高考數(shù)學一輪復習第3節(jié)　空間點、直線、平面之間的位置關系

1、1 / 20 第 3 節(jié) 空間點、直線、平面之間的位置關系 知 識 梳 理 1平面的基本性質(zhì) (1)公理 1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi) (2)公理 2：過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面 (3)公理 3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線 2空間點、直線、平面之間的位置關系 直線與直線 直線與平面 平面與平面 平行關系 圖形 語言 符號 語言 ab a 相交關系 圖形 語言 符號 語言 aba aa l 獨有關系 圖形 語言 符號 語言 a，b是異面直線 a 3.平行公理(公理 4)和等角定理 平行公理：平行于同一條直

2、線的兩條直線互相平行 等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補 4異面直線所成的角 2 / 20 (1)定義：設 a，b 是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點 o 作直線 aa，bb，把a與 b所成的銳角(或直角)叫做異面直線 a與 b 所成的角(或夾角) (2)范圍：0，2 1異面直線易誤解為“分別在兩個不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線”，實質(zhì)上兩異面直線不能確定任何一個平面，因此異面直線既不平行，也不相交 2直線與平面的位置關系在判斷時最易忽視“線在面內(nèi)” 3兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個三角形的內(nèi)角時，容易忽視這個三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補角

3、 診 斷 自 測 1判斷下列說法的正誤 (1)兩個平面 ， 有一個公共點 a，就說 ， 相交于過 a 點的任意一條直線( ) (2)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面( ) (3)如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合( ) (4)若直線 a不平行于平面 ，且 a，則 內(nèi)的所有直線與 a異面( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 解析 (1)如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線，故錯誤 (3)如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面相交或重合，故錯誤 (4)由于 a不平行于平面 ，且 a，則 a與平面 相交，故平面 內(nèi)有與 a相交的直線，故錯誤 2

4、(必修 2p52b1(2)改編)如圖所示，在正方體 abcda1b1c1d1中，e，f 分別是 ab，ad 的中點，則異面直線 b1c與 ef所成的角的大小為( ) 3 / 20 a30 b45 c60 d90 答案 c 解析 連接 b1d1，d1c，則 b1d1ef，故d1b1c 為所求的角又 b1d1b1cd1c，d1b1c60 . 3在下列命題中，不是公理的是( ) a平行于同一個平面的兩個平面相互平行 b過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面 c如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在此平面內(nèi) d如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共

5、直線 答案 a 解析 選項 a是面面平行的性質(zhì)定理，是由公理推證出來的 4已知直線 a，b 分別在兩個不同的平面 ， 內(nèi)，則“直線 a 和直線 b 相交”是“平面 和平面 相交”的( ) a充分不必要條件 b必要不充分條件 c充要條件 d既不充分也不必要條件 答案 a 解析 由題意知 a，b，若 a，b 相交，則 a，b 有公共點，從而 ， 有公共點，可得出 ， 相交；反之，若 ， 相交，則 a，b 的位置關系可能為平行、相交或異面因此“直線 a和直線 b相交”是“平面 和平面 相交”的充分不必要條件 5若直線 ab，且直線 a平面 ，則直線 b 與平面 的位置關系是_ 答案 b 與 相交或

6、b或 b 6如圖所示，平面 ， 兩兩相交，a，b，c 為三條交線，且 ab，則 a與 c的位置關系是_；b 與 c 的位置關系是_ 4 / 20 答案 ac bc 考點一 平面的基本性質(zhì)及應用 【例 1】 如圖所示，在正方體 abcda1b1c1d1中，e，f 分別是 ab，aa1的中點求證： (1)e，c，d1，f四點共面； (2)ce，d1f，da三線共點 證明 (1)如圖，連接 ef，cd1，a1b.e，f 分別是 ab，aa1的中點，efa1b. 又 a1bcd1，efcd1， e，c，d1，f四點共面 (2)efcd1，efcd1， ce與 d1f必相交， 設交點為 p， 則由 pc

7、e，ce平面 abcd，得 p平面 abcd.同理 p平面 add1a1. 又平面 abcd平面 add1a1da，p直線 da.ce，d1f，da三線共點 感悟升華 (1)證明線共面或點共面的常用方法 5 / 20 直接法，證明直線平行或相交，從而證明線共面 納入平面法，先確定一個平面，再證明有關點、線在此平面內(nèi) 輔助平面法，先證明有關的點、線確定平面 ，再證明其余元素確定平面 ，最后證明平面 ， 重合 (2)證明點共線問題的常用方法 基本性質(zhì)法，一般轉(zhuǎn)化為證明這些點是某兩個平面的公共點，再根據(jù)基本性質(zhì)3 證明這些點都在這兩個平面的交線上 納入直線法，選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其余點

8、也在該直線上 【訓練 1】 如圖所示，四邊形 abef 和 abcd 都是梯形，bc 綉12ad，be 綉12fa，g，h 分別為 fa，fd的中點 (1)證明：四邊形 bchg是平行四邊形； (2)c，d，f，e四點是否共面？為什么？ (1)證明 由已知 fgga，fhhd，可得 gh綉12ad.又 bc綉12ad， gh綉 bc， 四邊形 bchg為平行四邊形 (2)解 be綉12af，g 為 fa 的中點，be綉 fg， 四邊形 befg為平行四邊形，efbg. 由(1)知 bg綉 ch，efch，ef與 ch共面 又 dfh，c，d，f，e四點共面 考點二 判斷空間兩直線的位置關系 【

9、例 2】 (1)(一題多解)若直線 l1和 l2是異面直線，l1在平面 內(nèi)，l2在平面 內(nèi)，l 是平面 與平面 的交線，則下列命題正確的是( ) 6 / 20 al 與 l1，l2都不相交 bl 與 l1，l2都相交 cl 至多與 l1，l2中的一條相交 dl 至少與 l1，l2中的一條相交 (2)如圖，g，h，m，n 分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線gh，mn 是異面直線的圖形有_(填上所有正確答案的序號) 答案 (1)d (2) 解析 (1)法一 由于 l 與直線 l1，l2分別共面，故直線 l 與 l1，l2要么都不相交，要么至少與 l1，l2中的一條相交 若 ll1，ll

10、2，則 l1l2，這與 l1，l2是異面直線矛盾 故 l 至少與 l1，l2中的一條相交 法二 如圖 1，l1與 l2是異面直線，l1與 l 平行，l2與 l 相交，故 a，b 不正確；如圖 2，l1與 l2是異面直線，l1，l2都與 l 相交，故 c不正確 (2)在圖中，直線 ghmn； 在圖中，g，h，n 三點共面，但 m平面 ghn，ngh，因此直線 gh 與 mn異面； 在圖中，連接 gm，gmhn，因此 gh 與 mn共面； 在圖中，g，m，n 共面，但 h平面 gmn，gmn， 因此 gh 與 mn異面所以在圖中 gh 與 mn異面 感悟升華 (1)異面直線的判定方法 反證法：先假

11、設兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設出發(fā)，經(jīng)過嚴格的推理，導出矛盾，從而否定假設，肯定兩條直線異面 定理：平面外一點 a 與平面內(nèi)一點 b 的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點 b 的直線是異7 / 20 面直線 (2)點、線、面位置關系的判定，要注意幾何模型的選取，常借助正方體為模型，以正方體為主線直觀感知并認識空間點、線、面的位置關系 【訓練 2】 (1)如圖，在正方體 abcda1b1c1d1中，m，n 分別是 bc1，cd1的中點，則下列判斷錯誤的是( ) amn與 cc1垂直 bmn與 ac垂直 cmn與 bd平行 dmn與 a1b1平行 (2)已知 a，b，c 表示不同的直線，m

12、 表示平面，給出四個命題：若 am，bm，則 ab 或 a，b 相交或 a，b 異面；若 bm，ab，則 am；若ac，bc，則 ab；若 am，bm，則 ab.其中正確的為( ) a b c d 答案 (1)d (2)a 解析 (1)如圖，連接 c1d， 在c1db 中，mnbd，故 c正確； cc1平面 abcd，bd平面 abcd，cc1bd， mncc1，故 a正確； acbd，mnbd，mnac，故 b正確； a1b1與 bd異面，mnbd， mn與 a1b1不可能平行，故選項 d錯誤 (2)對于，當 am，bm 時，則 a 與 b 平行、相交或異面，為真命題8 / 20 中，bm，

13、ab，則 am 或 am，為假命題命題中，a與 b相交、平行或異面，為假命題由線面垂直的性質(zhì)知命題為真命題，所以，為真命題 考點三 異面直線所成的角 【例 3】 (1)如圖所示，在正三棱柱 abca1b1c1中，d 是 ac的中點，aa1ab 21，則異面直線 ab1與 bd所成的角為_ (2)已知平面 過正方體 abcda1b1c1d1的頂點 a，平面 cb1d1，平面abcdm，平面 abb1a1n，則 m，n 所成角的正弦值為( ) a.32 b.22 c.33 d.13 答案 (1)60 (2)a 解析 (1)取 a1c1的中點 e，連接 b1e，ed，ae， 在 rtab1e中，ab

14、1e為異面直線 ab1與 bd所成的角 設 ab1，則 a1a2，ab13，b1e32，cosab1eb1eab112，故ab1e60 . (2)根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)，將 m，n 所成的角轉(zhuǎn)化為平面 cb1d1與平面abcd 的交線及平面 cb1d1與平面 abb1a1的交線所成的角設平面 cb1d1平面 abcdm1. 平面 平面 cb1d1，m1m. 9 / 20 又平面 abcd平面 a1b1c1d1， 且平面 cb1d1平面 a1b1c1d1b1d1， b1d1m1，b1d1m. 平面 abb1a1平面 dcc1d1， 且平面 cb1d1平面 dcc1d1cd1，同理可證 cd1n

15、. 因此直線 m與 n所成的角即直線 b1d1與 cd1所成的角 在正方體 abcda1b1c1d1中，cb1d1是正三角形， 故直線 b1d1與 cd1所成角為 60 ，其正弦值為32. 感悟升華 (1)求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；補形平移 (2)求異面直線所成角的三個步驟 作：通過作平行線，得到相交直線的夾角 證：證明相交直線夾角為異面直線所成的角 求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角 【訓練 3】 (2021

16、臺州期末評估)在長方體 abcda1b1c1d1中，abbc1，aa1 3，則異面直線 ad1與 db1所成角的余弦值為( ) a.15 b.56 c.55 d.22 答案 c 解析 法一 如圖，連接 bd1，交 db1于 o，取 ab 的中點 m，連接 dm，om.易知 o 為 bd1的中點，所以 ad1om，則mod 為異面直線 ad1與 db1所成角(或其補角)因為在長方體 abcda1b1c1d1中，abbc1，aa1 3， 10 / 20 ad1 ad2dd212， dmad212ab252， db1ab2ad2dd21 5.所以 om12ad11，od12db152，于是在dmo中

17、，由余弦定理， 得 cosmod12522522215255，即異面直線 ad1與 db1所成角的余弦值為55. 法二 以 d 為坐標原點，da，dc，dd1所在直線分別為 x 軸，y 軸，z 軸建立空間直角坐標系，如圖所示由條件可知 d(0，0，0)，a(1，0，0)，d1(0，0，3)，b1(1，1，3)，所以ad1(1，0，3)，db1(1，1，3)則 cosad1，db1ad1 db1|ad1| |db1|22 555，即異面直線 ad1與 db1所成角的余弦值為55. 基礎鞏固題組 一、選擇題 1已知 l1，l2表示空間中的兩條直線，若 p：l1，l2是異面直線；q：l1，l2不相交

18、，則( ) ap 是 q 的充分條件，但不是 q的必要條件 11 / 20 bp是 q 的必要條件，但不是 q 的充分條件 cp是 q 的充分必要條件 dp 既不是 q的充分條件，也不是 q的必要條件 答案 a 解析 直線 l1，l2是異面直線，一定有 l1與 l2不相交，因此 p 是 q 的充分條件；若 l1與 l2不相交，那么 l1與 l2可能平行，也可能是異面直線，所以 p 不是 q的必要條件故選 a. 2已知直線 a 和平面 ，l，a，a，且 a 在 ， 內(nèi)的射影分別為直線 b 和 c，則直線 b 和 c 的位置關系是( ) a相交或平行 b相交或異面 c平行或異面 d相交、平行或異面

19、 答案 d 解析 依題意，直線 b 和 c 的位置關系可能是相交、平行或異面，選 d. 3給出下列說法：梯形的四個頂點共面；三條平行直線共面；有三個公共點的兩個平面重合；三條直線兩兩相交，可以確定 1 個或 3個平面其中正確的序號是( ) a b c d 答案 b 解析 顯然命題正確 由于三棱柱的三條平行棱不共面，錯 命題中，兩個平面重合或相交，錯 三條直線兩兩相交，可確定 1 個或 3個平面，則命題正確 4已知 a，b，c 是兩兩不同的三條直線，下面四個命題中，真命題是( ) a若直線 a，b異面，b，c 異面，則 a，c 異面 b若直線 a，b相交，b，c 相交，則 a，c 相交 c若 a

20、b，則 a，b與 c 所成的角相等 d若 ab，bc，則 ac 答案 c 解析 若直線 a，b 異面，b，c 異面，則 a，c 相交、平行或異面；若 a，b 相交，b，c 相交，則 a，c 相交、平行或異面；若 ab，bc，則 a，c 相交、平12 / 20 行或異面；由異面直線所成的角的定義知 c正確故選 c. 5已知正方體 abcda1b1c1d1中，e，f 分別為 bb1，cc1的中點，那么異面直線 ae與 d1f所成角的余弦值為( ) a.45 b.35 c.23 d.57 答案 b 解析 連接 df，則 aedf， d1fd 為異面直線 ae與 d1f所成的角或其補角 設正方體棱長為

21、 a， 則 d1da，df52a，d1f52a， cosd1fd52a252a2a2252a52a35. 6(2021 鎮(zhèn)海中學模擬)設 m，n是兩條異面直線，則下列命題中正確的是( ) a過 m且與 n 垂直的平面有且只有一個 b過 m且與 n 平行的平面有且只有一個 c過空間一點 p與 m，n都平行的平面有且只有一個 d過空間一點 p與 m，n都垂直的平面有且只有一個 答案 b 解析 當直線 m 與直線 n 不垂直時，不存在過直線 m 的平面與直線 n 垂直，故a 錯誤；過直線 m 上一點作直線 n 的平行線 l，則過直線 l 和直線 m 的平面 與直線 n 平行，故 b 正確；當點 p

22、在 b 所述的平面 內(nèi)時，此時不存在平面與直線 m，n 都平行，故 c 錯誤；因為 m，n 為異面直線，所以不存在平面與直線m，n 都垂直，故 d錯誤綜上所述，故選 b. 二、填空題 7.如圖，在正方體 abcda1b1c1d1中，m，n 分別為棱 c1d1，c1c 的中點，13 / 20 則： (1)直線 bn與 mb1是_直線(填“相交”或“平行”或“異面”)； (2)直線 mn與 ac所成的角的大小為_ 答案 (1)異面 (2)60 解析 (1)m，b，b1三點共面，且在平面 mbb1中，但 n平面 mbb1，bmb1，因此直線 bn 與 mb1是異面直線(2)連接 d1c，因為 d1c

23、mn，所以直線 mn與 ac所成的角就是 d1c與 ac所成的角，且角為 60 . 8如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面 上，且 abcd，則直線 ef與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為_ 答案 4 解析 取 cd 的中點 h，連接 eh，fh.在正四面體 cdef 中，由于 cdeh，cdhf，且 ehfhh，所以 cd平面 efh，所以 ab平面 efh，則平面efh與正方體的左右兩側(cè)面平行，則 ef也與之平行，與其余四個平面相交 9(2020 全國卷改編)設有下列四個命題： p1：兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi) p2：過空間中任意三點有且僅有一個平面 p3

24、：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行 p4：若直線 l平面 ，直線 m平面 ，則 ml. 則上述命題中的真命題是_(只填代號) 答案 p1，p4 解析 p1是真命題，兩兩相交不過同一點的三條直線必定有三個交點，且這三個交點不在同一條直線上，由平面的基本性質(zhì)“經(jīng)過不在同一直線上的三個點，有且只有一個平面”，可知 p1為真命題；p2是假命題，因為空間三點在一條直線上時，有無數(shù)個平面過這三個點；p3是假命題，因為空間兩條直線不相交時，它14 / 20 們可能平行，也可能異面；p4是真命題，因為一條直線垂直于一個平面，那么它垂直于平面內(nèi)的所有直線 10直三棱柱 abca1b1c1中，bca90 ，

25、m，n 分別是 a1b1，a1c1的中點，bccacc1，則 bm 與 an所成角的余弦值為_ 答案 3010 解析 如圖所示，取 bc中點 d，連接 mn，nd，ad. m，n分別是 a1b1，a1c1的中點， mn綉12b1c1.又 bd綉12b1c1， mn綉 bd，則四邊形 bdnm 為平行四邊形，因此 ndbm， and 為異面直線 bm 與 an所成的角(或其補角) 設 bc2，則 bmnd 6，an 5，ad 5， 在adn 中，由余弦定理得 cosandnd2an2ad22nd an3010. 故異面直線 bm 與 an所成角的余弦值為3010. 三、解答題 11.如圖所示，正

26、方體 abcda1b1c1d1中，m，n 分別是 a1b1，b1c1的中點問： 15 / 20 (1)am 和 cn是否是異面直線？說明理由； (2)d1b和 cc1是否是異面直線？說明理由 解 (1)am，cn不是異面直線理由：連接 mn，a1c1，ac. 因為 m，n分別是 a1b1，b1c1的中點，所以 mna1c1. 又因為 a1a綉 c1c，所以四邊形 a1acc1為平行四邊形， 所以 a1c1ac， 所以 mnac， 所以 a，m，n，c在同一平面內(nèi)， 故 am 和 cn不是異面直線 (2)直線 d1b和 cc1是異面直線 理由：因為 abcda1b1c1d1是正方體，所以 b，c

27、，c1，d1不共面假設 d1b與 cc1不是異面直線， 則存在平面 ，使 d1b平面 ，cc1平面 ， 所以 d1，b，c，c1， 這與 b，c，c1，d1不共面矛盾所以假設不成立， 即 d1b和 cc1是異面直線 12.如圖所示，在三棱錐 pabc 中，pa底面 abc，d 是 pc 的中點已知bac2，ab2，ac2 3，pa2.求： (1)三棱錐 pabc的體積； (2)異面直線 bc與 ad所成角的余弦值 16 / 20 解 (1)sabc1222 32 3， 三棱錐 pabc的體積為 v13sabc pa132 32433. (2)如圖，取 pb 的中點 e，連接 de，ae，則 e

28、dbc，所以ade 是異面直線bc與 ad 所成的角(或其補角) 在ade 中，de2，ae 2，ad2， 則 cosade2222（ 2）222234.故異面直線 bc 與 ad所成角的余弦值為34. 能力提升題組 13以下四個命題中， 不共面的四點中，其中任意三點不共線； 若點 a，b，c，d 共面，點 a，b，c，e 共面，則點 a，b，c，d，e 共面； 若直線 a，b 共面，直線 a，c 共面，則直線 b，c 共面； 依次首尾相接的四條線段必共面 正確命題的個數(shù)是( ) a0 b1 c2 d3 答案 b 解析 假設其中有三點共線，則該直線和直線外的另一點確定一個平面，這與四點不共面矛

29、盾，故其中任意三點不共線，所以正確從條件看出兩平面有三個公共點 a，b，c，但是若 a，b，c 共線，則結(jié)論不正確；不正確；不正確，因為此時所得的四邊形的四條邊可以不在一個平面上，如空間四邊形 14若空間中四條兩兩不同的直線 l1，l2，l3，l4，滿足 l1l2，l2l3，l3l4，則下列結(jié)論一定正確的是( ) al1l4 bl1l4 17 / 20 cl1與 l4既不垂直也不平行 dl1與 l4的位置關系不確定 答案 d 解析 如圖，在長方體 abcda1b1c1d1中，記 l1dd1，l2dc，l3da.若 l4aa1，滿足 l1l2，l2l3，l3l4，此時 l1l4，可以排除選項 a和 c. 若取 c1d為 l4，則 l1與 l4相交；若取 ba為 l4，則 l1與 l4異面；取 c1d1為 l4，則l1與 l4相交且垂直 因此 l1與 l4的位置關系不能確定 15如圖，正方形 acde與等腰直角三角形 acb所在的平面互相垂直，且 acbc2，acb90 ，f，g 分別是線段 ae，bc 的中點