晶格振動(dòng)PPT教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1晶格振動(dòng)晶格振動(dòng) 固體的許多性質(zhì)都可以基于靜態(tài)模型來理解（即晶體點(diǎn)陣模型），即認(rèn)為構(gòu)成固體的原子在空間做嚴(yán)格的周期性排列，在該框架內(nèi)，我們討論了X 光衍射發(fā)生的條件，以后還將在此框架內(nèi)，建立能帶論，計(jì)算金屬大量的平衡性質(zhì)。然而它只是實(shí)際原（離）子構(gòu)形的一種近似，因?yàn)樵踊螂x子是不可能嚴(yán)格的固定在其平衡位置上的，而是在固體溫度所控制的能量范圍內(nèi)在平衡位置附近做微振動(dòng)。只有深入地了解了晶格振動(dòng)的規(guī)律，更多的晶體性質(zhì)才能得到理解。如：固體熱容，熱膨脹，熱傳導(dǎo)，融化，聲的傳播，電導(dǎo)率，壓電現(xiàn)象，某些光學(xué)和介電性質(zhì)，位移性相變，超導(dǎo)現(xiàn)象，晶體和輻射波的相互作用等等。第1頁/共55頁 晶格振動(dòng)的研

2、究始于固體熱容研究，19 世紀(jì)初人們就通過Dulong-Petit 定律 認(rèn)識到：熱容量是原子熱運(yùn)動(dòng)在宏觀上的最直接表現(xiàn)，然而直到20世紀(jì)初才由Einstein 利用Plank量子假說解釋了固體熱容為什么會(huì)隨溫度降低而下降的現(xiàn)象（1907年），從而推動(dòng)了固體原子振動(dòng)的研究，1912年玻恩(Born，1954年 Nobel物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者)和馮卡門（Von-Karman)發(fā)表了論晶體點(diǎn)陣振動(dòng)的論文，首次使用了周期性邊界條件，但他們的研究當(dāng)時(shí)被忽視了，因?yàn)橥臧l(fā)表的更為簡單的Debye熱容理論（彈性波近似）已經(jīng)可以很好的說明當(dāng)時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果了，但后來更為精確的測量卻表明了Debye模型不足，所以193

3、5年Blackman才重新利用Born和Von-Karman近似討論晶格振動(dòng)，發(fā)展成現(xiàn)在的晶格動(dòng)力學(xué)理論。后來黃昆先生在晶格振動(dòng)研究上成就突出，特別是1954年和Born共同寫作的晶格動(dòng)力學(xué)一書已成為該領(lǐng)域公認(rèn)的權(quán)威著作。3( ),(3)VABABVEcN kf TEN k TT 第2頁/共55頁 黃昆院士簡介: （摘錄） 1945-1947年，在英國布列斯托（Bristol）大學(xué)物理系學(xué)習(xí)，獲哲學(xué)博士學(xué)位；發(fā)表稀固溶體的X光漫散射論文，理論上預(yù)言“黃散射”。 1948-1951年，任英國利物浦大學(xué)理論物理系博士后研究員，這期間建立了“黃方程”，提出了聲子極化激元的概念，并與李愛扶（A.Rhy

4、s）建立了多聲子躍遷理論。 1947-1952年，與玻恩教授合著晶格動(dòng)力學(xué)(Dynamical Theory of Crystal Lattices)一書（英國牛津出版社，1954年）。（2006年中文版）我國科學(xué)家黃昆院士在晶格振動(dòng)理論上做出了重要貢獻(xiàn)。 黃昆對晶格動(dòng)力學(xué)和聲子物理學(xué)的發(fā)展做出了卓越的貢獻(xiàn)。他的名字與多聲子躍遷理論、X光漫散射理論、晶格振動(dòng)長波唯象方程、二維體系光學(xué)聲子模聯(lián)系在一起。他是“極化激元”概念的最早闡述者 。第3頁/共55頁2.1 晶格振動(dòng)的經(jīng)典理論參考： 黃昆書 3.23.4節(jié)（p82-103） 3.8節(jié)（p132-137)Kittel 書 4.1 和 4.2兩節(jié)

5、 一. 一維單原子鏈的晶格振動(dòng) 二. 一維雙原子鏈的晶格振動(dòng) 三. 三維晶體中原子的振動(dòng) 四. 態(tài)密度函數(shù) 五. 近似條件與使用范圍 晶格振動(dòng)雖是一個(gè)十分復(fù)雜的多粒子問題，但在一定條件下，依然可以在經(jīng)典范疇求解，一維原子鏈的振動(dòng)就是最典型的例子，它的振動(dòng)既簡單可解，又能較全面地表現(xiàn)出晶格振動(dòng)的基本特點(diǎn)。第4頁/共55頁一. 一維單原子鏈的振動(dòng) 運(yùn)動(dòng)方程： 考慮N個(gè)質(zhì)量為 m 的同種原子組成的一維單原子鏈。設(shè)平衡時(shí)相鄰原子間距為 a（即原胞大?。?，在 t 時(shí)刻第 n 個(gè)原子偏離其平衡位置的位移為 n 2n1nn1n2n第5頁/共55頁為了建立起運(yùn)動(dòng)方程，我們首先要對原子之間的相互作用力做些討論，

6、設(shè)在平衡時(shí)，兩原子的相互作用勢為V(a)，產(chǎn)生相對位移（例如 ）后勢能發(fā)生變化是V(a+) ，將它在平衡位置附近做泰勒展開：232323d1 d1d( )()( )d2d3! daaaVVVV rV aV arrr首項(xiàng)是常數(shù)，可取為能量零點(diǎn)，由于平衡時(shí)勢能取極小值，第二項(xiàng)為零，簡諧近似下，我們只取到第三項(xiàng)，即勢能展開式中的二階項(xiàng)（2項(xiàng)），而忽略三階及三階以上的項(xiàng)，顯然，這只適用于微振動(dòng)，即值很小的情況。此時(shí)，恢復(fù)力：22ddddaVVfrr 稱為恢復(fù)力常數(shù) 22ddaVr 相當(dāng)于把相鄰原子間的相互作用力看作是正比于相對位移的彈性恢復(fù)力。nn1第6頁/共55頁1211112nnnnnnnnfff

7、 如只考慮最近鄰原子間的相互作用，第 n 個(gè)原子受到的力：于是第n個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程可寫為： 一維原子鏈上的每個(gè)原子，忽略邊界原子的區(qū)別，應(yīng)有同樣的方程，所以它是和原子數(shù)目相同的 N個(gè)聯(lián)立的線性齊次方程。方程的解：這樣的線性齊次方程應(yīng)有一個(gè)波形式的解：nqit naqAeA是振幅，是角頻率，q 是波數(shù)，是波長，naq 是第n個(gè)原子的位相因子，將試解代入方程求解。2qnnnndtdm21122第7頁/共55頁這個(gè)結(jié)果與 n 無關(guān)，說明 N 個(gè)方程都有同樣結(jié)果，即所有原子都同時(shí)以相同的頻率和相同的振幅 A 在振動(dòng)，但不同的原子間有一個(gè)相差，相鄰原子間的相差是 。該結(jié)果還表示：只要和q 滿足上述關(guān)系，

8、試解就是聯(lián)立方程的解。通常把和 q 的關(guān)系稱作色散關(guān)系。2112itnaqitnaqit naqit naqmAeAeAeAe222cos1iaqiaqmeeaq12sin2aqm解得 色散關(guān)系 Dispersion curvesqa（利用歐拉公式）第8頁/共55頁解的物理意義： 格波 原子振動(dòng)以波的方式在晶體中傳播。當(dāng)兩原子相距 的整數(shù)倍時(shí)，兩原子具有相同的振幅和位相。2,( , ,manal m n lq都是整數(shù)）。2q如：expexpexp(2)expmnuAitmaqAitnaqilAitnaqu有：1該解表明：晶體中所有原子共同參與的振動(dòng)，以波的形式在整個(gè)晶體中傳播，稱為格波。 從形

9、式上看，格波與連續(xù)介質(zhì)彈性波完全類似，但連續(xù)介質(zhì)彈性波中的 x 是可以連續(xù)取值的；而在格波中只能取 na 格點(diǎn)位置這樣的孤立值。nqit naqAeAit xqe連續(xù)介質(zhì)彈性波：第9頁/共55頁第一布里淵區(qū)里的色散關(guān)系： 分離原子集體振動(dòng)形成的格波與連續(xù)介質(zhì)中的彈性波相比，色散關(guān)系發(fā)生了變化，偏離了線性關(guān)系，而且具有周期性和反射對稱性qq 0q( q )-/ a/ aSv q 2()( )qnqa( )()qqq 從解的表達(dá)式中可以看出：把 aq 改變 2的整數(shù)倍后，所有原子的振動(dòng)實(shí)際上沒有任何區(qū)別，因此有物理意義的 q 取值范圍可以限制在第一布里淵區(qū)內(nèi)。aqqaa 這種性質(zhì)稱作格波的簡約性。

10、一維單原子鏈的倒格矢：2nGna在波矢空間這就避免了某一頻率的格波有很多波長與之對應(yīng)的問題第10頁/共55頁 由圖明顯看出兩個(gè)不同波長的格波只表示晶體原子的一種振動(dòng)狀態(tài)，q 只需要在第一布里淵區(qū)內(nèi)取值即可，這是與連續(xù)介質(zhì)彈性波的重大區(qū)別。12445aa112222252qaqa參考黃昆書 p85 圖第11頁/共55頁 由白線所代表的波不能給出比黑虛線更多的信息，為了表示這個(gè)運(yùn)動(dòng)，只需要大于2a的波長。 見Kittel P70 圖第12頁/共55頁周期性邊界條件（BornKarman 邊界條件）nnN 上面求解假定原子鏈無限長，這是不現(xiàn)實(shí)的，確定何種邊界條件才既能使運(yùn)動(dòng)方程可解，又能使結(jié)果符合實(shí)

11、際晶體的測量結(jié)果呢？ BornKarman 最早利用周期性邊界條件解決了此問題，成為固體理論的一個(gè)典范。 所謂周期性邊界條件就是將一有限長度的晶體鏈看成無限長晶體鏈的一個(gè)重復(fù)單元，即：itN n aqit naqAeAe1iNaqe即：2qnNan =任意整數(shù)，但考慮到 q 值的取值范圍，n 取值數(shù)目是有限的：只有布里淵區(qū)內(nèi)的 N 個(gè)整數(shù)值。2naNaa22NNn周期性邊界條件并沒有改變方程解的形式，只是對解提出一定的條件，q 只可取N個(gè)不同的值，每個(gè)q對應(yīng)著一個(gè)格波。第13頁/共55頁 引入周期性邊界條件后，波數(shù) q 不能任意取值，只能取分立的值。在 q 軸上，相鄰兩個(gè) q 的取值相距 ，

12、即在 q 軸上，每一個(gè) q 的取值所占的空間為：Na2Na2所以，q 值的分布密度（單位長度上的模式數(shù)目）： 22NaLqLNa 為晶體鏈的長度。第一布里淵區(qū)中波數(shù) q 的取值總數(shù)等于晶體鏈的原胞個(gè)數(shù)，即：晶格振動(dòng)格波的總數(shù) =N1= 晶體鏈的總自由度數(shù)。22( )2NaqNaa至此，我們可以有把握的說找到了原子鏈的全部振動(dòng)模。第14頁/共55頁4m一維原子鏈第一布里淵區(qū)內(nèi)的色散關(guān)系：qsin2qa在長波長極限區(qū)，即 時(shí)，格波就是彈性波。0q sin22qaqaaqmsYavma和彈性波的結(jié)果一致。第15頁/共55頁隨著 q的增長，數(shù)值逐漸偏離線性關(guān)系，變得平緩，在布里淵區(qū)邊界，格波頻率達(dá)到極

13、大值。qa max4m相速和群速： 相速度 是單色波單位時(shí)間內(nèi)一定的振動(dòng)位相所傳播的距離。群速度 是平均頻率為，平均波矢為q 的波包的傳播速度，它是合成波能量和動(dòng)量的傳播速度。pvfqpvqvddqvq在 的長波極限下：0q pqsvvv即聲速。第16頁/共55頁在布里淵區(qū)邊界處：,2 ,0qqa va 群速度為零，這是因?yàn)榇藭r(shí)近鄰原子散射的子波與入射波位相相差，由 B原子反射的子波到達(dá)近鄰 A原子處時(shí)恰好和 A 原子反射的子波同位相，對所有原子的散射波都滿足上述條件，所以當(dāng) 時(shí)，散射子波之間發(fā)生相長干涉，結(jié)果反射達(dá)到最大值，并與入射波相結(jié)合，形成駐波，群速度為零。這和X射線衍射的Bragg

14、條件是一致的，也同樣顯示了布里淵區(qū)邊界的特征。它們都是由于入射波的波動(dòng)性和晶格的周期性所產(chǎn)生的結(jié)果。入射波反 射 波 2aqa第17頁/共55頁 所以一維單原子就像一個(gè)低通濾波器，它只能傳播 的彈性波，高于 頻率的彈性波被強(qiáng)烈衰減。 max0max該圖表明了波矢的等價(jià)性，是以移動(dòng)一個(gè)倒格矢量為準(zhǔn)。2nGna第18頁/共55頁 上面求解可以推廣到平面點(diǎn)陣，但有縱波和橫波之分，它們的原子位移狀況是不同的，橫波情形可用同樣方法求解，也將得到類似結(jié)果。見 kittel P68 圖qq第19頁/共55頁二. 一維雙原子鏈的晶格振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程及其解： 考慮一個(gè)由質(zhì)量m和質(zhì)量M兩種原子（設(shè)M m）等距相間排列

15、的一維雙原子鏈，設(shè)晶格常數(shù)為 2a，平衡時(shí)相鄰兩原子的間距為a，原子間的力常數(shù)為 。在 t 時(shí)刻，兩種原子的位移分別為： Mm2nu21nu22nu22nu21nu221nnuu第20頁/共55頁若只考慮近鄰原子間的彈性相互作用，則運(yùn)動(dòng)方程為：2221212d2dnnnnuMuuut221222212d2dnnnnumuuut試解：22itnaqnuAe2121itnaqnuBe222cos0MAaq B22cos20aq AmB代入方程得：第21頁/共55頁2222cos02cos2Maqaqm有解條件是久期方程為零：解得:22411sinMmMmaqMmMm22122211114sin2c

16、os2qaMmMmmMmMmMmMqamM解的三種表達(dá)式是等價(jià)的，下面討論時(shí)可任選其一。aqMmmMmMMm222sin4)()(第22頁/共55頁一維雙原子鏈得到了兩個(gè)解，兩種色散關(guān)系，它們都是 q 的周期函數(shù)，和一維單原子相同的討論可知，q 取值范圍也在第一布里淵區(qū)（ ）內(nèi)。此時(shí)點(diǎn)陣基矢是2a，倒易點(diǎn)陣基矢是22qaa2a2aamMmM稱約化質(zhì)量。 一維雙原子鏈晶體可作帶通濾波器圖中a帶隙第23頁/共55頁零點(diǎn)和布里淵邊界數(shù)值的確定：利用式討論。0q 2221 1mMmMmMmM2qa21 10mMmM222121mMMmmMmMmmMMmmMmMM2sin0qa 2sin1qa 結(jié)果繪在

17、上圖中。第24頁/共55頁兩支格波的物理意義的討論：由2式可以得到：20,0q有：1BA這表明，在長波極限下，原胞內(nèi)兩種原子的運(yùn)動(dòng)完全一致，振幅和位相均相同，這時(shí)的格波非常類似于聲波，所以我們將這種晶格振動(dòng)稱為聲學(xué)波或聲學(xué)支。事實(shí)上，在長波極限下，晶格可以看成連續(xù)的彈性介質(zhì)，格波類似于聲波。由色散關(guān)系可以看出：222Mm由于波數(shù)被限制在第一布里淵區(qū)內(nèi)，故：cos0qa 相鄰原子的振動(dòng)方向相同在長波極限qamBAcos2220cos222qamBA第25頁/共55頁 是相鄰原子的相對運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)方向相反。長波極限下質(zhì)心不動(dòng)，我們稱作光學(xué)支。22M222BMMAm 而從色散關(guān)系可以看到：由1式可以得

18、到：222cosBMAqa 2202cosBMAqa 相鄰原子的振動(dòng)方向相反cos0qa 長波極限下：q022(0)第26頁/共55頁 稱作光學(xué)支振動(dòng)的說明： 如果原胞內(nèi)為兩個(gè)帶相反電荷的離子（如離子晶體），那么正負(fù)離子的相對振動(dòng)必然會(huì)產(chǎn)生電偶極矩，而這一電偶極矩可以和電磁波發(fā)生相互作用。在某種光波的照射下，光波的電場可以激發(fā)這種晶格振動(dòng)，因此，我們稱這種振動(dòng)為光學(xué)波或光學(xué)支。 實(shí)際晶體的長光學(xué)波的對應(yīng)遠(yuǎn)紅外的光波，因此離子晶體的長光學(xué)波的共振能夠引起遠(yuǎn)紅外光在 附近的強(qiáng)烈吸收，正是基于此性質(zhì)， 支被稱作光學(xué)支。 13141(0)1010 s第27頁/共55頁(橫波情形)光學(xué)支原子振動(dòng)模型聲學(xué)

19、支原子振動(dòng)模型第28頁/共55頁兩種振動(dòng)模式原子位移更細(xì)致的示意圖（縱波情形）第29頁/共55頁周期性邊界條件周期性邊界條件：22Nnn21i NaqeqnNan =整數(shù)， N為晶體鏈的原胞數(shù)。q 的分布密度： qNa .2NaLqconst2N晶格振動(dòng)格波的總數(shù)晶體鏈的自由度數(shù)。第一布里淵區(qū)內(nèi)波數(shù) q 的總數(shù)就是晶體鏈原胞的數(shù)目N。每個(gè) q 值對應(yīng)著兩個(gè)頻率，所以第30頁/共55頁三. 三維晶格的振動(dòng)： 雖然一維晶格振動(dòng)問題簡單可解，但三維晶格的振動(dòng)卻是一個(gè)十分復(fù)雜的問題，幸好一維晶格振動(dòng)解已經(jīng)反映出三維晶格振動(dòng)的基本特點(diǎn)，因此我們可以把一維求解的方法和結(jié)論推廣到三維情況。 （見黃昆書p97

20、-103） 考慮原胞內(nèi)含有n個(gè)原子的復(fù)式晶格，n個(gè)原子的質(zhì)量分別為：123,nm m mm原胞的位置表示為：1 12233( )R ll al al a 原胞中各原子的平衡位置記做：,12lllRRRn 偏離平衡位置的位移：,12llluuun 第31頁/共55頁一個(gè)原胞中原子的運(yùn)動(dòng)方程：klm uk 代表原胞中的某個(gè)原子。 代表原子的三個(gè)位移分量。作用力的表示十分復(fù)雜，因?yàn)橐婕暗缴舷伦笥业慕?。這里我們只作定性討論，就不具體寫出了。它也是一組線性齊次方程 ，其解應(yīng)和一維相同：k1,2,3,kn指數(shù)函數(shù)表示各種原子的振動(dòng)都具有共同的平面波的形式，該表達(dá)式中 是波矢，代表了傳播方向。振幅也是矢

21、量。q(,)nnxnynzAAAA 表示各原子位移分量的振幅有區(qū)別qklRtiAklunexp第32頁/共55頁代入方程后同樣可以證明有解條件是 的一個(gè)3n次方程式，從而給出了3n個(gè)解：2(1,2,3,3 )jjn即3n支色散曲線。分析表明，其中有3支，在且原胞內(nèi)n個(gè)原子的振幅趨于相同，就是說在長波極限下整個(gè)原胞一起移動(dòng)，所以這三個(gè)解類似彈性波，稱聲學(xué)支。另外3n3支的解在長波極限下描述原胞內(nèi)原子的相對振動(dòng)，是光學(xué)支振動(dòng)。這和一維計(jì)算討論結(jié)果是符合的。 三維結(jié)果同樣要使用周期性邊界條件，q 同樣在第一布里淵區(qū)內(nèi)取N個(gè)（原胞數(shù)）值。因此在波矢空間，每個(gè)q占據(jù)的體積是：N分之一的倒格子體積 ：*3

22、*2 33221NV即每個(gè)q 占據(jù)的體積為：其倒數(shù)是分布密度。, 0qq第33頁/共55頁 結(jié)論： N個(gè)原胞每個(gè)原胞有n個(gè)原子的三維晶體， 晶體中格波的支數(shù) 原胞內(nèi)的自由度數(shù)：3n 其中 3 支為聲學(xué)支（1支縱波、2支橫波） 3n3支為光學(xué)支（也有縱波、橫波之分） 晶格振動(dòng)的波矢數(shù) 晶體的原胞數(shù) N 晶格振動(dòng)的模式數(shù) 晶體的自由度數(shù) 3nN思考 Cu，金剛石，NaI 晶體應(yīng)該分別有幾支色散關(guān)系？以上結(jié)論是否正確，只能依據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果來判定。第34頁/共55頁P(yáng)b 的振動(dòng)譜Cu 的振動(dòng)譜 fcc見 Blakemore：Solid State Physics P96 fcc金屬Pb 的格波譜 見黃昆書

23、p103第35頁/共55頁見 Blakemore：Solid State Physics P112金剛石的振動(dòng)譜第36頁/共55頁鍺的格波譜 見Kittel p72硅的格波譜 見黃昆書 p102 GaAs 的格波譜 見黃昆書p103第37頁/共55頁見 Blakemore：Solid State Physics P111NaI 的色散曲線第38頁/共55頁于是：四. 態(tài)密度函數(shù) (Density of States)：參見Kittel 書p83既然邊界條件要求q 在波矢空間取值是分立的，就提出一個(gè)模式密度問題。( )2Lq一維情況下的態(tài)密度： 一維情形，我們曾指出：波矢空間單位長度上的模式 數(shù)

24、： ，所以 間隔內(nèi)的模式數(shù)為： dqd2Lq定義：態(tài)密度 就是單位頻率間隔內(nèi)的狀態(tài)數(shù)。 ( )g( )dd2Lgqd( )2dLqg注意到：( )()qqd( )dLqg有：第39頁/共55頁一維單原子鏈晶格振動(dòng)的態(tài)密度：112sinsin22maqaqm因?yàn)椋篸cosd22maqaq1222d2( )dmLqNg所以：如是一維彈性波：1( )sLgvsv q顯然，格波和彈性波是不同的。第40頁/共55頁0分立晶格( )gm連續(xù)模型分立晶格和連續(xù)模型的區(qū)別：, ( )0mg第41頁/共55頁同樣方法也可以得到一維雙原子鏈晶格振動(dòng)的態(tài)密度，它們共同的特點(diǎn)是：在布里淵區(qū)邊界，( )g 第42頁/共

25、55頁三維情況下的態(tài)密度： 設(shè)一邊長為 L的立方體，體積 包含有N3個(gè)原胞， 32L33324326LVqq于是每個(gè) q 值在波矢空間占據(jù)的體積是：半徑為q 的球體積內(nèi)的模式數(shù)目為：3VL 球殼內(nèi)的模式數(shù)：dqqq22d2Vqqd于是： 頻率間隔內(nèi)的模式數(shù)為：22( )dd2jVgqq22d( )2djVqgq對一支色散關(guān)系而言：第43頁/共55頁在三維空間中傳播的波的 q 的允許值及等頻線示意圖。第44頁/共55頁彈性波近似下的態(tài)密度：sv q223( )2sVgv( )g 態(tài)密度曲線呈拋物線變化是彈性波的標(biāo)志。在實(shí)際計(jì)算彈性波態(tài)密度時(shí)，要注意晶體的彈性波速度是方向的函數(shù)，例如立方晶系有：

26、之分。公式中聲速應(yīng)是幾種聲速的平均值，考慮到每個(gè)q支對應(yīng) 3支色散關(guān)系，彈性波的態(tài)密度函數(shù)應(yīng)表示為：2233( )2sVgvvv ,|第45頁/共55頁實(shí)際晶體的態(tài)密度： 晶體的態(tài)密度函數(shù)原則上可以從理論上通過上述公式計(jì)算，先求出每支色散曲線相應(yīng)的態(tài)密度：每個(gè)原胞有n個(gè)原子的晶體的總的態(tài)密度函數(shù)是：3( )( )njjgg( )jg 右圖是金屬 Al 的晶格振動(dòng)態(tài)密度合成圖，總態(tài)密度是兩支橫波和一支縱波的疊加。第46頁/共55頁Cu晶體的總振動(dòng)態(tài)密度函數(shù)譜 見黃昆書p133可以明顯看出銅晶體的態(tài)密度函數(shù)，低頻部分呈拋物線形狀，這和色散曲線低 q 部分接近彈性波線性關(guān)系是一致的。第47頁/共55

27、頁五. 近似條件與使用范圍： 在經(jīng)典力學(xué)的范疇內(nèi)，通過對粒子運(yùn)動(dòng)方程的討論，我們對格波進(jìn)行了描述，得到很多很多新鮮的概念和圖像，今后我們將不斷地應(yīng)用這些概念去理解晶體性質(zhì)，特別是輻射波和晶體的相互作用等。但我們必須記住上面推導(dǎo)中使用了許多近似條件，因而也限制了結(jié)果的使用范圍。這是我們必須注意到的。 最近鄰近似： 只考慮了最近鄰作用，有時(shí)為了擬和實(shí)驗(yàn)曲線，還必須考慮次級或更多級的緊鄰作用。 簡諧近似： 體系的勢能函數(shù)只保留至二次方項(xiàng)，稱為簡諧近似，是我們能夠求解問題的關(guān)鍵，即便是必須考慮了三次以上的非諧項(xiàng)，也只能通過修訂簡諧近似的結(jié)果來處理。 第48頁/共55頁玻恩卡門周期性邊界條件： 或者說B

28、orn-Karman近似，使用該近似最初是為了方便于求解有限體積下的原子運(yùn)動(dòng)方程，避免由于邊界原子的差異給聯(lián)立方程求解帶來的困難。但使用該邊界條件推出的結(jié)論卻完全得到了實(shí)驗(yàn)結(jié)果的證實(shí)，這充分表明了使用該周期性邊界條件的合理性。 至目前為止，尚未找到其它邊界條件可以獲得與實(shí)驗(yàn)更加符合的結(jié)果，所以周期性邊界條件成為我們處理的晶格振動(dòng)唯一選項(xiàng)。第49頁/共55頁絕熱近似： 上面的討論中，我們把原子當(dāng)作沒有結(jié)構(gòu)的質(zhì)點(diǎn)來處理，唯一的屬性是具有質(zhì)量 m，顯然這是一種近似。原子是由原子核和核外電子組成的，在大多數(shù)場合，我們只需要把自由電子突出出來，而把其它電子和原子核看成剛性連在一起的離子實(shí)來處理，這種把自由電子和離子實(shí)分開處理的方法稱為絕熱近似。在絕熱近似下，我們可以把離子實(shí)當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)來單獨(dú)