高中數(shù)學(xué)講義微專題49等差數(shù)列性質(zhì)

1、- 1 - / 7 微專題 49 等差數(shù)列性質(zhì) 一、基礎(chǔ)知識(shí)： 1、定義：數(shù)列 na若從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)，則稱 na是等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為 na的公差，通常用d表示 2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：()11naand=+，此通項(xiàng)公式存在以下幾種變形： （1）()nmaanm d=+，其中mn：已知數(shù)列中的某項(xiàng)ma和公差即可求出通項(xiàng)公式 （2）nmaadnm=：已知等差數(shù)列的兩項(xiàng)即可求出公差，即項(xiàng)的差除以對(duì)應(yīng)序數(shù)的差 （3）11naand=+：已知首項(xiàng)，末項(xiàng)，公差即可計(jì)算出項(xiàng)數(shù) 3、等差中項(xiàng)：如果, ,a b c成等差數(shù)列，則b稱為, a c的等差中項(xiàng) （1）等差中項(xiàng)的性質(zhì)：

2、若b為, a c的等差中項(xiàng)，則有cbba=即2bac=+ （2）如果 na為等差數(shù)列，則2,nnn ，na均為11,nnaa+的等差中項(xiàng) （3）如果 na為等差數(shù)列，則mnpqaaaamnpq+=+=+ 注：一般情況下，等式左右所參與項(xiàng)的個(gè)數(shù)可以是多個(gè)，但要求兩邊參與項(xiàng)的個(gè)數(shù)相等。 比如mnpqs+=+，則mnpqsaaaaa+=+不一定成立 利用這個(gè)性質(zhì)可利用序數(shù)和與項(xiàng)數(shù)的特點(diǎn)求出某項(xiàng)。例如：478920aaaa+=，可得478977777420aaaaaaaaa+=+=，即可得到75a =，這種做法可稱為“多項(xiàng)合一” 4、等差數(shù)列通項(xiàng)公式與函數(shù)的關(guān)系： ()111naandd nad=+=

3、+，所以該通項(xiàng)公式可看作na關(guān)于n的一次函數(shù)，從而可通過函數(shù)的角度分析等差數(shù)列的性質(zhì)。例如：0d ， na遞增；0d ， na遞減。 5、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式：12nnaasn+=，此公式可有以下變形： （1）由mnpqmnpqaaaa+=+=+可得：()12pqnaasn pqn+=+=+，作用：在求等差數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，不一定必須已知1,na a，只需已知序數(shù)和為1n +的兩項(xiàng)即可 - 2 - / 7 （2）由通項(xiàng)公式()11naand=+可得：()()1111122naandn nsna nd+=+ 作用： 這個(gè)公式也是計(jì)算等差數(shù)列前n項(xiàng)和的主流公式 ()21111222nn ndsa n

4、dnad n=+=+，即ns是關(guān)于項(xiàng)數(shù)n的二次函數(shù)()nn，且不含常數(shù)項(xiàng)，可記為2nsanbn=+的形式。從而可將ns的變化規(guī)律圖像化。 （3）當(dāng)()21nkkn=時(shí)， ()12121212kkaask+= 因?yàn)?212kkaaa+= ()2121kkska= 而ka是21ks的中間項(xiàng)，所以此公式體現(xiàn)了奇數(shù)項(xiàng)和與中間項(xiàng)的聯(lián)系 當(dāng)()2nk kn=時(shí) ()122122kkkkaaskk aa+=+，即偶數(shù)項(xiàng)和與中間兩項(xiàng)和的聯(lián)系 6、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題：此類問題可從兩個(gè)角度分析，一個(gè)角度是從數(shù)列中項(xiàng)的符號(hào)分析，另一個(gè)角度是從前n項(xiàng)和公式入手分析 （1）從項(xiàng)的特點(diǎn)看最值產(chǎn)生的條件，以 4 個(gè)

5、等差數(shù)列為例： :1,3,5,7,9,11,na :7,5,3,1, 1, 3,nb : 1, 3, 5, 7, 9,nc : 9, 7, 5, 3, 1,1nd 通過觀察可得： na為遞增數(shù)列，且10a ，所以所有的項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和只有最小值，即1a，同理 nc中的項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，所以前n項(xiàng)和只有最大值，即1c。而 nb雖然是遞減數(shù)列，但因?yàn)?0b ，所以直到51b = ，從而前 4 項(xiàng)和最大，同理， nd的前 5 項(xiàng)和最小。由此可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：對(duì)于等差數(shù)列，當(dāng)首項(xiàng)與公差異號(hào)時(shí)，前n項(xiàng)和的最值會(huì)出現(xiàn)在項(xiàng)的符號(hào)分界處。 （2）從2nsanbn=+的角度：通過配方可得2224nbbsa naa=+，

6、要注意nn，則可通過圖像判斷出ns的最值 7、由等差數(shù)列生成的新等差數(shù)列 - 3 - / 7 （1）在等差數(shù)列 na中，等間距的抽出一些項(xiàng)所組成的新數(shù)列依然為等差數(shù)列 例如在 :1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,na，以 3 為間隔抽出的項(xiàng)1,9,17,25,仍為等差數(shù)列。 如何判定等間距：序數(shù)成等差數(shù)列，則項(xiàng)之間等間距 （2）已知等差數(shù)列 1212221223:,nkkkkkkkaa aa aaaaaa+， 設(shè)12kksaaa=+， 21223221223,kkkkkkkkkkssaaassaaa+=+=+， 則 相 鄰k項(xiàng) 和232,kkkkks ss ss成等差數(shù)列

7、 （3）已知 ,nnab為等差數(shù)列，則有： nac+為等差數(shù)列，其中c為常數(shù) nka為等差數(shù)列，其中k為常數(shù) nnab+為等差數(shù)列 可歸納為nnabm+也為等差數(shù)列 8、等差數(shù)列的判定：設(shè)數(shù)列na，其前n項(xiàng)和為ns （1）定義（遞推公式）：1nnaad+= （2）通項(xiàng)公式：naknm=+（關(guān)于n的一次函數(shù)或常值函數(shù)） （3）前n項(xiàng)和公式：2nsanbn=+ 注：若2nsanbnc=+，則 na從第二項(xiàng)開始呈現(xiàn)等差關(guān)系 （4）對(duì)于nn ，122nnnaaa+=+，即從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都是相鄰兩項(xiàng)的等差中項(xiàng) 二、典型例題： 例 1：設(shè)等差數(shù)列 na的前n項(xiàng)和為ns，且94ss=，151,0kaa

8、a=+=，則k =_ - 4 - / 7 思路：由94ss=可得：9456789750ssaaaaaa=+=，即70a =。而11a =，所以 na不是各項(xiàng)為 0 的常數(shù)列，考慮79520aaa=+=，所以9559kaaaak+=+= 答案：9 小煉有話說：關(guān)于等差數(shù)列錢前n項(xiàng)和還有這樣兩個(gè)結(jié)論： （1）若()mnssmn=，則0m ns+=（本題也可用此結(jié)論：94130sss=，從而利用奇數(shù)項(xiàng)和與中間項(xiàng)的關(guān)系可得137130sa=） （2）若(),mnsn sm mn=，則有()m nsmn+= + 例 2：已知數(shù)列 ,nnab為等差數(shù)列，若11337,21abab+=+=，則55ab+=_

9、 思路：條件與所求都是“nnab+”的形式，由 ,nnab為等差數(shù)列可得nnab+也為等差數(shù)列，所以()33ab+為() ()1155,abab+的等差中項(xiàng)，從而可求出55ab+的值 解： ,nnab為等差數(shù)列 nnab+也為等差數(shù)列 ()()()3311552 ababab+=+ ()()553311235ababab+=+= 答案：35 例 3：設(shè)ns為等差數(shù)列 na的前n項(xiàng)和，8374,2sa a= ，則9a =（ ） a. 6 b. 4 c. 2 d. 2 思路一：已知等差數(shù)列兩個(gè)條件即可嘗試求通項(xiàng)公式，只需將已知等式寫成關(guān)于1,a d的方程，解出1,a d后即可確定通項(xiàng)公式或者數(shù)列中

10、的項(xiàng) 解：()8311482842saadad=+=+ 71262aad= += ()11118284210262adadadad+=+= += 9726aad=+= 思路二：本題還可抓住條件間的聯(lián)系簡化運(yùn)算。已知7a，從而聯(lián)想到8s可用17,a a表示，即()27827842aasaa+=+，所以等式變?yōu)椋?)27323442aaaaa+=，所以可得212aad= 。9726aad=+= - 5 - / 7 答案：a 小煉有話說：思路一為傳統(tǒng)手段，通常將已知兩個(gè)等式變形為1,a d的二元方程，便可求解。但如果能夠觀察出條件間的聯(lián)系，往往能通過巧妙的變形簡化計(jì)算過程。在平時(shí)的練習(xí)中建議大家多嘗

11、試思路二的想法，努力找到條件間的聯(lián)系，靈活利用等差數(shù)列性質(zhì)進(jìn)行變形。而思路一可作為“預(yù)備隊(duì)”使用。 例 4：在等差數(shù)列 na中，12008a = ，其前n項(xiàng)和為ns，若121021210ss=，則2008s的值等于（ ） a. 2007 b. 2008 c. 2007 d. 2008 思路：由121021210ss=觀察到nsn的特點(diǎn)，所以考慮數(shù)列nsn的性質(zhì)，由等差數(shù)列前n 項(xiàng)和特征2nsanbn=+可得nsanbn=+，從而可判定nsn為等差數(shù)列，且可得公差1d =，所以()1120091nssndnn=+=，所以()2009nsn n=，即20082008s= 答案：b 例 5：已知 ,

12、nnab為等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和分別為,nna b，若71427nnanbn+=+，則1111ab=_ 思路：，所求1111ab可發(fā)現(xiàn)分子分母的項(xiàng)序數(shù)相同，結(jié)合條件所給的是前n項(xiàng)和的比值。考慮利用中間項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系，有：2111211121,21aabb= ，將項(xiàng)的比值轉(zhuǎn)化為數(shù)列和的比值，從而代入21n =即可求值：111121111121214213aaabbb= 答案：43 小 煉 有 話 說 ： 等 差 數(shù) 列 中 的 項(xiàng) 與 以 該 項(xiàng) 為 中 間 項(xiàng) 的 前n項(xiàng) 和 可 搭 建 橋 梁 ：()2121kkska=，這個(gè)橋梁往往可以完成條件中有關(guān)數(shù)列和與項(xiàng)之間的相互轉(zhuǎn)化。 例 6：已

13、知等差數(shù)列 na中，1232829303,165aaaaaa+=+=，則此數(shù)列前30項(xiàng)和等- 6 - / 7 于（ ） a. 810 b. 900 c. 870 d. 840 思路：求前 30 項(xiàng)和，聯(lián)想到公式(),12pqnaasnpqn+=+=+，則只需31pq+=。由條件可得：()()()()1302293281303168aaaaaaaa+=+=，所以13056aa+=，所以130308402naas+= 答案：d 例7 ： 已 知 等 差 數(shù) 列 na中 ，12341314151610,70aaaaaaaa+=+=， 則21222324aaaa+的值為_ 思路：條件為相鄰 4 項(xiàng)和，

14、從而考慮作差能解出數(shù)列的公差：1234131415161070aaaaaaaa+=+=，可得： ()()()()1311421531644860aaaaaaaad+=，解得54d =，考慮()()21222324131415163240aaaaaaaad+=，所以()212223241314151640110aaaaaaaa+=+= 答案：110 小煉有話說：本題在解題過程中突出一個(gè)“整體”的思想，將每一個(gè)四項(xiàng)和都視為整體，同時(shí)在等差數(shù)列中相鄰k項(xiàng)和的差與公差相關(guān)，從而解出公差并求出表達(dá)式的值 例 8：等差數(shù)列 na有兩項(xiàng)(),mkaamk，滿足11,mkaakm=，則該數(shù)列前mk項(xiàng)之和為（

15、） a. 12mk b. 2mk c. 12mk + d. 12mk+ 思路：可根據(jù)已知兩項(xiàng)求出公差，進(jìn)而求出 na的通項(xiàng)公式，再進(jìn)行求和即可 解：11,mkaakm= 111mkaakmdmkmkmk= ()()111nmaanm dnmnkmkmk=+=+= - 7 - / 7 ()11111222mkmkmksmkmkmkmk+=+= 答案：c 例 9：在等差數(shù)列 na中，10a ，若其前n項(xiàng)和為ns，且148ss=，那么當(dāng)ns取最大值時(shí)，n的值為（ ） a. 8 b. 9 c. 10 d. 11 思路一：考慮從 na的項(xiàng)出發(fā)，由148ss=可得148910140ssaaa=+=，可得111211120aaaa+= ，因?yàn)?0a ，所以11120,0aa，從而11s最大 思路二：也可從ns的圖像出發(fā)，由148ss=可得ns圖像中11n =是對(duì)稱軸，再由10a 與148ss=可判斷數(shù)列 na的公差0d ，所以ns為開口向下的拋物線，所以在11n =處ns取得最大值 答案：d 例 10：設(shè)首項(xiàng)為1a，公差為d的等差數(shù)列 na的前n項(xiàng)和為ns，滿足56150s s