高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題檢測(cè)(十一)　等差數(shù)列、等比數(shù)列

1、專題檢測(cè)專題檢測(cè)( (十一十一) ) 等差數(shù)列、等比數(shù)列等差數(shù)列、等比數(shù)列 a 組考點(diǎn)落實(shí)練 1(2020 武漢市學(xué)習(xí)質(zhì)量檢測(cè))在正項(xiàng)等比數(shù)列an中，a5a115，a4a26，則 a3( ) a2 b4 c.12 d8 解析：選 b 設(shè)an的公比為 q，因?yàn)?a5a115，a4a26，a10，q1，所以a1q4a115，a1q3a1q6，解得a11，q2或a116，q12，因?yàn)?an0，所以a11，q2，所以 a31224.故選 b. 2(2020 六校聯(lián)盟聯(lián)考)設(shè)等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 sn，若 a4s52，s714，則a10( ) a18 b16 c14 d12 解析：選 c 設(shè)an

2、的公差為 d， 由a13d5a1542d2，7a1762d14， 可得6a113d2，a13d2，解得a14，d2， 所以 a1049214.故選 c. 3(2020 成都市診斷性檢測(cè))設(shè)公差不為 0 的等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 sn，若 a53a3，則s9s5( ) a.95 b.59 c.53 d.275 解析：選 d s9s59（a1a9）25（a1a5）29（a1a9）5（a1a5）9a55a3953275. 4已知正項(xiàng)等比數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 sn，且 s82s45，則 a9a10a11a12的最小值為( ) a25 b20 c15 d10 解析：選 b 在正項(xiàng)等比數(shù)列an中

3、，sn0. 因?yàn)?s82s45，所以 s8s45s4， 易知 s4，s8s4，s12s8是等比數(shù)列， 所以(s8s4)2s4(s12s8)， 所以 s12s8（s45）2s425s4s410225s4s41020(當(dāng)且僅當(dāng) s45 時(shí)取等號(hào)) 因?yàn)?s12s8a9a10a11a12，所以 a9a10a11a12的最小值為 20.故選 b. 5(多選)(2020 山東濟(jì)南歷城二中月考)已知數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 sn(sn0)，且滿足an4sn1sn0(n2)，a114，則下列說(shuō)法正確的是( ) a數(shù)列an的前 n項(xiàng)和為 sn14n b數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an14n（n1） c數(shù)列an為遞增

4、數(shù)列 d數(shù)列1sn為遞增數(shù)列 解析：選 ad an4sn1sn0(n2)，snsn14sn1sn0.又sn0，1sn1sn14.因此數(shù)列1sn是以1s14 為首項(xiàng)，4 為公差的等差數(shù)列，且是遞增數(shù)列，d 正確1sn44(n1)4n，sn14n，a 正確當(dāng) n2 時(shí)，ansnsn114n14（n1）14n（n1），an14，n1，14n（n1），n2，b、c不正確故選 a、d. 6(多選)若數(shù)列an滿足：對(duì)于任意正整數(shù) n，an1an為單調(diào)遞減數(shù)列，則稱數(shù)列an為“差遞減數(shù)列”給出下列數(shù)列an(nn*)，其中是“差遞減數(shù)列”的有( ) aan3n bann21 can n danln nn1 解

5、析：選 cd 對(duì)于 a，若 an3n，則 an1an3(n1)3n3，所以an1an不是單調(diào)遞減數(shù)列，故 a 錯(cuò)誤；對(duì)于 b，若 ann21，則 an1an(n1)21n212n1，所以an1an是單調(diào)遞增數(shù)列，不是單調(diào)遞減數(shù)列，故 b 錯(cuò)誤；對(duì)于 c，若 ann，則 an1ann1 n1n1 n，所以an1an為單調(diào)遞減數(shù)列，故 c 正確 ； 對(duì) 于 d， 若 anlnnn1， 則 an1 an lnn1n2 lnnn1 lnn1n2n1nln11n22n，由函數(shù) yln11x22x在(0，)上單調(diào)遞減，可知數(shù)列an1an為單調(diào)遞減數(shù)列，故 d 正確故選 c、d. 7設(shè)公比為 q(q0)的等

6、比數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 sn.若 s23a22，s43a42，則 a1_ 解析：由 s23a22，s43a42， 得 a3a43a43a2，即 qq23q23， 解得 q1(舍去)或 q32， 將 q32代入 s23a22 中，得 a132a1332a12， 解得 a11. 答案：1 8(2020 江西紅色七校第一次聯(lián)考)在正項(xiàng)數(shù)列an中，a12，且點(diǎn) p(ln an，ln an1)(nn*)位于直線 xyln 20 上若數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和 sn滿足 sn200，則 n 的最小值為_ 解析：將(ln an，ln an1)(nn*)代入 xyln 20，可得 an12an，所以an是公比

7、為 2 的等比數(shù)列，sn2（12n）122n12，令 sn200，則 2n1202，所以 n 的最小值為 7. 答案：7 9已知各項(xiàng)均不相等的數(shù)列an滿足 2an13anan1(nn*，n1)，則數(shù)列an1an是公比為_的等比數(shù)列，若 a212，a81128，則 a1_ 解析：法一：因?yàn)?2an13anan1(nn*，n1)，所以 2an12ananan1，則數(shù)列an1an(nn*)是公比為12的等比數(shù)列，所以 an1an(a2a1)12n112a112n1， 于 是an (an an1) (an1 an2) (a2 a1) a112a112n212n3120a112a1112n1112a1(

8、12a1)112n1a1.因?yàn)?a81128，所以(12a1)1127a11128，解得 a11. 法二：因?yàn)?2an13anan1(nn*，n1)，所以 2an12ananan1，則數(shù)列an1an(nn*)是公比為12的等比數(shù)列令 bnan1an，所以 a8a1b1b2b3b7b1112711212764b1.因?yàn)?b1a2a112a1，a81128，所以1128a112764(12a1)，解得 a11. 答案：12 1 10已知等差數(shù)列an的前 n項(xiàng)和為 sn，a11，s44s2. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)若 amam1am2am9180(mn*)，求 m的值 解：(1)設(shè)等差

9、數(shù)列an的公差為 d， 由 s44s2得，4a16d8a14d，整理得 d2a1. 又 a11，d2， ana1(n1)d2n1(nn*) (2)amam1am2am9180 可化為 10am45d20m80180，解得 m5. 11等比數(shù)列an中，an0，公比 q(0，1)，a1a52a3a5a2a825，且 2 是 a3和 a5的等比中項(xiàng) (1)求an的通項(xiàng)公式； (2)設(shè) bnlog2an，sn是數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和，求當(dāng)s11s22s33snn取最大值時(shí)的 n的值 解：(1)在等比數(shù)列an中，a1a52a3a5a2a825， 所以 a232a3a5a2525，又 an0， 所以 a3

10、a55. 因?yàn)?2 是 a3和 a5的等比中項(xiàng)， 所以 a3a54， 因?yàn)?q(0，1)，所以 a3a5. 聯(lián)立解得 a34，a51， 所以 q12，a116， 所以 an1612n125n. (2)由(1)可得 bnlog2an5n. 所以數(shù)列bn是以 4 為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列 所以 snn（9n）2， 所以snn9n2， 所以當(dāng) n8時(shí)，snn0；當(dāng) n9時(shí)，snn0；當(dāng) n9 時(shí)，snn0. 故當(dāng) n8 或 9 時(shí)，s11s22s33snn最大 12在b1b3a2；a4b4；s525 這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的 k存在，求 k的值；若 k 不存在，說(shuō)明理由

11、設(shè)等差數(shù)列an的前 n項(xiàng)和為 sn，bn是等比數(shù)列，_，b1a5，b23，b581，是否存在 k，使得 sksk1且 sk1sk2? 注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分 解：選條件. 設(shè)bn的公比為 q，則 q3b5b227，即 q3， 所以 bn(3)n1. 從而 a5b11，a2b1b310，由于an是等差數(shù)列，所以 an3n16. 因?yàn)?sksk1且 sk1sk2等價(jià)于 ak10且 ak20， 所以滿足題意的 k存在當(dāng)且僅當(dāng)3（k1）160，3（k2）160，即 k4. 選條件. 設(shè)bn的公比為 q，則 q3b5b227，即 q3， 所以 bn(3)n1. 從而 a5b11，

12、a4b427，所以an的公差 d28. 因?yàn)?sksk1且 sk1sk2等價(jià)于 ak10 且 ak20，此時(shí) dak2ak10，與 d28矛盾，所以滿足題意的 k不存在 選條件. 設(shè)bn的公比為 q，則 q3b5b227，即 q3， 所以 bn(3)n1. 從而 a5b11，由an是等差數(shù)列得 s55（a1a5）2，由 s525得 a19. 所以 an2n11. 因?yàn)?sksk1且 sk1sk2等價(jià)于 ak10且 ak20， 所以滿足題意的 k存在當(dāng)且僅當(dāng)2（k1）110，2（k2）110，即 k4. b 組大題強(qiáng)化練 1已知數(shù)列an滿足 an13an3n(nn*)且 a11. (1)設(shè) bn

13、an3n1，證明：數(shù)列bn為等差數(shù)列； (2)設(shè) cnnan，求數(shù)列cn的前 n項(xiàng)和 sn. 解：(1)證明：由已知得 an13an3n，得 bn1an13n3an3n3nan3n11bn1， 所以 bn1bn1，又 a11，所以 b11， 所以數(shù)列bn是首項(xiàng)為 1，公差為 1的等差數(shù)列 (2)由(1)知，bnan3n1n， 所以 ann 3n1，cn13n1， 所以 sn1113n11332113n32123n1. 2已知an是等差數(shù)列，且 lg a10，lg a41. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)若 a1，ak，a6是等比數(shù)列bn的前 3項(xiàng)，求 k 的值及數(shù)列anbn的前 n 項(xiàng)和

14、 解：(1)因?yàn)?lg a10，lg a41，所以 a11，a410. 設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d，則 da4a1413. 所以 ana13(n1)3n2. (2)由(1)知 a11，a616， 因?yàn)?a1，ak，a6是等比數(shù)列bn的前 3項(xiàng)， 所以 a2ka1a616. 又 an3n20，所以 ak4. 因?yàn)?ak3k2，所以 3k24，得 k2. 設(shè)等比數(shù)列bn的公比為 q， 所以 qb2b1a2a132214. 所以 bn4n1. 所以 anbn3n24n1. 所以數(shù)列anbn的前 n項(xiàng)和為 snn（3n1）214n1432n212n13(4n1) 3(2020 濟(jì)寧模擬)在anan12

15、2n1；snkan12；snann22nk 這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，若問(wèn)題中的正整數(shù) m存在，求出 m的值；若 m不存在，說(shuō)明理由 已知數(shù)列an中 a11，其前 n 項(xiàng)和為 sn，且_，是否存在正整數(shù) m，使得sm，sm1，sm2構(gòu)成等差數(shù)列？ 注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分 解：若選擇條件，即 anan122n1，則 an1an222n1，兩式相除得an2an4， 所以an的奇數(shù)項(xiàng) a1，a3，a5，和偶數(shù)項(xiàng) a2，a4，a6，分別構(gòu)成公比為 4 的等比數(shù)列 由于 a11，所以 a34，又 a1a222112，所以 a22. 因此 a22a1a3，于是 a1

16、，a2，a3成等比數(shù)列，故數(shù)列an是等比數(shù)列 且其公比 q2， 所以 an2n1. 故 sn12n122n1. 所以 sm2m1，sm12m11，sm22m21， 若 sm，sm1，sm2構(gòu)成等差數(shù)列， 則 2(2m11)(2m1)(2m21)， 整理得 2m0，由于 mn*，所以無(wú)解， 故不存在正整數(shù) m，使得 sm，sm1，sm2構(gòu)成等差數(shù)列 若選擇條件，即 snkan12，由于 a11，所以 1k12，則 k32，于是 sn32an12. 當(dāng) n2時(shí)，sn132an112，兩式相減得 an32an32an1， 于是anan13，所以數(shù)列an是公比為 3的等比數(shù)列 因此 an3n1，所以

17、sn13n1312(3n1) 所以 sm12(3m1)，sm112(3m11)， sm212(3m21)， 若 sm，sm1，sm2構(gòu)成等差數(shù)列，則 212(3m11)12(3m1)12(3m21)， 整理得 3m0.由于 mn*，所以無(wú)解， 故不存在正整數(shù) m，使得 sm，sm1，sm2構(gòu)成等差數(shù)列 若選擇條件，即 snann22nk，由于 a11，所以 1112k，所以 k1， 因此 snann22n1，當(dāng) n2時(shí) sn1an1(n1)22(n1)1， 兩式相減得 ananan12n3，于是 an12n3， 所以 an2n1. 于是an為等差數(shù)列，且 snn1n（n1）22n2， 所以 smm2，sm1(m1)2，sm2(m2)2， 若 sm，sm1，sm2構(gòu)成等差數(shù)列，則 2 (m1)2m2(m2)2， 整理知該式無(wú)解， 故不存在正整數(shù) m，使得 sm，sm1，sm2構(gòu)成等差數(shù)列 4已知數(shù)列an是等差數(shù)列，滿足 a25，a413，數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和是 tn，且 tnbn3. (1)求數(shù)列an及數(shù)列bn的通項(xiàng)公式； (2)設(shè) cnanbn，求數(shù)列cn中的最大項(xiàng) 解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為 a1，公差為 d， 由