彈性力學(xué)答案清晰修改14頁

1、2-16設(shè)有任意形狀的等厚度薄板，體力可以不計，在全部邊界上(包括孔口邊界上)受有均勻壓力q試證 及能滿足平衡微分方程、相容方程和應(yīng)力邊界條件，也能滿足位移單值條件，因而就是正確的解答。 證明： （1）將應(yīng)力分量，和分別代入平衡微分方程、相容方程 （a） （b）顯然（a）、（b）是滿足的（2）對于微小的三角板都為正值，斜邊上的方向余弦,將，代入平面問題的應(yīng)力邊界條件的表達(dá)式 （c）則有 所以，。對于單連體，上述條件就是確定應(yīng)力的全部條件。（3）對于多連體，應(yīng)校核位移單值條件是否滿足。 該題為平面應(yīng)力的情況，首先，將應(yīng)力分量及代入物理方程，得形變分量， （d）然后，將（d）的變形分量代入幾何方程

2、，得， （e）前而式的積分得到 ， （f） 其中的和分別是y和x的待定函數(shù)，可以通過幾何方程的第三式求出，將式（f）代入（e）的第三式得 等式左邊只是y的函數(shù)，而等式右邊只是x的函數(shù)。因此，只可能兩邊都等于同一個常數(shù)，于是有，積分以后得，代入（f）得位移分量其中為表示剛體位移量的常數(shù)，須由約束條件求得。從式（g）可見，位移是坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)，滿足位移單值條件，因而，應(yīng)力分量是正確的解答。2-17設(shè)有矩形截面的懸臂粱，在自由端受有集中荷載F ，體力可以不計。試根據(jù)材料力學(xué)公式，寫出彎應(yīng)力和切應(yīng)力的表達(dá)式，并取擠壓應(yīng)力，然后證明，這些表達(dá)式滿足平衡微分方程和相容方程，再說明，這些表達(dá)式是否就表示

3、正確的解答。解1矩形懸臂梁發(fā)生彎曲變形，任意橫截面上的彎矩方程為，橫截面對z軸（中性軸)的慣性矩為，根據(jù)材料力學(xué)公式，彎應(yīng)力；該截面上的剪力為，剪應(yīng)力；并取擠壓應(yīng)力（2）經(jīng)驗證，上述表達(dá)式能滿足平衡微分方程 也能滿足相容方程再考察邊界條件：在的主要邊界上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件：，；，。能滿足在次要邊界x=0上，列出三個積分的應(yīng)力邊界條件：滿足應(yīng)力邊界條件。在次要邊界上，列出三個積分的應(yīng)力邊界條件：滿足應(yīng)力邊界條件因此，他們是該問題的解答。3-6如題3-6圖所示的墻，高度為h，寬度為b，h»b，在兩側(cè)面上受到均布剪力q的作用。試用應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量。解（1）相容條件：將應(yīng)力函數(shù)代人

4、相容方程中，其中， 很明顯滿足相容方程。（2）應(yīng)力分量表達(dá)式，（3）考察邊界條件：在主要邊界上，各有兩個應(yīng)精確滿足的邊界條件，即，。在次要邊界上，而的條件不可能精確滿足（否則只有A=B=0），可用積分的應(yīng)力邊界條件代替 （4）把各應(yīng)力分量代入邊界條件，得 ，。應(yīng)力分量為， 3-8設(shè)題3-8圖中的三角形懸臂梁只受重力作用，而梁的密度為，試用純?nèi)问降膽?yīng)力函數(shù)求解。解（1）相容條件： 設(shè) (a) 不論上述中的系數(shù)取何值，純?nèi)问降膽?yīng)力函數(shù)總能滿足相容方程。（2）體力分量由應(yīng)力函數(shù)得應(yīng)力分量的表達(dá)式 (b) (c) (d)（3)考察邊界條件：利用邊界條件確定待定系數(shù)先考察主要邊界上的邊界條件：， 將

5、應(yīng)力分量式(b)和式（c）代入，這些邊界條件要求， 得A=0，B=0。式(b)、（c）、（d）成為 （e） （f） （g）根據(jù)斜邊界的邊界條件,它的邊界線方程是,在斜面上沒有任何面力，即,按照一般的應(yīng)力邊界條件，有將(e)、（f）、（g）代入得 （h） （i）由圖可見， ， 代入式（h）、(i)求解C和D,即得，將這些系數(shù)代入式(b)、（c）、（d）得應(yīng)力分量的表達(dá)式4-12楔形體在兩側(cè)面上受有均布剪力q，如題4-12圖所示.試求其應(yīng)力分量。解 （1）應(yīng)力函數(shù)，進(jìn)行求解由應(yīng)力函數(shù)得應(yīng)力分量（2）考察邊界條件：根據(jù)對稱性，得 （a） （b） （c） （d）由式（a）得 （e）由式（b）得 （f）

6、由式（c）得 （g）由式（d）得 （h）式（e）、（f）、（g）、(h)聯(lián)立求解，得將以上系數(shù)代入應(yīng)力分量，得 4一13設(shè)有內(nèi)半徑為r,外半徑為R的圓筒受內(nèi)壓力q，試求內(nèi)半徑和外半徑的改變，并求圓筒厚度的改變。 解 本題為軸對稱問題，只有徑向位移而無環(huán)向位移。當(dāng)圓筒只受內(nèi)壓力q的情況下，取應(yīng)力分量表達(dá)式（B=0），內(nèi)外的應(yīng)力邊界條件要求，由表達(dá)式可見，前兩個關(guān)于的條件是滿足的，而后兩個條件要求由上式解得， (a)把A,B,C值代入軸對稱應(yīng)力狀態(tài)下對應(yīng)的位移分量， （b） (c)式（c）中的取任何值等式都成立，所以個自由項的系數(shù)為零H=I=K=0。所以，軸對稱問題的徑向位移式（b）為，而圓簡是屬

7、于平面應(yīng)變問題，故上式中代替，則有 此時內(nèi)徑改變?yōu)?，外徑改變?yōu)閳A環(huán)厚度的改變?yōu)?-15在薄板內(nèi)距邊界較遠(yuǎn)的某一點(diǎn)處，應(yīng).力分最為 ，如該處有一小圓孔.試求孔邊的最大正應(yīng)力。解 求出兩個主應(yīng)力，即原來的間題變?yōu)榫匦伪“逶谧笥覂蛇吺芫祭而在上下兩邊受均布壓力q，如圖所示。應(yīng)力分量，代入坐標(biāo)變換式，得到外邊界上的邊界條件 （a） (b)在孔邊，邊界條件是 （c） （d）由邊界條件式（a）、（b）、（c）、（d）可見，用辦逆解法是，可假設(shè)為的某一函數(shù)乘以，而為的另一函數(shù)乘以。而，因此可假設(shè) 。 （e）將式（e）帶入相容方程，得刪去因子以后，求解這個常微分方程，得，其中A,B,C,D為待定常數(shù)，代

8、入式（e），得應(yīng)力函數(shù)由應(yīng)力函數(shù)得應(yīng)力分量的表達(dá)式將上式代入應(yīng)力邊界條件由式（a）得 （g）由式（b）得 （h）由式（c）得 （i）由式（d）得 （j）聯(lián)立求解式，并令,得將各系數(shù)值代入應(yīng)力分量的去達(dá)式，得沿著孔邊，環(huán)向正應(yīng)力是最大環(huán)向正應(yīng)力為4-17在距表面為h的彈性地基中，挖一直徑為d的水平圓形孔道，設(shè)hd，彈性地基的密度為，彈性模量為E，泊松比為，試求小圓孔附近的最大、最小應(yīng)力。解 距地表為h處，無孔時的鉛直應(yīng)力，由水平條件，可得x向為水平回形孔道的軸向，在橫向y，z平面的主應(yīng)力為，（2）原來的問題變?yōu)楣艿涝谧笥覂蛇吺芫級毫υ谏舷聝蛇吺芫級毫?在上下兩邊受均布壓力，如圖（a）所示?？?/p>

9、以將荷載分解為兩部分：第一部分是四邊的均布壓力如圖（b）所示，第二部分是左右兩邊的均布拉力和上下兩邊的均布壓力如圖（c）所示。對于第一部分荷載，可應(yīng)用解答對于第二部分解答，可應(yīng)用解答，教材中式（4-18）。將兩部分解答疊加，即得原荷載作用下的應(yīng)力分量（基爾斯的解答)。沿著孔邊，環(huán)向正應(yīng)力是最大環(huán)向正應(yīng)力為， 8-1設(shè)有任意形狀的等截面桿,密度為，上端懸掛，下端自由。如題8-1圖所示，試考察應(yīng)力分量是否能滿足所有一切條件。解 按應(yīng)力求解空間問題時，須要使得六個應(yīng)力分量在彈性體區(qū)域內(nèi)滿足平衡徽分方程，滿足相容方程；并在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件. (l) 很顯然應(yīng)力分量滿足如下平衡徽分方程（2），應(yīng)力

10、分量也滿足貝爾特拉米相容方程 （3）考察應(yīng)力邊界條件：柱體的側(cè)面和下端面，。.在平面上應(yīng)考慮為任意形狀的邊界（側(cè)面方向余弦分別為為任意的；在下端面方向余弦分別為）。應(yīng)用一般的應(yīng)力邊界條件，將應(yīng)力和面力分量、方向余弦分別代入下式直桿的側(cè)面和下端的應(yīng)力邊界條件都能滿足，因此，所給應(yīng)力分是是本問題的解 8-2設(shè)有任意形狀的空間彈性體，在全部邊界上(包括在孔洞邊界上)受有均布壓力q,試證應(yīng)力分量能滿足一切條件，因而就是正確的解答。解：應(yīng)力應(yīng)滿足平衡微分方程，相容方程及應(yīng)力邊界條件(在上)，多連體還應(yīng)滿足位移單值條件。（1） 平衡條件 ，很顯然，應(yīng)力分量滿足平衡微分方程（2） 相容條件：，應(yīng)力分量也滿足貝爾特拉米相容方程。（3）應(yīng)力邊界條件?？紤]一般的應(yīng)力邊界條件：法線的方向余弦為邊界面為任意斜面，受到法向壓力q的作用。同樣，滿足應(yīng)力的邊界條件。（4)位移單值條件，為了考慮多連體中的位移單值條件，由應(yīng)力求出對應(yīng)的位移，然后再檢查是否滿足單值條件。將應(yīng)力分量代人教材中式（7一1