高等數(shù)學(xué)課件：10-3任意項級數(shù)

1、第三節(jié)任意項級數(shù) 所謂任意項級數(shù)是指既有無窮多個正項，又有無窮多個負(fù)項的無窮級數(shù)。1，交錯級數(shù)定義定義: : 正、負(fù)項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù)。即正、負(fù)項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù)。即交錯級交錯級 數(shù)可以寫為如下形式：數(shù)可以寫為如下形式：111( 1)( 1) ,nnnnnnuu或)0( nu其中其中定理1：（萊布尼茨判別法萊布尼茨判別法 ）證明證明：nnnnuuuuuus212223212)()( 又又21234212() ()()nnnsuuuuuu1u 10,nnuu.lim12ussnn , 0lim12 nnu2,ns即數(shù)列是單調(diào)增加的2,ns故數(shù)列是有界的)(limlim12212 nn

2、nnnuss, s 1, ssu即級數(shù)收斂于和且和。1234(),nnnnnruuuu 級數(shù)余項123451()(),nnnnnnnruuuuuu1nnru。定理證畢。定理證畢。lim,nnss 也是一個交錯級數(shù)，又滿足交錯級數(shù)收斂的兩個條件，故其和不超過首項。解：兩級數(shù)均為交錯級數(shù)。解：兩級數(shù)均為交錯級數(shù)。2)1(2)1()1( xxxxx)2(0 x,1單調(diào)遞減單調(diào)遞減故函數(shù)故函數(shù) xx,1 nnuu1limlim nnunnn又又. 0 故故級數(shù)級數(shù)（2）收斂收斂。1111111( 1);(2)( 1)1nnpnnnnn例 ：判別如下級數(shù)的斂散性：（ ）。1111,limlim0 ,(1

3、)nnnpppnnuuunnn故由萊布尼茨判別法萊布尼茨判別法 ，級數(shù)（1）收斂。2，絕對收斂與條件收斂定義定義: : 正項和負(fù)項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù)。正項和負(fù)項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù)。證明證明：), 2 , 1()(21 nuuvnnn令令, 0 nv顯然顯然,nnuv 且且,1收斂收斂 nnv),2(11 nnnnnuvu又又 1nnu收斂收斂.由正項級數(shù)的比較判別法，注：注：定理定理2反過來并不成立。反過來并不成立。1111( 1)nnnn1交錯級數(shù)收斂，而調(diào)和級數(shù)發(fā)散。n1,nnu一般而言，對于給定級數(shù)可先用正項級數(shù)斂散性nun=1判別法判斷級數(shù)是否收斂，即級數(shù)是否絕對收

4、斂。例4：討論如下級數(shù)的斂散性。1;(2)(nn2nn=1n=1sin(n)（）均為常數(shù)）(ln10)1+解：21sin()111,(ln10)(ln)22nnnnnne而級數(shù)收斂，故由比較判別法級數(shù)（1）絕對收斂。2122(1),11,limlim1,111nnnnnnnnnuuu令則12 時級數(shù)（ ）絕對收斂。1lim0 ,1nnu 時， 時級數(shù)（2）發(fā)散。3，Dirichlet 判別法與 Abel判別法判別級數(shù)絕對收斂可以用正項級數(shù)的斂散性判別法，而判別級數(shù)條件收斂則需要本段介紹的兩個判別法。Abel 變換（分部求和公式）1212,mm給定兩組數(shù)組：， ，與，1121212,mmBBB令112211,.mmmBBBBB則有1122111()()mkkmmmkBBBBB 12123211()()()mmmmmBBBB111()mkkkmmkBB上式稱為 Abel 變換式或分部求和公式。利用它得阿貝爾引理：(1,2,)kkm若數(shù)組單調(diào)，(1,2,)knkmB而數(shù)組的部分和滿足1,1,2,(0nnkkBMnmM為常數(shù)）112mkkmkM 則有不等式：。證明：由Abel 變換式及引理條件11mkkkkmkMM mk=1112mmmMMM。定理（Dirichlet 判別法） lim0,nnnaa若序列單調(diào)且1nnb又級數(shù)的任意部分和序列有界，即存在