大學(xué)高等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)匯總

1、. 1 / 23 大學(xué)高等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)整理公式，用法合集極限與連續(xù)一. 數(shù)列函數(shù) : 1. 類型 : (1)數(shù)列 : *( )naf n;*1()nnaf a(2)初等函數(shù) : (3)分段函數(shù) : *0102( )( ),( )xxf xf xxxfx; *00( )( ),xxf xf xxxa;* (4)復(fù)合 (含f)函數(shù) : ( ),( )yf uux(5)隱式 (方程 ): ( , )0f x y(6)參式 (數(shù)一 ,二): ( )( )xx tyy t(7)變限積分函數(shù) : ( )( , )xaf xfx t dt(8)級(jí)數(shù)和函數(shù) (數(shù)一 ,三): 0( ),nnns xa xx2.

2、特征 (幾何 ): (1)單調(diào)性與有界性(判別 ); ( )f x單調(diào)000,()( )()xxxf xfx定號(hào) ) (2)奇偶性與周期性(應(yīng)用 ). 3. 反函數(shù)與直接函數(shù): 11( )( )( )yf xxfyyfx二. 極限性質(zhì) : 1. 類型 : *limnna;*lim( )xf x(含x);*0lim( )xxf x(含0 xx) 2. 無(wú)窮小與無(wú)窮大(注: 無(wú)窮量 ): 3. 未定型 : 000, 1 , 0, 0 ,04. 性質(zhì) : *有界性 , *保號(hào)性 , *歸并性三. 常用結(jié)論 : 11nn, 1(0)1naa, 1()max( , , )nnnnabca b c, 00

3、!naan. 2 / 23 1(0)xx, 0lim1xxx, lim0nxxxe, lnlim0nxxx, 0limln0nxxx,0,xxex四. 必備公式 : 1. 等價(jià)無(wú)窮小 : 當(dāng)( )0u x時(shí), sin( )( )u xu x;tan ( )( )u xu x;211cos ( )( )2u xux; ( )1( )u xeu x; ln(1( )( )u xu x;(1( )1( )u xu x; arcsin( )( )u xu x; arctan ( )( )u xu x2. 泰勒公式 : (1)2211()2!xexxo x; (2)221ln(1)()2xxxo x;

4、(3)341sin()3!xxxo x; (4)24511cos1()2!4!xxxo x; (5)22(1)(1)1()2!xxxo x. 五. 常規(guī)方法 : 前提 : (1)準(zhǔn)確判斷0,1 ,0m(其它如 :00, 0,0 ,); (2)變量代換 (如:1tx) 1. 抓大棄小(), 2. 無(wú)窮小與有界量乘積(m) (注:1sin1,xx) 3. 1處理 (其它如 :000 ,) 4. 左右極限 (包括x): (1)1(0)xx; (2)()xex;1(0)xex; (3)分段函數(shù) : x, x, max( )f x5. 無(wú)窮小等價(jià)替換(因式中的無(wú)窮小)(注 : 非零因子 ) 6. 洛必達(dá)

5、法則(1)先” 處理 ” ,后法則 (00最后方法 );(注意對(duì)比 : 1lnlim1xxxx與0lnlim1xxxx) . 3 / 23 (2)冪指型處理 : ( )( )ln( )( )v xv xu xu xe(如 : 1111111(1)xxxxxeeee) (3)含變限積分 ; (4)不能用與不便用7. 泰勒公式 (皮亞諾余項(xiàng) ): 處理和式中的無(wú)窮小8. 極限函數(shù) : ( )lim( , )nf xf x n(分段函數(shù) ) 六. 非常手段1. 收斂準(zhǔn)則 : (1)( )lim( )nxaf nf x(2)雙邊夾 : *?nnnbac, *,?nnbca(3)單邊擠 : 1()nna

6、f a*21?aa*?nam*( )0?fx2. 導(dǎo)數(shù)定義 (洛必達(dá) ?):00lim()xffxx3. 積分和 :10112lim( )()( )( )nnffff x dxnnnn, 4. 中值定理 : lim()( )lim( )xxf xaf xaf5. 級(jí)數(shù)和 (數(shù)一三 ): (1)1nna收斂lim0nna, (如2!limnnnnn)(2)121lim()nnnnaaaa, (3)na與11()nnnaa同斂散七.常見(jiàn)應(yīng)用 : 1. 無(wú)窮小比較 (等價(jià) ,階): *( ),(0)?nf xkxx(1)(1)()(0)(0)(0)0,(0)nnffffa( )()!nnnaaf x

7、xxxnn(2)00( )xxnf t dtkt dt2. 漸近線 (含斜 ): (1)( )lim,lim( )xxf xabf xaxx( )f xaxb(2)( )f xaxb,(10 x) 3. 連續(xù)性 : (1)間斷點(diǎn)判別 (個(gè)數(shù) ); (2)分段函數(shù)連續(xù)性(附:極限函數(shù) , ( )fx連續(xù)性 ) 八. , a b上連續(xù)函數(shù)性質(zhì). 4 / 23 1. 連通性 :(, ),fa bm m(注:01, “ 平均 ” 值:0( )(1)( )()f af bf x) 2. 介值定理 :(附: 達(dá)布定理 ) (1)零點(diǎn)存在定理 : ( )( )0f a f b0()0f x(根的個(gè)數(shù) );

8、(2)( )0( )0 xaf xf x dx. 第二講 :導(dǎo)數(shù)與應(yīng)用 (一元 )(含中值定理 ) 一. 基本概念 : 1. 差商與導(dǎo)數(shù) :( )fx0()( )limxf xxf xx; 0()fx000( )()limxxf xf xxx(1)0( )(0)(0)limxf xffx(注:0( )lim(xf xa fx連續(xù) )(0)0,(0)ffa) (2)左右導(dǎo) : 00(),()fxfx; (3)可導(dǎo)與連續(xù) ; (在0 x處 , x連續(xù)不可導(dǎo) ; x x可導(dǎo) ) 2. 微分與導(dǎo)數(shù) : ()( )( )()( )ff xxfxfxxoxdffx dx(1)可微可導(dǎo) ; (2)比較,f

9、df與0的大小比較 (圖示 ); 二. 求導(dǎo)準(zhǔn)備 : 1. 基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式; (注: ( )f x) 2. 法則 : (1)四則運(yùn)算 ; (2)復(fù)合法則 ; (3)反函數(shù)1dxdyy三. 各類求導(dǎo) (方法步驟 ): 1. 定義導(dǎo) : (1)( )fa與( )x afx; (2)分段函數(shù)左右導(dǎo); (3)0()()limhf xhf xhh(注: 00( )( ),xxf xf xxxa, 求 :0(),( )fxfx與( )fx的連續(xù)性 ) 2. 初等導(dǎo) (公式加法則 ): (1)( )uf g x, 求:0()ux(圖形題 ); (2)( )( )xaf xf t dt, 求 :( )f

10、x(注: ( , ), ( , ), ( )xbbaaafx t dtf x t dtf t dt) (3)0102( ),( )xxfxyxxfx,求00(),()fxfx與0()fx(待定系數(shù) ) . 5 / 23 3. 隱式 ( , )0f x y)導(dǎo):22,dyd ydxdx(1)存在定理 ; (2)微分法 (一階微分的形式不變性). (3)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 . 4. 參式導(dǎo) (數(shù)一 ,二): ( )( )xx tyy t,求:22,dyd ydxdx5. 高階導(dǎo)( )( )nfx公式 : ()()axnnaxea e; ()11!()()nnnb nabxabx; ( )(sin)sin(

11、)2nnaxaaxn; ( )(cos)cos()2nnaxaaxn( )( )1(1)2(2)()nnnnnnuvuvc uvc uv注: ()(0)nf與泰勒展式 : 2012( )nnf xaa xa xa x( )(0)!nnfan四. 各類應(yīng)用 : 1. 斜率與切線 (法線 ); (區(qū)別 : ( )yf x上點(diǎn)0m和過(guò)點(diǎn)0m的切線 ) 2. 物理 : (相對(duì) )變化率速度 ; 3. 曲率 (數(shù)一二 ): 23( )( 1 ( )fxfx(曲率半徑 , 曲率中心 , 曲率圓 ) 4. 邊際與彈性 (數(shù)三 ): (附: 需求 , 收益 , 成本 , 利潤(rùn) )五. 單調(diào)性與極值(必求導(dǎo) )

12、 1. 判別 (駐點(diǎn)0()0fx): (1)( )0( )fxfx; ( )0( )fxf x; (2)分段函數(shù)的單調(diào)性(3)( )0fx零點(diǎn)唯一 ; ( )0fx駐點(diǎn)唯一 (必為極值 ,最值 ). 2. 極值點(diǎn) : (1)表格 ( )fx變號(hào) ); (由0002( )( )( )lim0, lim0, lim00 xxxxxxfxfxfxxxxx的特點(diǎn) ) (2)二階導(dǎo) (0()0fx) 注(1)f與,ff的匹配 (f圖形中包含的信息); . 6 / 23 (2)實(shí)例 : 由( )( )( )( )fxx f xg x確定點(diǎn) “0 xx” 的特點(diǎn) . (3)閉域上最值 (應(yīng)用例 : 與定積分

13、幾何應(yīng)用相結(jié)合, 求最優(yōu) ) 3. 不等式證明 ( )0fx) (1)區(qū)別 : * 單變量與雙變量? * , xa b與 ,),(,)xax? (2)類型 : *0,( )0ff a; *0,( )0ff b*0,( ),( )0ff af b; *00( )0,()0,()0fxfxf x(3)注意 : 單調(diào)性端點(diǎn)值極值凹凸性 . (如: max( )( )f xmfxm) 4. 函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù): 單調(diào)介值六. 凹凸與拐點(diǎn) (必求導(dǎo) !): 1. y表格 ;(0()0fx) 2. 應(yīng)用 : (1)泰勒估計(jì) ; (2)f單調(diào) ; (3)凹凸 . 七. 羅爾定理與輔助函數(shù): (注 : 最值點(diǎn)必為

14、駐點(diǎn)) 1. 結(jié)論 : ( )( )( )( )0f bf aff2. 輔助函數(shù)構(gòu)造實(shí)例: (1)( )f( )( )xaf xf t dt(2)( )( )( )( )0( )( )( )fgfgf xf x g x(3)( )( )( )( )( )0( )( )f xfgfgf xg x(4)( )( )( )0ff( )( )( )x dxf xef x; 3. ( )( )0( )nff x有1n個(gè)零點(diǎn)(1)( )nfx有2個(gè)零點(diǎn)4. 特例 : 證明( )( )nfa的常規(guī)方法 :令( )( )( )nf xf xpx有1n個(gè)零點(diǎn) ( )npx待定 ) 5. 注: 含12,時(shí),分家

15、!(柯西定理 ) 6. 附(達(dá)布定理 ): ( )f x在 , a b可導(dǎo) ,( ),( )cfafb, , a b,使:( )fc八. 拉格朗日中值定理1. 結(jié)論 : ( )( )( )()f bf afba; ( )( ),( )0ab) . 7 / 23 2. 估計(jì) : ( )ffx九. 泰勒公式 (連接,fff之間的橋梁 ) 1. 結(jié)論 : 2300000011( )()()()()()( )()2!3!f xf xfxxxfxxxfxx; 2. 應(yīng)用 :在已知( )f a或( )f b值時(shí)進(jìn)行積分估計(jì)十. 積分中值定理(附:廣義 ): 注:有定積分 (不含變限 )條件時(shí)使用 第三講

16、: 一元積分學(xué)一. 基本概念 : 1. 原函數(shù)( )f x: (1)( )( )fxf x; (2)( )( )f x dxdf x; (3)( )( )f x dxf xc注(1)( )( )xaf xf t dt(連續(xù)不一定可導(dǎo)); (2)()( )( )( )xxaaxt f t dtf t dtf x( )f x連續(xù) ) 2. 不定積分性質(zhì): (1)( )( )f x dxf x; ( )( )df x dxf x dx(2)( )( )fx dxf xc;( )( )df xf xc二. 不定積分常規(guī)方法1. 熟悉基本積分公式2. 基本方法 : 拆(線性性 ) 1212( )( )(

17、 )( )k f xk g x dxkf x dxkg x dx3. 湊微法 (基礎(chǔ) ): 要求巧 ,簡(jiǎn) ,活(221sincosxx) 如: 211(),ln,2dxdxd axbxdxdxdxax2dxdxx221,(1ln)( ln)1xdxdxx dxd xxx4. 變量代換 : (1)常用 (三角代換 ,根式代換 ,倒代換 ): 1sin ,1xxtaxbttetx(2)作用與引伸 (化簡(jiǎn) ): 21xxt. 8 / 23 5. 分部積分 (巧用 ): (1)含需求導(dǎo)的被積函數(shù)(如ln,arctan,( )xaxxf t dt); (2)“ 反對(duì)冪三指 ” : ,ln,naxnx e

18、 dxxxdx(3)特別 : ( )xf x dx(* 已知( )f x的原函數(shù)為( )f x; *已知( )( )fxf x) 6. 特例 : (1)11sincossincosaxbxdxaxbx; (2)( ),( )sinkxp x e dxp xaxdx快速法 ; (3)( )( )nv xdxux三. 定積分 : 1. 概念性質(zhì) : (1)積分和式 (可積的必要條件:有界 , 充分條件 :連續(xù) ) (2)幾何意義 (面積 ,對(duì)稱性 ,周期性 ,積分中值 ) *220(0)8aaxx dx aa; *()02baabxdx(3)附: ( )()baf x dxm ba, ( ) (

19、)( )bbaaf x g x dxmg x dx) (4)定積分與變限積分, 反常積分的區(qū)別聯(lián)系與側(cè)重2: 變限積分( )( )xaxf t dt的處理 (重點(diǎn) ) (1)f可積連續(xù) , f連續(xù)可導(dǎo)(2)( )xaf t dt( )f x; ()( )( )xxaaxt f t dtf t dt; ( )()( )xaf x dtxa f x(3)由函數(shù)( )( )xaf xf t dt參與的求導(dǎo) , 極限 , 極值 , 積分 (方程 )問(wèn)題3. nl公式 : ( )( )( )baf x dxf bf a( )f x在 , a b上必須連續(xù) !) 注 : (1)分段積分 ,對(duì)稱性 (奇偶

20、), 周期性(2)有理式 ,三角式 ,根式(3)含( )baf t dt的方程 . 4. 變量代換 :( )( ( ) ( )bafx dxf u tu t dt(1)00( )()()aaf x dxf ax dx xat, (2)0( )()()( )()aaaaafx dxfx dx xtf xfx dx(如:4411sindxx) (3)2201sinnnnnixdxin, . 9 / 23 (4)2200(sin )(cos )fx dxfx dx; 200(sin )2(sin )fx dxfx dx, (5)00(sin )(sin )2xfx dxfx dx, 5. 分部積分(

21、1)準(zhǔn)備時(shí) “ 湊常數(shù) ”(2)已知( )fx或( )xaf x時(shí) , 求( )baf x dx6. 附: 三角函數(shù)系的正交性: 222000sincossincos0nxdxnxdxnxmxdx2200sinsincoscos()0nxmxdxnxmxdx nm222200sincosnxdxnxdx四. 反常積分 : 1. 類型 : (1)( ),( ),( )aaf x dxfx dxf x dx( )f x連續(xù) ) (2)( )baf x dx: ( )f x在,()xaxbxc acb處為無(wú)窮間斷 ) 2. 斂散 ; 3. 計(jì)算 : 積分法nl公式極限 (可換元與分部 ) 4. 特例

22、 : (1)11pdxx; (2)101pdxx五. 應(yīng)用 : (柱體側(cè)面積除外) 1. 面積 , (1)( )( );basf xg x dx(2)1( )dcsfy dy; (3)21( )2srd; (4)側(cè)面積 :22( ) 1 ( )basf xfx dx2. 體積 : (1)22( )( )bxavfxgx dx; (2)12( )2( )dbycavfydyxf x dx(3)0 xxv與0yyv3. 弧長(zhǎng) : 22()()dsdxdy(1)( ), , yf xxa b21 ( )basfx dx(2)12( ), ,( )xx ttt tyy t2122 ( ) ( )tts

23、xtyt dt. 10 / 23 (3)( ),rr: 22( ) ( )srrd4. 物理 (數(shù)一 ,二)功,引力 ,水壓力 ,質(zhì)心 , 5. 平均值 (中值定理 ): (1)1 , ( )baf a bf x dxba; (2)0( )0)limxxf t dtfx, (f以t為周期 :0( )tf t dtft) 第四講 : 微分方程一. 基本概念1. 常識(shí) : 通解 , 初值問(wèn)題與特解(注: 應(yīng)用題中的隱含條件) 2. 變換方程 : (1)令( )xx tydy(如歐拉方程 ) (2)令( ,)( , )uu x yyy x uy(如伯努利方程) 3. 建立方程 (應(yīng)用題 )的能力二.

24、 一階方程 : 1. 形式 : (1)( ,)yf x y; (2)( , )( ,)0m x y dxn x y dy; (3)( )y ab2. 變量分離型 : ( ) ( )yf x g y(1)解法 : ( )( )( )( )dyf x dxg yf xcg y(2)“ 偏” 微分方程 : ( , )zf x yx; 3. 一階線性 (重點(diǎn) ): ( )( )yp x yq x(1)解法 (積分因子法 ): 00( )01( )( ) ( )( )xxp x dxxxm xeym x q x dxym x(2)變化 : ( )( )xp y xq y; (3)推廣 : 伯努利 (數(shù)一

25、 ) ( )( )yp x yq x y4. 齊次方程 : ()yyx(1)解法 : ( ),( )ydudxuuxuuxuux. 11 / 23 (2)特例 : 111222a xb ycdydxa xb yc5. 全微分方程 (數(shù)一 ): ( , )( , )0mx y dxn x y dy且nmxydumdxndyuc6. 一階差分方程(數(shù)三 ): 1*0( )( )xxxxxnxxycayayb p xyx q x b三. 二階降階方程1. ( )yf x: 12( )yf xc xc2. ( ,)yf x y: 令( )( ,)dpyp xyf x pdx3. ( ,)yf y y:

26、 令( )( ,)dpyp yypfy pdy四. 高階線性方程: ( ) ( )( )( )a x yb x yc x yfx1.通解結(jié)構(gòu) : (1)齊次解 : 01122( )( )( )yxc y xc yx(2)非齊次特解 :1122( )( )( )*()y xc yxc yxyx2. 常系數(shù)方程 : ( )aybycyf x(1)特征方程與特征根: 20abc(2)非齊次特解形式確定: 待定系數(shù) ; (附: ( )axf xke的算子法 ) (3)由已知解反求方程. 3. 歐拉方程 (數(shù)一 ): 2( )ax ybxycyf x, 令2(1) ,txex yd dy xydy五.

27、應(yīng)用 (注意初始條件): 1. 幾何應(yīng)用 (斜率 , 弧長(zhǎng) , 曲率 , 面積 , 體積 ); 注: 切線和法線的截距2. 積分等式變方程(含變限積分 ); 可設(shè)( )( ),( )0 xafx dxf xf a3. 導(dǎo)數(shù)定義立方程: 含雙變量條件()f xy的方程. 12 / 23 4. 變化率 (速度 ) 5. 22dvd xfmadtdt6. 路徑無(wú)關(guān)得方程(數(shù)一 ): qpxy7. 級(jí)數(shù)與方程 : (1)冪級(jí)數(shù)求和 ; (2)方程的冪級(jí)數(shù)解法:201201,(0),(0)yaa xa xayay8. 彈性問(wèn)題 (數(shù)三 ) 第五講 : 多元微分與二重積分一. 二元微分學(xué)概念1. 極限 ,

28、 連續(xù) , 單變量連續(xù) , 偏導(dǎo) , 全微分 , 偏導(dǎo)連續(xù) (必要條件與充分條件), (1)000000(,),(,),(,)xyff xx yyff xx yff xyy(2)lim,lim,limyxxyfffffxy(3)22, lim()()xyfdffxfydfxy(判別可微性 ) 注: (0,0)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)與全微分的極限定義: 00( ,0)(0,0)(0,)(0,0)(0,0)lim,(0,0)limxyxyf xffyfffxy2. 特例 : (1)22(0,0)( , )0,(0,0)xyxyf x y: (0,0)點(diǎn)處可導(dǎo)不連續(xù); (2)22(0,0)( ,)0,(0,0

29、)xyf x yxy: (0,0)點(diǎn)處連續(xù)可導(dǎo)不可微; 二. 偏導(dǎo)數(shù)與全微分的計(jì)算: 1. 顯函數(shù)一 ,二階偏導(dǎo) : ( , )zf x y注: (1)yx型; (2)00(,)xxyz; (3)含變限積分2. 復(fù)合函數(shù)的一,二階偏導(dǎo) (重點(diǎn) ): ( ,),( , )zf u x yv x y. 13 / 23 熟練掌握記號(hào)12111222,fffff的準(zhǔn)確使用3. 隱函數(shù) (由方程或方程組確定): (1)形式 : *( , )0f x y z; *( , , )0( , , )0f x y zg x y z(存在定理 ) (2)微分法 (熟練掌握一階微分的形式不變性):0 xyzf dxf

30、 dyf dz(要求 : 二階導(dǎo) ) (3)注: 00(,)xy與0z的與時(shí)代入(4)會(huì)變換方程 . 三. 二元極值 (定義 ?); 1. 二元極值 (顯式或隱式 ): (1)必要條件 (駐點(diǎn) ); (2)充分條件 (判別 ) 2. 條件極值 (拉格朗日乘數(shù)法) (注: 應(yīng)用 ) (1)目標(biāo)函數(shù)與約束條件: ( ,)( ,)0zf x yx y, (或: 多條件 ) (2)求解步驟 : ( , , )( , )( ,)l x yf x yx y, 求駐點(diǎn)即可 . 3. 有界閉域上最值(重點(diǎn) ). (1)( , )( , )( , )0zf x ymdx yx y(2)實(shí)例 : 距離問(wèn)題四. 二

31、重積分計(jì)算:1. 概念與性質(zhì) (“ 積 ” 前工作 ): (1)dd, (2)對(duì)稱性 (熟練掌握 ):*d域軸對(duì)稱 ; *f奇偶對(duì)稱 ; *字母輪換對(duì)稱;*重心坐標(biāo) ; (3)“ 分塊 ” 積分 : *12ddd; *( , )f x y分片定義 ; *( , )f x y奇偶2. 計(jì)算 (化二次積分 ): (1)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)選擇(轉(zhuǎn)換 ): 以“d” 為主 ; (2)交換積分次序 (熟練掌握 ). 3. 極坐標(biāo)使用 (轉(zhuǎn)換 ): 22()fxy附: 222: ()()dxaybr; 2222:1xydab; 雙紐線222222()()xyaxy:1dxy4. 特例 : . 14 / 23

32、 (1)單變量 : ( )f x或( )fy(2)利用 重心 求積分 : 要求 : 題型12()dk xk y dxdy, 且已知d的面積ds與重心( ,)x y5.無(wú)界域上的反常二重積分(數(shù)三 ) 五: 一類積分的應(yīng)用():;f m ddl): 1. “ 尺寸 ” : (1)ddds; (2)曲面面積 (除柱體側(cè)面 ); 2. 質(zhì)量 , 重心 (形心 ), 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ; 3. 為三重積分 , 格林公式 , 曲面投影作準(zhǔn)備. 第六講 : 無(wú)窮級(jí)數(shù) (數(shù)一 ,三) 一. 級(jí)數(shù)概念1. 定義 : (1)na, (2)12nnsaaa; (3)limnns(如1(1)!nnn) 注: (1)limn

33、na; (2)nq(或1na); (3)“ 伸縮 ” 級(jí)數(shù) :1()nnaa收斂na收斂 . 2. 性質(zhì) :(1)收斂的必要條件: lim0nna; (2)加括號(hào)后發(fā)散 ,則原級(jí)數(shù)必發(fā)散(交錯(cuò)級(jí)數(shù)的討論); (3)221,0nnnnss assss; 二. 正項(xiàng)級(jí)數(shù)1. 正項(xiàng)級(jí)數(shù) : (1)定義 : 0na; (2)特征 :ns; (3)收斂nsm(有界 ) 2. 標(biāo)準(zhǔn)級(jí)數(shù) : (1)1pn, (2)lnknn, (3)1lnknn3. 審斂方法 : (注:222abab,lnlnbaab) (1)比較法 (原理 ):npkan(估計(jì) ), 如10( )nf x dx;( )( )p nq n

34、(2)比值與根值 : *1limnnnuu*limnnnu(應(yīng)用 : 冪級(jí)數(shù)收斂半徑計(jì)算) 三. 交錯(cuò)級(jí)數(shù) (含一般項(xiàng) ): 1( 1)nna(0na) 1. “ 審” 前考察 : (1)0?na(2)0?na; (3)絕對(duì) (條件 )收斂 ? . 15 / 23 注: 若1lim1nnnaa,則nu發(fā)散2. 標(biāo)準(zhǔn)級(jí)數(shù) : (1)11( 1)nn; (2)11( 1)npn; (3)11( 1)lnnpn3. 萊布尼茲審斂法(收斂 ?) (1)前提 : na發(fā)散 ; (2)條件 : ,0nnaa; (3)結(jié)論 : 1( 1)nna條件收斂 . 4. 補(bǔ)充方法 : (1)加括號(hào)后發(fā)散 , 則原級(jí)

35、數(shù)必發(fā)散; (2)221,0nnnnss assss. 5. 須知 : 對(duì)比na; ( 1)nna; na; 2na之間的斂散關(guān)系四. 冪級(jí)數(shù) : 1. 常見(jiàn)形式 : (1)nna x, (2)0()nnaxx, (3)20()nnaxx2. 阿貝爾定理 : (1)結(jié)論 : *xx斂*0rxx; *xx散*0rxx(2)注: 當(dāng)*xx條件收斂時(shí)*rxx3. 收斂半徑 ,區(qū)間 ,收斂域 (求和前的準(zhǔn)備 ) 注(1),nnnnana xxn與nna x同收斂半徑(2)nna x與20()nnaxx之間的轉(zhuǎn)換4. 冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法: (1)前提 : 熟記公式 (雙向 ,標(biāo)明斂域 ) 23111,2!3!

36、xexxxr24111()1,22!4!xxeexxr35111(),23!5!xxeexxxr3511sin,3!5!xxxxr2411cos1,2!4!xxxr; 211,( 1,1)1xxxx; 211,( 1,1)1xxxx2311ln(1),( 1,123xxxxx2311ln(1), 1,1)23xxxxx. 16 / 23 3511arctan, 1,135xxxxx(2)分解 : ( )( )( )f xg xh x(注:中心移動(dòng) ) (特別 : 021, xxaxbxc) (3)考察導(dǎo)函數(shù) : ( )( )g xfx0( )( )(0)xf xg x dxf(4)考察原函數(shù)

37、: 0( )( )xg xf x dx( )( )f xgx5. 冪級(jí)數(shù)求和法(注: *先求收斂域 , * 變量替換 ): (1)( ),s x(2)( )s x,(注意首項(xiàng)變化 ) (3)( )()s x, (4)( )( )s xs x的微分方程(5)應(yīng)用 :( )(1)nnnnaa xs xas. 6. 方程的冪級(jí)數(shù)解法7. 經(jīng)濟(jì)應(yīng)用 (數(shù)三 ): (1)復(fù)利 : (1)nap; (2)現(xiàn)值 : (1)nap五. 傅里葉級(jí)數(shù) (數(shù)一 ):(2t) 1. 傅氏級(jí)數(shù) (三角級(jí)數(shù) ): 01( )cossin2nnnas xanxbnx2. dirichlet充分條件 (收斂定理 ): (1)

38、由( )( )f xs x(和函數(shù) ) (2)1( )()()2s xf xf x3. 系數(shù)公式 : 01( )cos1( ),1,2,3,1( )sinnnafxnxdxaf x dxnbf xnxdx4. 題型 :(注: ( )( ),?f xs xx) (1)2t且( ),(,f xx(分段表示 ) . 17 / 23 (2)(,x或0,2x(3)0,x正弦或余弦*(4)0,x(t) *5. 2tl6. 附產(chǎn)品 : ( )f x01( )cossin2nnnas xanxbnx00001()cossin2nnnas xanxbnx001()()2f xf x第七講 : 向量 ,偏導(dǎo)應(yīng)用與

39、方向?qū)?數(shù)一 ) 一. 向量基本運(yùn)算1.12k ak b; (平行ba) 2. a; (單位向量 (方向余弦 )01(cos ,cos,cos )aaa) 3. a b; (投影 :( )aa bba; 垂直 :0aba b; 夾角 :( , )a ba ba b) 4. ab; (法向 :,naba b; 面積 :sab) 二. 平面與直線1.平面(1)特征 (基本量 ): 0000(,)( , ,)mxyzna b c(2)方程 (點(diǎn)法式 ):000:()()()00a xxb yyc zzaxbyczd(3)其它 : * 截距式1xyzabc; *三點(diǎn)式2.直線l(1)特征 (基本量 )

40、: 0000(,)(, ,)mxyzsm n p(2)方程 (點(diǎn)向式 ): 000:xxyyzzlmnp(3)一般方程 (交面式 ): 1111222200a xb yc zda xb yc zd. 18 / 23 (4)其它 : * 二點(diǎn)式 ;*參數(shù)式 ;(附: 線段ab的參數(shù)表示 :121121121()() ,0,1()xaaa tybbb ttzccc t) 3. 實(shí)用方法 : (1)平面束方程 : 11112222:()0a xb yc zda xb yc zd(2)距離公式 : 如點(diǎn)000(,)mxy到平面的距離000222axbyczddabc(3)對(duì)稱問(wèn)題 ; (4)投影問(wèn)題

41、. 三. 曲面與空間曲線(準(zhǔn)備 ) 1. 曲面(1)形式: ( , , )0f x y z或( ,)zf x y; (注: 柱面( ,)0f x y) (2)法向(,)(cos ,cos,cos )xyznfff(或(,1)xynzz) 2. 曲線(1)形式( ):( )( )xx tyy tzz t,或( , , )0( , , )0f x y zg x y z; (2)切向 : ( ),( ),( )sx ty tz t(或12snn) 3. 應(yīng)用(1)交線 , 投影柱面與投影曲線; (2)旋轉(zhuǎn)面計(jì)算 : 參式曲線繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn); (3)錐面計(jì)算 . 四. 常用二次曲面1. 圓柱面 :222

42、xyr2. 球面 : 2222xyzr變形 : 2222xyrz,222()zrxy, 2222xyzaz, 2222000()()()xxyyzzr. 19 / 23 3. 錐面 : 22zxy變形 : 222xyz, 22zaxy4. 拋物面 : 22zxy, 變形 : 22xyz, 22()zaxy5. 雙曲面 : 2221xyz6. 馬鞍面 : 22zxy, 或zxy五. 偏導(dǎo)幾何應(yīng)用1. 曲面(1)法向 : ( , , )0(,)xyzf x y znff f, 注 : ( , )(,1)xyzf x ynff(2)切平面與法線 : 2. 曲線(1)切向 : ( ),( ),( )(

43、 , )xx tyy tzz tsx yz(2)切線與法平面3. 綜合 : :00fg, 12snn六. 方向?qū)c梯度(重點(diǎn) ) 1. 方向?qū)?(l方向斜率 ): (1)定義 (條件 ):(, ,)(cos,cos,cos)lm n p(2)計(jì)算 (充分條件 :可微 ): coscoscosxyzuuuul附: 0( , ),cos,sin zf x ylcossinxyzffl(3)附: 2222cos2sincossinxxxyyyffffl2. 梯度 (取得最大斜率值的方向) g: . 20 / 23 (1)計(jì)算 : ( )( , )(,)xya zf x yggradzff; ( )(

44、 , , )(,)xyzb uf x y zggraduuu u(2)結(jié)論( )aul0g l; ( )b取lg為最大變化率方向; ( )c0()g m為最大方向?qū)?shù)值. 第八講 : 三重積分與線面積分(數(shù)一 ) 一. 三重積分 (fdv) 1. 域的特征 (不涉與復(fù)雜空間域): (1)對(duì)稱性 (重點(diǎn) ): 含: 關(guān)于坐標(biāo)面 ; 關(guān)于變量 ; 關(guān)于重心(2)投影法 : 22212( , )( , )( , )xydx y xyrz x yzz x y(3)截面法 : 222( )( , )( )d zx y xyrzazb(4)其它 : 長(zhǎng)方體 , 四面體 , 橢球2. f的特征 : (1)單

45、變量( )f z, (2)22()fxy, (3)222()f xyz, (4)faxbyczd3. 選擇最適合方法: (1)“ 積” 前: *dv; *利用對(duì)稱性 (重點(diǎn) ) (2)截面法 (旋轉(zhuǎn)體 ): ( )bad zidzfdxdy(細(xì)腰或中空 , ( )f z, 22()f xy) (3)投影法 (直柱體 ): 21( , )( , )xyzx yzx ydidxdyfdz(4)球坐標(biāo) (球或錐體 ): 22000sin()riddfd, (5)重心法 (faxbyczd): ()iaxbyczd v4. 應(yīng)用問(wèn)題 : (1)同第一類積分 : 質(zhì)量 , 質(zhì)心 , 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 , 引力(2)gauss公式. 21 / 23 二. 第一類線積分(lfds) 1. “ 積” 前準(zhǔn)備 : (1)ldsl; (2)對(duì)稱性 ; (3)代入 “l(fā)” 表