微分方程習(xí)題

1、微分方程和差分方程作業(yè)題專業(yè)：土規(guī)1101班 姓名：劉邁克 學(xué)號(hào)：2011306200521微分方程模型作業(yè)：1用matlab求解微分方程組 （1）求在初始條件下的特解，并畫(huà)出解函數(shù)的圖形（2）分別用 ode23、ode45 求此微分方程組初值問(wèn)題的數(shù)值解(近似解)，求解區(qū)間為利用畫(huà)圖來(lái)比較兩種求解器之間的差異解：程序：x,y=dsolve('Dx+x+y=0','Dy+x-y=0', . 'x(0)=1', 'y(0)=0', 't')ezplot(x,y,0,5);（1）（2）先編寫(xiě)函數(shù)文件 verderpol

2、.mfunction xprime=verderpol(t,x)xprime=-x(1)-x(2); -x(1)+x(2);再編寫(xiě)腳本文件 vdpl.m，在命令窗口直接運(yùn)行該文件clear;y0=1;0;t,x=ode45（23）('verderpol',1,40,y0); plot(t,x(:,1),'or-');ode45求解器微分方程組初值問(wèn)題的數(shù)值解(近似解)Ode23求解器微分方程組初值問(wèn)題的數(shù)值解(近似解)兩種求解器之間的差異：由圖像可知，Ode45求解器的圖像中點(diǎn)數(shù)比較多，更加精確。2設(shè)初始時(shí)容器里盛放著含凈鹽10千克的鹽水100升，現(xiàn)對(duì)其以每分鐘

3、3升的速率注入清水，容器內(nèi)裝有攪拌器能將溶液迅時(shí)攪拌均勻，并同時(shí)以每分鐘2升的速率放出鹽水，求1小時(shí)后容器里的鹽水中還含有多少凈鹽？解：分析：設(shè)t時(shí)刻（單位為分鐘）凈鹽量為x(t)（單位: kg/l），考慮時(shí)間區(qū)間為t,t+t。程序：x=dsolve('Dx=-2*x/(100+t)','x(0)=10','t');結(jié)果：程序：ezplot(x);結(jié)果：當(dāng)t=60時(shí)，x=3.90253.醫(yī)生給病人開(kāi)藥時(shí)需告訴病人服藥的劑量和兩次服藥的間隔時(shí)間，服用的劑量過(guò)大會(huì)產(chǎn)生副作用甚至危險(xiǎn)，服用的劑量過(guò)小又達(dá)不到治療的目的，例如，為有效殺死病菌，體內(nèi)藥物濃度

4、應(yīng)達(dá)到A,試分析這一問(wèn)題并設(shè)計(jì)出一種病人服藥的方法。解：方法一：快速靜脈注射微分方程 結(jié)果 方法二：恒速靜脈點(diǎn)滴方程 解為 （為第一次點(diǎn)滴，時(shí)間T1）第二次點(diǎn)滴初始值 方法三：口服藥或肌注方程 解得 由分析可知，第二種效果更好一些。4. 早期腫瘤的體積增長(zhǎng)滿足Malthus模型（，其中為常數(shù)），（1）求腫瘤的增倍時(shí)間。根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，一般有(7,465)（單位為天），肺部惡性腫瘤的增倍時(shí)間大多大于70天而小于465天（發(fā)展太快與太慢一般都不是惡性腫瘤），故是確定腫瘤性質(zhì)的重要參數(shù)之一（2）為方便起見(jiàn)，醫(yī)生通常用腫瘤直徑來(lái)表示腫瘤的大小，試推出醫(yī)生用來(lái)預(yù)測(cè)病人腫瘤直徑增大速度的公式. (3) 正常

5、人身上也有癌細(xì)胞，一個(gè)癌細(xì)胞直徑約為10m，重約0.001g.，當(dāng)患者被查出患有癌癥時(shí)，通常直徑已有1cm以上（即已增大1000倍），由此容易算出癌細(xì)胞轉(zhuǎn)入活動(dòng)期已有30天，故如何在早期發(fā)現(xiàn)癌癥是攻克癌癥的關(guān)鍵之一。手術(shù)治療常不能割去所有癌細(xì)胞，故有時(shí)需進(jìn)行放射療法。射線強(qiáng)度太小無(wú)法殺死癌細(xì)胞，太強(qiáng)病人身體又吃不消且會(huì)使病人免疫功能下降。一次照射不可能殺死全部癌細(xì)胞，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)可行的治療方案（醫(yī)生認(rèn)為當(dāng)體內(nèi)癌細(xì)胞數(shù)小于105個(gè)時(shí)即可憑借體內(nèi)免疫系統(tǒng)殺滅。解：（1），其中為常數(shù) （其中c為常數(shù)） 當(dāng)（2） 因?yàn)?t=0時(shí)， 所以 （3）假設(shè)，不考慮殺死免疫細(xì)胞從而影響人類免疫功能，一位病人癌細(xì)胞

6、直徑為1cm，癌細(xì)胞含量為，治療打算用17/2天使癌細(xì)胞減少到可殺死水平，每?jī)纱沃委煹拈g隔為1/2,用9次治療使癌細(xì)胞得到控制。程序：clear;clc;for x=1:900000 k=1000000-x; for i=1:9 k=sqrt(2)*k-x; end if k<=100000 break endendx解得，x=301006.每隔1/2進(jìn)行一次放射性治療，強(qiáng)度為殺死301006個(gè)癌細(xì)胞。 差分方程模型作業(yè)：5某保險(xiǎn)公司推出與養(yǎng)老結(jié)合的人壽保險(xiǎn)計(jì)劃，其中介紹的例子為：如果40歲的男性投保人每年交保險(xiǎn)費(fèi)1540元，交費(fèi)期20歲至60歲，則在他生存期間，45歲時(shí)（投保滿5年）可

7、獲返還補(bǔ)貼4000元，50歲時(shí)（投保滿10年）可獲返還補(bǔ)貼5000元，其后每隔5年可獲增幅為1000元的返還補(bǔ)貼。另外，在投保人去世或殘廢時(shí)，其受益人可獲保險(xiǎn)金20000元。試建立差分方程模型分析：若該投保人的壽命為76歲，其交保險(xiǎn)費(fèi)所獲得的實(shí)際年利率是多少？而壽命若為74歲時(shí)，實(shí)際年利率又是多少？解：若6. 據(jù)統(tǒng)計(jì)，某城市2001年的豬肉產(chǎn)量為30萬(wàn)噸，價(jià)格為6.00元/公斤。2002年生產(chǎn)豬肉25萬(wàn)噸，價(jià)格為6.00元/公斤。已知2003年生產(chǎn)豬肉25萬(wàn)噸，若維持日前的消費(fèi)水平與生產(chǎn)方式，并假定豬肉產(chǎn)量與價(jià)格之間是線性關(guān)系。問(wèn)若干年以后的產(chǎn)量與價(jià)格是否會(huì)趨于穩(wěn)定？若穩(wěn)定請(qǐng)求出穩(wěn)定的產(chǎn)量和價(jià)

8、格7已知一種昆蟲(chóng)每?jī)芍墚a(chǎn)卵一次，六周以后死亡（給除了變化過(guò)程的基本規(guī)律）。孵化后的幼蟲(chóng)2周后成熟，平均產(chǎn)卵100個(gè)，四周齡的成蟲(chóng)平均產(chǎn)卵150個(gè)。假設(shè)每個(gè)卵發(fā)育成2周齡成蟲(chóng)的概率為0.09，（稱為成活率），2周齡成蟲(chóng)發(fā)育成4周齡成蟲(chóng)的概率為0.2。（1）假設(shè)開(kāi)始時(shí)， 02，24，46周齡的昆蟲(chóng)數(shù)目相同，計(jì)算2周、4周、6周后各種周齡的昆蟲(chóng)數(shù)目； （2）討論這種昆蟲(chóng)各種周齡的昆蟲(chóng)數(shù)目的演變趨勢(shì)：各周齡的昆蟲(chóng)比例是否有一個(gè)穩(wěn)定值？昆蟲(chóng)是無(wú)限地增長(zhǎng)還是趨于滅亡？ （3）假設(shè)使用了除蟲(chóng)劑，已知使用了除蟲(chóng)劑后各周齡的成活率減半，問(wèn)這種除蟲(chóng)劑是否有效？解：分別設(shè)2周齡蟲(chóng)，4周齡蟲(chóng)，6周齡蟲(chóng)的數(shù)目為一個(gè)單位

9、所以2周齡蟲(chóng)，4周齡蟲(chóng)，6周齡蟲(chóng)的初值分別為1，1，1設(shè)兩周為一個(gè)觀察單位，設(shè)表示第k個(gè)時(shí)間單位2n齡幼蟲(chóng)的數(shù)目建立函數(shù)模型：（1)計(jì)算2周、4周、6周后各種周齡的昆蟲(chóng)數(shù)目的程序clear; clc; x0=1;1;1; L=0 100 150;0.09 0 0;0 0.2 0; x1=L*x0; x2=L*x1; x3=L*x2; x1'x2'x3'結(jié)果如下：ans = 1.0e+003 * 0.2500 0.0001 0.0002 0.0390 0.0225 0.00002.2527 0.0035 0.0045（2） 令z在比例中的值為1編程求出個(gè)周齡在90100這

10、個(gè)時(shí)間段的值以z的值為一個(gè)單位，求x，y的和z的比。程序：clear; clc; x0=1;1;1; L=0 100 150;0.09 0 0;0 0.2 0; X=x0; x(1)=X(1);y(1)=X(2);z=X(3); for k=2:1001 X=L*X; x(k)=X(1);y(k)=X(2);z(k)=X(3); end for i=100:200 x(i)/z(i),y(i)/z(i) end得出的結(jié)果大都分布在m =547.7538 15.6954，所以三種蟲(chóng)的比值為547.75：15.7：1為恒定的值。由擬合圖像可知，昆蟲(chóng)數(shù)目無(wú)限增長(zhǎng)。（3）如果使用了殺蟲(chóng)劑，那么各周齡的昆蟲(chóng)成活率減為原來(lái)的一半設(shè)兩周為一個(gè)觀察單位，設(shè)表示第k個(gè)時(shí)間單位2n齡幼蟲(chóng)的數(shù)目建立函數(shù)模型變?yōu)椋撼绦?clear; clc; x0=1;1;1; L=0 100 150;0.0045 0 0;0 0.1 0; X=x0; x(1)=X(1);y