高等數(shù)學(xué)課件：7-2二重積分的計算

1、如果積分區(qū)域為：如果積分區(qū)域為：, bxa ).()(21xyx 其中函數(shù)其中函數(shù) 、 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù).)(1x )(2x ,ba1、直角坐標(biāo)系下的計算公式、直角坐標(biāo)系下的計算公式)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy 7-2 二重積分的計算二重積分的計算為曲頂柱體的體積為曲頂柱體的體積為底，以曲面為底，以曲面的值等于以的值等于以),(),(yxfzDdyxfD 應(yīng)用計算應(yīng)用計算“平行截平行截面面積為已知的立面面積為已知的立體求體積體求體積”的方法的方法,a0 xbzyx)(0 xA),( yxfz)(1xy)(2xy.),(),()()(21 Dbaxxdyy

2、xfdxdyxf 得得累次積分累次積分.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf 如果積分區(qū)域為：如果積分區(qū)域為：,dyc ).()(21yxy )(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D若區(qū)域如圖，若區(qū)域如圖，3D2D1D在分割后的三個區(qū)域上分別在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式使用積分公式.321 DDDD則必須分割則必須分割.二重積分在直角坐標(biāo)下的計算公式二重積分在直角坐標(biāo)下的計算公式（在積分中要正確選擇（在積分中要正確選擇積分次序積分次序）小結(jié).),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 Ddcyydxy

3、xfdydyxf 例例AoDijjrrjjrrriiiijijjijrrr2221)(21ijjjrrr)2(21,212ijijjrrr.)sin,cos(),(DDrdrdrrfdyxf2、在極坐標(biāo)系下的計算公式、在極坐標(biāo)系下的計算公式ddxdyrdrd0當(dāng)當(dāng) 時時,212ijijrrijjijrr.sin,coslim),(,0ijjijijijDrrrrfdyxf ,|cos , sin,DrrrD.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(二重積分化為二次積分的公式（）二重積分化為二次積分的公式（）區(qū)域特征如圖區(qū)域

4、特征如圖, ).()(21 rAoD)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd二重積分化為二次積分的公式（）二重積分化為二次積分的公式（）區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖, ).(0 r Drdrdrrf )sin,cos( Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積. Drdrd 二重積分化為二次積分的公式（）二重積分化為二次積分的公式（）區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖).(0 rDoA)(r,2 0二重積分在極坐標(biāo)下的計算公式二重積分在極坐標(biāo)下的計算公式（在積分中注意使用（在積分中注意使用對稱性對稱性）小結(jié) Drdrd

5、rrf )sin,cos(.)sin,cos()()(21 rdrrrfd.)sin,cos()(0 rdrrrfd.)sin,cos()(020 rdrrrfd 3. 二重積分的一般變量替換公式二重積分的一般變量替換公式設(shè)設(shè) 在一個有界閉區(qū)域在一個有界閉區(qū)域 內(nèi)有定義內(nèi)有定義,假定有一個假定有一個 到到,zf x yDDD的一一對應(yīng)的一一對應(yīng): ,其中其中 ,x y ,x yx y其逆變換為其逆變換為,xxyy 設(shè)設(shè) 是一個有界閉區(qū)域是一個有界閉區(qū)域 , 是另一個有界閉區(qū)域是另一個有界閉區(qū)域 .DD定理定理2假定假定 到到 有一個一一對應(yīng)有一個一一對應(yīng): , 其中其中 及及DD, x y ,xx ,yy 在在 內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且變換的且變換的雅可比行列式雅可比行列式處處處處D不等于不等于0,又設(shè)又設(shè) 在在 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù),則則,zf x yD,DDf x y dx