拋物線與圓的綜合

1、. 精選文檔拔高專題拋物線與圓的綜合一、基本模型構(gòu)建常見(jiàn)模型思考圓與拋物線以及與坐標(biāo)系相交，根據(jù)拋物線的解析式可求交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)交點(diǎn)可求三角形的邊長(zhǎng)，由于圓的位置不同，三角形的形狀也不同。再根據(jù)三角形的形狀，再解決其它問(wèn)題。二、拔高精講精練探究點(diǎn)一： 拋物線、圓和直線相切的問(wèn)題例 1: （ 2015? 崇左）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)m的坐標(biāo)是（ 5，4） ，m與 y 軸相切于點(diǎn) c，與 x 軸相交于a，b兩點(diǎn)（1）則點(diǎn) a，b，c的坐標(biāo)分別是a （2，0） ， b （8，0） ，c （0，4） ；（2）設(shè)經(jīng)過(guò)a，b 兩點(diǎn)的拋物線解析式為y=14（x-5 ）2+k，它的頂點(diǎn)為e，求證：直線e

2、a與 m相切；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)p，且點(diǎn) p在 x 軸的上方，使 pbc是等腰三角形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)p的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（1）解：連接mc 、ma ，如圖 1 所示： m與 y 軸相切于點(diǎn)c， mc y 軸， m （5，4） ，mc=ma=5， oc=md=4，c（0，4） ， md ab ， da=db ， mda=90 ， ad=2254=3， bd=3 ， oa=5-3=2，ob=5+3=8 ，a（2，0） ，b（8，0） ；（2）證明：把點(diǎn)a（2， 0）代入拋物線y=14（x-5 ）2+k，得： k=-94， e（5， -94） ，. 精選文檔de=9

3、4， me=md+de=4+94=254， ea2=32+ （94）2=22516， ma2+ea2=52+22516=22516， me2=22516，ma2+ea2=me2， mae=90 ，即 ea ma ， ea與 m相切；（3）解：存在；點(diǎn)p坐標(biāo)為（ 5， 4） ，或（ 5，71） ，或（ 5，4+55） ；理由如下：由勾股定理得：bc=22ocob=2248=45，分三種情況：當(dāng)pb=pc時(shí)，點(diǎn) p在bc的垂直平分線上，點(diǎn)p與 m重合， p（5，4） ；當(dāng) bp=bc=45時(shí)，如圖 2 所示： pd=22bpbd=2803=71，p （5，71） ； 當(dāng)pc=bc=45時(shí) ， 連

4、接mc ， 如 圖3 所 示 ： 則 pmc=90 ， 根 據(jù) 勾 股 定 理 得 ：pm=22pcmc=2805=55， pd=4+55，p（5，4+55） ；綜上所述：存在點(diǎn)p，且點(diǎn) p在 x 軸的上方，使pbc是等腰三角形，點(diǎn) p的坐標(biāo)為（ 5，4） ，或（ 5，71） ，或（ 5，4+55） 【變式訓(xùn)練】 （2015? 柳州）如圖，已知拋物線y=-12（x2-7x+6 ）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為m ，與 x 軸相交于 a，b兩點(diǎn)（點(diǎn) b在點(diǎn) a的右側(cè)），與 y 軸相交于點(diǎn)c（1）用配方法將拋物線的解析式化為頂點(diǎn)式：y=a（x-h ）2+k（a0） ，并指出頂點(diǎn)m的坐標(biāo)；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上找點(diǎn)

5、r，使得 cr+ar 的值最小，并求出其最小值和點(diǎn)r的坐標(biāo)；（3）以 ab為直徑作 n交拋物線于點(diǎn)p （點(diǎn) p 在對(duì)稱軸的左側(cè)） ，求證：直線mp是 n的切線. 精選文檔（1）解： y=-12（x2-7x+6 ）=-12（x2-7x ）-3=-12（x-72）2+258，拋物線的解析式化為頂點(diǎn)式為：y=-12（x-72）2+258，頂點(diǎn) m的坐標(biāo)是（72，258） ；（2）解：y=-12（x2-7x+6 ） ，當(dāng) y=0 時(shí)，-12（x2-7x+6 ）=0，解得 x=1 或 6，a （1，0） ，b（6，0） ， x=0 時(shí)， y=-3 ， c（0， -3） 連接bc ，則 bc與對(duì)稱軸x=7

6、2的交點(diǎn)為r，連接 ar ，則cr+ar=cr+br=bc，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知此時(shí)cr+ar的值最小，最小值為bc=2263=35設(shè)直線 bc的解析式為y=kx+b，b （6，0） ，c （0，-3 ） ，603kbb，解得231kb，直線bc的解析式為： y=12x-3 ，令 x=72，得 y=1272-3=-54， r點(diǎn)坐標(biāo)為（72，-54） ；（3）證明：設(shè)點(diǎn)p坐標(biāo)為（ x，-12x2+72x-3 ） a（1，0） ，b（6，0） ， n（72，0） ，以 ab為直徑的 n的半徑為12ab=52， np=52，即（ x-72）2+（-12x2+72x-3 ）2=（52）2，化簡(jiǎn)整理

7、得，x4-14x3+65x2-112x+60=0 ， （x-1 ） （x-2 ） （ x-5 ） （x-6 ）=0，解得 x1=1（與 a 重合，舍去），x2=2，x3=5（在對(duì)稱軸的右側(cè)，舍去），x4=6（與 b重合，舍去） ，點(diǎn) p坐標(biāo)為（2，2） m （72，258） ，n（72， 0） ， pm2=（2-72）2+（2-258）2=22564，pn2=（ 2-72）2+22=254=40064，mn2=（258）2=62564， pm2+pn2=mn2， mpn=90 ，點(diǎn)p 在 n 上，直線mp是 n 的切線. 精選文檔【教師總結(jié)】本題是二次函數(shù)綜合題目，考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、垂徑定

8、理、二次函數(shù)解析式的求法、勾股定理、勾股定理的逆定理、切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)；綜合性強(qiáng)探究點(diǎn)二：拋物線、圓和三角形的最值問(wèn)題例 2: （2015? 茂名）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，a與 x 軸相交于c （-2 ，0） ，d （-8 ，0）兩點(diǎn)，與y 軸相切于點(diǎn)b（0，4） （1）求經(jīng)過(guò)b， c，d三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為e，證明：直線ce與 a相切；（3）在 x 軸下方的拋物線上，是否存在一點(diǎn)f，使 bdf面積最大，最大值是多少？并求出點(diǎn) f 的坐標(biāo)。解： （1）設(shè)拋物線的解析式為：y=ax2+bx+c，把 b（0， 4） ，c （ -2 ，0） ，d（-8

9、 ，0）代入得：40420648cabcabc，解得41452abc經(jīng)過(guò)b，c，d三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y=14x2+52x+4；（2）y=14x2+52x+4=14（x+5）2-94，e （ -5，-94） ，設(shè)直線 ce的函數(shù)解析式為y=mx+n ，. 精選文檔直線 ce與 y 軸交于點(diǎn) g，則05429mnmn，解得：3432mn，y=34x+32，在 y=34x+32中，令 x=0，y=32， g （0，32） ，如圖 1，連接 ab ，ac ，ag ，則 bg=ob-og=4-32=52，cg=22ocog=2223( )2=52，bg=cg ，ab=ac ，在 abg與 ac

10、g中，abacbgcgagag， abg acg ， acg= abg ， a與 y 軸相切于點(diǎn) b（0，4） ， abg=90 ， acg= abg=90 點(diǎn) c在 a上，直線ce與 a相切；（3）存在點(diǎn)f，使 bdf面積最大，如圖 2 連接 bd ， bf，df ，設(shè) f（t ，14t2+52t+4 ） ，過(guò)f 作 fny 軸交 bd于點(diǎn) n， 設(shè)直線 bd的解析式為y=kx+d， 則408dkd， 解得412kd 直線 bd的解析式為y=12x+4，點(diǎn) n的坐標(biāo)為（t ，12t+4 ） ， fn=12t+4-（14t2+52t+4 ） =-14t2-2t ， sdbf=sdnf+sbnf

11、=12od? fn=128（ -14t2-2t ）=-t2-8t=- （t+4 ）2+16，當(dāng) t=-4 時(shí)， sbdf最大，最大值是16，當(dāng) t=-4 時(shí)，14t2+52t+4=-2 ， f（-4，-2 ） 【變式訓(xùn)練】 如圖， 已知拋物線y=ax2+bx+c（a0，c0）交 x 軸于點(diǎn) a，b，交 y 軸于點(diǎn) c ，設(shè)過(guò)點(diǎn) a，b，c的圓與 y 軸的另一個(gè)交點(diǎn)為d已知點(diǎn) a ，b，c的坐標(biāo)分別為（-2 ，0） ， （ 8，0） ， （0，-4） （1）求此拋物線的表達(dá)式與點(diǎn)d的坐標(biāo)；. 精選文檔（2）若點(diǎn) m為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，求bdm 面積的最大值。解： （1）拋物線y=

12、ax2+bx+c 過(guò)點(diǎn) a （-2 ，0） ，b （8，0） ，c （0，-4 ） ，42064804abcabcc，解得14324abc，拋物線的解析式為：y=14x2-32x-4 ； oa=2 ，ob=8 ，oc=4 ，ab=10 如答圖 1，連接 ac 、bc ，由勾股定理得：ac=20，bc=80 ac2+bc2=ab2=100， acb=90 ， ab為圓的直徑由垂徑定理可知，點(diǎn)c、d關(guān)于直徑ab對(duì)稱， d（0，4） ；（2）解法一：設(shè)直線bd的解析式為y=kx+b， b（8，0） ，d （0，4） ，804kbb，解得142kb， 直線 bd解析式為： y=-12x+4設(shè) m （x

13、，14x2-32x-4 ） ，如答圖 2-1 ，過(guò)點(diǎn)m作 me y 軸， 交 bd于點(diǎn) e， 則 e （x， -12x+4） me=（-12x+4） - （14x2-32x-4 ） =-14x2+x+8 sbdm=smed+smeb=12me （xe-xd）+12me （xb-xe）=12me （xb-xd） =4me ， sbdm=4（ -14x2+x+8）=-x2+4x+32=- （x-2 ）2+36當(dāng) x=2 時(shí)， bdm 的面積有最大值為36；解法二：如答圖 2-2 ， 過(guò) m作 mn y 軸于點(diǎn) n 設(shè) m （m ，14m2-32m-4） ， sobd=12ob ?od=12=16，s梯形 obmn=12（mn+ob ） ? on=12（m+8 ）-（14m2-32m-4）=-12m （14m2-32m-4）-4（14m2-32m-4） ，smnd=12mn ? dn=12m4- （14m2-32m-4） =2m-12m（14m2-32m-4） ， sbdm=so