信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教案(禹勇)

1、教師教案( 20092010 學(xué)年第一 學(xué)期 ）課 程 名 稱：信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)授 課 學(xué) 時(shí)： 40 學(xué)時(shí)授 課 班 級(jí): 信息安全專業(yè) ,28063010 60 班任 課 教 師：禹勇教 師 職 稱: 講師教師所在學(xué)院：計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院電子科技大學(xué)課程名稱信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)授課專業(yè)班級(jí)28063010 28063060年級(jí)大二課程編號(hào)修課人數(shù)78 課程類型必修課普通教育課程 ( )；學(xué)科基礎(chǔ)課(* ） ; 專業(yè)方向課( ）選修課公選課 （）;學(xué)科基礎(chǔ)選修課( ) ；專業(yè)選修(）授課方式理論課 ( ） ；實(shí)踐課() 考核方式考試 （ ) 考查 ( ) 是 否 采 用多媒體是是否采用雙語否學(xué)

2、時(shí)分配課堂講授40 學(xué)時(shí)；實(shí)踐課0 學(xué)時(shí)名稱作者出版社及出版時(shí)間教材信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)許春香電子科技大學(xué)出版社2008 參考書目信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)謝敏覃中平等西安電子科技大學(xué)出版社2006 清華大學(xué)出版社2006 授課時(shí)間2009 。92010 。1 第一章整除與同余授課時(shí)數(shù) :6 一、 教學(xué)內(nèi)容及要求1. 整除的概念及歐幾里得除法，理解2. 整數(shù)的表示，理解3. 最大公因數(shù)及廣義歐幾里得除法，掌握4. 整除的進(jìn)一步性質(zhì)及最小公倍式，掌握5. 素?cái)?shù)和算術(shù)基本定理，掌握6. 同余的概念 ,掌握二、 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)本章的內(nèi)容較多，難點(diǎn)較少，教學(xué)重點(diǎn)在于以下方面：1. 歐幾里得除法和廣義

3、歐幾里得除法。2. 最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。3. 整數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式。4. 同余的概念三、 內(nèi)容的深化和拓寬在內(nèi)容的深化和拓寬方面，介紹如何運(yùn)用歐幾里得除法求整數(shù)的二進(jìn)制、十進(jìn)制和十六進(jìn)制，使學(xué)生對歐幾里得除法有更深的理解. 四、 教學(xué)方式（手段）及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題1. 在講述本章內(nèi)容時(shí) ,主要采用口頭講解， ppt演示的方式。2. 講述證明整除方面的定理的常用方法。3. 通過舉例闡述重要定理的內(nèi)容和含義。五、 作業(yè)1. 證明:若 2|n, 5n, 7|n，那么 70|n。2. 證明：如果 a 是整數(shù)，則 a3a 被 3 整除。3. 證明：每個(gè)奇整數(shù)的平方具有形式8k+1。4. 證明:任意

4、三個(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積都被6 整除。5. 證明：對于任給的正整數(shù)k，必有 k 個(gè)連續(xù)正整數(shù)都是合數(shù)。6. 證明:191，547 都是素?cái)?shù)， 737，747 都是合數(shù)。7. 利用愛拉托斯篩法求出500 以內(nèi)的全部素?cái)?shù)。8. 求如下整數(shù)對的最大公因數(shù)：(1) （55, 85) (2) （202， 282) 9. 求如下整數(shù)對的最大公因數(shù)：（1) （2t+1， 2t-1) （2) (2n, 2(n+1） ）10.運(yùn)用廣義歐幾里得除法求整數(shù)s， t，使得 sa+tb=(a，b）. （1） 1613, 3589 (2）2947, 3772 11.證明:若(a，4)=2，(b,4)=2，則(a+b,4）=4.

5、 12.求出下列各對數(shù)的最小公倍數(shù)。（1) 8, 60 13.求出下列各對數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)（1) 4711791111011001， 4111831111011000六、 本章參考資料1. 信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，李繼國等, 武漢大學(xué)出版社， 2006年。2. 信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，覃中平等，清華大學(xué)出版社，2006 年。七、 教學(xué)后記第二章群授課時(shí)數(shù)： 6 一、 教學(xué)內(nèi)容及要求1. 群的概念及基本性質(zhì)，掌握2. 子群的概念與判定，掌握3. 群的同態(tài)和同構(gòu)，掌握4. 變換群，掌握5. 置換群,掌握二、 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)本章教學(xué)重點(diǎn)為群、子群、群同態(tài)、同構(gòu)和變換群與置換群等的定義，子群的判定、群同

6、態(tài)和同構(gòu)以及同態(tài)核；本章教學(xué)難點(diǎn)為群、子群和同態(tài)的定義。三、 內(nèi)容的深化和拓寬在內(nèi)容的深化和拓寬方面 ,引入公鑰密碼學(xué)，說明群理論在公鑰密碼學(xué)中的重要應(yīng)用。四、 教學(xué)方式（手段 )及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題1. 在講述本章內(nèi)容時(shí)，主要采用口頭講解，ppt演示的方式。2. 通過實(shí)際的例子來解釋群、子群、變換群和置換群的定義. 3. 舉例說明解釋群同構(gòu)與同態(tài)的區(qū)別和聯(lián)系。五、 作業(yè)1下面各集合對相應(yīng)定義的運(yùn)算“?” ，哪些構(gòu)成群 ?哪些不構(gòu)成群？并說明理由：1)實(shí)數(shù)集 r，對運(yùn)算 a?b = 2（a+b）; 2）g = 1， 1，對數(shù)的普通乘法；3）非零實(shí)數(shù)集 r*，對運(yùn)算 a?b = 2ab；4)

7、非零實(shí)數(shù)集 r*,對運(yùn)算 a?b = |ab|; 5）所有實(shí)數(shù)對集合（a,b) | a，b r,對運(yùn)算(a，b) ? （c，d） = (a+c，b d） ；6）整數(shù)集 z，對運(yùn)算 a?b = a+b 1；7）gabba| a，b 為實(shí)數(shù)且 a2+b20，對矩陣的普通乘法 ; 8）非空集合 m 的所有子集的集合p(m）,對運(yùn)算a?b = ab，(a，b m)；9）上述集合 p（m） ，對運(yùn)算a?b = ab,(a，b m)；10）g = pmqn | m,n z，其中 p，q 是兩個(gè)固定的不同素?cái)?shù)，對數(shù)的普通乘法2全體整數(shù)的集合z 對于普通減法是否是一個(gè)群？3完成 2.1 例 6 的驗(yàn)證4對于集

8、合 a = a1,a2，可以建立如下的乘法表表中aij = aiaj乘法表可以方便地判斷一個(gè)集合是否是群1)建立通過乘法表判斷是否群或交換群的規(guī)則 （提示 :如果表中 aij = aji，則交換律滿足）a1 a2aja1a11a12a1ja2a21a22a2jaiai1ai2aij2）通過上面建立的規(guī)則判斷g 是否是群，如果是群，是否是交換群g = e，a，b ，其乘法表如下 : eabeeabaabebbea5證明：在群中只有單位元滿足方程x2 = x6如果群 g 中的每一個(gè)元都滿足方程x2 = e, 那么 g 是交換群7設(shè) g 是一個(gè)群 ,證明 g 是交換群的充分必要條件是， 對于 g 任

9、意元素 a，b 都有（ab) 2 = a2b28設(shè) g 是一個(gè)群， a，b，c是 g 中任意三個(gè)元素，證明:方程xaxba = xbc在 g 中有且僅有一解9證明：如果 a，b 是群中的任意元素，則(ab） 1 = b1a110證明:在任意群中，下列各組中的元素有相同的階: 1）a 與 a1; 2）a 與 cac1；3）ab 與 ba；4）abc,bca,cab11設(shè) g 是 n 階有限群證明對于任意元a g，都有 an = e12詳細(xì)驗(yàn)證 2。2 例 113證明：群 g 的兩個(gè)子群的交集也是g 的子群14證明 f（ab） = f(a）f（b)將一個(gè)群映射成另一個(gè)群15證明群的同構(gòu)是等價(jià)關(guān)系1

10、6證明：群 g 為一交換群當(dāng)且僅當(dāng)aa1是一同構(gòu)映射17證明:一個(gè)變換群的單位元一定是恒等變換18構(gòu)造與整數(shù)加法群z 同構(gòu)的變換群19m = r0，1 即 m 是除去 0，1 以外的全體實(shí)數(shù)的集合 ,g 是 m 的以下6 個(gè)變換的集合：xx)(1，xx1)(2，xx1)(3，11)(4xx，xxx1)(5，1)(6xxx證明 g 是一個(gè)變換群20r 是實(shí)數(shù)集合證明： r上的所以如下變換xax+b，a，b是有理數(shù)， a 0 是一個(gè)變換群這個(gè)群是不是交換群？21參考題 4，建立三次對稱群s3的乘法表從乘法表觀察s3是否阿貝爾群22求出三次對稱群s3的所有子群23把三次對稱群 s3的所有元素寫成不相

11、交的循環(huán)乘積24證明 2.4 定理 425設(shè) g = 1， ，2，其中 = ie32證明 g 與三次對稱群 s3的一個(gè)子群同構(gòu)26設(shè)計(jì) 26個(gè)英文字母的一個(gè)置換，用這個(gè)置換對一段文字進(jìn)行加密，并觀察加密后的密文（置換是應(yīng)用了上千年的基本密碼技術(shù)這里置換表稱為密鑰 ）27把置換 (456） （567)（671)（123）(234）(345）寫為不相交循環(huán)乘積28設(shè) = (327） （26）(14)， = (134）(57) 求1和128將題 26的置換用不相交的循環(huán)乘積表示29將上題中的每個(gè)循環(huán)用對換的乘積表示30證明：對于 k循環(huán) ,有k = i(i恒等變換）31證明 k循環(huán)滿足：(i1 i2

12、ik）1 = （ik ik 1i1） 32求交錯(cuò)群 a433證明 n 次對稱群sn有階 1!,2！ ， 3！ ，n!的子群六、 本章參考資料1. 信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ) , 謝敏等，西安電子科技大學(xué)出版社，2006年。2. 信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ) , 覃中平等，清華大學(xué)出版社，2006年。七、 教學(xué)后記第三章循環(huán)群、群的結(jié)構(gòu)授課時(shí)數(shù)： 6 一、 教學(xué)內(nèi)容及要求1. 循環(huán)群的概念 ,掌握2. 歐拉函數(shù)的定義與相關(guān)計(jì)算，掌握3. 剩余類群的概念，理解4. 子群的陪集，掌握5. 正規(guī)子群與商群，掌握二、 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)本章教學(xué)重點(diǎn)為循環(huán)群的概念與應(yīng)用、循環(huán)群的性質(zhì)、剩余類群及其性質(zhì)和正規(guī)子群的判定;本章教學(xué)難點(diǎn)

13、拉格朗日定理、正規(guī)子群的判定和性質(zhì) . 三、 內(nèi)容的深化和拓寬在內(nèi)容的深化和拓寬方面，重點(diǎn)引入基于循環(huán)群建立的公鑰密碼算法，讓學(xué)生深刻掌握循環(huán)群在公鑰密碼算法中的重要地位. 四、 教學(xué)方式（手段）及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題1. 在講述本章內(nèi)容時(shí)，主要采用口頭講解,ppt演示的方式。2. 通過實(shí)際的例子來講解循環(huán)群、正規(guī)子群和商群。五、 作業(yè)1在 g 到 g 的一個(gè)同態(tài)映射之下 :aa ，a 和 a 的階是否一定相同？2證明：1）在一個(gè)有限群里階大于2 的元的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)2）假設(shè) g 是一個(gè)階為偶數(shù)的有限群，則g 中階為 2 的元素個(gè)數(shù)一定為奇數(shù)3求三次對稱群 s3的所有元素的階4求出三次對稱群

14、s3的所有元素生成的循環(huán)子群5假設(shè) a 生成一個(gè)階為 n 的循環(huán)群 g證明 :如果（ m，n) = 1（即 m 與 n互素） ，am也生成 g6假設(shè) g 是循環(huán)群，并且g 與 g 同態(tài)證明 g 也是循環(huán)群7假設(shè) g 是無限階循環(huán)群， g 是任意循環(huán)群證明g 與 g 同態(tài) (提示：將 g 分為無限循環(huán)群和有限循環(huán)群分別證明 ）8分別求出 13，16 階循環(huán)群各個(gè)元素的階，指出其中的生成元9分別求 15，20 階循環(huán)群的真子群10參考第 2 章題 4，建立模 8 剩余類群的運(yùn)算表11證明：設(shè) p 是一個(gè)素?cái)?shù)，任意兩個(gè)p 階群都同構(gòu)12證明:設(shè) p是一個(gè)素?cái)?shù)，則階是pm的群一定有一個(gè)階為p 的子群1

15、3a，b 是一個(gè)群 g 的元素，并且 ab = ba，又假設(shè) a 的階為 m，b 的階為n，且(m，n) = 1，證明 ab 的階是 mn14四次對稱群 s4的一個(gè) 4 階子群如下：h = (1)，(12)（34),(13)（24） ，(14） （23） 求出 h 的全部左陪集15證明：兩個(gè)正規(guī)子群的交還是正規(guī)子群16證明：指數(shù)是 2 的子群一定是正規(guī)子群17假設(shè) h 是 g 的子群， n 是 g 的正規(guī)子群，證明hn 是 g 的子群18基于加法和加法群對第2 章和本章內(nèi)容進(jìn)行歸納總結(jié)加法群中的單位元用0 表示 ,元素 a 的逆元用a 表示(通過該練習(xí)可以加深鞏固對群論的熟悉和理解,建議初學(xué)的

16、讀者完成好該練習(xí)）六、 本章參考資料1. 信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，謝敏，西安電子科技大學(xué)出版社，2006年. 2. 信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，覃中平等，清華大學(xué)出版社，2006 年. 七、 教學(xué)后記第四章環(huán)授課時(shí)數(shù)： 6 一、 教學(xué)內(nèi)容及要求1. 環(huán)與子環(huán)的概念，理解2. 整環(huán)、除環(huán)和域的概念 ,掌握3. 環(huán)的同態(tài)與理想，掌握4. 商環(huán)、素理想和最大理想，掌握二、 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)本章教學(xué)重點(diǎn)為環(huán)、除環(huán)、商環(huán)和域等的定義，環(huán)的同態(tài)與理想；本章教學(xué)難點(diǎn)為環(huán)的同態(tài)與理想。三、 內(nèi)容的深化和拓寬在內(nèi)容的深化和拓寬方面,引入公鑰密碼學(xué) ,說明環(huán)在公鑰密碼學(xué)中的重要應(yīng)用。四、 教學(xué)方式（手段）及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題1

17、. 在講述本章內(nèi)容時(shí)，主要采用口頭講解，ppt演示的方式 . 2. 通過實(shí)際的例子來闡述環(huán)、除環(huán)、商環(huán)和域的定義。3. 舉例說明環(huán)的同態(tài)與理想的定義。五、 作業(yè)1利用環(huán)的定義驗(yàn)證4.1 節(jié)中的例 1、例 2、例 32r = 0,a，b，c, 加法和乘法分別由以下兩個(gè)表給出，證明r 是一個(gè)環(huán)+ 0 abc 00 abc aa0 cb bbc0 a c c b a 0 0 abc 00 0 0 0 a0 0 0 0 b0 ab c c 0 ab c 3求復(fù)數(shù)環(huán)中元素a+ib 的逆元4z 為整數(shù)環(huán) ,在集合 z z 上定義加法和乘法分別如下：(a，b) + （c，d) = （a+c，bd） ，（a，

18、b） (c，d） = （ac+bd，ad+bc） 證明 z z 是一個(gè)具有單位元的環(huán)5在整數(shù)集合 z 上重新定義加法和乘法如下：ab = ab,ab = a+bz 在新運(yùn)算下是否構(gòu)成環(huán)？6z 為整數(shù)環(huán) ,q 為有理數(shù)環(huán)以下集合對普通加法和乘法是否構(gòu)成環(huán)?如果是環(huán)，是否有單位元？是否是交換環(huán)？1）5z = 5n n z ；2)z5 = a+b5a，b z ；3)q5 = a+b5a，b q；4）z+ = a a z，a 07證明一個(gè)環(huán)的一個(gè)子集s構(gòu)成一個(gè)子環(huán)的條件是：對于任意a,b s，有a b s，ab s8奇數(shù)集合是否構(gòu)成整數(shù)環(huán)z 的子環(huán) ? 9設(shè)環(huán) r = z，a，b，c 的運(yùn)算表如下 :

19、 + z abc zz abc aaz cb bbcz a c c b a z z abc zz z z z az a b c bz zz z c z ab c 試證:z，a,z，b ， z,r都是 r的子環(huán)10給出一個(gè)環(huán)的例子，使該環(huán)r有一個(gè)子環(huán) t，而且1）r 有單位元 ,t 沒有單位元；2）r 沒有單位元， t 有單位元 ; 3）r，t 有相同的單位元；4）r，t 都有單位元，但不同；5）r 不可交換但 t 可交換11設(shè) r 是一個(gè)環(huán) ,a r,證明 s = x x r，ax = 0是 r的子環(huán)12設(shè) r是一個(gè)環(huán)，且 r2,證明 r的單位元 1 0（該題隱含當(dāng) r = 1 時(shí) r的單位元

20、 1 = 0) 13找出題 2 中的左、右零因子和零因子14有理數(shù)環(huán)、實(shí)數(shù)環(huán)、復(fù)數(shù)環(huán)有無零因子？15求模 100剩余類環(huán)的所有零因子16畫出環(huán)、交換環(huán)、有單位元環(huán)、無零因子環(huán)、整環(huán)、除環(huán)、域的關(guān)系圖17驗(yàn)證：全體有理數(shù)、全體實(shí)數(shù)和全體復(fù)數(shù)對于普通的加法和乘法都是域18驗(yàn)證 4。2 節(jié)中例 319證明：一個(gè)無零因子且有兩個(gè)以上元素的有限環(huán)是除環(huán)20證明：有限整環(huán)是域六、 本章參考資料1. 信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)， 謝敏，西安電子科技大學(xué)出版社,2006 年。2. 信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，覃中平等，清華大學(xué)出版社，2006 年。七、 教學(xué)后記第五章 多項(xiàng)式與有限域授課時(shí)數(shù)： 6 一、 教學(xué)內(nèi)容及要求1. 多項(xiàng)

21、式環(huán)的定義，掌握2. 多項(xiàng)式的歐幾里德算法，掌握3. 多項(xiàng)式剩余類環(huán) ,掌握4. 有限域,掌握二、 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)本章教學(xué)重點(diǎn)為多項(xiàng)式環(huán)、多項(xiàng)式剩余類環(huán)、有限域的定義,有限域的本原元及其特征；本章教學(xué)難點(diǎn)為有限域的構(gòu)造。三、 內(nèi)容的深化和拓寬在內(nèi)容的深化和拓寬方面,引入公鑰密碼學(xué)，說明有限域在公鑰密碼學(xué)中的重要應(yīng)用。四、 教學(xué)方式 (手段)及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題1. 在講述本章內(nèi)容時(shí)，主要采用口頭講解，ppt演示的方式。2. 通過實(shí)際的例子來講解有限域構(gòu)造。五、 作業(yè)1證明 fx無零因子2計(jì)算域 gf(7)上兩個(gè)多項(xiàng)式的和與乘積：f(x） = x6+5x4+ x2+6x+1，g(x) = x

22、7+3x+13證明在 gf（2） x上有(f（x)+g（x)）2 = (f(x)）2+(g(x） ）24驗(yàn)證 x5+x4+x2+x+1,x5+x4+x3+x+1 不可約5求 gf(3） x上多項(xiàng)式 x6+x3+1，x2+x+1 的最大公因式6對整數(shù)環(huán)和多項(xiàng)式環(huán)進(jìn)行比較7設(shè) gf(2）上兩個(gè)多項(xiàng)式為：f(x） = x5+x4+ x3+ x2+x+1，g(x) = x3+x+1求 f（x) mod g(x) 8計(jì)算 gf（2）x mod(x2+1）的加法和乘法運(yùn)算表9證明 5。2 定理 110證明在特征為 p 的域里，有(a+b）p= ap +bp11計(jì)算有限域gf（23） ：gf(2)x mod

23、(x3+x+1） 的加法和乘法運(yùn)算表六、 本章參考資料1. 信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，李繼國等，武漢大學(xué)出版社，2006 年。2. 信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ) , 覃中平等，清華大學(xué)出版社，2006年。七、 教學(xué)后記第六章同余式授課時(shí)數(shù)： 6 一、 教學(xué)內(nèi)容及要求6. 同余的概念及基本性質(zhì)，掌握7. 剩余類及完全剩余系，掌握8. 簡化剩余系與歐拉函數(shù)，掌握9. 歐拉定理與費(fèi)馬小定理 ,掌握10.模重復(fù)平方計(jì)算法 ,理解二、 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)本章教學(xué)重點(diǎn)為同余、剩余類、完全剩余系和簡化剩余系等的定義，歐拉定理、 費(fèi)馬小定理以及模重復(fù)平方法；本章教學(xué)難點(diǎn)為剩余類、完全剩余系和簡化剩余系的定義。三、 內(nèi)容的深化和拓寬在

24、內(nèi)容的深化和拓寬方面，引入公鑰密碼學(xué),說明同余理論在公鑰密碼學(xué)中的重要應(yīng)用。四、 教學(xué)方式（手段 )及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題1. 在講述本章內(nèi)容時(shí)，主要采用口頭講解，ppt演示的方式 . 2. 通過實(shí)際的例子來闡述剩余類、完全剩余系和簡化剩余系的定義和區(qū)別。3. 舉例說明歐拉定理、費(fèi)馬小定理的應(yīng)用。五 作業(yè)1. （1）寫出模 9 的一個(gè)完全剩余系，它的每個(gè)數(shù)是奇數(shù)。（2） 寫出模 9 的一個(gè)完全剩余系，它的每個(gè)數(shù)是偶數(shù)。(3）(1)或（2)中的要求對模 10 的完全剩余系能實(shí)現(xiàn)嗎？2. 證明：當(dāng) m2 時(shí)，02,12， （m-1）2一定不是模 m 的完全剩余系. 3. 2003年 5 月 9

25、日是星期五，問第220080509天是星期幾？4. 證明：如果 aibi (mod m） ，1ik，則(1)11(mod);kkaabbm（2）11(mod);kkaabbm5. 設(shè) p 是素?cái)?shù),證明：如果 a2b2 (mod p） ，則 pa-b 或 p|a+b。6. 設(shè) n=pq，其中 p，q 是素?cái)?shù)，證明:如果 a2b2 (mod n)，n！|a-b，n!a+b， 則(n，ab)1， (n， a+b)1。7. 設(shè)整數(shù) a，b,c(c0） ，滿足 ab (mod c)，求證： （a，c）=（b，c） 。8. 下列哪些整數(shù)能被3 整除，其中又有哪些能被9 整除? （ 1)1843581 （2

26、） 184234081 （3） 8937752744 （ 4）4153768912246 9. 利用模 9 同余式來求出下式中的未知數(shù)字：89878 589655299?5627010.我們可以通過下面的方法來判斷乘法c=ab 是否成立：對于任意模 m 是否都有 cab (mod m）成立？如果我們找到一個(gè)m使得 cab （mod m),那么就有 cab,當(dāng)我們?nèi)?m9 時(shí),利用十進(jìn)制與其各位數(shù)字之和同余于模9 的事實(shí)來判斷下列等式是否成立：(1）875961 27532410520633,(2)14789 23567348532367,（3）24789 437171092700713,(4）

27、 所有的這種判斷是否簡單明了? 11.運(yùn)用 wilson 定理，求8 9 10 11 12 13(mod7). 12.證明：如果12(),mc cc是模 m 的簡化剩余系，那么12()0(mod)mcccm13.證明：如果 m 是正整數(shù)， a 是與 m互素的整數(shù)，那么2() 110(mod)maaam14.證明：如果 a 是整數(shù)，那么 a7a (mod 63)。15.證明：如果 a 是與 32760互素整數(shù)，那么 a121 （mod 32760). 16.證明：如果 p 和 q 是不同的素?cái)?shù)，則111(mod)qppppq17.證明：如果 m 和 n 是互素的整數(shù)，則( )()1(mod)nm

28、mnmn六、 本章參考資料1 信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，謝敏，西安電子科技大學(xué)出版社，2006 年. 2 信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，覃中平等, 清華大學(xué)出版社 ,2006 年. 七、 教學(xué)后記第七章平方剩余授課時(shí)數(shù)： 6 一 教學(xué)內(nèi)容及要求5. 一般二次同余式 ,理解6. 模為奇素?cái)?shù)的平方剩余與平方非剩余，掌握7. 勒讓德符號(hào) ,掌握8. 二次互反律，理解9. 雅可比符號(hào) ,理解10.模 p 平方根，掌握11.合數(shù)的情形，理解12.素?cái)?shù)的平方表示 ,理解二 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)本章教學(xué)重點(diǎn)為二次同余式和平方剩余等的定義，勒讓德符號(hào)和雅可比符號(hào)以及求模p 平方根；本章教學(xué)難點(diǎn)為二次互反律的證明。三 內(nèi)容的深化和拓寬在

29、內(nèi)容的深化和拓寬方面， 引入公鑰密碼學(xué)， 說明平方剩余在公鑰密碼學(xué)中的重要應(yīng)用。四 教學(xué)方式 (手段）及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題1 在講述本章內(nèi)容時(shí)，主要采用口頭講解,ppt 演示的方式。2 通過實(shí)際的例子來闡述平方剩余的定義。3 舉例說明勒讓德符號(hào)和雅可比符號(hào)的定義和區(qū)別。五 作業(yè)1. 求滿足方程 e:y2=x3-3x+1 （mod 7）的所有點(diǎn)。2. 求滿足方程 e：y2=x3+x+1 (mod 17）的所有點(diǎn) . 3. 計(jì)算下列勒讓德符號(hào)：17151191911377(1)(2)(3)(4)(5)(6)373733972003200723200408034. 求下列同余方程的解數(shù)：（1) x2-2 (mod 67）（2) x22 （mod 67）（3) x22 （mod 37）(4） x22 (mod 37）5. 設(shè) p 是奇素?cái)?shù)，證明 : (1) 模 p 的所有二次剩余的乘積對模p 的剩余是 (1）（p+1）/2。(