初中代數(shù)等差數(shù)列的研究與應(yīng)用

1、    初中代數(shù)等差數(shù)列的研究與應(yīng)用    張志敏德國(guó)著名數(shù)學(xué)家高斯9歲時(shí)，老師在算數(shù)課上出了一道難題：“把1到100的整數(shù)寫下來，然后把它們加起來！”還不到幾秒鐘，高斯已經(jīng)把石板放在講桌上了，其他的學(xué)生把數(shù)字一個(gè)個(gè)加起來，額頭都出了汗水。他的同學(xué)無不為之驚奇，小高斯得出的結(jié)果被確定是正確的。原來小高斯在認(rèn)真審題的基礎(chǔ)上，根據(jù)題的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)了這樣的有趣現(xiàn)象：1+100=101，2+99=101，3+98=101，50+51=101一共有多少個(gè)101呢？100個(gè)數(shù)，每?jī)蓚€(gè)數(shù)是一對(duì)，共有50對(duì)，即共有50個(gè)101，所以1+2+3+100=10150=5050

2、我們?cè)贀Q一種思路，用數(shù)形結(jié)合的思想來分析一下這道題。圖1是由若干個(gè)小圓圈堆成的一個(gè)形如等邊三角形的圖案，最上面一層有一個(gè)圓圈，以下各層均比上一層多一個(gè)圓圈，一共堆了n層。將圖1倒置后與原圖拼成圖2的形狀，這樣我們可以算出圖1中所有圓圈的個(gè)數(shù)為：1+2+3+n=；在數(shù)學(xué)上，人們把1100這些數(shù)中的每一個(gè)數(shù)都叫做一個(gè)項(xiàng)，并把這樣的一串?dāng)?shù)稱作數(shù)列?！案咚顾惴ā逼鋵?shí)就是數(shù)列的求和問題。有了它，好多數(shù)學(xué)題和生活中的問題解答起來就方便多了。例如：在解決找規(guī)律的問題時(shí)，我們會(huì)經(jīng)常遇到等差數(shù)列。來看看下面的例子。如圖是用小棒擺出的一系列三角形圖案，按這種方式擺下去：a、當(dāng)每邊擺10（即n=10）時(shí)，則共有多少

3、個(gè)最小的三角形。b、當(dāng)?shù)趎個(gè)圖案時(shí)，則共有多少個(gè)最小的三角形（用s表示）當(dāng)n=1時(shí)，s=1；當(dāng)n=2時(shí)，s=4=1+3；當(dāng)n=3時(shí)，s=9=1+3+5；所以，a、當(dāng)n=10時(shí)，s=1+3+5+7=+19=102=100b、當(dāng)n=n時(shí)，s=1+3+5+7=+（2n-1）=n2進(jìn)一步思考：a中需要的小棒總數(shù)為多少根？b中需要的小棒總數(shù)s與n的關(guān)系式又是什么？當(dāng)n=1時(shí)，s=3；當(dāng)n=2時(shí)，s=9；當(dāng)n=3時(shí)，s=18；這就是一個(gè)數(shù)列：3、9、18、30。此數(shù)列是3的倍數(shù)，即3×1，3×3，3×6，3×10這樣第n項(xiàng)的數(shù)據(jù)也就清楚了。也有人說：受原題的影響，小

4、棒與數(shù)三角形個(gè)數(shù)有密切關(guān)系：當(dāng)n=1時(shí)，相當(dāng)于1個(gè)；當(dāng)n=2時(shí) 相當(dāng)于（1+2）個(gè)；當(dāng)n=3時(shí)，相當(dāng)于（1+2+3）個(gè)；當(dāng)n=n時(shí)，相當(dāng)于（1+2+3+n）個(gè)所以，s=（1+2+3+n）×3=×3= 。等差數(shù)列的知識(shí)沒有在初中課本上講解，但是實(shí)際問題當(dāng)中已經(jīng)有很多的應(yīng)用，例如握手問題。某中學(xué)舉辦畢業(yè)聚會(huì)，參加聚會(huì)人數(shù)有60人時(shí)，每?jī)扇硕家找淮问窒嗷ジ鎰e，那么握手次數(shù)為多少次呢？ 若有600人參加聚會(huì)， 總握手次數(shù)又是多少次呢？解析：當(dāng)人數(shù)有60人時(shí)，握手次數(shù)為：59+58+57+.+1=當(dāng)人數(shù)有600人時(shí)，握手次數(shù)為：599+598+597+.+1=當(dāng)人數(shù)有x時(shí)，握手次數(shù)

5、為：x-1+x-2+.+1=再來看看變式練習(xí)：1+2+3-4+5+6+7-8+9+25+26+27-28=題目分析：仔細(xì)觀察這個(gè)算式，發(fā)現(xiàn)他很有規(guī)律地出現(xiàn)著一些“減數(shù)”。因此，計(jì)算時(shí)應(yīng)特別細(xì)心。在此介紹三種解法。解法一：變減為加，整體推算。（其中減數(shù)為4的倍數(shù)，共284=7（個(gè)）（1+28）282-（4+28）722=406-224=182解法二：分組累計(jì)，從頭算起每四個(gè)數(shù)為1組，分別計(jì)算每組數(shù)的得數(shù)為：2、10、1850。其和為：（2+50）72=182解法三：加數(shù)、減數(shù)分別統(tǒng)計(jì)。減數(shù)全部拿出以后，剩下的加數(shù)是：1+2+3+5+6+7+9+25+26+27把這些加數(shù)每3個(gè)一組，并求出每組之和：（1+2+3）+（5+6+7）+（25+26+27）=6+18+78=（6+78）72=294七個(gè)減數(shù)的和為：（4+28）72=112，原式的得數(shù)為：294-112=182總之，高斯的方法非常巧妙