高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)1 第1講　空間幾何體及其表面積、體積

1、1 / 23 第 1 講 空間幾何體及其表面積、體積 最新考綱 考向預(yù)測 1.利用實(shí)物、計算機(jī)軟件等觀察空間圖形，認(rèn)識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu) 2知道球、棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡單的實(shí)際問題 3能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合)的直觀圖 命題 趨勢 主要考查空間幾何體的表面積與體積常以選擇題與填空題為主，涉及空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，要求考生有較強(qiáng)的空間想象能力和計算能力，難度為中低檔. 核心 素養(yǎng) 直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算 1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 2 / 23 2直觀圖 (1

2、)畫法：常用斜二測畫法 (2)規(guī)則：原圖形中 x 軸、y 軸、z 軸兩兩垂直，直觀圖中，x軸，y軸的夾角為 45(或 135)，z軸與 x軸和 y軸所在平面垂直原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸平行于 x 軸和 z 軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于 y 軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?3圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式 圓柱 圓錐 圓臺 側(cè)面 展開圖 側(cè)面 積公式 s圓柱側(cè) 2rl s圓錐側(cè) rl s圓臺側(cè) (rr)l 4.空間幾何體的表面積與體積公式 表面積 體積 柱體 (棱柱和圓柱) s表面積s側(cè)2s底 vs底h 錐體 (棱錐和圓錐) s表面積s側(cè)s底

3、 v13s底h 臺體 (棱臺和圓臺) s表面積s側(cè) s上s下 v13(s上s下 s上s下)h 球 s4r2 v43r3 3 / 23 常用結(jié)論 1.特殊的四棱柱 四棱柱 底面為平行四邊形平行六面體 側(cè)棱垂直于底面直平行六面體 底面為矩形長方體 底面邊長相等正四棱柱側(cè)棱與底面邊長相等正方體 上述四棱柱有以下集合關(guān)系：正方體 正四棱柱 長方體 直平行六面體 平行六面體 四棱柱 2斜二測畫法中的“三變”與“三不變” “三變”坐標(biāo)軸的夾角改變，與y軸平行的線段的長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，圖形改變. “三不變”平行性不改變，與x軸，z軸平行的線段的長度不改變，相對位置不改變. 3正方體與球的切、接常用結(jié)論 正

4、方體的棱長為 a，球的半徑為 r， (1)若球?yàn)檎襟w的外接球，則 2r 3a； (2)若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則 2ra； (3)若球與正方體的各棱相切，則 2r 2a. 常見誤區(qū) 1求組合體的表面積時，組合體的銜接部分的面積問題易出錯 2與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接解題時要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖 1判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“”) (1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱( ) (2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐( ) (3)夾在兩個平行的平面之間，其余的面都是梯形，這樣的幾

5、何體一定是棱4 / 23 臺( ) (4)用兩平行平面截圓柱，夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱( ) (5)菱形的直觀圖仍是菱形( ) (6)多面體的表面積等于各個面的面積之和( ) (7)簡單組合體的體積等于組成它的簡單幾何體體積的和或差( ) (8)長方體既有外接球又有內(nèi)切球( ) 答案：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 2(多選)下列結(jié)論中正確的是( ) a由五個面圍成的多面體只能是三棱柱 b正棱臺的對角面一定是等腰梯形 c圓柱側(cè)面上的直線段都是圓柱的母線 d各個面都是正方形的四棱柱一定是正方體 解析：選 bcd.由五個面圍成的多面體可以是四棱錐，所以 a 選

6、項錯誤b，c，d說法均正確 3(易錯題)已知圓錐的表面積等于 12 cm2，其側(cè)面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為( ) a1 cm b2 cm c3 cm d.32 cm 解析：選 b.s表r2rlr2r2r3r212，所以 r24，所以 r2. 4如圖，長方體 abcd- a1b1c1d1的體積是 120，e 為 cc1的中點(diǎn)，則三棱錐 e- bcd的體積是_ 解析：設(shè)長方體中 bca，cdb，cc1c，則 abc120， 所以 vebcd1312ab12c112abc10. 答案：10 5用斜二測畫法畫水平放置的矩形的直觀圖，則直觀圖的面積與原矩形的5 / 23 面積之比為_ 解析：設(shè)

7、原矩形的長為 a，寬為 b，則其直觀圖是長為 a，高為b2 sin 4524b 的平行四邊形，所以s直觀s矩形24abab24. 答案：24 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 題組練透 1給出下列幾個命題： 在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線； 底面為正多邊形，且有相鄰兩個側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱； 棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等 其中正確命題的個數(shù)是( ) a0 b1 c2 d3 解析：選 b.不一定，只有這兩點(diǎn)的連線平行于旋轉(zhuǎn)軸時才是母線；正確；錯誤，棱臺的上、下底面是相似且對應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長不一定相等 2(多選)下列命題

8、，正確的有( ) a棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形 b若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個側(cè)面也兩兩垂直 c在四棱柱中，若兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱 d存在每個面都是直角三角形的四面體 解析：選 bcd.a 不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個側(cè)6 / 23 面都是平行四邊形，但不一定全等；b 正確，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則三個側(cè)面構(gòu)成的三個平面的二面角都是直二面角；c 正確，因?yàn)閮蓚€過相對側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；d 正確，如圖，正方體abcd- a1b1c1d1中的三棱錐 c1abc，四個面都是直角三角形 3如圖，將圓柱的側(cè)面沿母

9、線 aa1展開，得到一個長為 3，寬 aa1為 4的矩形，由點(diǎn) a 拉一根細(xì)繩繞圓柱側(cè)面兩周到達(dá) a1，線長的最小值為_(線粗忽略不計) 解析：設(shè) aa1的中點(diǎn)為 b，側(cè)面展開圖為矩形 acc1a1，cc1的中點(diǎn)為 b1，則繩長的最小值即為側(cè)面展開圖中的 ab1bc1，又 ab1bc1 924，所以繩長的最小值為 2 924. 答案：2 924 空間幾何體概念辨析問題的常用方法 空間幾何體的直觀圖 題組練透 1. 如圖是水平放置的正方形 abco，在直角坐標(biāo)系 xoy 中，點(diǎn) b 的坐標(biāo)為(2，2)，則由斜二測畫法畫出的正方形的直觀圖中，頂點(diǎn) b到 x軸的距離為( ) 7 / 23 a.22

10、b1 c. 2 d2 解析：選 a.利用斜二測畫法作正方形 abco 的直觀圖如圖所示， 在坐標(biāo)系 xoy中，|bc|1， xcb45 .過點(diǎn) b作 x軸的垂線，垂足為點(diǎn) d.在 rtbdc中， |bd|bc|sin 45 12222. 2一平面四邊形 oabc 的直觀圖 oabc如圖所示，其中 ocx，abx，bcy，則四邊形 oabc 的面積為 ( ) a.3 22 b3 2 c3 d.32 解析：選 b.平面四邊形 oabc 的直觀圖 oabc是直角梯形，其面積為12(12)132， 根據(jù)平面圖形與它的直觀圖面積比為 124， 得四邊形 oabc的面積為32243 2.故選 b. 3已知

11、等邊三角形 abc 的邊長為 a，那么abc 的平面直觀圖abc的面積為( ) a.34a2 b.38a2 c.68a2 d.616a2 8 / 23 解析：選 d.如圖所示的實(shí)際圖形和直觀圖， 由可知，ababa，oc12oc34a，在圖中作 cdab于d，則 cd22oc68a.所以 sabc12abcd12 a68a616a2.故選 d. 平面圖形與其直觀圖的關(guān)系 (1)在斜二測畫法中，要確定關(guān)鍵點(diǎn)及關(guān)鍵線段平行于 x 軸的線段平行性不變，長度不變；平行于 y 軸的線段平行性不變，長度減半 (2)按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系：s直觀圖24s原圖形 空間

12、幾何體的表面積與體積 角度一 空間幾何體的表面積 (1)(2021 河南周口模擬)如圖，在三棱柱 abc- a1b1c1中，aa1底面abc，abbc，aa1ac2，直線 a1c與側(cè)面 aa1b1b 所成的角為 30，則該三棱柱的側(cè)面積為( ) a44 2 b44 3 c12 d84 2 (2)(多選)(2021 山東濰坊期末)等腰直角三角形的直角邊長為 1，現(xiàn)將該三角形繞其某一邊旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何的表面積可以為( ) a. 2 b(1 2) c2 2 d(2 2) 9 / 23 【解析】 (1)連接 a1b.因?yàn)?aa1底面 abc，則 aa1bc，又 abbc，aa1aba，所以 b

13、c平面 aa1b1b，所以直線 a1c與側(cè)面 aa1b1b所成的角為ca1b30.又 aa1ac2，所以 a1c2 2，bc 2.又 abbc，則 ab 2，則該三角棱柱的側(cè)面積為 2 222244 2，故選 a. (2)如果繞直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)，那么形成圓錐，圓錐底面半徑為 1，高為1，母線長就是直角三角形的斜邊長 2，所以所形成的幾何體的表面積 srlr21 212( 21).如果繞斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)，那么形成的是同底的兩個圓錐，圓錐的底面半徑是直角三角形斜邊的高22，兩個圓錐的母線長都是 1，所以形成的幾何體的表面積 s2rl2221 2.綜上可知，形成幾何體的表面積是( 21)或 2.故

14、選 ab. 【答案】 (1)a (2)ab 三類幾何體表面積的求法 求多面體 的表面積 只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積. 求旋轉(zhuǎn)體 的表面積 可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長關(guān)系. 求不規(guī)則 幾何體的 表面積 通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積. 角度二 空間幾何體的體積 (1)如圖所示，已知三棱柱 abc- a1b1c1的所有棱長均為 1，且 aa1底面 abc，則三棱錐

15、 b1abc1的體積為( ) 10 / 23 a.312 b.34 c.612 d.64 (2)圖(1)是一種生活中常見的容器，其結(jié)構(gòu)如圖(2)，其中 abcd 是矩形，abfe 和 cdef 都是等腰梯形，且 ad平面 cdef.現(xiàn)測得 ab20 cm，ad15 cm，ef30 cm，ab與 ef 間的距離為 25 cm，則幾何體 ef- abcd的體積為( ) a2 500 cm3 b3 500 cm3 c4 500 cm3 d3 800 cm3 【解析】 (1)易知三棱錐 b1abc1的體積等于三棱錐 a- b1bc1的體積，又三棱錐 a- b1bc1的高為32，底面積為12，故其體積為

16、131232312.故選 a. (2)如圖，連接 ac，ec，af.因?yàn)?abcd 是矩形，所以 abcd.所以過點(diǎn) d 作 dgef，垂足為 g，連接 ag，則agef.由題意知，ag25 cm.因?yàn)?ad平面 cdef，所以addg.因?yàn)?ad15 cm，所以 dc 與 ef 間的距離 dg25215220(cm)因?yàn)?ef30 cm，abdc20 cm.所以 secd122020200(cm2)，sefc123020300(cm2)所以 vaedc13200151 000(cm3)，vaefc13300151 500(cm3)因?yàn)?vbafcvcafb11 / 23 23vcaef23v

17、acef231 5001 000(cm3)，所以幾何體 ef- abcd的體積 vefabcdvadcevaefcvbafc1 0001 5001 0003 500(cm3)故選 b. 【答案】 (1)a (2)b (1)處理體積問題的思路 (2)求體積的常用方法 直接法 對于規(guī)則的幾何體，利用相關(guān)公式直接計算 割補(bǔ)法 把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進(jìn)行體積計算；或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體，便于計算 等體 積法 選擇合適的底面來求幾何體體積，常用于求三棱錐的體積，即利用三棱錐的任一個面作為三棱錐的底面進(jìn)行等體積變換 1(2020 高考全國卷)

18、已知 a，b，c 為球 o 的球面上的三個點(diǎn)，o1為abc 的外接圓若o1的面積為 4，abbcacoo1，則球 o 的表面積為( ) a64 b48 c36 d32 解析：選 a.如圖所示，設(shè)球 o 的半徑為 r，o1的半徑為r，因?yàn)閛1的面積為 4，所以 4r2，解得 r2，又 abbcacoo1，所以absin 602r，解得 ab2 3，故 oo12 3，所以 r2oo21r2(2 3)22216，所以球 o 的表面積 s4r264.故選 a. 12 / 23 2在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為 40 cm，母線長最短50 cm，最長 80 cm，則斜截圓柱的側(cè)面面積 s_

19、cm2. 解析：將題圖所示的相同的兩個幾何體對接為圓柱，則圓柱的側(cè)面展開圖為矩形由題意得該斜截圓柱的側(cè)面面積 s12(5080)(40)2 600(cm2) 答案：2 600 3(2021 普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬)圓臺上、下底面的圓周都在一個直徑為 10 的球面上，其上、下底面半徑分別為 4 和 5，則該圓臺的體積為_ 答案：61 與球有關(guān)的接、切問題 (1)若直三棱柱 abc- a1b1c1的 6 個頂點(diǎn)都在球 o 的球面上，且 ab3，ac4，abac，aa112，則球 o 的表面積為_ (2)(2020 高考全國卷)已知圓錐的底面半徑為 1，母線長為 3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球

20、的體積為_ 【解析】 (1)將直三棱柱補(bǔ)形為長方體 abec- a1b1e1c1，則球 o 是長方體abec- a1b1e1c1的外接球所以體對角線 bc1的長為球 o的直徑 因此 2r 324212213. 故 s球4r2169. (2)圓錐內(nèi)半徑最大的球即為圓錐的內(nèi)切球，設(shè)其半徑為 r.作出圓錐的軸載面 pab，如圖所示，則pab 的內(nèi)切圓為圓錐的內(nèi)切球的大圓在pab 中，papb3，d 為 ab 的中點(diǎn)，ab2，e 為切點(diǎn)，則 pd2 2，peopdb，故popboedb，即2 2r3r1，解得 r22，故內(nèi)切球的體積為4322313 / 23 23. 【答案】 (1)169 (2)23

21、 處理球的“切”“接”問題的求解策略 解決與球有關(guān)的切、接問題，其通法是作截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題的思維流程是： 1(多選)已知 a，b，c 三點(diǎn)均在球 o 的表面上，abbcca2，且球心 o到平面 abc的距離等于球半徑的13，則下列結(jié)論正確的是( ) a球 o的表面積為 6 b球 o的內(nèi)接正方體的棱長為 1 c球 o的外切正方體的棱長為43 d球 o的內(nèi)接正四面體的棱長為 2 解析：選 ad.設(shè)球 o 的半徑為 r，abc 的外接圓圓心為 o，半徑為 r.易得 r2 33.因?yàn)榍蛐?o 到平面 abc 的距離等于球 o 半徑的13，所以 r219r243，得 r

22、232.所以球 o 的表面積 s4r24326，選項 a 正確；球 o 的14 / 23 內(nèi)接正方體的棱長 a 滿足 3a2r，顯然選項 b 不正確；球 o 的外切正方體的棱長 b滿足 b2r，顯然選項 c不正確；球 o的內(nèi)接正四面體的棱長 c滿足 c2 63r2 63622，選項 d正確 2設(shè)球 o 內(nèi)切于正三棱柱 abc- a1b1c1，則球 o 的體積與正三棱柱abc- a1b1c1的體積的比值為_ 解析：設(shè)球 o 半徑為 r，正三棱柱 abc - a1b1c1的底面邊長為 a，則 r33a236a，即 a2 3r，又正三棱柱 abc - a1b1c1的高為 2r，所以球 o 的體積與正

23、三棱柱 abc - a1b1c1的體積的比值為43r334a22r43r33412r22r2 327. 答案：2 327 高考新聲音系列 5 數(shù)學(xué)文化與立體幾何的交匯 縱觀近幾年高考，立體幾何以數(shù)學(xué)文化為背景的問題層出不窮，讓人耳目一新從中國古代數(shù)學(xué)文化中挖掘素材，考查立體幾何的有關(guān)知識，既符合考生的認(rèn)知水平又可以引導(dǎo)考生關(guān)注中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，并提升審題能力，增加對數(shù)學(xué)文化的理解，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng) 九章算術(shù)中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”如圖所示，平面四邊形 abcd 中，abadcd1，bd 2，bdcd.將平面四邊形 abcd 沿對角線 bd 折成一個“鱉臑”abcd，則該“

24、鱉臑”的內(nèi)切球的半徑為_ 【解析】 因?yàn)?adcd1，且acd為直角三角形，所以 cdad.又15 / 23 cdbd，bdadd，所以 cd平面 abd，所以 cdab.又由 abad1，bd 2，得 abad，且 adcdd，所以 ab平面 acd，所以 abac，由題意得 ac 2，設(shè)該“鱉臑”的內(nèi)切球的半徑為 r， 則13(sabc sacd sabd sbcd)r 13cdsabd， 所 以1322121222r13112，解得 r212. 【答案】 212 求解與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的立體幾何問題，首先要在閱讀理解上下功夫，明確其中一些概念的意義，如“斬堵”“陽馬” 和“鱉臑”等的特征是求

25、解相關(guān)問題的前提，其次目標(biāo)要明確，根據(jù)目標(biāo)聯(lián)想相關(guān)公式，然后進(jìn)行求解 魏晉時期數(shù)學(xué)家齊徽在他的著作九章算術(shù)注中，稱一個正方體內(nèi)兩個互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”劉徽通過計算得知正方體的內(nèi)切球的體積與“牟合方蓋”的體積之比應(yīng)為4.若正方體的棱長為 2，則“牟合方蓋”的體積為( ) a16 b16 3 c.163 d.1283 解析：選 c.若正方體的棱長為 2，則其內(nèi)切球的半徑 r1，所以正方體的內(nèi)切球的體積 v球431343.又已知v球v牟合方蓋4，所以 v牟合方蓋443163.故選 c. a級 基礎(chǔ)練 1下列命題是真命題的是( ) a有兩個側(cè)面是矩形的四棱柱是直四棱柱 b正四

26、面體是特殊的正四棱柱 16 / 23 c有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的多面體叫做棱錐 d正四棱柱是平行六面體 解析：選 d.a 項，當(dāng)兩個側(cè)面是矩形且相鄰時，四棱柱是直四棱柱，當(dāng)兩個側(cè)面是矩形且不相鄰時，四棱柱不是直四棱柱，故 a 項錯誤；b 項，正四面體是三棱錐，故 b 項錯誤；c 項，棱錐是有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點(diǎn)的三角形的幾何體，故 c 項錯誤；d 項，正四棱柱是平行六面體，故 d項正確故選 d. 2已知圓柱的軸截面是邊長為 2 的正方形，且該圓柱的內(nèi)切球 o1的表面積為 s1，該圓柱的上、下底面的圓周都在球 o2上，球 o2的表面積為 s2，則s1s2( )

27、 a1 2 b12 c. 21 d21 解析：選 b.設(shè)球 o1和球 o2的半徑分別為 r，r，因?yàn)樵搱A柱的軸截面是邊長為 2 的正方形，所以 r1，r 2，所以s1s2rr212212，故選 b. 3如圖所示，在三棱臺 abcabc中，沿 abc截去三棱錐 aabc，則剩余的部分是( ) a三棱錐 b四棱錐 c三棱柱 d組合體 解析：選 b.如圖所示，在三棱臺 abcabc 中，沿abc截去三棱錐 aabc，剩余部分是四棱錐 abccb. 4.如圖是一個實(shí)心金屬幾何體的直觀圖，它的中間是高 l 為6124的圓柱，上、下兩端均是半徑 r 為 2 的半球，若將該實(shí)心金屬幾何體在熔爐中高溫熔化(不

28、考慮過程中的原料損失)，熔成一個實(shí)心球，則該球的直徑為( ) a3 b4 c5 d6 17 / 23 解析：選 c.設(shè)實(shí)心球的半徑為 r，實(shí)心金屬幾何體的體積 v43r3r2l438461241256.因?yàn)?3r31256，所以 r52，所以該球的直徑為 2r5. 5(2020 高考全國卷)已知abc 是面積為9 34的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球 o 的球面上，若球 o的表面積為 16，則 o 到平面 abc的距離為( ) a. 3 b.32 c1 d.32 解析：選 c.由等邊三角形 abc 的面積為9 34，得34ab29 34，得 ab3，則abc 的外接圓半徑 r2332ab33ab

29、3.設(shè)球的半徑為 r，則由球的表面積為 16，得 4r216，得 r2，則球心 o到平面 abc的距離 dr2r21，故選 c. 6有一個長為 5 cm，寬為 4 cm 的矩形，則其直觀圖的面積為_ 解析：由于該矩形的面積 s5420(cm2)，所以其直觀圖的面積 s24s5 2(cm2) 答案：5 2 cm2 7一個圓臺上、下底面的半徑分別為 3 cm 和 8 cm，若兩底面圓心的連線長為 12 cm，則這個圓臺的母線長為_cm. 解析：如圖，過點(diǎn) a作 acob，交 ob于點(diǎn) c. 在 rtabc中，ac12 cm，bc835(cm) 所以 ab 1225213(cm) 答案：13 18

30、/ 23 8如圖，在四棱錐 p- abcd 中，四邊形 abcd 是邊長為 2 的正方形，且papbpcpd，已知四棱錐的表面積是 12，則它的體積為_ 解析：由題意可知四棱錐 pabcd 為正四棱錐，如圖所示，設(shè) ac 交 bd于點(diǎn) o，連接 po，則 po 是四棱錐的高設(shè)正四棱錐的斜高為 h，則 224122h12， 解得 h2， 則正四棱錐的高 po2212 3. 所以正四棱錐的體積 v134 34 33. 答案：4 33 9.現(xiàn)需要設(shè)計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形狀 是 正 四 棱 錐 p- a1b1c1d1， 下 部 的 形 狀 是 正 四 棱 柱abcd- a1b1c1d

31、1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高 o1o 是正四棱錐的高 po1的 4 倍，若 ab6 m，po12 m，則倉庫的容積是多少？ 解：由 po12 m，知 o1o4po18 m. 因?yàn)?a1b1ab6 m，所以正四棱錐 p- a1b1c1d1的體積 v錐13 a1b21po11362224(m3)； 正四棱柱 abcd- a1b1c1d1的體積 v柱ab2o1o628288(m3)， 所以倉庫的容積 vv錐v柱24288312(m3) 故倉庫的容積是 312 m3. 10.如圖，四邊形 abcd 為菱形，g 為 ac 與 bd 的交點(diǎn)，19 / 23 be平面 abcd. (1)證明：平面 a

32、ec平面 bed； (2)若abc120，aeec，三棱錐 e- acd 的體積為63，求該三棱錐的側(cè)面積 解：(1)證明：因?yàn)樗倪呅?abcd 為菱形，所以 acbd. 因?yàn)?be平面 abcd，所以 beac.因?yàn)?bebdb，be，bd平面bed，故 ac平面 bed. 又 ac平面 aec， 所以平面 aec平面 bed. (2)設(shè) abx，在菱形 abcd 中，由abc120，可得 aggc32x，gbgdx2. 因?yàn)?aeec，所以在 rtaec中，可得 eg32x. 由 be平面 abcd，知ebg 為直角三角形，可得 be22x. 由已知得，三棱錐 e- acd 的體積 v三棱

33、錐e- acd1312 ac gd be624x363，故 x2. 從而可得 aeeced 6. 所以eac 的面積為 3，ead 的面積與ecd的面積均為 5. 故三棱錐 e- acd的側(cè)面積為 32 5. b級 綜合練 11(多選)(2021 山東青島一模)已知四棱臺 abcd- a1b1c1d1的上、下底面均為正方形，其中 ab2 2，a1b1 2，aa1bb1cc12，則下列結(jié)論正確的是( ) 20 / 23 a該四棱臺的高為 3 baa1cc1 c該四棱臺的表面積為 26 d該四棱臺外接球的表面積為 16 解析：選 ad.根據(jù)題意將四棱臺補(bǔ)成四棱錐如圖所示，由題易知點(diǎn) s 在平面 a

34、1b1c1d1和平面 abcd 的射影分別為點(diǎn) o1，o，連接 os，oa，則 o1在 os 上由于 ab2 2，a1b12，可知sa1b1與sab 的相似比為 12，則 sa2aa14，ao2，則 so2 3，則 oo1 3，故該四棱臺的高為 3，a 正確；因?yàn)閟ascac4，所以 aa1與 cc1的夾角為 60，不垂直，b 錯誤；該四棱臺的表面積 ss上底s下底s側(cè)284（ 22 2）2 22222106 7，c 錯誤；由于四棱臺的上、下底面都是正方形，則外接球的球心在線段oo1上，在平面 b1boo1上，由于 oo1 3，b1o11，則 ob12ob，即點(diǎn)o 到點(diǎn) b 與點(diǎn) b1的距離相

35、等，故點(diǎn) o 是外接球球心，外接球半徑 rob2，故該四棱臺外接球的表面積為 16，d正確故選 ad. 12(多選)將正三棱錐 p- abc 置于水平反射鏡面上，得一“倒影三棱錐”p- abc- q，如圖下列關(guān)于該“倒影三棱錐”的說法中，正確的有( ) apq平面 abc b若 p，a，b，c在同一球面上，則 q也在該球面上 c若該“倒影三棱錐”存在外接球，則 ab 2pa d若 ab62pa，則 pq的中點(diǎn)必為“倒影三棱錐”外接球的球心 解析：選 ad.由“倒影三棱錐”的幾何特征可知 pq平面 abc，a正確；當(dāng) p，a，b，c 在同一球面上時，若abc 的外接圓不是球的最大圓，則點(diǎn) q21

36、 / 23 不在該球面上，b 錯誤；若該“倒影三棱錐”存在外接球，則三棱錐 p- abc 的外接球的半徑與等邊三角形 abc外接圓的半徑相等，設(shè)其為 r，則 ab 3r，pa 2r，則 ab62pa，c 錯誤；由 c 的推導(dǎo)可知該“倒影三棱錐”外接球的球心為abc的中心，即 pq的中點(diǎn)，d正確，故選 ad. 13(多選)(2020 山東濟(jì)南二模)已知圓錐的頂點(diǎn)為 p，母線長為 2，底面半徑為 3，a，b 為底面圓周上兩個動點(diǎn)(a 與 b 不重合)，則下列說法正確的是( ) a圓錐的體積為 b三角形 pab為等腰三角形 c三角形 pab面積的最大值為 3 d直線 pa與圓錐底面所成角的大小為6 解析：選 abd.如圖所示，點(diǎn) o 為點(diǎn) p 在圓錐底面上的射影，連接 oa，ob.po22（ 3）21，圓錐的體積 v13( 3