高中數(shù)學(xué)必修一第一章測評 (3)

1、1 / 5 第一章測評第一章測評 (時間:120 分鐘 滿分:150 分) 一、選擇題(本大題共 12 小題,每小題 5分,共 60 分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1.下列關(guān)系不正確的是( ) a.0n b.13q c.0 d.2r 解析:由數(shù)集的表示,可知 a,b,d均正確,由于空集不含任何元素,故 c錯誤. 答案:c 2.命題“xr,nn+,使得 x+n2 020”的否定是( ) a.xr,nn+,使得 x+n2 020 b.xr,nn+,使得 x+n2 020 c.xr,nn+,有 x+n2020”的否定為“xr,nn+,有 x+n2020”. 答案:d 3.

2、設(shè)集合 a=a,b,b=a+1,5,若 ab=2,則 ab=( ) a.1,2 b.1,5 c.2,5 d.1,2,5 解析:ab=2,a+1=2,得 a=1,則 b=2, a=1,2,b=2,5,ab=1,2,5. 答案:d 4.下列不等式的解集是空集的是( ) a.x2-x+10 b.-2x2+x+10 c.2x-x25 d.x2+x2 解析:a 中不等式 x2-x+10的解集是 r;b,d中的判別式 0,所以有解;由于 2x-x25 等價于 x2-2x+50,而其 =4-20bc,且 a+b+c=0,則它的圖象可能是( ) 解析:abc,且 a+b+c=0,a0,cb”是“(+2)2ab

3、”成立的( ) a.充分條件,但不是必要條件 b.必要條件,但不是充分條件 c.充要條件 2 / 5 d.既不充分也不必要條件 解析:由(+2)2ab,得2+2+24ab,即 a2-2ab+b20,即(a-b)20,則 ab,不能推出 ab,而 ab時,由上述過程可知,有(+2)2ab,故“ab”是“(+2)2ab”成立的充分條件,但不是必要條件. 答案:a 8.不等式 ax2+5x+c0的解集為 x|13 0 的解集為 x|13 12,所以方程 ax2+5x+c=0的兩個實(shí)數(shù)根為x1=12,x2=13,且 a0. 所以有 12+13= -5,1213=, 0”是假命題,則實(shí)數(shù) a的取值范圍是

4、( ) a.(4,+) b.(0,4 c.(-,4 d.0,4) 解析:命題“xr,有 ax2+4x+10恒成立”是假命題, 命題“xr,使 ax2+4x+10”是真命題, a0,或 0, = 16-4 0,解得 a0,或 012,b0,且 a+b=2,則12-1+2的最小值為 ( ) a.3+22 b.6 c.9 d.3 解析:a12,b0,a+b=2,2a-1+2b=3, 則12-1+2=13(2a-1+2b)(12-1+2) =135 +22-1+2(2-1) 13(5 + 2 22-12-1)=3, 當(dāng)且僅當(dāng) b=2a-1=1,即 a=1,b=1時取等號. 答案:d 3 / 5 12.

5、用 c(a)表示非空集合 a中元素的個數(shù),定義 a*b=()-(),() (),()-(),() 5或 x-1,t=x|axa+8,且 st=r,則實(shí)數(shù) a的取值范圍是 . 解析:在數(shù)軸上表示出集合 s,t,如圖. 由圖可知,要使 st=r,需滿足 5,解得-3a-1. 答案:-3a0)個單位長度,得到一元二次函數(shù) y=x2-3x+2的圖象,則 a的值為 . 解析:將函數(shù) y=x2+x 的圖象向右平移 a(a0)個單位長度后,對應(yīng)函數(shù)的解析式為 y=(x-a)2+(x-a)=x2-(2a-1)x+a2-a,由題意得 x2-(2a-1)x+a2-a=x2-3x+2,故2-1 = 3,2- = 2

6、,解得 a=2. 答案:2 15.有外表一樣,質(zhì)量不同的四個小球,它們的質(zhì)量分別是 a,b,c,d,已知 a+b=c+d,a+db+c,a+cb+c,所以 2a2c,即 ac. 故 bd.因?yàn)?a+c0,所以 abac. 答案:dbac 16.已知關(guān)于 x的一元二次函數(shù) y=ax2-2x+c的值域?yàn)?,+),則9+1的最小值為 . 解析:由關(guān)于 x 的一元二次函數(shù) y=ax2-2x+c的值域?yàn)?,+),可得 a0,且判別式 =4-4ac=0,所以ac=1,且 a0,c0,可得9+129=2 3=6,當(dāng)且僅當(dāng)9=1,即 c=13,a=3 時,等號成立. 答案:6 三、解答題(本大題共 6 小題,

7、共 70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17.(10分)已知集合 a=x|x2-4x-50,b=x|2axa+2. (1)若 a=-1,求 ab和 ab; (2)若 ab=b,求實(shí)數(shù) a的取值范圍. 解:(1)集合 a=x|x2-4x-50=x|x-1,或 x5,當(dāng) a=-1 時,b=x|-2x1; ab=x|-2x-1,ab=x|x1,或 x5; (2)ab=b,ba. 若 b=,則 2aa+2,解得 a2; 若 b,則2 + 2, + 2 -1,或 2 5,解得 a-3. 綜上,實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 a2,或 a-3. 18.(12分)已知一元二次函數(shù) f(x)=x2-4x

8、. 4 / 5 (1)若 f(x)在區(qū)間2a-1,+)上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù) a 的取值范圍; (2)當(dāng) x1,7時,求 f(x)的值域. 解:(1)函數(shù) f(x)=x2-4x的圖象的對稱軸為直線 x=2, f(x)在區(qū)間2a-1,+)上單調(diào)遞增, 2a-12,解得 a32. 故所求實(shí)數(shù) a的取值范圍是 a32. (2)函數(shù) f(x)的圖象為開口向上的拋物線,且對稱軸為直線 x=2,結(jié)合圖象(圖略)知,在 x1,7上,當(dāng)x=2 時,f(x)取得最小值,且 f(x)min=22-4 2=-4;當(dāng) x=7時,f(x)取得最大值,且 f(x)max=72-4 7=21. 函數(shù) f(x)的值域?yàn)?4,21

9、. 19.(12分)已知 a0,b0,a+b=2. (1)求1+4的最小值; (2)求證:(+)+1. (1)解:a+b=2,且 a0,b0, 1+4=12+4(+) =12 5+412 5+24=92, 當(dāng)且僅當(dāng) + = 2,=4,即 a=23,b=43時等號成立. 故1+4的最小值為92. (2)證明:a0,b0,a+b=2, (+)+=+2 ab+2+22=1,當(dāng)且僅當(dāng) a=b=1 時等號成立. 20.(12分)已知關(guān)于 x的不等式-52-0 的解集為 m. (1)若 3m,且 5m,求實(shí)數(shù) a的取值范圍; (2)當(dāng) a=4時,求集合 m. 解:(1)由 3m,知3-59-0,解得 a9

10、; 若 5m,則5-525-0,解得 a25. 則由 5m,知 1a25. 因此所求 a 的取值范圍是 1a53,或 9a25. (2)當(dāng) a=4時,有4-52-40. 4-52-4 0,2-4 0,或4-5 0 54,-2 2,或 54, 2 54x2,或 x-2. 故 m=| -2,或54 2. 21.(12分)求 ax2+2x+1=0至少有一個負(fù)實(shí)數(shù)根的充要條件. 解:(1)當(dāng) a=0 時,原方程變?yōu)?2x+1=0,即 x=-12,符合要求. (2)當(dāng) a0 時,ax2+2x+1=0為關(guān)于 x的一元二次方程,它有實(shí)根的充要條件是 0,即 4-4a0,得 a1. 設(shè)方程 ax2+2x+1=

11、0的兩個實(shí)數(shù)根分別為 x1,x2,則 方程 ax2+2x+1=0有一個負(fù)實(shí)數(shù)根的充要條件是 0,12 0,即 1,1 0,a0. 方程 ax2+2x+1=0有兩個負(fù)實(shí)數(shù)根的充要條件是 0,1+ 2 0, 5 / 5 即 1,-2 0, 0a1. 綜上所述,ax2+2x+1=0 至少有一個負(fù)實(shí)數(shù)根的充要條件為 a1. 22.(12分)某摩托車生產(chǎn)企業(yè)上年度生產(chǎn)摩托車的投入成本為 1 萬元/輛,出廠價為 1.2 萬元/輛,年銷售量為 1 000 輛.本年度為適應(yīng)市場需求,計(jì)劃提高產(chǎn)品檔次,適度增加投入成本.若每輛摩托車投入成本增加的比例為 x(0 x1),則出廠價相應(yīng)提高的比例為 0.75x,同時預(yù)計(jì)年銷售量增加的比例為 0.6x.已知年利潤=(出廠價-投入成本) 年銷售量. (1)寫出本年度預(yù)計(jì)的年利潤 y與投入成本增加的比例 x的關(guān)系式. (2)為使本年度的年利