期權(quán)定價模型和數(shù)值方法1

1、 期權(quán)定價模型與數(shù)值方法期權(quán)定價模型與數(shù)值方法 經(jīng)濟數(shù)學學院經(jīng)濟數(shù)學學院 教師：向開理教師：向開理 2012 2012年年0 04 4月月期權(quán)定價模型和數(shù)值方法期權(quán)定價模型和數(shù)值方法導導 論論 風險管理與金融衍生品風險管理與金融衍生品第一章第一章 期權(quán)定價基礎(chǔ)期權(quán)定價基礎(chǔ)第二章第二章 期權(quán)定價方法的理論基礎(chǔ)期權(quán)定價方法的理論基礎(chǔ)_布朗運動、伊藤引布朗運動、伊藤引 理和理和Black-Scholes微分方程微分方程第三章第三章 期權(quán)定價的樹圖法和有限差分法期權(quán)定價的樹圖法和有限差分法第四章第四章 蒙特卡羅模擬（蒙特卡羅模擬（Monte Carlo Simulation）方法）方法第五章第五章 參

2、量變化對期權(quán)價格的影響參量變化對期權(quán)價格的影響導導 論論 風險管理與金融衍生品風險管理與金融衍生品1、風險和金融衍生品的概念、風險和金融衍生品的概念風險（風險（risk）指結(jié)果的不確定性。金融衍生產(chǎn)品（金融衍生產(chǎn)品（derivatives)是指其價值依賴于基礎(chǔ)資產(chǎn)(或稱標的資產(chǎn)）(underlyings assets)價值變動的合約（contracts），它是一種風險管理的工具。金融衍生品共同特征是保證金交易，即只要支付一定比例的保證金就可進行全額交易，不需實際上的本金轉(zhuǎn)移，合約的了結(jié)一般也采用現(xiàn)金差價結(jié)算的方式進行，只有在滿期日以實物交割方式履約的合約才需要買方交足貸款。因此，金融衍生產(chǎn)品交

3、易具有杠桿效應(yīng)杠桿效應(yīng)。保證金越低，杠桿效應(yīng)越大，風險也就越大。2、金融衍生品的分類、金融衍生品的分類（1）根據(jù)產(chǎn)品形態(tài)，可以分為遠期遠期、期貨期貨、期權(quán)期權(quán)、掉期掉期四大類。 （2）根據(jù)原生資產(chǎn)分類，即股票股票、利率利率、匯率匯率和商品商品。如果再加以細分，股票類中又包括股票期貨、股票期權(quán)合約和股票指數(shù)期貨和期權(quán)合約等；利率類中又可分為以短期存款利率為代表的利率期貨、利率遠期、利率期權(quán)、利率掉期合約和以長期債券利率為代表的債券期貨、債券期權(quán)合約；貨幣類中包括各種不同幣種之間的比值；商品類中包括各類大宗實物商品。 （3）根據(jù)交易方法，可分為場內(nèi)交易和場外交易。場內(nèi)交易即是通常所指的交易所交易，

4、指所有的供求方集中在交易所進行競價交易的交易方式。場外交易即是柜臺交易，指交易雙方直接成為交易對手的交易方式，其參與者僅限于信用度高的客戶。利用金融衍生物對原生資產(chǎn)進行風險管理的基利用金融衍生物對原生資產(chǎn)進行風險管理的基本策略是套期保值（或?qū)_本策略是套期保值（或?qū)_hedging）,即交易者在即交易者在現(xiàn)貨市場和期貨（權(quán)）市場同時構(gòu)作兩個數(shù)量相現(xiàn)貨市場和期貨（權(quán)）市場同時構(gòu)作兩個數(shù)量相同、方向相反的頭寸（同、方向相反的頭寸（positions）。）。 第一章第一章 期權(quán)定價基礎(chǔ)期權(quán)定價基礎(chǔ)1.1 期權(quán)及其有關(guān)概念期權(quán)及其有關(guān)概念1.2 買入期權(quán)與賣出期權(quán)的平價買入期權(quán)與賣出期權(quán)的平價1.3

5、期權(quán)的應(yīng)用期權(quán)的應(yīng)用期權(quán)是人們?yōu)榱艘?guī)避市場風險而創(chuàng)造出來的一期權(quán)是人們?yōu)榱艘?guī)避市場風險而創(chuàng)造出來的一種金融衍生工具。理論和實踐均表明，只要投資種金融衍生工具。理論和實踐均表明，只要投資者合理的選擇其手中證券和相應(yīng)衍生物的比例，者合理的選擇其手中證券和相應(yīng)衍生物的比例，就可以獲得無風險收益。這種組合的確定有賴于就可以獲得無風險收益。這種組合的確定有賴于對衍生證券的定價。上個世紀七十年代初期，對衍生證券的定價。上個世紀七十年代初期，Black 和和 Scholes 通過研究股票價格的變化規(guī)律，通過研究股票價格的變化規(guī)律，運用套期保值的思想，成功的推出了在無分紅情運用套期保值的思想，成功的推出了在無

6、分紅情況下股票期權(quán)價格所滿足的隨機偏微分方程。從況下股票期權(quán)價格所滿足的隨機偏微分方程。從而為期權(quán)的精確合理的定價提供了有利的保障。而為期權(quán)的精確合理的定價提供了有利的保障。這一杰出的成果極大的推進了金融衍生市場的穩(wěn)這一杰出的成果極大的推進了金融衍生市場的穩(wěn)定、完善與繁榮。定、完善與繁榮。 1.1 期權(quán)及其有關(guān)概念期權(quán)及其有關(guān)概念1期權(quán)的定義期權(quán)的定義 期權(quán)分為期權(quán)分為買入期權(quán)買入期權(quán)（Call Option）和）和賣出期權(quán)賣出期權(quán)（Put Option）買入期權(quán)買入期權(quán):又稱又稱看漲期權(quán)看漲期權(quán)（或敲入期權(quán)），它賦予期權(quán)（或敲入期權(quán)），它賦予期權(quán)持有者在給定時間（或在此時間之前任一時刻）按規(guī)

7、定價持有者在給定時間（或在此時間之前任一時刻）按規(guī)定價格買入一定數(shù)量某種資產(chǎn)的權(quán)利的一種法律合同。格買入一定數(shù)量某種資產(chǎn)的權(quán)利的一種法律合同。賣出期權(quán)賣出期權(quán):又稱又稱看跌期權(quán)看跌期權(quán)（或敲出期權(quán)），它賦予期權(quán)（或敲出期權(quán)），它賦予期權(quán)持有者在給定時間（或在此時間之前任一時刻）按規(guī)定價持有者在給定時間（或在此時間之前任一時刻）按規(guī)定價格賣出一定數(shù)量某種資產(chǎn)的權(quán)利的一種法律合同。格賣出一定數(shù)量某種資產(chǎn)的權(quán)利的一種法律合同。 針對有效期規(guī)定不同，期權(quán)又分為歐式期權(quán)針對有效期規(guī)定不同，期權(quán)又分為歐式期權(quán)（European Option）與美式期權(quán)（）與美式期權(quán)（American Option）歐式期

8、權(quán)只有在到期日當天或在到期日之前的某一規(guī)定歐式期權(quán)只有在到期日當天或在到期日之前的某一規(guī)定的時間可以行使的權(quán)利的時間可以行使的權(quán)利美式期權(quán)在到期日之前的任意時刻都可以行使的權(quán)利。美式期權(quán)在到期日之前的任意時刻都可以行使的權(quán)利。 2期權(quán)的要素期權(quán)的要素 期權(quán)的四個要素：執(zhí)行價（期權(quán)的四個要素：執(zhí)行價（exercise price或或striking price）；執(zhí)行日（）；執(zhí)行日（maturing data）；標的資產(chǎn)）；標的資產(chǎn)（underlying asset）；期權(quán)費（）；期權(quán)費（option premium）對于期權(quán)的購買者（持有者）而言，付出期權(quán)費后，只對于期權(quán)的購買者（持有者）而言

9、，付出期權(quán)費后，只有權(quán)利而沒有義務(wù)；對期權(quán)的出售者而言，接受期權(quán)費后，有權(quán)利而沒有義務(wù)；對期權(quán)的出售者而言，接受期權(quán)費后，只有義務(wù)而沒有權(quán)利。只有義務(wù)而沒有權(quán)利。 3 3期權(quán)的內(nèi)在價值期權(quán)的內(nèi)在價值 買入期權(quán)在執(zhí)行日的價值買入期權(quán)在執(zhí)行日的價值 為為 其中，其中， E為執(zhí)行價，為執(zhí)行價， 為標的資產(chǎn)的市場價。為標的資產(chǎn)的市場價。 賣出期權(quán)在執(zhí)行日的價值為賣出期權(quán)在執(zhí)行日的價值為 根據(jù)期權(quán)的施權(quán)價與標的資產(chǎn)市場價之間的關(guān)系，期權(quán)根據(jù)期權(quán)的施權(quán)價與標的資產(chǎn)市場價之間的關(guān)系，期權(quán)可分為幣內(nèi)期權(quán)（可分為幣內(nèi)期權(quán)（in the money）（）（S E） 、幣上期權(quán)、幣上期權(quán)（at the money）

10、 （S = E） 和幣外期權(quán)（和幣外期權(quán)（out of the money）（S Call,Put=blsprice(42,40 ,0.1 ,6/12 ,0.2 ,0)Call = 4.7594Put = 0.8086 2.5 影響期權(quán)價格的因素分析影響期權(quán)價格的因素分析期權(quán)價格受到下列期權(quán)價格受到下列5個因素影響：個因素影響：S當前價格、當前價格、E 執(zhí)行價格、執(zhí)行價格、 T期權(quán)的期權(quán)的期限、期限、 股票價格方差率、股票價格方差率、 r無風險利率。我們以歐式看漲期權(quán)為例來無風險利率。我們以歐式看漲期權(quán)為例來分析這分析這5個因素對期權(quán)價格的影響。個因素對期權(quán)價格的影響。1、德爾塔（、德爾塔（D

11、elta） 期權(quán)德爾塔是考察期權(quán)價格隨標的資產(chǎn)價格變化的關(guān)系，從數(shù)學角度期權(quán)德爾塔是考察期權(quán)價格隨標的資產(chǎn)價格變化的關(guān)系，從數(shù)學角度看，看，Delta是期權(quán)價格相對于標的資產(chǎn)價格的偏導數(shù)是期權(quán)價格相對于標的資產(chǎn)價格的偏導數(shù)例如某個看漲期權(quán)例如某個看漲期權(quán) 值為值為0.5，表示當股價變化，表示當股價變化S 時，期權(quán)價格變化為時，期權(quán)價格變化為0.5 S 。例如期權(quán)價格為。例如期權(quán)價格為10，股票價格為，股票價格為100，某個投資者購買了，某個投資者購買了1份份（100股股票期權(quán)）該股票看漲期權(quán)，投資者購買股股票期權(quán)）該股票看漲期權(quán)，投資者購買 股股票股股票來對沖風險，這樣的投資組合為來對沖風險，

12、這樣的投資組合為Delta中性策略。假如股票價格下跌中性策略。假如股票價格下跌1元，投資于股票的損失為元，投資于股票的損失為50元，而期權(quán)的收益為元，而期權(quán)的收益為 元。元。當投資者持有當投資者持有0.5單位的股票，同時賣出單位的股票，同時賣出1份看漲期權(quán)，使組合成為成份看漲期權(quán)，使組合成為成為為無風險組合。因此稱為為無風險組合。因此稱 為對沖比率。為對沖比率。21()CNdS0.5 100500.5 10050對于看跌期權(quán)，對于看跌期權(quán)，2、西塔（、西塔（Theta） （為期權(quán)的續(xù)存期）（為期權(quán)的續(xù)存期）表示期權(quán)價格對于到期日的敏感度，稱為期權(quán)的時間損耗。表示期權(quán)價格對于到期日的敏感度，稱為

13、期權(quán)的時間損耗。 0 表示隨著時間的推移，帶來盈利。表示隨著時間的推移，帶來盈利。3、維伽（、維伽（Vega） 表示方差率對期權(quán)價格的影響。因為期權(quán)有跌幅保障，表示方差率對期權(quán)價格的影響。因為期權(quán)有跌幅保障， 值恒為值恒為正，表示隨著方差率的增加，期權(quán)的價格增加。正，表示隨著方差率的增加，期權(quán)的價格增加。4、珞（、珞（Rho） 為期權(quán)的價值隨利率波動的敏感度，利率增加，使期權(quán)價值變大。為期權(quán)的價值隨利率波動的敏感度，利率增加，使期權(quán)價值變大。5、伽瑪（、伽瑪（Gamma）表示表示 與標的資產(chǎn)價格變動的關(guān)系。與標的資產(chǎn)價格變動的關(guān)系。 11()PNdS1()CSN dTt1()4CSN dTt

14、，()2()()rTtCE Tt eNdr22CSS6、MATLAB中調(diào)用函數(shù)方式中調(diào)用函數(shù)方式(1) 德爾塔（Delta） CallDelta, putDelta=blsdelta(Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield)例如：股票價格為50，執(zhí)行價為50，無風險利率為10%，期權(quán)存續(xù)期為0.25，波動率的標準差偽，存續(xù)期內(nèi)股票無紅利，計算該期權(quán)的 值。在MATLAB中執(zhí)行命令如下：CallDelta, putDelta=blsdelta(50,50,0.1,0.25,0.3,0)CallDelta = 0.5955putDelta = -0.4045

15、（2）西塔（Theta） CallTheta,putTheta=blstheta (Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield) CallTheta, putTheta=blstheta (50,50,0.1,0.25,0.3,0)CallTheta = -8.4283putTheta = -3.5517 (3) 維伽（Vega） Vega=blsvega (Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield) Vega=blsvega (50,50,0.1,0.25,0.3,0)Vega = 9.6865(4) 珞（Rho） C

16、allRho, putRho=blsrho (Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield) CallRho, putRho=blsrho(50,50,0.1,0.25,0.3,0)CallRho = 6.5409putRho = -5.6505(5) 伽瑪（Gamma） Gamma=blsgamma (Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield) Gamma=blsgamma (50,50,0.1,0.25,0.3,0)Gamma = 0.0517 2.6 資產(chǎn)對數(shù)收益的波動性估計資產(chǎn)對數(shù)收益的波動性估計 對于歐式期權(quán)還需

17、考慮如下幾個問題：對于歐式期權(quán)還需考慮如下幾個問題：（1）支付紅利（連續(xù)支付或離散支付）支付紅利（連續(xù)支付或離散支付）（2） 等等（3）隨機利率、隨機波動率、利率的期限結(jié)構(gòu)問題）隨機利率、隨機波動率、利率的期限結(jié)構(gòu)問題（4）有交易費用問題）有交易費用問題（5）標的資產(chǎn)服從跳擴散問題）標的資產(chǎn)服從跳擴散問題 ( )( )( )rr ttS，關(guān)于美式期權(quán)定價公式（自由邊界問題）關(guān)于美式期權(quán)定價公式（自由邊界問題）1、美式看跌期權(quán)定價的、美式看跌期權(quán)定價的PDE（自由邊界問題）（自由邊界問題）其中：其中： 為美式看跌期權(quán)的最佳實施邊界為美式看跌期權(quán)的最佳實施邊界 2222( )1()0( )02(

18、), )( )010(,)max(,0)( )( )min,ppppSStpppppSrq SrpStStTtSSp SttESttTptTSp STESSTSrESTEq ，()pS t2、美式看漲期權(quán)定價的、美式看漲期權(quán)定價的PDE（自由邊界問題）（自由邊界問題） 2222( )1()00( )02( ), )( )010(,)max(,0)0( )( )max,ccccSStcccccSrq SrcSSttTtSSc SttStEtTctTSc S TSESS TrES TEq，3、關(guān)于期權(quán)的最佳實施邊界及性質(zhì)、關(guān)于期權(quán)的最佳實施邊界及性質(zhì)定理定理1 設(shè)設(shè) 是支付紅利的美式期權(quán)的最佳實是支付紅利的美式期權(quán)的最佳實施邊界，則施邊界，則（1） 是是連續(xù)的；連續(xù)的；（2）（參見（參見期權(quán)定價的數(shù)學模型和方法期權(quán)定價的數(shù)學模型和方法（第二版）姜禮尚著）（第二版）姜禮尚著） :( ), 0SS ttT ( ),( )pcStStmin,()()max,()pcrEESTqS TrEESTq看 跌 期 權(quán) ）（ 看 漲 期 權(quán) ）定理定理2 設(shè)設(shè) 是支付紅利的美式期權(quán)的最佳實施是支付紅利