBD內(nèi)任一點(diǎn)，將ABPD繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到ABQC 的位置.貝J:(1) 當(dāng)四邊形BPDQ是平行四邊形時(shí)，求ZBPD；(2) 當(dāng)APQD是等腰直角三角形時(shí)，求ZBPD；(3) 若ZAPB=IOOo,且APQD是等腰三角形時(shí)，求ZBPD【答案】（1）連接PQVABD. ABCD都是等邊三角形 ZA

9、BD=ZDBC=60°"BQC是由ABPD繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)得到 ZPBD=ZQBC：.ZPBD+ ZDBQ= ZQBC+ ZDBQ：.ZPBQ=ZDBC=60。：.ZBPD=I20。（2）分三種情況： 當(dāng)ZDP = 90o, PD=PQ 時(shí)由題意，BP=BQ,由（1）, ZPBQ=60Q ：'BPQ為等邊三角形， ZBPQ=60。 ZBPD= ZBPQ+ ZDP=60o+90°= 150° 當(dāng)ZPD = 90o, DP=D2 時(shí)同理得ABPQ為等邊三角形，ZBPQ=60° ZBPD= ZBPQ+ ZDP=60o+45°= 105&#

10、176; 當(dāng)ZPQD = 90S DQ=PQ 時(shí)同理得bBPQ為等邊三角形，ZBPQ=60°：.ZBPD= ZBPQ+ ZDPQ=60。+45。= 105°（3）也分三種情況： 當(dāng)PD=PQ時(shí)Y ZABD= ZPBQ=60S ：. ZABP= ZDBQ 又 AB=DB, PB=QB, ： ZBPQ'DBQ：.ZDQB=ZAPB=IOoOV ZPQB=60% ：. ZPDQ= ZPQD=40°：.ZDP0=100。 ZBPD= ZBPQ+ ZDP=60o+100°= 160° 當(dāng)DP=DQ時(shí)則 ZDPQ=ZDQP=40。 ZBPD= ZB

11、PQ+ ZDP=60o+40°= 100° 當(dāng)DQ=PQ時(shí)則 ZDPQ=ZPDQ=Hy：.ZBPD= ZBPQ+ ZDP(2=60o+70°= 130°板塊二、正方形【例5】 已知正方形ABCD,在AP、AC上分別取G F兩點(diǎn)，EDiAD = 2FC： AC.求證：MEF是 等腰直角三角形.【解析】省略【答案】解法一：如圖，過F作HGC£交AD、Be于H、G ,罡根F、ACGF均為等腰直角三角形 AH = HF = BG V hgcd9 FC _HD aczdV ED 2FC ED 2HDAD AC AD AD故 ED=2HD ： EH = H

12、D = CG = FG,RIBGF 竺 RtAFHE, : BF = FE, ZEFH = ZGBF 而 ZBGF + ABFG = 9QP 9 ZEFH+ ZBFG=90° 9 打 ZBFE = 90。,：.MEF為等腰直角三角形解法二：如圖，連接DF,作FH丄ED于H顯然由正方形對(duì)稱性可知3F = M, ABFC = DFCFCFH 5 FHD752FC ED盂二兀ED = 2HD, .EH = HD,： EF = DF , AEFH = ZDFH : EF = BF ZDFH = AFDC9 ZBFD = ZBFE+2ZDFH = ZBFE+2ZFDC ZBFD = 90Q+

13、2 AFDC 9 ：. ZBFE = 90。/. Ez是等腰直角三角形.解法三：如圖，過F作FH丄DC于H延長(zhǎng)EF、DQ交于G ,連接BG.則陽AZ兒 FH FC = AD ACP ED 2FCX. =AD AC：.ED=IFH ,即為AGDE的中位線 EF = FG9 DH = HG 又 FH = HC, AE = AD-ED = DC - 2HC = DH-HC = HG - HC , ' AE=CG ：.BE = BG 9 ZABE = ZCBG ：.ZEBG = ZABC=90° 3F是等腰直角三角形BGE斜邊上的中線，: BF 丄 EF , BF = EF 故SBE

14、F是等腰直角三角形.解法四：如圖，過F作FG丄AC交BC于G ,過E作EH CD交AC于H ,連接HG顯然FGC是等腰直角三角形， FC = FG9 ZFGC=45o. ZBGF = I 35° 又 Y EH /DC 9： ZEHC = I 35° = ZBGF , = = .AD AC AC FH = FC = FG, HGC是等腰直角三角形： ZHGC = 90。 HG / DC 又陽 DC,: E、H、G 共線.： BG = AE = EH SBGFgAEHF 9右 BF = EF, ABFG = ZEFH 久 ZBFG+ZAFB = 90。： ZEFH+ ZAFB

15、=網(wǎng),即ZBFE = 90o. /. ABEF是等腰直角三角形.【例6】如圖，四邊形ABCD為正方形，以AB為邊向正方形外作正方形ABE. CE與加相交于點(diǎn)F , 貝IJZAro =1 OnO _ Q _ 600 【解析】AAFB 竺 'CFB, ZFAB = ZFCB =一一 = 15% 故 ZAT> = 45o + 15o = 60o2【解析】60°【例7】如圖所示，43CD是正方形，E為3F上的一點(diǎn)，四邊形AEFC恰好是一個(gè)菱形，則ZEAB=【解析】省略【答案】連接CE,作過B、E點(diǎn)的AC垂線，垂足分別為H,G,則四邊形BEGH是矩形,GE = BH=丄 AC =

16、丄 AE92 2所以 ZG4E = 30o,所以 XEAB = I 5°.【例8】如圖，點(diǎn)M, N分別在正方形ABeQ的邊BC, CD上,已知MCN的周長(zhǎng)等于正方形ABCQ周長(zhǎng)的一半，求ZMAN的度數(shù)【解析】省略【答案】MN = BM + DN ,延長(zhǎng)CQ至,使MD = BM, 證明 ADM,ABM, AM,N 竺AMN ,測(cè)得乙MAN = ZMyN =丄ZAM = 45°2【例9】如圖所示，任直角梯形ABCD中，AD/ BC . ZADC = 90°. /是AD的垂直平分線，交AD于點(diǎn)M ,以腰AB為邊作正方形創(chuàng)遲，作EP丄/于點(diǎn)P，求證2EPAD2CD【解析】

17、省略【答案】直接證明2EPAD = 2CD不太可行，可轉(zhuǎn)化成證明EPADCD 9而丄AD = AM ,故進(jìn)而考2 2慮到 AM . EP集中到一條線段上，然后將CQ也平移過來.我們將視線集中在正方形ABFE之 中通過ABGSEHA可以得證.過A點(diǎn)作3C的垂線.過P作AG的垂線，垂足分別為G . H ,則有HGPN為矩形，ZBAG = 90。-ZEAH = ZAEH ZABG ×90o - ZBAG ZEAH 又因?yàn)锳B = AE 9所以ABGSEHA所以 2EP + AD = 2HR = 2AG = 2CD【例10】如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，EFGH是內(nèi)接于ABeQ的正方形，

18、AE = a9AF=b ,若SEFGH =，貝H h _ "I =I【解析】MEF竺2HE, AF = DE ,則"丄人_ 1【答案】E3【例11】如圖，若在平行四邊形ABCD邊上向平行四邊形的外側(cè)作正方形，求證：以四個(gè)正方形中心為頂點(diǎn)組成一個(gè)正方形【解析】省略 【答案】證法一：先證明MBF竺竺DA（如圖陰影的兩個(gè)三角形所示）設(shè)平行四邊形ABCD的中心為O, AB 9 BC9 CD9 QA邊上的正方形的中心分別為P , Q9 R9S由平行四邊形及正方形的性質(zhì)知AB = CD = DE,BF=BC=AD因?yàn)閆FEM與NAQE的兩雙對(duì)邊反向平行，所以"BM = ZND

19、E,ZABF = ZADE （在上式兩邊各加9（）0）,AEDA9AF=AE又由于ED丄AB及ZDEa = ZBAF9所以AE丄AF （若等角的一紐對(duì)邊互相垂直，則另一組對(duì)邊也互相垂直）因?yàn)?OR/ AE 且 O/? =丄 AE.OR = OQ 且 OR 丄 O0. 用同樣方法可以證明：OP = OQ = OR = OS , 且O/?與OS, OS與OP9 OP與OQ也兩兩垂苴,從而P, O9 0及Q, O9 S三點(diǎn)共線，進(jìn)而PR 與QS互相垂直平分于O點(diǎn)，且PR = QS ,故四邊形PQRS是正方形.如果我們從證明5QCR9fDR下手，可得到證明二：因?yàn)?QC = SDf RC = RDtZ

20、DCB = ZEDN 9ZQCR = ZSDR,所以 'QCRmaR ,從而 QR = RS同證法樣，因ZQRC = ZSRD 及 C7?丄 DR9所以QR丄RS用同樣的方法可以證明QR = RS=SP = PQ,結(jié)合QR丄RS ,四邊形PQRS為正方形.正方形除了具有平行四邊形的一般性質(zhì)外，要特別注意利用直角條件【例12】如圖，已知四邊形ABDE. AeFG都是AMC外側(cè)的正方形，連接DF,若M、/V分別為OF、BC的 中點(diǎn),求證：M丄BCSLMN=BC.【答案】分別過點(diǎn)從AX F作直線BC的垂線，垂足分別為P、R、Q四邊形 ABDE 為正方形，：.AB=BDf ZABD=90

21、76;： ZDBP=ZBAR、：.RDPBRBAR:DP=BR. PB=AR,同 CQ=AR. CR=FQ：.PB=CQ又N為BC的中點(diǎn)，：BN=NC:PB+BN=CQ+NC, MPN=QN在直角梯形DPQF中，M為DF的中點(diǎn)，N為PQ的中點(diǎn)MNDP. MN=*DP+FQ)=*BR+CR)=舟BC又 DP丄BC, ：. MN丄BC 即：MN丄 BC 且 MN= BC【例13】如圖，正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四條平行線/】、/2、/3、/4上，這四條直線中相鄰兩條之間 的距離依次為加、加、A3 (>O, 2>0, 3>0).(1) 求證：h=hit(2) 設(shè)正方形ABCD的

22、而積為S,求證：5=(n+2)2+A2:3(3) 若亍加+加=1,用島的代數(shù)式表示正方形ABCD的而積為S.【答案】(1)設(shè)AD與/2交于點(diǎn)& BC與人交于點(diǎn)F由已知 BF/ED. BE/FD：.四邊形BEDF是平行四邊形,.BE=DF又 AB=CD, RtZXABE竺RtZkCDF, .hl=h3(2)作3G丄DH丄/4，垂足分別為G. H在 Rt8GC 和 RtZkCHD 中/ ZBCG+ ZDCH= 180°- ZBCD=90o, ZCDH+ ZDCH=90:ZBCG=ZCDH又 ZBGC=ZCHD=90 BC=CD：.RtGCRtCHD. ：. CG=DH=h3乂 B

23、G=b2+b3, * BCZ = BG2-CGI= (h2+h3)2÷hj2= (h+h2) 2+h2 S=C2= (h1+h2) 2+h2/、33(3) V y/7i+/?2=1, .:/)2=1亍Zh* S= (h+lhi) +2=y712+1G CH【例14】在正方形ABCD的邊AB h任取一點(diǎn)E,作EF丄AB交BD于點(diǎn)F,如圖1.(1) 將圖1中的MEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，取DF的中點(diǎn)G,連接EG, CG,如圖2,貝IJ線 段EG和CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)直接寫岀你的猜想：(2) 將圖1中的ABEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。，取DF的中點(diǎn)G,連接EG, CG,如圖

24、3,則線 段EG和CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并加以證明：(3)將圖1中的ABEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度，取DF的中點(diǎn)G,連接EG, CG.如圖3, 則線段EG和CG又有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并加以證明.圖2D4D圖3【答案】(1) EG=CG, EG丄CG(2) EG = CG. EG丄CG證明：如圖3,延長(zhǎng)FF交DC延長(zhǎng)線于H,連接GHV ZAEH=90°, ZFBC=90°, ZBCH=90°四邊形 BEHC 是矩形，：.BE=CH. ZfHC= 90°又 YBE=EF, ：. EF=CH1 VZfHC=9

25、0°, FG=DG, ：.HG= DF=FGYBC=EH, BC=CD, ：. EH=CDYEF=CH, :FH=DH. ZF=45o 1又 FG = DG, ：. ZCHG= -ZEHC=45° : ZF=ZCHG, ：. AEFGACHGEG=CG, ZEGF=ZCGHVZFHC=90o, FH=DH, FG = DG, ：.HGLDFZEGF+ZEGH=90°ZCGH+ZEGH=90°,即 ZEGC=90°EG 丄 CG(3) EG = CG, EG丄CG證明：如圖4,延長(zhǎng)CG至H,使GH=CG,連接HF、HE、EC/ GF=GD,上 H

26、GF=ZCGD,GH=GC, HFGCDG：.HF=CD, ZGHF=ZGCD, ：.HF/CDT 正方形 ABCD, ：. HF=BC. HF丄BC是等腰直角三角形，.FF=8E, EF丄BE ZHFE= ZCBE, ：. AHFEACBE:EH=EC, ZFEH=ZBEC, ：. ZHEC=ZBEF=90.FCH為等腰宜角三角形又 TGH=GC：.EG=CG. EG丄CG【例15】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,以對(duì)角線BD為邊作菱形BEFD,點(diǎn)C、E、F在同一直線上(1) 求ZEBC的度數(shù)；(2) 求CE的長(zhǎng).【解析】(1)設(shè)O為正方形ABCD的中心，過E作EG丄BD于G則 Co丄BD, ZDBC=ASC:菱形BEFD,點(diǎn)C、E、F在同一直線上.CF/BD9 BE=EF=DF=BD