高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第3節(jié)　二項(xiàng)式定理

1、1 / 13 第 3節(jié) 二項(xiàng)式定理 知 識(shí) 梳 理 1二項(xiàng)式定理 (1)二項(xiàng)式定理：(ab)nc0nanc1nan1bcrnanrbrcnnbn(nn*)； (2)通項(xiàng)公式：tr1crnanrbr，它表示第 r1項(xiàng)； (3)二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù) c0n，c1n，cnn. 2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 性質(zhì) 性質(zhì)描述 對(duì)稱性 與首末等距離的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即 ckncnkn 增減性 二項(xiàng)式 系數(shù)ckn 當(dāng) kn12(nn*)時(shí)，是遞增的 當(dāng) kn12(nn*)時(shí)，是遞減的 二項(xiàng)式系數(shù) 最大值 當(dāng) n為偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng) cn2n取得最大值 當(dāng) n為奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng) cn12n與 cn1

2、2n取得最大值 3.各二項(xiàng)式系數(shù)和 (1)(ab)n展開(kāi)式的各二項(xiàng)式系數(shù)和：c0nc1nc2ncnn2n (2)偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即 c0nc2nc4nc1nc3nc5n2n1 1二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是完全不同的兩個(gè)概念二項(xiàng)式系數(shù)是指 c0n，c1n，cnn，它只與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而與 a，b 的值無(wú)關(guān)；而項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而且也與 a，b 的值有關(guān) 2因?yàn)槎?xiàng)式定理中的字母可取任意數(shù)或式，所以在解題時(shí)根據(jù)題意給字母賦值是求解二項(xiàng)展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和的一種重要方法賦值法求展開(kāi)式中的系數(shù)和或2 / 13 部分系數(shù)和，常賦的值

3、為 0， 1. 診 斷 自 測(cè) 1判斷下列說(shuō)法的正誤 (1)cknankbk是二項(xiàng)展開(kāi)式的第 k 項(xiàng)( ) (2)二項(xiàng)展開(kāi)式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為中間一項(xiàng)或中間兩項(xiàng)( ) (3)(ab)n的展開(kāi)式中某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與 a，b 無(wú)關(guān)( ) (4)(ab)n某項(xiàng)的系數(shù)是該項(xiàng)中非字母因數(shù)部分，包括符號(hào)等，與該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)不同( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 解析 二項(xiàng)式展開(kāi)式中 cknankbk是第 k1 項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間一項(xiàng)或中間兩項(xiàng)，故(1)(2)均不正確 2(2020 北京卷)在( x2)5的展開(kāi)式中，x2的系數(shù)為( ) a5 b5 c10 d10 答案 c 解析 tr

4、1cr5( x)5r(2)rcr5x5r2 (2)r， 令5r22，r1.x2的系數(shù)為 c15(2)110.故選 c. 3(選修 23p35練習(xí) t1(3)改編) c02 019c12 019c22 019c2 0192 019c02 018c22 018c42 018c2 0182 018的值為( ) a2 b4 c2 019 d2 0182 019 答案 b 解析 原式22 01922 0181224. 4(1x)n的二項(xiàng)展開(kāi)式中，僅第 6項(xiàng)的系數(shù)最大，則 n _ 答案 10 解析 (1x)n的二項(xiàng)式展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)就是項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，所以n216，n10. 3 / 13 5(2020

5、全國(guó)卷)x22x6的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是_(用數(shù)字作答) 答案 240 解析 x22x6的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 tr1cr6(x2)6r2xrcr62rx123r，令 123r0，解得 r4，得常數(shù)項(xiàng)為 c4624240. 6(2021 嘉興測(cè)試)已知(2x2)(1ax)3的展開(kāi)式的所有項(xiàng)系數(shù)之和為 27，則實(shí)數(shù) a_，展開(kāi)式中含 x2的項(xiàng)的系數(shù)是_ 答案 2 23 解析 由已知可得(212)(1a)327，則 a2，(2x2)(1ax)3(2x2)(12x)3(2x2)(16x12x28x3)，展開(kāi)式中含 x2的項(xiàng)的系數(shù)是 212123. 考點(diǎn)一 求展開(kāi)式中的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù) 【例 1】 (1

6、)(2020 全國(guó)卷)xy2x(xy)5的展開(kāi)式中 x3y3的系數(shù)為( ) a5 b10 c15 d20 (2)(2019 浙江卷)在二項(xiàng)式( 2x)9的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是_，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是_(3)(2021 湖州適應(yīng)性考試)在(1x)5(1x)6(1x)18(1x)19的展開(kāi)式中，含 x3的項(xiàng)的系數(shù)是( ) a4 840 b4 840 c3 871 d3 871 答案 (1)a (2)16 2 5 (3)b 解析 (1)法一 xy2x(xy)5xy2x(x55x4y10 x3y210 x2y35xy4y5)， x3y3的系數(shù)為 10515. 法二 當(dāng) xy2x中取 x 時(shí)，x3y3

7、的系數(shù)為 c35， 當(dāng) xy2x中取y2x時(shí)，x3y3的系數(shù)為 c15， x3y3的系數(shù)為 c35c1510515.故選 c. (2)由二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可知 tr1cr9 ( 2)9r xr，rn，0r9， 當(dāng)為常數(shù)項(xiàng)時(shí)，r0，t1c09 ( 2)9 x0( 2)916 2. 4 / 13 當(dāng)項(xiàng)的系數(shù)為有理數(shù)時(shí)，9r 為偶數(shù)， 可得 r1，3，5，7，9，即系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是 5. (3)由題意得含 x3的項(xiàng)的系數(shù)為c35c36c318c319(c45c35c36c318c319c45)(c46c36c318c319c45)(c420c45)4 840，故選 b. 感悟升華 (1)二

8、項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類問(wèn)題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方程來(lái)確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中 n 和 r 的隱含條件，即 n，r 均為非負(fù)整數(shù)，且 nr，如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求的項(xiàng) (2)求兩個(gè)多項(xiàng)式的積的特定項(xiàng)，可先化簡(jiǎn)或利用分類加法計(jì)數(shù)原理討論求解 (3)多項(xiàng)式的展開(kāi)式可化為二項(xiàng)式展開(kāi) 【訓(xùn)練 1】 (1)(一題多解)(x2xy)5的展開(kāi)式中，x5y2的系數(shù)為( ) a10 b20 c30 d60 (2)(2021 臺(tái)州期末評(píng)估)在x32x1x4的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為( ) a28 b28 c

9、56 d56 (3)若(2x1)5a0a1(x1)a2(x1)2a3(x1)3a4(x1)4a5(x1)5，則 a4( ) a32 b32 c80 d80 答案 (1)c (2)a (3)c 解析 (1)法一 (x2xy)5(x2x)y5， 含 y2的項(xiàng)為 t3c25(x2x)3 y2. 其中(x2x)3中含 x5的項(xiàng)為 c13x4 xc13x5. 所以 x5y2的系數(shù)為 c25c1330. 法二 (x2xy)5表示 5個(gè) x2xy 之積 x5y2可從其中 5 個(gè)因式中選兩個(gè)因式取 y，兩個(gè)取 x2，一個(gè)取 x.因此 x5y2的系數(shù)為 c25c23c1130. (2)x32x1x4的展開(kāi)式的通

10、項(xiàng)為 tr1cr4 xr (x32x)4r.而(x32x)4r的通項(xiàng)為5 / 13 tk1ck4r (x3)4rk (2x)k(2)k ck4r x123r2k(k4r)，則x32x1x4的展開(kāi)式的通項(xiàng)為(2)k cr4 ck4r x124r2k.令 124r2k0，可得 k0，r3 或 k2，r2.x32x1x4的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為 c34c014c24c2228，故選 a. (3)因?yàn)?2x1)512(x1)5的展開(kāi)式的通項(xiàng)為 tr1cr5 (1)5r 2(x1)r(1)5r 2r cr5 (x1)r，所以 a4(1)1 24 c4580，故選 c. 考點(diǎn)二 二項(xiàng)式系數(shù)的和與各項(xiàng)的系數(shù)和問(wèn)題

11、 【例 2】 (1)(2021 金華十校模擬)已知 ar，若二項(xiàng)式(a x1)n的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和是 16，所有項(xiàng)系數(shù)和是 81，則 n_；含 x 項(xiàng)的系數(shù)是_ (2)(2021 溫州適應(yīng)性考試)若 x6a0a1(x1)a5(x1)5a6(x1)6，則 a0a1a2a3a4a5a6_，a5_ (3)若(32x)10a0a1xa2x2a3x3a10 x10，則 a12a23a34a410a10_ 答案 (1)4 24或 96 (2)0 6 (3)20 解析 (1)二項(xiàng)式(a x1)n的二項(xiàng)式系數(shù)為 2n16，解得 n4，則二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng) tr1cr4(a x)4r1ra4rcr4x4r

12、2.令4r21，解得 r2.令 x1 得所有項(xiàng)的系數(shù)和為(a1)481，解得 a2 或 a4，則展開(kāi)式中含 x 項(xiàng)的系數(shù)為22c2424 或(4)2c2496. (2)令 x0得 a0a1a2a3a4a5a6060，x6(x1)16的展開(kāi)式的通項(xiàng)為(1)rcr6(x1)6r，則 a5(1)1c166. (3)對(duì)原等式兩邊求導(dǎo)，得20(32x)9a12a2x3a3x210a10 x9，令 x1，得 a12a23a34a410a1020. 感悟升華 (1)“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對(duì)形如(axb)n、(ax2bxc)m (a，br)的式子求其展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只

13、需令 x1即可；對(duì)形如(axby)n (a，br)的式子求其展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令 xy1即可 6 / 13 (2)若 f(x)a0a1xa2x2anxn，則 f(x)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為 f(1)，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為 a0a2a4f（1）f（1）2，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為 a1a3a5f（1）f（1）2. 【訓(xùn)練 2】 (1)若(x22x3)n的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為 256，則 n_，含 x2項(xiàng)的系數(shù)是_(用數(shù)字作答) (2)設(shè)(x2)5a0a1(x1)a2(x1)2a5(x1)5，則 a0_，a12a23a34a45a5_ (3)若3x3xn的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值之和大于 10

14、0，則 n的最小值為_(kāi)；當(dāng) n 取最小值時(shí)，該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是_ 答案 (1)4 108 (2)243 80 (3)4 12 解析 (1)令 x1，則有(4)n256，解得 n4，所以(x22x3)n(x22x3)4(x3)4(x1)4，所以 x2項(xiàng)的系數(shù)是 c24(3)2c24(3)4c34(3)3c14108. (2)令 x1 得 a0(12)5243.二項(xiàng)式(x2)5可以寫(xiě)為(x1)35，則 a1c45(3)4405，a2c35(3)3270，a3c25(3)290，a4c15(3)115，a5c05(3)01，則 a12a23a34a45a54052(270)3904 (15)518

15、0. (3)二項(xiàng)式3x3xn的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值之和等于二項(xiàng)式3x3xn的展開(kāi)式中的所有項(xiàng)的系數(shù)之和，令 x1 得二項(xiàng)式3x3xn的展開(kāi)式中的所有項(xiàng)的系數(shù)之和，即二項(xiàng)式3x3xn的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值之和為4n，由 4n100 得 n4(nn*)，所以 n 的最小值為 4，當(dāng) n4 時(shí)，二項(xiàng)式3x3x4的展開(kāi)式的通項(xiàng)為 tr1cr43x4r(3x)r(1)r34rcr4x4r34，令4r340 得 r3，則該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為(1)3343 c3412. 考點(diǎn)三 “楊輝三角”與“萊布尼茲三角” 7 / 13 【例 3】 在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝 1261 年所著的詳解九章算法一書(shū)

16、里出現(xiàn)了如圖所示的數(shù)表，表中除 1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)之和利用這一性質(zhì)，c36_，c47_(用數(shù)字作答) 答案 20 35 解析 c36101020，c47201535. 感悟升華 (1)要注意“楊輝三角”每行中不為 1 的數(shù)等于它上一行它的“肩上”兩數(shù)之和 (2)“萊布尼茲三角”每個(gè)數(shù)等于它的“腋下”兩數(shù)之和 【訓(xùn)練 3】 德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲發(fā)現(xiàn)了如圖所示的單位分?jǐn)?shù)三角形(單位分?jǐn)?shù)是指分子為 1，分母為正整數(shù)的分?jǐn)?shù))，稱為萊布尼茲三角形根據(jù)前 5 行的規(guī)律，則第 6 行的左起第 3個(gè)數(shù)為_(kāi) 答案 160 解析 由圖中規(guī)律可知，第六行的第一個(gè)數(shù)和最后一個(gè)數(shù)都是16，第二個(gè)數(shù)加1

17、6等于15，所以第二個(gè)數(shù)為1516130，同理第三個(gè)數(shù)加上130等于120，所以第三個(gè)數(shù)為120130160. 基礎(chǔ)鞏固題組 一、選擇題 8 / 13 1(2021 衢州質(zhì)檢)二項(xiàng)式(12x)4展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)的和為( ) a81 b80 c27 d26 答案 a 解析 令 x1 得二項(xiàng)式(12x)4的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為(12)481，故選 a. 2(2021 柯橋區(qū)調(diào)研)若3x1xn的展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)，則 n 的值可以是( ) a8 b9 c10 d12 答案 c 解析 二項(xiàng)式3x1xn的展開(kāi)式的通項(xiàng)為 crn(3x)nr1xrcrnx2n5r6，當(dāng) n10，r4時(shí)，為常數(shù)項(xiàng)，故選 c

18、. 3已知ax1x5的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為 32，則展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為( ) a270 x1 b270 x c405x3 d243x5 答案 b 解析 令 x1，則(a1)532，解得 a3，即3x1x5的展開(kāi)式中共有 6 項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)為正數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)，所以比較奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)，分別為 c05(3x)5243x5，c25(3x)31x2270 x，c45(3x)1x415x3，所以系數(shù)最大的項(xiàng)為 270 x，故選 b. 4(2021 杭州市質(zhì)檢)在我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作詳解九章算法中，記載著如圖所示的一張數(shù)表，表中除 1 以外的每一個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)之和如：633，則這個(gè)表格中第 8

19、 行第 6個(gè)數(shù)是( ) 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 9 / 13 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 a21 b28 c35 d56 答案 a 解析 由表易得表的第 n1 行的各數(shù)依次是二項(xiàng)式(ab)n的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)，則第 8 行第 6個(gè)數(shù)為 c5721，故選 a. 5(2021 紹興一中適考)若(1x)2 019a0a1(x1)a2 019(x1)2 019，xr，則 a1 3a2 32a2 019 32 019的值為( ) a122 019 b122 019 c122 019 d122 019 答案 a 解析 由(1x)2 019a0a1(x1)a2 019(

20、x1)2 019，令 x1 得 a022 019；令 x2 得 a0a1 3a2 32a2 019 32 0191，即 a1 3a2 32a2 019 32 019122 019，故選 a. 6(2021 寧波期末)已知二項(xiàng)式xa3xn展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為 32，常數(shù)項(xiàng)為 80，則 a 的值為( ) a1 b 1 c2 d 2 答案 c 解析 二項(xiàng)式xa3xn的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為 2n32，解得 n5，則二項(xiàng)式xa3x5的展開(kāi)式的通項(xiàng)為 cr5( x)5ra3xrarcr5x155r6.令155r60，解得 r3，則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為 a3c3580，解得 a2，故選 c. 7設(shè)(2x

21、)5a0a1xa2x2a5x5，那么(a1a3a5)2(a0a2a4)2的值為( ) a32 b32 c243 d243 答案 d 解析 (2x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5， 10 / 13 令 x1，有 a0a1a51， 再令 x1，有 a0a1a535243， (a1a3a5)2(a0a2a4)2(a0a2a4a1a3a5)(a0a2a4a1a3a5)243. 8(x2x1)10展開(kāi)式中 x3項(xiàng)的系數(shù)為( ) a210 b210 c30 d30 答案 a 解析 (x2x1)10(x2x)110的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 tr1cr10(x2x)10r，對(duì)于(x2x)10r的通項(xiàng)

22、公式為 tr1(1)rcr10rx202rr.令 202rr3，根據(jù)0r10r，r，rn，解得r8，r1或r7，r3，(x2x1)10展開(kāi)式中 x3項(xiàng)的系數(shù)為 c810c12(1)c710c33(1)90120210. 二、填空題 9(2020 浙江卷)二項(xiàng)展開(kāi)式(12x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，則 a4_，a1a3a5_ 答案 80 122 解析 由題意，得 a4c452451680. 當(dāng) x1 時(shí)，(12)5a0a1a2a3a4a535243， 當(dāng) x1時(shí)，(12)5a0a1a2a3a4a51. ，得 2(a1a3a5)243(1)244， 可得 a1a3a5122.

23、 10(2021 溫州適應(yīng)性測(cè)試)若ax21x5展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為 5，則 a_，含 x5的項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi) 答案 1 10 解析 二項(xiàng)式ax21x5的展開(kāi)式的通項(xiàng)為 tr1cr5(ax2)5r1xra5r cr5x205r2，令205r20，得 r4，則二項(xiàng)式ax21x5的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為 a54c4511 / 13 5，解得 a1，令205r25，得 r2，則二項(xiàng)式x21x5的展開(kāi)式中含 x5的項(xiàng)的系數(shù)為 c2510. 11若將函數(shù) f(x)x5表示為 f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5，其中a0，a1，a2，a5為實(shí)數(shù)，則 a3_(用數(shù)字作答) 答案 10 解析 f(x)x

24、5(1x1)5，展開(kāi)式的通項(xiàng)為 tk1ck5(1x)5k (1)k，令 5k3，則 k2，t3c25(1x)3(1)210(1x)3，a310. 12若(1xx2)6a0a1xa2x2a12x12，則 a0_；a2a4a12_(用數(shù)字作答) 答案 1 364 解析 令 x1，得 a0a1a2a1236，令 x1，得 a0a1a2a121，a0a2a4a123612.令 x0，得 a01，a2a4a1236121364. 13(2017 浙江卷)已知多項(xiàng)式(x1)3(x2)2x5a1x4a2x3a3x2a4xa5，則a4_，a5_ 答案 16 4 解析 令 x0，得 a5(01)3(02)24，

25、 而(x1)3(x2)2(x1)3(x1)22(x1)1 (x1)52(x1)4(x1)3； 則 a4c452c34c2358316. 14c127c227c2727除以 9 的余數(shù)為_(kāi) 答案 7 解析 c127c227c27272271891 (91)91c0999c1998c899c991 9(c0998c1997c89)2. c0998c1997c89是整數(shù)， 余數(shù)為 7. 能力提升題組 12 / 13 15已知(x1)10a1a2xa3x2a11x10.若數(shù)列 a1，a2，a3，ak(1k11，kn*)是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列，則 k 的最大值是( ) a5 b6 c7 d8 答案 b 解析 由二項(xiàng)式定理知 ancn110(n1，2，3，n)又(x1)10展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是第 6 項(xiàng)a6c510，則 k 的最大值為 6. 16設(shè) az，且 0a13，若 512 020a 能被 13 整除，則 a( ) a0 b1 c11 d12 答案 d 解析 512 020a(521)2 020ac02 020 522 020c12 020 522 019c22 020 522 018c2 0192 020 521a 能被 13 整除，且 0a13，1a 能被 13 整除，故 a12. 17在(1x)6(1y)4的展開(kāi)式中，記 xmyn項(xiàng)的系數(shù)為 f(m，n)，則 f(3，0)