2019-2020學(xué)年安徽省合肥市第三十一中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析（精編版）

1、2019-2020學(xué)年安徽省合肥市第三十一中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、 選擇題：本大題共10 小題，每小題 5 分，共 50 分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1. 不等式的解集是：a. b. c. d. 參考答案：a2. 函數(shù) ysin(2x ) ，的圖象如圖，則的值為（）a.或 b. c. d. 參考答案：b3. 正方體的棱長(zhǎng)為 1，是的中點(diǎn)，則到平面的距離是（）參考答案：b4. 用反證法證明某命題時(shí)，對(duì)結(jié)論：“自然數(shù)都是偶數(shù)”，正確的反設(shè)為（）a中至少有一個(gè)是奇數(shù)b中至多有一個(gè)是奇數(shù)c都是奇數(shù) d中恰有一個(gè)是奇數(shù)參考答案：a5. 一個(gè)幾何體的三視圖及其尺寸如

2、下，則該幾何體的表面積及體積為（）a，b，c ，d 以上都不正確參考答案：a解：由三視圖知，該幾何體為圓錐，表面積體積故選6. 設(shè)函數(shù)f（x）22k（a0 且 a1 ）在（ ，）上既是奇函數(shù)又是減函數(shù)，則 g（x）的圖像是（）參考答案：a略7. 已知全集，集合，則（）a. b. c. d. 參考答案：c 8. 函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)a，若點(diǎn)a 在直線上，其中，則的最小值為（）a.2 b.3 c.4 d.5參考答案：a略9. f1、f2是橢圓+=1（ab0）的兩焦點(diǎn)， q是橢圓上任一點(diǎn)，過(guò)一焦點(diǎn)引f1qf2的外角平分線的垂線，則垂足m的軌跡為（）a圓b橢圓c雙曲線d拋物線參考答案：a【考點(diǎn)】軌跡方程

3、【分析】根據(jù)題意，延長(zhǎng)f1m ，與 f2mq 的延長(zhǎng)線交于b 點(diǎn)，連接 mo 根據(jù)等腰三角形“三線合一”和三角形中位線定理，結(jié)合橢圓的定義證出om的長(zhǎng)恰好等于橢圓的長(zhǎng)半軸a，得動(dòng)點(diǎn) m的軌跡方程為x2+y2=a2，由此可得本題答案【解答】解：如圖所示，延長(zhǎng)f1m ，與 f2mq的延長(zhǎng)線交于b點(diǎn)，連接 mo ，mq是f1qb的平分線，且qm bf1f1qb中， |qf1|=|bq| 且 q為 bf1的中點(diǎn)由三角形中位線定理，得|om|=|bf2|=（|bq|+|qf2| ）由橢圓的定義，得|qf1|+|qf2|=2a ，（2a 是橢圓的長(zhǎng)軸）可得 |bq|+|qf2|=2a ，|om=a ，可得

4、動(dòng)點(diǎn)m的軌跡方程為x2+y2=a2為以原點(diǎn)為圓心半徑為a 的圓故選： a10. 用反證法證明命題“ 設(shè) a，b為實(shí)數(shù)，則方程x2+ax+b=0 至少有一個(gè)實(shí)根 ” 時(shí)，要做的假設(shè)是（）a方程 x2+ax+b=0 沒有實(shí)根b方程 x2+ax+b=0 至多有一個(gè)實(shí)根c方程 x2+ax+b=0 至多有兩個(gè)實(shí)根d方程 x2+ax+b=0 恰好有兩個(gè)實(shí)根參考答案：a【分析】直接利用命題的否定寫出假設(shè)即可【解答】解：反證法證明問題時(shí)，反設(shè)實(shí)際是命題的否定，用反證法證明命題“ 設(shè) a，b為實(shí)數(shù)，則方程x2+ax+b=0 至少有一個(gè)實(shí)根 ” 時(shí)，要做的假設(shè)是方程 x2+ax+b=0 沒有實(shí)根故選： a二、 填

5、空題 :本大題共 7 小題,每小題 4分,共 28分11. 在橢圓中 f，a，b 分別為其左焦點(diǎn)，右頂點(diǎn)，上頂點(diǎn)，o 為坐標(biāo) 原 點(diǎn) ， m為 線 段ob 的 中 點(diǎn) ， 若fma 為 直 角 三 角 形 ， 則 該 橢 圓 的 離 心 率為參考答案：略12. 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為。參考答案：13. 已知點(diǎn) a（2，3）、 b（3，2），若直線l ：y=kx2 與線段 ab沒有交點(diǎn)，則l 的斜率 k 的取值范圍是參考答案：【考點(diǎn)】二元一次不等式（組）與平面區(qū)域【分析】根據(jù)題意，分析可得，原問題可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)a、b在直線的同側(cè)問題，利用一元二次不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域可得k （ 2） 32） k （ 3） 2

6、2 0，解可得 k 的范圍，即可得答案【解答】解：根據(jù)題意，直線l ：y=kx2 與線段 ab沒有交點(diǎn)，即a（ 2，3）、b（3，2）在直線的同側(cè)，y=kx2 變形可得 kxy2=0，必有 k （2）32） k （ 3）22 0解可得： k，故答案為14. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為, 若橢圓上存在點(diǎn) p 使, 則該橢圓的離心率的取值范圍為_.參考答案：略15. 設(shè) f（x）= x3+x2+2ax，若 f（x）在（，+）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則a的取值范圍是參考答案：a【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【分析】函數(shù)f（x）在（，+）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，即f （x） 0 在（，+）上有解，只需f （

7、） 0即可，根據(jù)一元二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論【解答】解：，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f （x）= x2+x+2a，若函數(shù) f（x）在（，+）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，即 f （x） 0 在（，+）上有解f （x）=x2+x+2a，只需 f （） 0即可，由 f （）=+2a=2a+0，解得 a，故答案為： a16. 已知點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且點(diǎn)到的距離相等，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 _.參考答案：略17. 已知 xy=2x+y+2（x1），則 x+y 的最小值為參考答案：7【考點(diǎn)】基本不等式【分析】由題意可得y=，整體代入變形可得x+y=x1+3，由基本不等式可得【解答】解： xy=2x+y+2，y=，x+y=x+=x1+1=x

8、1+32+3=7當(dāng)且僅當(dāng) x1=即 x=3 時(shí)取等號(hào)，故答案為： 7三、 解答題：本大題共5 小題，共 72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18. 已知函數(shù)(為常數(shù) )有兩個(gè)不同的極值點(diǎn). (1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)記的兩個(gè)不同的極值點(diǎn)分別為，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍 . 參考答案：(1). 由函數(shù)(為常數(shù) )有兩個(gè)不同的極值點(diǎn). 即方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根. ，. (2)由(1)知，所以恒成立 . 令，. ，遞增，. 19. 已知函數(shù)為常數(shù)， e=2.71828 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線y=f （x）在點(diǎn)（ 1，f （1）處的切線與x 軸平行（）求 k 的值；（）求 f

9、 （x）的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè) g（x）=xf （ x），其中 f （ x）為 f （x）的導(dǎo)函數(shù)證明：對(duì)任意x0，g（x）1+e2參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程【分析】（）由題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再由曲線y=f （x）在點(diǎn)（ 1，f（1）處的切線與x 軸平行可得出f （ 1）=0，由此方程即可解出k 的值；（ii ）由（ i ）知， =，x（ 0，+），利用導(dǎo)數(shù)解出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（iii）先給出 g（x）=xf （x），考查解析式發(fā)現(xiàn)當(dāng)x1 時(shí)， g（x）=xf （x）0 1+e2一定成立，由此將問題轉(zhuǎn)化為證明g（x

10、）1+e 2在 0 x1 時(shí)成立，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在（ 0，1）上的最值，與1+e2比較即可得出要證的結(jié)論【解答】解：（ i ）函數(shù)為常數(shù)， e=2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），=，x（ 0，+），由已知，k=1（ii ）由（ i ）知， =，x（ 0，+），設(shè) h（x）=1xlnx x，x（ 0，+）， h （x）=（lnx+2 ），當(dāng) x（ 0，e2）時(shí)， h （x）0，當(dāng) x（ e2，1）時(shí)， h （x）0，可得 h（x）在 x（ 0，e2）時(shí)是增函數(shù)，在x（ e2，1）時(shí)是減函數(shù)，在（1，+）上是減函數(shù)，又 h（1）=0，h（e2） 0，又 x 趨向于 0 時(shí)，h（x）的函數(shù)值趨向于

11、1當(dāng) 0 x1 時(shí)，h（x） 0，從而 f （x） 0，當(dāng) x1時(shí) h（x） 0，從而 f （x） 0綜上可知， f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，+）（iii）由（ ii ）可知，當(dāng)x1 時(shí)， g（x）=xf （x）0 1+e2，故只需證明g（x）1+e 2在 0 x1 時(shí)成立當(dāng) 0 x1 時(shí)， ex1，且 g（x）0，設(shè) f（x）=1xlnx x，x（ 0，1），則 f （x）=（ lnx+2 ），當(dāng) x（ 0，e2）時(shí)， f （x）0，當(dāng) x（ e2，1）時(shí)， f （x）0，所以當(dāng) x=e2時(shí)， f（x）取得最大值f（e2）=1+e 2所以 g（x） f（x）1+

12、e 2綜上，對(duì)任意x0，g（x）1+e220. 3 名男生 4名女生站成一排，求滿足下列條件的排法共有多少種？（1）任何 2 名女生都不相鄰，有多少種排法？（2）男生甲、乙相鄰，有多少種排法？（結(jié)果用數(shù)字表示）參考答案：解:（1）3 名男生全排，再把4名女生插在男生的4 個(gè)空中即可（2）21. 如圖所示，已知o的半徑是 1，點(diǎn) c在直徑 ab的延長(zhǎng)線上， bc=1 ，點(diǎn) p 是o 上半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以pc為邊作等邊三角形pcd ，且點(diǎn) d與圓心分別在pc的兩側(cè)（）若 pob= ， 0，試將四邊形opdc 的面積 y 表示為關(guān)于 的函數(shù)；（）求四邊形opdc 面積的最大值參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)的最值【分析】（）若 pob= ， 0，由余弦定理將四邊形opdc 的面積 y 表示為關(guān)于 的函數(shù)；（）當(dāng) =，即 =時(shí)，可求四邊形opdc 面積的最大值【解答】解：（）在 poc 中，由余弦定理，得 pc2=op2+oc22op?oc?cos =54cos ，（4 分）所以 y=sopc+spcd=12sin +（ 54cos ） =2sin （）+（ 8 分）（）當(dāng) =，即 =時(shí)，ymax=2+答：四邊形opdc 面積的最大值為2+（ 12 分）【點(diǎn)評(píng)】本