高中數(shù)學講義微專題96平面幾何

1、- 1 - / 15 微專題 96 平面幾何 一、基礎(chǔ)知識： 1、相似三角形的判定與性質(zhì) （1）相似三角形的判定 三個角：若兩個三角形對應(yīng)角都相等，則這兩個三角形相似 注：由三角形內(nèi)角和為180可知，三角形只需兩個內(nèi)角對應(yīng)相等即可 兩邊及一夾角：若兩個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，且所夾的角相等，則這兩個三角形相似 三邊：若兩個三角形三邊對應(yīng)成比例，則這兩個三角形相似 （直角三角形）若兩個直角三角形有兩組對應(yīng)邊成比例，則這兩個直角三角形相似 （2）相似三角形性質(zhì)：若兩個三角形相似，這它們的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例即相似比（主要體現(xiàn)出“對應(yīng)”兩字），例如：若abcabc，則有： ,aabbcc= =

2、 = abacbcabacbc= 2、平行線分線段成比例：如圖：已知123lll ，且直線,m n與平行線交于, , ,a b c d e f，則以下線段成比例： （1）abdebcef= （上比下） （2）abdeacdf=（上比全） （3）bcefacdf=（下比全） 3、常見線段比例模型： （1）“a”字形：在abc中，平行bc的直線交三角形另兩邊于,d e， 即 形 成 一 個 “ a ” 字 ， 在 “ a ” 字 形 中 ， 可 得abcade，進而有以下線段成比例： adaedbec= dbceabac= adaedeabacbc= （2）“8”字形：已知abcd，連結(jié),ad b

3、c相交于o，即形成一個“8”字，在“8”fedcbaabcde- 2 - / 15 字形中，有： aobdoc，從而aoboabodcocd= 4、圓的幾何性質(zhì)： （1）與角相關(guān)的性質(zhì) 直徑所對的圓周角是直角 弦切角與其夾的弧所對的圓周角相等 同?。ɑ虻然。┧鶎Φ膱A周角是圓心角的一半 圓內(nèi)接四邊形，其外角等于內(nèi)對角 （2）與線段相關(guān)的性質(zhì)： 等弧所對的弦長相等 過圓心作圓上一條弦的垂線，則直線垂直平分該弦 若一條直線與圓相切，則圓心與切點的連線與該直線垂直 5、與圓相關(guān)的定理 （1）切割線定理：設(shè)pa是o的切線，pbc為割線，則有：2papb pc= （2）相交弦定理：設(shè),ab cd是圓內(nèi)的兩

4、條弦，且,ab cd相交于p，則有ap bpcp dp= （3）切線長定理：過圓外一點p可作圓的兩條切線，且這兩條切線的長度相等 6、射影定理：已知在直角三角形abc中，90bca=，cd為斜邊ab上的高（雙垂直特點），則以下等式成立： 2bcbd ba= 2acad ab= 2cdbd ad= 注：射影定理結(jié)合勾股定理，以及等面積法。在直角三角形abc中的邊,ac bc bd da cd這五條線段中，可做到已知兩條邊的長度，即可求出所有邊的長度 7、平面幾何中線段長度的求法： （1）觀察所求線段是否是某個定理的一部分，從而湊齊該定理的其他條件即可求出該線段 （2）考慮所求線段是否與其它線段存

5、在比例關(guān)系 obpcabcadocdab- 3 - / 15 （3）可將此線段放入三角形中，考慮是否能通過正余弦定理解決 （4）若不易找到題目中各線段與所求線段的聯(lián)系，可考慮將所求線段設(shè)為x，通過方程進行求解。 二、典型例題： 例 1 ： 如 圖 ， 已 知pa切o于a點 ， 割 線pcd與 弦ab相 交 于e點 ， 且papebe=，若4,21pccd=，則ae的長為_ 思路：由pa是切線，pcd是割線聯(lián)想到切割線定理，所以有：()2100papc pdpcpccd=+=，解得10pa =，從而10pebe=，求ae可聯(lián)想到相交弦定理：ae bece de=，即ce deaebe=，其中6c

6、epepc=，15decdce=，代入可得：6 15910ae= 答案：9 例 2：如圖，四邊形abcd內(nèi)接于圓o，de與圓o相切于點d，acbdf=，f為ac的中點，obd，10cd =，5bc =，則de = 思 路 ： 由de與 圓o相 切 可 想 到 切 割 線 定 理 ： 即2deea eb=，因為bd是直徑，且f為ac的中點，所以bd垂直平分ac，且bad和bcd為對稱的直角三角形。所以10adcd=，5abbc=，所以2235bdadab=+=。 在edf中 ， 由 切 線 可 知edbd，且,adbe，所以由射影定理可知227bdbdba bebeba=，則2aebeab=，進

7、而14deea eb= 答案：14 fbcdeao- 4 - / 15 例 3：如圖，pa與圓o相切于a，pcb為圓o的割線，并且不過圓心o，已知30bpa=，2 3pa=，1pc =，則圓o的半徑等于_ 思路：由pa與圓o相切于a可知2papc pb=，可得212papbpc=， 從 而11bcpbpc=， 在pad中 ， 可 由30bpa=，2 3pa=， 可 得 ：2,4dapd=，從而3,5cdbd=，觀察圓內(nèi)的弦，延長ao交圓于e，從而有ad decd db=，與半徑進行聯(lián)系可得：()2adradcd db=，代入數(shù)值可得7r = 答案：7r = 例 4：如圖，p是半圓o的直徑bc延

8、長線上一點，pt切半圓于點t，thbc于h，若1,2ptpbpca=+=，則ph =（ ） a. 2a b. 1a c. 2a d. 3a 思路：因為pt切半圓于點t，所以考慮連結(jié)圓心與切點，可得：otpt，在rt pto中具有雙垂直的特點，所以只需已知兩條邊即可求出ph，由切割線定理可得：2ptpc pb=，222111pbpcapcaapb pcpbaa+=+，所以 221bcpcpba=，即21ra=，從而21,otrapopcra=+=，由射影定理可得：221ptptph pophpoa= 答案：b 例 5：如圖，pb為abc外接圓o的切線，bd平分pbc，交圓o于d，,c d p共線

9、若,1abbd pcpb pd=，則圓o的半徑是 c co oa ap pb bd dc co oa ap pb be e- 5 - / 15 思路：由abbd可知ad為圓o的直徑，由弦切角性質(zhì)可得baddbp= ，且在圓中badbcd= （ 對 同 弧bd） ， 由bd平 分pbc可 得dbpdbc= ， 進 而badbcddbcdbp= = = ， 在rt bpd中，可知：3090bcddbcdbpbcddbcdbpbcddbcdbp= = = = =+=， 所 以 由1pd =可 得 ：22bdpd=， 在rt abd中 ，30bad=， 可 得24adbd=，從而122rad= 答案：

10、2 例 6：如圖，abc內(nèi)接于o，過bc中點d作平行于ac的直線l，l交ab于點e，交o于g、f，交o在點a切線于點p，若3, 2, 3=efedpe，則pa的長為 思路：由pa為切線可想到切割線定理，所以2papg pf=，8pfpeedef=+=，只需求出pg即可。因為pa為切線，所以弦切角paec= ，因為pfac，所以bdec= ，從而bdepae= ，進而 可 證peaepaebdeae bepe debede=， 由 相 交 弦 定 理 可 知 ：ae bege ef=，所以2pe depe dege efgeef=，所以1pgpege=，代入2papg pf=可得：6pa = 答

11、案：6 例 7：如圖，已知ab和ac是圓的兩條弦，過點b作圓的切線與ac的延長線相交于d，過點c作bd的平行線與圓交于點e,與ab相交于點f,6=af,2=fb,3=ef,則線段cd的長為_ 思路：由bd是切線且dca是割線可想到切割線定理，所以2cd adbd=，分別計算各線段長度。由6=af,2=fb,3=ef可使用相交弦定理得：4af fbcfef=，再由cfbd可得：34cfafbdbf=，所以163bd =，同時- 6 - / 15 44adabadcdcdfb=，代入可得：2218423cdbdcdbd= 答案：83 例 8：如圖，已知pa與o相切，a為切點，過點p的割線交o于,b

12、 c兩點，弦/ /cdap，,ad bc相 交 于 點e， 點f為ce上 一 點 ， 且pedf= ， 若:3:2ce be =，3de =，2ef =，則pa = . 思 路 ： 由pa與o相 切 可 想 到 切 割 線 定 理 ， 即2papb pc=，只需求出,pb pc即可。從題目條件中很難直接求出這兩個量，考慮尋找題目中的相似三角形。由pedfaepfed= = 可 得 ：aepfed， 所 以aeepae edep effeed=。由切割線定理可知ae edbe ec=。因為/ /cdap，所以cp= ，進而cedf= ，所以cedfceddefcedced= = ，則2ceded

13、ece efedef=，代入3de =，2ef =可 得92ce =， 所 以233bece=， 由 可 算 得274ep =， 所 以154bpepbe=，454pcpece=+=。則15 34papb pc= 答案：15 34 例 9：如圖，pa切圓o于點a，割線pbc經(jīng)過圓心o，若1pbob=，od平分aoc交圓o于點d，連結(jié)pd交圓o于點e，則pe的長等于_ 思路：由圖可知若要求得pe，可想到切割線定理模型2pe pdpa=，只需求得,pa pd即可。由割線pbc與切線pa可想到切割線定理，從而可計算出3pa =，考慮計算pd，可將其放 入dop中 計 算 ， 已 知 的 邊 有eob

14、pcad- 7 - / 15 1,2odop=，需要求解dop，在rt aop中，通過邊的關(guān)系可判定3aop=，進而23aoc=，由角平分線可知3aod=，所以23dop=。從而可用余弦定理計算出pd，即可算出pe 解：pa切圓o于點a 2papb pc= 由1pbob=可得：1r = 123pcpbbc=+= += 3papb pc= 在aop中，,1.2,3oaap oaopap= 3aop= 23aoc= od平分aoc 123aodaoc= 23podaodaop= += 在pod中，由余弦定理可得：2222cos7dpopodop odpod=+= 7dp= 由切割線定理可得：2pe

15、 pdpa= 233 777papepd= 答案：3 77 例 10：如圖，,ab cd是圓o的兩條平行弦，afbd交cd于點e，交圓o于點f，過b點的切線交cd延長線 于 點p， 若1,5pdcepb=， 則bc的 長 為_ 思路：由切割線定理可得225pbpbpd pcpcpd= 從而3depcpdce=，由兩組平行關(guān)系可得四邊形abde為平行四邊形，從而edoapcbf- 8 - / 15 aebd=， 由afbd可 得 ：14cmcecbcd=， 若 設(shè)bc為x， 則13,44cmx bmx=，可想到相交弦定理，am fmcm bm=，所以只需用x表示出,am fm即可得到關(guān)于x的方程

16、。因為bp與圓相切，所以cdbp= ，結(jié)合p可得：bcpdbp，所以有155bccpbdxdbbp=，即15aex=，結(jié)合比例可知：331,44 54 5amaex emx=，由相交弦定理可得：3 5ce edae efce edefaex= ，代入可得：313 513444 54 5xxxxx+=，解得：x =15 答案：15bc = 三、歷年好題精選 1、（、（2015，天津）如圖，在圓，天津）如圖，在圓o中中，,m n是弦是弦ab的三等分點的三等分點，弦弦,cd ce分別經(jīng)過點分別經(jīng)過點,m n，若若2,4,3cmmdcn=，則線則線段段ne的長為的長為（ ） a. 83 b. 3 c.

17、 103 d. 52 2、（、（2015，廣東）如圖，已知，廣東）如圖，已知ab是圓是圓o的直徑的直徑，4ab =，ec是圓是圓o的切線的切線，切點為切點為,1c bc =，過圓心過圓心o作作bc的平行線的平行線，分別交分別交,ec ac于于點點d和點和點p，則則od =_ edoabmnc圖1poecdab- 9 - / 15 3、（、（2014，重慶）過圓外一點，重慶）過圓外一點p作圓的切線作圓的切線pa（a為切為切點點），），再作割線再作割線pbc依次交圓于依次交圓于,b c，若若6,8,9paacbc=，則則ab =_ 4、（2015，新課標，新課標 ii）如圖，）如圖，o為等腰三角形

18、為等腰三角形abc內(nèi)一點內(nèi)一點，o與與abc的底邊的底邊bc交于交于,m n兩點兩點，與底邊上的高與底邊上的高ad交于點交于點g，且與且與,ab ac分別相切于分別相切于,e f兩點兩點 （1）證明：）證明：efbc （2）若）若ag等于等于o的半徑的半徑，且且2 3aemn=，求四求四邊形邊形ebcf的面積的面積 5、（、（2014，湖北）如圖，湖北）如圖，p為為o外一點外一點，過過p點作點作o的的兩條切線兩條切線，切點分別為切點分別為,a b，過過pa的中點的中點q作割線交作割線交o于于,c d兩點兩點，若若1,3qccd=，則則pb =_ 6、（2014，新課標全國卷 i）如圖，四邊形a

19、bcd是o的內(nèi)接四邊形的內(nèi)接四邊形，ab的延長線與的延長線與dc的延長線交于點的延長線交于點e，且且cbce= （1）證明：）證明：de= （ 2 ） 設(shè)） 設(shè)ad不 是不 是o的 直 徑的 直 徑 ，ad的 中 點 為的 中 點 為m， 且且mbmc=， gnmfbcaed- 10 - / 15 7、（、（2014，新課標，新課標 ii）如圖，）如圖，p是是o外一點外一點，pa是切線是切線，a為切為切點點，割線割線pbc與與o相交于點相交于點, ,2b c pcpa=，d是是pc的中點的中點，ad的延長線交的延長線交o于點于點e，證明證明： （1）beec= （2）22ad depb= 8、

20、（、（2014，天津）如圖所示：，天津）如圖所示：abc是圓的內(nèi)接三角形是圓的內(nèi)接三角形，bac的平分線交圓于點的平分線交圓于點d，交交bc于點于點e，過點過點b的圓的切的圓的切線與線與ad的延長線交于點的延長線交于點f，在上述條件下在上述條件下，給出以下四個結(jié)給出以下四個結(jié)論論： bd平分平分cbf；2fbfd fa=；ae cebe de=； af bdab bf=，則所有正確結(jié)論的序號是則所有正確結(jié)論的序號是（ ） a. a. b. b. c. c. d. d. 9、如圖，在、如圖，在abc中中，3,4,5abbcca=，點點d是是bc的的中點中點，beac于于e，be的延長線交的延長線

21、交dec的外接圓于點的外接圓于點f ，則則ef的長為的長為_ 1010、如圖如圖，ab是圓是圓o的直徑的直徑，點點c在圓在圓o上上，延長延長bc到到d使使dcbaefo oc cd db ba ae e- 11 - / 15 cdbc =，過過c作圓作圓o的切線交的切線交ad于于e. .若若8=ab，4=dc，則則de = . . 習題答案：習題答案： 1、答案：a 解析：由,m n三等分ab，不妨設(shè)ammnnbx=，則由切割線定理可得：222 4am mbcm dmx=，解得2x =， 再 由 切 割 線 定 理 可 得 ：an nbcn ne=， 所 以4 2833an nbnecn= 2

22、、答案：8 解析：連結(jié)oc，由24abr=可得2ocr=，因為ec且圓o于c，所以ocec；另一方面，由ab是直徑可得bcac，所以cb的平行線opac，且由o是ab中 點 可 得op為abc的 一 條 中 位 線 ， 所 以1122opbc=，則在ocd中，由雙垂直（,opac occd）可用射影定理2ocop od=，從而28ocodop= 3、答案：4 解析：設(shè)pbx=，則由切割線定理()2papb pcpbpbbc=+可得：()269x x=+，解得：3x =，12pc =，因為pa是切線，所以cpab= ，再利用公共角p可得：pabpca，所以papcabac=，即6 8412pa

23、acabpc= edoabmnc圖1poecdab- 12 - / 15 4、解析：（1）證明：abc是等腰三角形，且adbc ad是cab的平分線 ,ae af為o的切線 aeaf=，adef efbc （2）由（1）可知ad是ef的垂直平分線，又因為ef是o的弦 o在ad上 連結(jié),oe om，則由ae是切線可得oeae 設(shè)o的半徑為r，則agr= 22aoroe= 可得：3060eaoeaf= = aeaf= ,abcaef均為等邊三角形 2 3ae = 4,2aooer= 12,32omrdmmn= 1od=，從而5adaood=+= 10 33ab = ()22110 331316 32 3232223abcaefebcfsss=四邊形 5、答案：4 解析：由切割線定理可知：()24qaqc qdqcqccd=+=，從而4qa =，由q是pa中 點 可 得24paqa=， 再 由 切 線 長 相 等 可 得4pbpa= 6、解析：（1）證明：, , ,a b c d四點共圓 dcbe= cbce= cbee= gnmfbcaed- 13 - / 15 de= （2）證明：設(shè)bc中點為n，連結(jié)mn mbmc= mnbc o在直線mn上 m為ad中點，且ad不是o的直徑