高中數(shù)學(xué)講義微專題83特殊值法解決二項(xiàng)式展開系數(shù)問題

1、- 1 - / 5 微專題 83 特殊值法解決二項(xiàng)式展開系數(shù)問題 一、基礎(chǔ)知識(shí)： 1、含變量的恒等式：是指無論變量在已知范圍內(nèi)取何值，均可使等式成立。所以通?？蓪?duì)變量賦予特殊值得到一些特殊的等式或性質(zhì) 2、二項(xiàng)式展開式與原二項(xiàng)式呈恒等關(guān)系，所以可通過對(duì)變量賦特殊值得到有關(guān)系數(shù)（或二項(xiàng)式系數(shù)）的等式 3、常用賦值舉例： （1）設(shè)()011222nnnnrn rrnnnnnnnabc ac abc abc abc b+=+， 令1ab=，可得：012nnnnnccc=+ 令1,1ab= ，可得： ()012301nnnnnnnccccc=+ ，即： 02131nnnnnnnncccccc+=+（假

2、設(shè)n為偶數(shù)），再結(jié)合可得： 0213112nnnnnnnnncccccc+=+= （2）設(shè)( )()201221nnnf xxaa xa xa x=+=+ 令1x =，則有：()( )0122 1 11nnaaaaf+= +=，即展開式系數(shù)和 令0 x =，則有：()( )02010naf=+=，即常數(shù)項(xiàng) 令1x = ，設(shè)n為偶數(shù)，則有：()()01231 211nnaaaaaf+= += ()()()021311nnaaaaaaf+=，即偶次項(xiàng)系數(shù)和與奇次項(xiàng)系數(shù)和的差 由即可求出()02naaa+和()131naaa+的值 二、典型例題： 例 1：已知()828012831xaa xa xa

3、 x=+，則1357aaaa+的值為_ 思路：觀察發(fā)現(xiàn)展開式中奇數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的x指數(shù)冪為奇數(shù)，所以考慮令1,1xx= ，則偶數(shù)項(xiàng)相同，奇數(shù)項(xiàng)相反，兩式相減即可得到1357aaaa+的值 解：令1x =可得：80182aaa=+ - 2 - / 5 令1x = 可得：801284aaaa=+ 可得：()881357242 aaaa=+ ()8813571242aaaa+= 答案：()881242 例2 ： 已 知()()()()()921120121112111xxaaxaxax+=+， 則1211aaa+的值為（ ） a. 0 b. 2 c. 255 d. 2 思路：本題雖然恒等式左側(cè)復(fù)雜，但仍然

4、可通過對(duì)x賦予特殊值得到系數(shù)的關(guān)系式，觀察所求式子特點(diǎn)可令2x =，得到01110aaa+=，只需再求出0a即可。令1x =可得02a = ，所以12112aaa+= 答案：b 例 3：設(shè)()42340123422xaa xa xa xa x+=+，則()()2202413aaaaa+的值為（ ） a. 16 b. 16 c. 1 d. 1 思路：所求()()()()22024130123401234aaaaaaaaaaaaaaa+=+，在 恒 等 式 中 令1x =可 得 ：()40123422aaaaa+=+， 令1x = 時(shí)()40123422aaaaa+=，所以()()() ()442

5、202413222216aaaaa+=+= 答案：a 例4：若()5234501234523xaa xa xa xa xa x=+，則012345aaaaaa+等于（ ） a. 55 b. 1 c. 52 d. 52 思路：雖然()523x展開式的系數(shù)有正有負(fù)，但()523x與()523x+對(duì)應(yīng)系數(shù)的絕對(duì)值相同，且()523x+均為正數(shù)。所以只需計(jì)算()523x+展開的系數(shù)和即可。令1x =，可得系數(shù)- 3 - / 5 和為55，所以50123455aaaaaa+= 答案：a 例5：若()2014201401201412xaa xax=+，則()()()010202014aaaaaa+=_ 思

6、路：所求表達(dá)式可變形為：()00120142013aaaa+，從而只需求出0a和系數(shù)和即可 。 令0 x =可 得 ：01a =， 令1x =可 得 ：0120141aaa+=， 所 以()001201420132014aaaa+= 答案：2014 例6 ： 若()2622020nnccnn+=， 且()20122nnnxaa xa xa x=+， 則()0121nnaaaa+ 等于（ ） a. 81 b. 27 c. 243 d. 729 思路：由2622020nncc+=可得262nn+=+或()()26220nn+=，解得4n =，所求表達(dá)式只需令1x = ，可得()()44012412

7、181aaaa+ = = 答案：a 例7：若()()201322013012201321xaa xa xaxxr=+，則23201323201311112222aaaaaa+=（ ） a. 12013 b. 12013 c. 14026 d. 14026 思路：所求表達(dá)式中的項(xiàng)呈現(xiàn) 2 的指數(shù)冪遞增的特點(diǎn)，與恒等式聯(lián)系可發(fā)現(xiàn)令12x =，可得：22013012201310222aaaa+=，令0 x =可得：01a = ，所以220131220131222aaa+= ， 所 以 所 求 表 達(dá) 式 變 形 為 ：111111122aaa+=， 而() ()2012112013214026a x

8、cxx= =，所以14026a =，從而表達(dá)式的值為14026 答案：d - 4 - / 5 例8：已知()()()201111nnnxxxaa xa x+=+ ，若12129naaan+=，則n的值為（ ） a. 3 b. 4 c. 5 d. 6 思路：在恒等式中令1x =可得系數(shù)和()2012 2122221nnnaaa+=+=，與條件聯(lián)系可考慮先求出0,na a，令0 x =，可得0an=，展開式中na為最高次項(xiàng)系數(shù)，所以1na =，1121221nnaaan+=， 所 以122129nnn+ =， 即1232n+=，解得4n = 答案：b 例9：若()5234501234523xaa

9、xa xa xa xa x=+，則0123452345aaaaaa+的值是（ ） a. 10 b. 20 c. 233 d. 233 思路：觀察所求式子中ia項(xiàng)的系數(shù)剛好與二項(xiàng)展開式中ia所在項(xiàng)的次數(shù)一致，可聯(lián)想到冪函數(shù)求導(dǎo)：()1nnxnx=，從而設(shè)( )()523f xx=，恒等式兩邊求導(dǎo)再令1x =可解得123452345aaaaa+的值，再在原恒等式中令0 x =計(jì)算出0a即可 解：設(shè)( )()5234501234523f xxaa xa xa xa xa x=+ ( )()4234123455 2322345fxxaa xa xa xa x=+ 令1x =可得：12345102345

10、aaaaa=+ 而在()5234501234523xaa xa xa xa xa x=+中，令0 x =可得：503243a = = 0123452345233aaaaaa+= 答案：d 例 10：若等式()201422014012201421xaa xa xax=+對(duì)于一切實(shí)數(shù)x都成立，則0122014111232015aaaa+=（ ） - 5 - / 5 a. 14030 b. 12015 c. 22015 d. 0 思路：從所求表達(dá)式項(xiàng)的系數(shù)與展開式對(duì)應(yīng)項(xiàng)聯(lián)系起來可聯(lián)想到在恒等式中兩邊同取不定積分。例如：22311122111,231nnnna xa xa xa xa xa xn+=+，再利用賦值法令1x =即可得到所求表達(dá)式的值 解：()201422014012201421xaa xa xax=+，兩邊同取不定積分可得： ()201523201501220141111214030232015xca xa xa xax+=+ 令1x =可得：012201411114030232015caaaa+=+ 令0 x =可得：11040304030cc+= 012201411112320152015aaaa+= 答案：b 小煉有話說： （1）本題可與例 9 作一個(gè)對(duì)照，都是對(duì)二項(xiàng)展開的恒等式進(jìn)行等價(jià)變換。是求導(dǎo)還