高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第6節(jié) 雙曲線

1、1 / 19 第第 6 節(jié)節(jié) 雙曲線雙曲線 考試要求 了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道其簡單的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線). 知 識 梳 理 1.雙曲線的定義 平面內(nèi)與兩個定點 f1，f2(|f1f2|2c0)的距離差的絕對值等于常數(shù)(小于|f1f2|且大于零)的點的軌跡叫雙曲線.這兩個定點叫雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫焦距.其數(shù)學(xué)表達式：集合 pm|mf1|mf2|2a，|f1f2|2c，其中 a，c 為常數(shù)且 a0，c0： (1)若 ac，則集合 p為空集. 2.雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì) 標準方程 x2a2y2b21(a0，b0) y2a2x2b21(a0，

2、b0) 圖 形 性 質(zhì) 范圍 xa 或 xa，yr xr，ya或 ya 對稱性 對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點 頂點 a1(a，0)，a2(a，0) a1(0，a)，a2(0，a) 漸近線 ybax yabx 離心率 eca，e(1，) 實虛軸 線段 a1a2叫做雙曲線的實軸，它的長度|a1a2|2a；線段 b1b2叫做雙曲線的虛軸，它的長度|b1b2|2b；a叫做雙曲線的實2 / 19 半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長 a，b，c 的關(guān)系 c2a2b2 常用結(jié)論與微點提醒 1.過雙曲線的一個焦點且與實軸垂直的弦的長為2b2a. 2.離心率 ecaa2b2a1b2a2. 3.等軸雙曲線的漸近線互

3、相垂直，離心率等于 2. 4.若漸近線方程為 ybax，則雙曲線方程可設(shè)為x2a2y2b2(0). 5.雙曲線的焦點到漸近線的距離為 b. 6.若 p 是雙曲線右支上一點，f1，f2分別為雙曲線的左、右焦點，則|pf1|minca，|pf2|minca. 7.焦點三角形的面積：p 為雙曲線上的點，f1，f2為雙曲線的兩個焦點，且f1pf2，則f1pf2的面積為b2tan 2. 診 斷 自 測 1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“”或“”) (1)平面內(nèi)到點 f1(0，4)，f2(0，4)距離之差的絕對值等于 8的點的軌跡是雙曲線.( ) (2)平面內(nèi)到點 f1(0，4)，f2(0，4)距離之差等

4、于 6的點的軌跡是雙曲線.( ) (3)方程x2my2n1(mn0)表示焦點在 x 軸上的雙曲線.( ) (4)雙曲線x2m2y2n2(m0，n0，0)的漸近線方程是xmyn0.( ) (5)若雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)與x2b2y2a21(a0，b0)的離心率分別是 e1，e2，則1e211e221.( ) 解析 (1)因為|mf1|mf2|8|f1f2|，表示的軌跡為兩條射線. (2)由雙曲線的定義知，應(yīng)為雙曲線的一支，而非雙曲線的全部. 3 / 19 (3)當 m0，n0 時表示焦點在 x 軸上的雙曲線，而 m0，n0 時則表示焦點在 y 軸上的雙曲線. 答案 (1) (2)

5、 (3) (4) (5) 2.(老教材選修 21p62a6 改編)經(jīng)過點 a(3，1)，且對稱軸都在坐標軸上的等軸雙曲線方程為_. 解析 設(shè)雙曲線方程為：x2y2(0)，把點 a(3，1)代入，得 8，故所求雙曲線方程為x28y281. 答案 x28y281 3.(老教材選修 21p61a1 改編)已知雙曲線 x2y2161 上一點 p 到它的一個焦點的距離等于 4，那么點 p到另一個焦點的距離等于_. 解析 設(shè)雙曲線的焦點為 f1，f2，|pf1|4，則|pf1|pf2|2，故|pf2|6 或2，又雙曲線上的點到同側(cè)焦點的距離的最小值為 ca 171，故|pf2|6. 答案 6 4.(201

6、9 北京卷)已知雙曲線x2a2y21(a0)的離心率是 5，則 a( ) a. 6 b.4 c.2 d.12 解析 由雙曲線方程x2a2y21，得 b21，c2a21. 5e2c2a2a21a211a2. 結(jié)合 a0，解得 a12. 答案 d 5.(2019 全國卷)已知 f 是雙曲線 c：x24y251 的一個焦點，點 p 在 c 上，o為坐標原點.若|op|of|，則opf 的面積為( ) a.32 b.52 c.72 d.92 4 / 19 解析 由 f是雙曲線x24y251的一個焦點，知|of|3，所以|op|of|3. 不妨設(shè)點 p在第一象限，p(x0，y0)，x00，y00， 則

7、x20y203，x204y2051，解得x20569，y20259，所以 p2 143，53， 所以 sopf12|of| y01235352. 答案 b 6.(2019 江蘇卷)在平面直角坐標系 xoy 中，若雙曲線 x2y2b21(b0)經(jīng)過點(3，4)，則該雙曲線的漸近線方程是_. 解析 因為雙曲線 x2y2b21(b0)經(jīng)過點(3，4)，所以 916b21(b0)，解得 b2，即雙曲線方程為 x2y221，其漸近線方程為 y 2x. 答案 y 2x 考點一 雙曲線的定義及應(yīng)用 【例 1】 (1)(2020 濱州質(zhì)檢) x2（y3）2 x2（y3）24表示的曲線方程為( ) a.x24y

8、251(x2) b.x24y251(x2) c.y24x251(y2) d.y24x251(y2) (2)(2019 長春質(zhì)檢)雙曲線 c 的漸近線方程為 y2 33x，一個焦點為 f(0，7)，點 a( 2，0)，點 p 為雙曲線第一象限內(nèi)的點，則當點 p 的位置變化時，paf周長的最小值為( ) a.8 b.10 c.43 7 d.33 17 解析 (1)x2（y3）2的幾何意義為點 m(x，y)到點 f1(0，3)的距離，x2（y3）2的 幾 何 意 義 為 點 m(x ， y) 到 點 f2(0 ， 3) 的 距 離 ， 則x2（y3）2 x2（y3）24 表示點 m(x，y)到點 f

9、1(0，3)的距離與到5 / 19 點 f2(0，3)的距離的差為 4，且 40，b0)的左、右焦點分別為 f1，f2，實軸長為 6，漸近線方程為 y13x，動點 m 在雙曲線左支上，點 n 為圓 e：x2(y 6)21上一點，則|mn|mf2|的最小值為( ) a.8 b.9 c.10 d.11 (2)(2019 濟南調(diào)研)已知圓 c1：(x3)2y21 和圓 c2：(x3)2y29，動圓 m同時與圓 c1及圓 c2相外切，則動圓圓心 m 的軌跡方程為_. 解析 (1)由題意知 2a6，則 a3，又由ba13得 b1，所以 ca2b210，則 f1( 10，0).根據(jù)雙曲線的定義知|mf2|

10、2a|mf1|mf1|6，所以|mn| |mf2| |mn| |mf1| 6 |en| |mn| |mf1| 5|f1e| 5 （ 10）2（ 6）259，當且僅當 f1，m，n，e 共線時取等號，故選b. (2)如圖所示，設(shè)動圓 m 與圓 c1及圓 c2分別外切于 a和 b. 根據(jù)兩圓外切的條件， 得|mc1|ac1|ma|， |mc2|bc2|mb|， 6 / 19 因為|ma|mb|， 所以|mc1|ac1|mc2|bc2|， 即|mc2|mc1|bc2|ac1|2， 所以點 m 到兩定點 c1，c2的距離的差是常數(shù)且小于|c1c2|6. 又根據(jù)雙曲線的定義，得動點 m 的軌跡為雙曲線的

11、左支(點 m 與 c2的距離大，與 c1的距離小)， 其中 a1，c3，則 b28. 故點 m 的軌跡方程為 x2y281(x1). 答案 (1)b (2)x2y281(x1) 考點二 雙曲線的標準方程 【例 2】 (1)(一題多解)(2020 東北三省四校聯(lián)考)經(jīng)過點(2，1)，且漸近線與圓 x2(y2)21相切的雙曲線的標準方程為( ) a.x2113y2111 b.x22y21 c.y2113x2111 d.y211x21131 (2)(2019 青島二模)已知雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦點分別為 f1，f2，點 p(2， 3)在雙曲線上，且|pf1|，|f1f2|，

12、|pf2|成等差數(shù)列，則該雙曲線的方程為( ) a.x2y21 b.x22y231 c.x2y231 d.x216y241 解析 (1)法一 設(shè)雙曲線的漸近線方程為 ykx，即 kxy0，由漸近線與圓x2(y2)21 相切可得圓心(0，2)到漸近線的距離等于半徑 1，由點到直線的距離公式可得|k02|k211，解得 k 3.因為雙曲線經(jīng)過點(2，1)，所以雙曲線的焦點在 x 軸上，可設(shè)雙曲線的方程為x2a2y2b21(a0，b0)，將(2，1)代入可7 / 19 得4a21b21，由4a21b21，ba 3，得a2113，b211，故所求雙曲線的標準方程為x2113y2111. 法二 設(shè)雙曲線

13、的方程為 mx2ny21(mn0)，將(2，1)代入方程可得，4mn1. 雙曲線的漸近線方程為 ymnx， 圓 x2(y2)21的圓心為(0，2)，半徑為 1， 由漸近線與圓 x2(y2)21 相切，可得21mn1，即mn3， 由可得 m311，n111，所以該雙曲線的標準方程為x2113y2111，故選 a. (2)|pf1|，|f1f2|，|pf2|成等差數(shù)列， |pf1|pf2|4c. 點 p位于第一象限，|pf1|pf2|2a， |pf1|2ca，|pf2|2ca， cos pf2f14c2（2ca）2（2ca）24c（2ca）c2a2ca，又點 p(2， 3)在雙曲線上， sin p

14、f2f132ca，c2a2ca23（2ca）21，化簡得(c2a)23(2ca)2，即 c2a2b21，又4a23b21，a21，雙曲線的方程為 x2y21，故選 a. 答案 (1)a (2)a 規(guī)律方法 1.用待定系數(shù)法求雙曲線的方程時，先確定焦點在 x 軸還是 y 軸上，設(shè)出標準方程，再由條件確定 a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦點的位置不好確定，可將雙曲線的方程設(shè)為x2m2y2n2(0)或 mx2ny21(mn0)，再根據(jù)條件求解. 8 / 19 2.與雙曲線x2a2y2b21 有相同漸近線時可設(shè)所求雙曲線方程為x2a2y2b2(0). 【訓(xùn)練 2】 (1)(2019 昆明調(diào)

15、研)“0n2”是“方程x2n1y2n31 表示雙曲線”的( ) a.充分不必要條件 b.必要不充分條件 c.充要條件 d.既不充分也不必要條件 (2)(多填題)已知雙曲線 e 與雙曲線x24y291 共漸近線且經(jīng)過點 p(2，3 5)，則雙曲線 e的標準方程為_，頂點坐標為_. 解析 (1)若方程x2n1y2n31 表示雙曲線，則(n1) (n3)0，解得1n3，則 0n2 的范圍小于1n3，所以“0n0，b0)的左、右焦點，p 是雙曲線 c 右支上一點，若|pf1|pf2|4a，且f1pf260 ，則雙曲線 c的漸近線方程是( ) a. 3x y0 b.2x 7y0 c. 3x 2y0 d.

16、2x 3y0 解析 f1，f2是雙曲線的左、右焦點，點 p 在雙曲線右支上，由雙曲線定9 / 19 義可得|pf1|pf2|2a，又知|pf1|pf2|4a，|pf1|3a，|pf2|a.在pf1f2中，由余弦定理的推論可得 cos 60 |pf1|2|pf2|2|f1f2|22|pf1| |pf2|，即12（3a）2a24c223aa， 3a210a24c2，即 4c27a2，又知 b2a2c2，b2a234，雙曲線 c 的漸近線方程為 y32x，即 3x 2y0，故選 c. 答案 c 規(guī)律方法 雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的漸近線是令x2a2y2b20，即得兩漸近線方程xayb0

17、.漸近線的斜率也是一個比值，可類比離心率的求法解答. 角度 2 求雙曲線的離心率 【例 32】 (2019 全國卷)設(shè) f為雙曲線 c：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦點，o 為坐標原點，以 of 為直徑的圓與圓 x2y2a2交于 p，q 兩點.若|pq|of|，則 c 的離心率為( ) a. 2 b. 3 c.2 d. 5 解析 設(shè)雙曲線 c：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦點 f 的坐標為(c，0).則 ca2b2，如圖所示，由圓的對稱性及條件|pq|of|可知，pq 是以 of 為直徑的圓的直徑，且pqof.設(shè)垂足為 m，連接 op，則|op|a，|om|mp|c2.在 rt

18、opm 中，|om|2|mp|2|op|2得c22c22a2，故ca 2，即 e 2. 答案 a 規(guī)律方法 求雙曲線離心率或其取值范圍的方法 (1)求 a，b，c 的值，由c2a2a2b2a21b2a2直接求 e. (2)列出含有 a，b，c 的齊次方程(或不等式)，借助于 b2c2a2消去 b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于 e 的方程(或不等式)求解. 10 / 19 角度 3 雙曲線幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用 【例 33】 (1)已知 m(x0，y0)是雙曲線 c：x22y21 上的一點，f1，f2是 c 的兩個焦點，若mf1 mf20，b0)的左、右焦點，過f1的直線 l 與雙曲線的左支交于點 a，與右支交于

19、點 b，若|af1|2a，f1af223，則saf1f2sabf2( ) a.1 b.12 c.13 d.23 解析 (1)因為 f1( 3，0)，f2( 3，0)，x202y201，所以mf1 mf2( 3x0，y0) ( 3x0，y0)x20y2030，即 3y2010，解得33y00，b0)的左、右焦點，p 為雙曲線右支上任一點，若|pf1|2|pf2|的最小值為 8a，則該雙曲線離心率 e 的取值范圍是( ) a.(0，2) b.(1，3 c.2，3) d.3，) (3)(角度 3)(2019 長沙統(tǒng)一考試改編)已知 f1，f2分別是雙曲線 c：y2x21 的上、下焦點，p 是其一條漸

20、近線上的一點，且以 f1f2為直徑的圓經(jīng)過點 p，則pf1f2的面積為_. 解析 (1)因為 2b2，所以 b1，因為 2c2 3，所以 c 3，所以 ac2b2 2，所以雙曲線的漸近線方程為 ybax22x. (2)由雙曲線定義可知|pf1|pf2|2a， |pf1|2a|pf2|， |pf1|2|pf2|（2a|pf2|）2|pf2|4a2|pf2|24a|pf2|pf2|4a2|pf2| |pf2| 4a2|pf2|4a2|pf2|4a8a，當且僅當|pf2|4a2|pf2|，即|pf2|2a時，等號成立. 12 / 19 |pf1|2|pf2|的最小值為 8a，|pf2|2a，|pf1

21、|4a. 點 p 在雙曲線右支上，|pf1|pf2|f1f2|，當且僅當 p，f1，f2三點共線且點 p 為右頂點時等號成立，即 6a2c，e3，又e1，e(1，3，故選 b. (3)設(shè) p(x0，y0)，不妨設(shè)點 p 在雙曲線 c 的過一、三象限的漸近線 xy0 上，因此可得 x0y00.f1(0， 2)，f2(0， 2)，所以|f1f2|2 2，以 f1f2為直徑的圓的方程為 x2y22，又以 f1f2為直徑的圓經(jīng)過點 p，所以 x20y202.由x0y00，x20y202得|x0|1，于是 spf1f212|f1f2| |x0|122 21 2. 答案 (1)b (2)b (3) 2 a

22、級 基礎(chǔ)鞏固 一、選擇題 1.(2018 浙江卷)雙曲線x23y21的焦點坐標是( ) a.( 2，0)，( 2，0) b.(2，0)，(2，0) c.(0， 2)，(0， 2) d.(0，2)，(0，2) 解析 由題可知雙曲線的焦點在 x 軸上，又 c2a2b2314，所以 c2，故焦點坐標為(2，0)，(2，0). 答案 b 2.(2018 全國卷)雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的離心率為 3，則其漸近線方程為( ) a.y 2x b.y 3x c.y22x d.y32x 解析 由題意知，eca 3，所以 c 3a，所以 bc2a2 2a，即ba2，所以該雙曲線的漸近線方程為 yb

23、ax 2x. 答案 a 13 / 19 3.(2019 全國卷)雙曲線 c：x2a2y2b21(a0，b0)的一條漸近線的傾斜角為130 ，則 c 的離心率為( ) a.2sin 40 b.2cos 40 c.1sin 50 d.1cos 50 解析 由題意可得batan 130 ， 所以 e1b2a2 1tan2130 1sin2130cos21301|cos 130 |1cos 50.故選 d. 答案 d 4.(一題多解)(2018 全國卷)已知雙曲線 c：x2a2y2b21(a0，b0)的離心率為2，則點(4，0)到 c的漸近線的距離為( ) a. 2 b.2 c.3 22 d.2 2

24、解析 法一 由離心率 eca 2，得 c 2a，又 b2c2a2，得 ba，所以雙曲線 c 的漸近線方程為 y x.由點到直線的距離公式，得點(4，0)到 c 的漸近線的距離為4112 2. 法二 離心率 e 2的雙曲線是等軸雙曲線，其漸近線方程是 y x，點(4，0)到 c的漸近線的距離為4112 2. 答案 d 5.已知方程x2m2ny23m2n1 表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為 4，則 n 的取值范圍是( ) a.(1，3) b.(1， 3) c.(0，3) d.(0， 3) 解析 方程x2m2ny23m2n1 表示雙曲線， (m2n) (3m2n)0，解得m2n3m2，由雙曲線

25、性質(zhì)，知 c2(m2n)(3m2n)4m2(其中 c 是半焦距)， 14 / 19 焦距 2c22|m|4，解得|m|1， 1n0，b0)一個焦點且與其一條漸近線平行，則雙曲線方程為_. 解析 由題意得一個焦點為 f(5，0)，c5，ba2， 又 a2b2c2，所以 a25，b220， 所以雙曲線方程為x25y2201. 答案 x25y2201 10.(多填題)已知雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的一條漸近線為 2xy0，一個焦點為( 5，0)，則 a_；b_. 解析 由 2xy0，得 y2x，所以ba2. 又 c 5，a2b2c2，解得 a1，b2. 答案 1 2 11.設(shè)橢圓 c1的

26、離心率為513，焦點在 x 軸上且長軸長為 26，若曲線 c2上的點到橢圓 c1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于 8，則曲線 c2的標準方程為_. 解析 由題意知橢圓 c1的焦點坐標為 f1(5，0)，f2(5，0)，設(shè)曲線 c2上的一點 p，則|pf1|pf2|8. 由雙曲線的定義知，a4，b3. 故曲線 c2的標準方程為x242y2321. 即x216y291. 16 / 19 答案 x216y291 12.設(shè)雙曲線x29y2161 的右頂點為 a，右焦點為 f.過點 f 且平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點 b，則afb 的面積為_. 解析 a29，b216，故 c5. a(3

27、，0)，f(5，0)，不妨設(shè)直線 bf的方程為 y43(x5)， 代入雙曲線方程解得 b175，3215. safb12|af| |yb|12 232153215. 答案 3215 b級 能力提升 13.(2020 長沙雅禮中學(xué)模擬)已知雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦點為f1，f2，在雙曲線上存在點 p 滿足 2|pf1pf2|f1f2|，則此雙曲線的離心率 e的取值范圍是( ) a.(1，2 b.2，) c.(1， 2 d. 2，) 解析 當 p 不是雙曲線與 x 軸的交點時，連接 op，因為 op 為pf1f2的邊f(xié)1f2上的中線，所以po12(pf1pf2)；當 p是雙

28、曲線與 x軸的交點時，同樣滿足上述等式.因為雙曲線上存在點 p 滿足 2|pf1pf2|f1f2|，所以 4|po|2c，由|po|a，可知 4a2c，則 e2，選 b. 答案 b 14.(2020 德州模擬改編)已知雙曲線 c：x216y2b21(b0)，f1，f2分別為 c 的左、右焦點，過 f2的直線 l 分別交 c的左、右支于點 a，b，且|af1|bf1|，則|ab|的值為_. 解析 由雙曲線定義知|af2|af1|2a，|bf1|bf2|2a，由于|af1|bf1|，所以兩式相加可得|af2|bf2|4a，而|ab|af2|bf2|，|ab|4a，由雙曲17 / 19 線方程知 a

29、4，|ab|16. 答案 16 15.(2020 南昌聯(lián)考)點 p 是橢圓x2a21y2b211(a1b10)和雙曲線x2a22y2b221(a20，b20)的一個交點，f1，f2是橢圓和雙曲線的公共焦點，f1pf23，則b1b2的值是_. 解析 不妨設(shè) p是第一象限內(nèi)的交點， |pf1|m，|pf2|n， 由橢圓的定義可知 mn2a1， 由雙曲線定義可知 mn2a2， 由得 ma1a2，na1a2. 在f1pf2中，由余弦定理的推論可得， cos f1pf2m2n2（2c）22mn12， 即 m2n2mn4c2， (a1a2)2(a1a2)2(a1a2)(a1a2)4c2， 即 a213a224c2，又知 a21b21c2，a22b22c2， b21c23(c2b22)4c2，b213b22， 又知 b10，b20，b1b2 3. 答案 3 16.(2019 全國卷)已知雙曲線 c：x2a2y2b21(