高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第4節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

1、1 / 15 第第 4 節(jié)節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 考試要求 1.能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系；2.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題；3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想. 知 識(shí) 梳 理 1.直線與圓的位置關(guān)系 設(shè)圓 c：(xa)2(yb)2r2，直線 l：axbyc0，圓心 c(a，b)到直線 l的距離為 d，由（xa）2（yb）2r2，axbyc0 消去 y(或 x)，得到關(guān)于 x(或 y)的一元二次方程，其判別式為. 位置關(guān)系 相離 相切 相交 圖形 量化 方程觀點(diǎn) 0 幾何觀點(diǎn) dr

2、dr dr 2.圓與圓的位置關(guān)系 設(shè)兩圓的半徑分別為 r，r(rr)，兩圓圓心間的距離為 d，則兩圓的位置關(guān)系可用下表表示： 位置關(guān)系 外離 外切 相交 內(nèi)切 內(nèi)含 圖形 量的關(guān)系 drr drr rrdrr drr drr 公切線條數(shù) 4 3 2 1 0 常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒 1.圓的切線方程常用結(jié)論 (1)過(guò)圓 x2y2r2上一點(diǎn) p(x0，y0)的圓的切線方程為 x0 xy0yr2. (2)過(guò)圓(xa)2(yb)2r2上一點(diǎn) p(x0，y0)的圓的切線方程為(x0a)(xa)2 / 15 (y0b)(yb)r2. (3)過(guò)圓 x2y2r2外一點(diǎn) m(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在

3、直線方程為x0 xy0yr2. 2.直線被圓截得的弦長(zhǎng)的求法 (1)幾何法：運(yùn)用弦心距 d、半徑 r 和弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成的直角三角形，計(jì)算弦長(zhǎng)|ab|2 r2d2. (2)代數(shù)法：設(shè)直線 ykxm 與圓 x2y2dxeyf0 相交于點(diǎn) m，n，將直線方程代入圓的方程中，消去 y，得關(guān)于 x 的一元二次方程，求出 xmxn和xm xn，則|mn| 1k2 （xmxn）24xm xn. 診 斷 自 測(cè) 1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”) (1)“k1”是“直線 xyk0 與圓 x2y21 相交”的必要不充分條件.( ) (2)如果兩個(gè)圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解，則兩圓外切.( )

4、(3)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交.( ) (4)過(guò)圓 o：x2y2r2外一點(diǎn) p(x0，y0)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為 a，b，則o，p，a，b四點(diǎn)共圓且直線 ab的方程是 x0 xy0yr2.( ) 解析 (1)“k1”是“直線 xyk0 與圓 x2y21 相交”的充分不必要條件；(2)除外切外，還有可能內(nèi)切；(3)兩圓還可能內(nèi)切或內(nèi)含. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(老教材必修 2p132a5 改編)直線 l：3xy60 與圓 x2y22x4y0 相交于 a，b兩點(diǎn)，則|ab|_. 解析 由 x2y22x4y0 得(x1)2(y2)25，所以該圓的圓心坐

5、標(biāo)為(1，2)，半徑 r 5.又圓心(1，2)到直線 3xy60 的距離為 d|326|91102，由|ab|22r2d2，得|ab|210，即|ab| 10. 答案 10 3.(老教材必修 2p133a9 改編)圓 x2y240 與圓 x2y24x4y120 的公3 / 15 共弦長(zhǎng)為_(kāi). 解析 由x2y240，x2y24x4y120得兩圓公共弦所在直線方程 xy20.又圓x2y24 的圓心到直線 xy20 的距離為22 2.由勾股定理得弦長(zhǎng)的一半為 42 2，所以，所求弦長(zhǎng)為 2 2. 答案 2 2 4.(2019 太原模擬)若圓 c1：x2y21 與圓 c2：x2y26x8ym0 外切，

6、則m( ) a.21 b.19 c.9 d.11 解析 圓 c1的圓心為 c1(0，0)，半徑 r11，因?yàn)閳A c2的方程可化為(x3)2(y4)225m，所以圓 c2的圓心為 c2(3，4)，半徑 r2 25m(m25).從而|c1c2| 32425.由兩圓外切得|c1c2|r1r2，即 1 25m5，解得 m9. 答案 c 5.(2020 臨沂質(zhì)檢)已知直線 l：x 3ya0 與圓 c：(x3)2(y 3)24 交于點(diǎn) m，n，點(diǎn) p在圓 c上，且mpn3，則 a 的值為( ) a.2或 10 b.4或 8 c.6 2 2 d.6 2 3 解析 因?yàn)閳A的半徑是 r2，圓心坐標(biāo)是 c(3，

7、3)，mpn3，且 p 在圓c 上，所以mcn23，則|mn|2 3.又點(diǎn) c 到直線 l 的距離 d|33a|13|a6|2，|mn|22d2r2，所以( 3)2（a6）244，則 a6 2，即 a4或 8. 答案 b 6.(多填題)(2019 浙江卷)已知圓 c的圓心坐標(biāo)是(0，m)，半徑長(zhǎng)是 r.若直線 2xy30與圓 c相切于點(diǎn) a(2，1)，則 m_，r_. 4 / 15 解析 根據(jù)題意畫出圖形，可知 a(2，1)，c(0，m)，b(0，3)， 則|ab| （20）2（13）22 5， |ac|（20）2（1m）2 4（m1）2， |bc|m3|. 直線 2xy30 與圓 c相切于點(diǎn)

8、 a， bac90 ，|ab|2|ac|2|bc|2. 即 204(m1)2(m3)2， 解得 m2. 因此 r|ac| 4（21）2 5. 答案 2 5 考點(diǎn)一 直線與圓的位置關(guān)系 多維探究 角度 1 位置關(guān)系的判斷 【例 11】 在abc中，若 asin absin bcsin c0，則圓 c：x2y21 與直線 l：axbyc0 的位置關(guān)系是( ) a.相切 b.相交 c.相離 d.不確定 解析 因?yàn)?asin absin bcsin c0， 所以由正弦定理得 a2b2c20. 故圓心 c(0，0)到直線 l：axbyc0 的距離 d|c|a2b21r，故圓 c：x2y21與直線 l：a

9、xbyc0相切，故選 a. 答案 a 規(guī)律方法 判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見(jiàn)方法 (1)幾何法：利用 d與 r 的關(guān)系. (2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用判斷. (3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過(guò)定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交. 上述方法中最常用的是幾何法，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法適用于動(dòng)直線問(wèn)題. 角度 2 弦長(zhǎng)問(wèn)題 【例 12】 (2020 廣東名校聯(lián)盟聯(lián)考)設(shè)圓 x2y22x2y20的圓心為 c，5 / 15 直線 l 過(guò)(0，3)，且與圓 c 交于 a，b 兩點(diǎn)，若|ab|2 3，則直線 l 的方程為( ) a.3x4y120 或 4x3y90 b.3x4y120 或 4x3y90 c

10、.4x3y90 或 x0 d.3x4y120 或 x0 解 析 當(dāng) 直 線 l 的 斜 率 不 存 在 時(shí) ， 直 線l 的 方 程 為x 0 ， 由x0，x2y22x2y20，得x0，y1 3或x0，y1 3， |ab|2 3，符合題意. 當(dāng)直線 l 的斜率存在時(shí)，設(shè)直線 l的方程為 ykx3，由已知可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y1)24，其圓心為 c(1，1)，半徑 r2，圓心 c(1，1)到直線kxy30 的距離 d|k13|k21|k2|k21，d2r2|ab|22，（k2）2k2142 322，即(k2)2k21，解得 k34，直線 l 的方程為 y34x3，即3x4y120.綜上

11、，滿足題意的直線 l 的方程為 x0 或 3x4y120，故選d. 答案 d 規(guī)律方法 弦長(zhǎng)的兩種求法 (1)代數(shù)方法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程.在判別式 0 的前提下，利用根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng). (2)幾何方法：若弦心距為 d，圓的半徑長(zhǎng)為 r，則弦長(zhǎng) l2 r2d2. 【訓(xùn)練 1】 (1)(角度 1)(2019 西安八校聯(lián)考)若過(guò)點(diǎn) a(3，0)的直線 l 與曲線(x1)2y21有公共點(diǎn)，則直線 l 斜率的取值范圍為( ) a.( 3， 3) b. 3， 3 c.(33，33) d.33，33 (2)(角度 2)(2018 全國(guó)卷)直線 yx1

12、與圓 x2y22y30 交于 a，b 兩點(diǎn)，則|ab|_. 6 / 15 解析 (1)數(shù)形結(jié)合可知，直線 l 的斜率存在，設(shè)直線 l 的方程為 yk(x3)，則圓心(1，0)到直線 yk(x3)的距離應(yīng)小于等于半徑 1，即|2k|1k21，解得33k33. (2)由題意知圓的方程為 x2(y1)24，所以圓心坐標(biāo)為(0，1)，半徑為 2，則圓心到直線 yx1 的距離 d|11|2 2，所以|ab|222（ 2）22 2. 答案 (1)d (2)2 2 考點(diǎn)二 圓的切線問(wèn)題 典例遷移 【例 2】 (經(jīng)典母題)過(guò)點(diǎn) p(2，4)引圓 c：(x1)2(y1)21 的切線，則切線方程為_(kāi). 解析 當(dāng)直

13、線的斜率不存在時(shí)，直線方程為 x2，此時(shí)，圓心到直線的距離等于半徑，直線與圓相切，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為 y4k(x2)，即 kxy42k0，直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，即 d|k142k|k2（1）2|3k|k211， 解得 k43， 所求切線方程為43xy42430， 即 4x3y40. 綜上，切線方程為 x2或 4x3y40. 答案 x2或 4x3y40 【遷移 1】 在例 2 中，若點(diǎn) p 坐標(biāo)變?yōu)?21，221 ，其他條件不變，求切線方程. 解 易知點(diǎn) p221，221 在圓 c：(x1)2(y1)21 上，則 kpc221122111，所求切線方程的

14、斜率為1，則切線方程為 y221 7 / 15 x221 ，即 xy 220. 【遷移 2】 在例 2 中，已知條件不變，設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)為 a，b，求切點(diǎn)弦 ab 所在的直線方程. 解 由題意得，點(diǎn) p，a，c，b 在以 pc 為直徑的圓上，此圓的方程為(x2)(x1)(y4)(y1)0， 整理得 x2y23x5y60， 圓 c：(x1)2(y1)21 展開(kāi)得 x2y22x2y10， 由得 x3y50，即為直線 ab的方程. 【遷移 3】 (多填題)在例 2 中，已知條件不變，則切線 pa 的長(zhǎng)度為_(kāi)，弦 ab的長(zhǎng)度為_(kāi). 解析 如圖，在 rtpac中， |pa| |pc|2|ac|2 1013.

15、 又12 |pa| |ac|12|pc|ab|2，解之得|ab|3 105. 答案 3 3 105 規(guī)律方法 求過(guò)某點(diǎn)的圓的切線問(wèn)題時(shí)，應(yīng)首先確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，再求直線方程.若點(diǎn)在圓上(即為切點(diǎn))，則過(guò)該點(diǎn)的切線只有一條；若點(diǎn)在圓外，則過(guò)該點(diǎn)的切線有兩條，此時(shí)注意斜率不存在的切線. 【訓(xùn)練 2】 過(guò)直線 y2x3 上的點(diǎn)作圓 c：x2y24x6y120的切線，則切線長(zhǎng)的最小值為( ) a. 19 b.2 5 c. 21 d.555 解析 圓的方程可化為(x2)2(y3)21，要使切線長(zhǎng)最小，只需直線 y2x3 上的點(diǎn)和圓心之間的距離最短，此最小值即為圓心(2，3)到直線 y2x3的距離 d

16、，d|2233|52 5，故切線長(zhǎng)的最小值為 d2r2 19. 答案 a 考點(diǎn)三 圓與圓的位置關(guān)系 【例 3】 (2020 濟(jì)寧調(diào)研)已知兩圓 x2y22x6y10，x2y210 x12y8 / 15 m0. (1)m取何值時(shí)兩圓外切？ (2)m取何值時(shí)兩圓內(nèi)切？ (3)當(dāng) m45 時(shí)，求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長(zhǎng). 解 因?yàn)閮蓤A的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x1)2(y3)211， (x5)2(y6)261m， 所以兩圓的圓心分別為(1，3)，(5，6)，半徑分別為 11， 61m， (1)當(dāng)兩圓外切時(shí)，由（51）2（63）21161m，得 m2510 11. (2)當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，因?yàn)槎▓A半

17、徑 11小于兩圓圓心之間的距離 5，所以61m 115，解得 m2510 11. (3)由(x2y22x6y1)(x2y210 x12y45)0，得兩圓的公共弦所在直線的方程為 4x3y230. 故兩圓的公共弦的長(zhǎng)為 2（ 11）2（|413323|4232）22 7. 規(guī)律方法 1.判斷兩圓的位置關(guān)系時(shí)常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法. 2.若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去 x2，y2項(xiàng)得到. 【訓(xùn)練 3】 已知圓 m：x2y22ay0(a0)截直線 xy0 所得線段的長(zhǎng)度是2 2，則圓 m 與圓 n：(x1)2(y1)2

18、1的位置關(guān)系是( ) a.內(nèi)切 b.相交 c.外切 d.相離 解析 由題意得圓 m 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2(ya)2a2，圓心(0，a)到直線 xy0的距離 da2，所以 2a2a222 2，解得 a2，圓 m，圓 n 的圓心距|mn| 2小于兩圓半徑之和 12，大于兩圓半徑之差 1，故兩圓相交. 答案 b a級(jí) 基礎(chǔ)鞏固 9 / 15 一、選擇題 1.若直線 l：xym0 與圓 c：x2y24x2y10 恒有公共點(diǎn)，則 m 的取值范圍是( ) a. 2， 2 b.2 2，2 2 c. 21， 21 d.2 21，2 21 解析 圓 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y1)24，圓心為(2，1)，半徑為

19、 2，圓心到直線的距離 d|21m|2，若直線與圓恒有公共點(diǎn)，則|21m|22， 解得2 21m2 21，故選 d. 答案 d 2.(多選題)平行于直線 xy10，且與圓 x2y24 相切的直線的方程是( ) a.xy2 20 b.xy20 c.xy2 20 d.xy20 解析 根據(jù)題意，所求直線平行于直線 xy10，則設(shè)所求直線的方程為 xym0，若所求直線與圓 x2y24 相切，則|m|22，解得 m 2 2，則所求直線的方程為 xy 2 20. 答案 ac 3.(2020 廣州調(diào)研)已知圓 x2y22x2ya0 截直線 xy20 所得的弦的長(zhǎng)度為 4，則實(shí)數(shù) a的值是( ) a.2 b.

20、4 c.6 d.8 解析 將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y1)22a，所以圓心為(1，1)，半徑 r 2a，圓心到直線 xy20 的距離 d|112|2 2，故 r2d24，即 2a24，所以 a4.故選 b. 答案 b 4.圓 x22xy24y30上到直線 xy10的距離為 2的點(diǎn)共有( ) a.1個(gè) b.2個(gè) c.3 個(gè) d.4個(gè) 解析 圓的方程可化為(x1)2(y2)28，圓心(1，2)到直線的距離 d10 / 15 |121|2 2，半徑是 2 2，結(jié)合圖形(圖略)可知有 3個(gè)符合條件的點(diǎn). 答案 c 5.過(guò)點(diǎn) p(1，2)作圓 c：(x1)2y21的兩條切線，切點(diǎn)分別為 a，b

21、，則 ab所在直線的方程為( ) a.y34 b.y12 c.y32 d.y14 解析 由題意知，點(diǎn) p，a，c，b 在以 pc 為直徑的圓上，易求得這個(gè)圓為(x1)2(y1)21，此圓的方程與圓 c 的方程作差可得 ab 所在直線的方程為 y12. 答案 b 二、填空題 6.過(guò)點(diǎn)(3，1)作圓(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦的長(zhǎng)為_(kāi). 解析 設(shè) p(3，1)，圓心 c(2，2)，則|pc| 2，半徑 r2.由題意知最短的弦過(guò)p(3，1)且與 pc垂直，所以最短弦長(zhǎng)為 222（ 2）22 2. 答案 2 2 7.若 a 為圓 c1：x2y21 上的動(dòng)點(diǎn)，b 為圓 c2：(x3)2(y4)

22、24 上的動(dòng)點(diǎn)，則線段 ab長(zhǎng)度的最大值是_. 解析 圓 c1：x2y21 的圓心為 c1(0，0)，半徑 r11， 圓 c2：(x3)2(y4)24的圓心為 c2(3，4)，半徑 r22， |c1c2|5.又 a為圓 c1上的動(dòng)點(diǎn)，b為圓 c2上的動(dòng)點(diǎn)， 線段 ab長(zhǎng)度的最大值是|c1c2|r1r25128. 答案 8 8.(2020 石家莊質(zhì)檢)已知直線 x2ya0與圓 o：x2y22相交于 a，b兩點(diǎn)(o為坐標(biāo)原點(diǎn))，且aob為等腰直角三角形，則實(shí)數(shù) a 的值為_(kāi). 解析 因?yàn)橹本€ x2ya0 與圓 o：x2y22 相交于 a，b 兩點(diǎn)(o 為坐標(biāo)原點(diǎn))，且aob 為等腰直角三角形，所以

23、 o 到直線 ab 的距離為 1，由點(diǎn)到直線11 / 15 的距離公式可得|a|12（2）21，所以 a 5. 答案 5或 5 三、解答題 9.已知圓 c：(x1)2(y2)210，求滿足下列條件的圓的切線方程； (1)與直線 l1：xy40平行； (2)與直線 l2：x2y40垂直； (3)過(guò)切點(diǎn) a(4，1). 解 (1)設(shè)切線方程為 xyb0， 則|12b|2 10，b1 2 5， 切線方程為 xy1 2 50. (2)設(shè)切線方程為 2xym0， 則|22m|5 10，m 5 2， 切線方程為 2xy 5 20. (3)kac211413， 過(guò)切點(diǎn) a(4，1)的切線斜率為3， 過(guò)切點(diǎn)

24、a(4，1)的切線方程為 y13(x4)， 即 3xy110. 10.已知過(guò)點(diǎn) a(0，1)且斜率為 k 的直線 l 與圓 c：(x2)2(y3)21 交于 m，n兩點(diǎn). (1)求 k 的取值范圍； (2)若om on12，其中 o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|mn|. 解 (1)易知圓心坐標(biāo)為(2，3)，半徑 r1， 由題設(shè)，可知直線 l 的方程為 ykx1， 因?yàn)?l 與 c交于兩點(diǎn)，所以|2k31|1k21. 解得4 73k0)所得的弦長(zhǎng)為 14，點(diǎn) m，n 在圓 上，且直線 l：(12m)x(m1)y3m0 過(guò)定點(diǎn) p，若 pmpn，則|mn|的取值范圍為( ) a.2 2，2 3 b.2 2，2

25、 2 c. 6 2， 6 3 d. 6 2， 6 2 解析 由題意：2r212 14，解得 r2，因?yàn)橹本€ l：(12m)x(m1)y3m0 過(guò)定點(diǎn) p，故 p(1，1)；設(shè) mn 的中點(diǎn)為 q(x，y)，則|om|2|oq|213 / 15 |mq|2|oq|2|pq|2，即 4x2y2(x1)2(y1)2，化簡(jiǎn)可得x122y12232，所以點(diǎn) q 的軌跡是以12，12為圓心，62為半徑的圓，所以|pq|的取值范圍為6 22，6 22，|mn|的取值范圍為 6 2， 6 2.故選 d. 答案 d 13.(2020 長(zhǎng)沙調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，若圓 c1：x2(y1)2r2(r0)

26、上存在點(diǎn) p，且點(diǎn) p 關(guān)于直線 xy0 的對(duì)稱點(diǎn) q 在圓 c2：(x2)2(y1)21上，則 r 的取值范圍是_. 解析 圓 c1關(guān)于直線 xy0 對(duì)稱的圓 c3的方程為(x1)2y2r2，則圓 c3與圓 c2存在公共點(diǎn)，所以|r1| 2r1，所以 r 21， 21. 答案 21， 21 14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xoy中，已知以 m為圓心的圓 m：x2y212x14y600及其上一點(diǎn) a(2，4). (1)設(shè)圓 n 與 x 軸相切，與圓 m 外切，且圓心 n 在直線 x6上，求圓 n的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)平行于 oa 的直線 l 與圓 m 相交于 b，c 兩點(diǎn)，且|bc|oa|，求直線 l 的方程； (3)設(shè)點(diǎn) t(t，0)滿足：存