解析幾何講稿(2006)

1、解析幾何第一章 矢量與坐標(biāo)在中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中我們已經(jīng)知道，解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法來研究幾何的.最根本的方法就是設(shè)法把空間的幾何結(jié)構(gòu)有系統(tǒng)的數(shù)量化、代數(shù)化（即在平面上通過坐標(biāo)系的引進(jìn)，建立起平面上點(diǎn)與實(shí)數(shù)對，曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系，即以一對有序?qū)崝?shù)表示點(diǎn)，以方程表示曲線）.從而將研究問題的代數(shù)方法引入到集合中來.在這里我們首先在空間中引進(jìn)矢量以及它的運(yùn)算，并通過矢量來建立坐標(biāo)系.這是本章的主要課題，它也是解析幾何的基礎(chǔ).利用矢量，有時(shí)可使某些集合問題更簡捷地得到解決.矢量在力學(xué)、物理學(xué)和工程技術(shù)中也是解決問題的有力工具.§1.1 矢量的概念數(shù)量：只有大小的量.如長度、面積、體積

2、、時(shí)間、質(zhì)量、溫度等.而位移、力、速度、加速度、功、力矩等，這些量除了有大小，而且還有方向，這種量就是矢量.定義1.1.1（p.1）既有大小，又有方向的量稱為矢量或向量.簡稱矢.由矢量的定義，對于向量我們只考慮它的大小及方向，因此就可以用有向線段（有方向的線段）來表示矢量.有向線段的始點(diǎn)和終點(diǎn)分別叫做矢量的始點(diǎn)和終點(diǎn)，其長度表示矢量的大小，其方向表示矢量的方向.始點(diǎn)為A，終點(diǎn)為B的矢量記做：.有時(shí)也用來表示，為了方便，印刷時(shí)常用黑體a，b，c，來表示矢量.模：矢量的大小稱為矢量的模，也稱矢量的長度.矢量和的模分別記作：和.顯然，矢量的模是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù).單位矢量：模等于1的矢量稱為單位矢量；與矢

3、量具有同一方向的單位矢量稱為矢量的單位矢量，記為： .零矢量：模等于0的矢量稱為零矢量，記作：.零矢量是始點(diǎn)與終點(diǎn)重合的矢量，其方向不確定，也即零矢量的方向可看作是任意的.（非零矢量）.矢量與互相平行：是指它們所在的直線互相平行（或重合），記作：.類似可定義矢量與一條直線或一個(gè)平面平行.同向與反向：將兩個(gè)互相平行的矢量與中的一個(gè)矢量平行移動(dòng)，使其始點(diǎn)與矢量的始點(diǎn)O重合，這時(shí)兩矢量的終點(diǎn)A和B必與O點(diǎn)三點(diǎn)共線.如果終點(diǎn)A和B分布在始點(diǎn)O的同一側(cè)，則稱與同向；如果終點(diǎn)A和B分布在始點(diǎn)O的兩側(cè)，則稱與反向.定義1.1.2（P.2）：如果兩個(gè)矢量的模相等且方向相同，則稱兩個(gè)矢量相等.矢量與相等，記作：

4、.特別地，所有的零矢量都相等.結(jié)論：對于不在同一直線上的兩個(gè)相等的非零矢量與，如果用兩線段分別的一對始點(diǎn)，一對終點(diǎn)，則得到一個(gè)平行四邊形；反過來，如果對兩矢量采用上述作圖法得到一個(gè)平行四邊形，則這兩個(gè)矢量相等.（P.2）另外，由定義可知：兩矢量是否相等與它們的起點(diǎn)無關(guān)，只由它們的模和方向決定.自由矢量：與起點(diǎn)無關(guān)，而只由模和方向決定的矢量稱為自由矢量，在自由矢量的意義下，相等的兩矢量都看作是同一矢量.我們以后研究的是自由矢量.注意：矢量不僅有大小，而且還有方向.模相等的兩非零矢量未必相等，因?yàn)樗鼈兊姆较蚩赡懿煌?，如下圖：，但.對于自由矢量的始點(diǎn)的任意性，按需要我們可以將一些矢量平移到同一始點(diǎn)，

5、稱為把這些矢量歸結(jié)到共同始點(diǎn).定義1.1.3（P.3）：模相等，方向相反的兩個(gè)矢量叫做互為反矢量.矢量的反矢量記作：.由定義知：與互為反矢量；即：，.顯然，.結(jié)論：如果把彼此平行的一組矢量歸結(jié)到共同的始點(diǎn)，這組矢量必共線；如果把平行于同一平面的一組矢量歸結(jié)到公共的始點(diǎn)，這組矢量必共線.定義1.1.4（P.3）：平行于同一直線的一組矢量叫做共線矢量.零矢量與任何共線矢量組共線.定義1.1.5（P.3）：平行于同一平面的一組矢量叫做共面矢量.零矢量與任何共面矢量組共面.結(jié)論：一組共線矢量組一定是共面矢量組；三矢量中如果有兩矢量共線，則三矢量必定共面.練習(xí)：P.3 Ex.1 Ex.2 Ex.4 Ex

6、.5作業(yè)：P.3 Ex.3§1.2 矢量的加法我們知道，力和位移都是矢量，在物理學(xué)中，求作用于同一點(diǎn)的兩個(gè)不共線的力的合力是用“平行四邊形法則”.如圖：兩個(gè)力，的合力是以，為鄰邊的平行四邊形的對角線.又如位移：一質(zhì)點(diǎn)從O點(diǎn)出發(fā)到達(dá)A點(diǎn)的位移為再從A點(diǎn)到B點(diǎn)作位移，那么其兩次位移，的結(jié)果，相當(dāng)于作位移，即兩個(gè)位移的合成可用“三角形”法則求出.如圖所示.如果不考慮矢量的具體含義，只研究幾何學(xué)中的自由矢量，那么非共線的兩矢量合成的平行四邊形法則與三角形法則是一致的.即在自由矢量的意義下，平行四邊形法則可以歸結(jié)為三角形法則.定義1.2.1（P.5）：由定義1.2.1有：.這種求矢量的方法稱為

7、三角形法則.如圖：由此可得下面定理：定理1.2.1 如果把兩個(gè)矢量，為鄰邊作一平行四邊形OABC.那么對角線矢量.這種求矢量的方法稱為稱為平行四邊形法則.特別地：；.定理1.2.2（P.5） 矢量的加法滿足下列運(yùn)算規(guī)律：1） 交換律：2） 結(jié)合律：3）4）證：1）設(shè)已知矢量與不共線，作及，在以，為鄰邊的平行四邊形OABC 中（如圖），因?yàn)?，.一方面，另一方面，.如果與共線，分、同向或反向兩情形，證與的方向和模相同即可.2）作，（如圖），由矢量加法定義有：.3）4） 由矢量的加法定義及零矢量的定義可知成立.由矢量的加法滿足交換律及結(jié)合律，三個(gè)矢量、與相加，不論它們的先后順序及結(jié)合順序如何，它們

8、的和總相同.于是可簡寫為：.推廣到任意有限個(gè)矢量的和，就可以簡記為：.多次應(yīng)用公式：，可得任意有限個(gè)矢量的求和公式：.此方法叫做矢量加法的多邊形法則.多邊形法則的作圖法：從任意點(diǎn)O點(diǎn)出發(fā)，依次引，則矢量就是個(gè)矢量的和.即：.特別地，當(dāng)與重合時(shí)，它們的和矢量為零矢量.在代數(shù)中，數(shù)量減法是加法的逆運(yùn)算.類似地，向量的減法定義為加法的逆運(yùn)算.定義1.2.2（P.7） 如果矢量與矢量的和等于，即，那么矢量稱為矢量與的差.記作：.由矢量與求差稱為矢量的減法.由有（求差公式），從上述公式可得矢量減法的幾何作圖法：自空間任意點(diǎn)O引矢量及，則矢量.（如圖）如果以，為鄰邊作一平行四邊形OACB，那么顯然它的一條

9、對角線矢量是，而另一條對角線矢量是.（如圖） 利用反矢量可將矢量減法化為矢量的加法運(yùn)算，于是有：定理： 減去一個(gè)矢量等于加上它的反矢量，即有：.證： 設(shè)，由定義1.2.2知，兩邊加上得： ， 即： 從而有：.由此定理有：.另外，由此定理還可得矢量的移項(xiàng)法則：在矢量等式中，將某一矢量從等號(hào)的一端移到另一端，只須改變它的符號(hào).如：.另外，對于任意兩個(gè)矢量與，利用矢量的作圖法，可得下列不等式： （三角不等式）推廣到任意有限個(gè)矢量的情況：例1（P.8）設(shè)三個(gè)矢量、與互不共線，證明順次將它們的終點(diǎn)與始點(diǎn)相連而成一個(gè)三角形的充要條件是：.證：作，.那么、與可以構(gòu)成三角形的充要條件是，重合.即，而.所以，三

10、矢量、與可以構(gòu)成三角形的充要條件是.例2（P.9）如圖，在平行六面體中，試用、與表示對角線矢量，.解：1）.2）.例3（P.9）用矢量法證明：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形（提示：證對邊平行且相等）.證：設(shè)四邊形的對角線與互相平分于（如圖），則：，從而 .所以 且，即四邊形為平行四邊形.練習(xí)：1 證明：四邊形為平行四邊形的充要條件是：對任一點(diǎn)有 .§1.3 數(shù)量乘矢量在物理學(xué)中我們知道：力質(zhì)量×加速度，其中力、加速度是矢量，質(zhì)量是數(shù)量，如果用，及m分別代表力、加速度及質(zhì)量，那么上式可以寫成：.這是一種數(shù)量于矢量的結(jié)合關(guān)系.另外在矢量的加法中，個(gè)矢量的和仍然是矢量.特別的

11、，個(gè)相同的非零矢量相加，顯然它們的和矢量的模式的倍，方向與相同.個(gè)的和常記為（或）.定義1.3.1（P.10）當(dāng)或時(shí)，所以；反過來，當(dāng)時(shí)，必有或.當(dāng)時(shí)，是的反矢量.任意非零矢量都可以寫成：或.即是一個(gè)非零矢量乘以它的模的倒數(shù)，結(jié)果是一個(gè)與它同方向的單位矢量.定理1.3.1（P.10）數(shù)量與矢量的乘法滿足下面的運(yùn)算規(guī)律：1） 2） （結(jié)合律）3） （第一分配律）4） （第二分配律）其中、是矢量，為任意實(shí)數(shù).證明：1） 由定義1.3.1可知顯然成立.2） 如果或，那么與都為零矢量，顯然成立.如果且，只要證明等式兩邊的矢量模相等，方向相同.，.又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，即，同號(hào)，由定義1.3.1可知與同向，又由于

12、，同號(hào)，顯然與同向，即與同向.同理，當(dāng)時(shí)，、都與反向，即與同向.綜上所述有：，結(jié)合律成立.3） 如果或，中至少有一個(gè)為0，那么顯然成立.因此只須考慮，的情形.（i） 如果，即，同號(hào)，這時(shí)與同向，且：即有：所以：.（ii） 如果，即，異號(hào)，不妨設(shè)，這時(shí)以及都與同向，即與同向，且：即有：所以：.當(dāng)時(shí)類似可證.4） 如果或、之中至少有一個(gè)為零矢量，等式顯然成立.所以只須對，的情形證明.（i） 如果、共線，當(dāng)、同向時(shí)，取；當(dāng)、反向時(shí)，取，這樣顯然有：，由2），3）兩式得：（ii） 如果、不共線，如圖.作，則以、為邊構(gòu)成的三角形與由，為兩邊的三角形相似，其相似比為.因此其對應(yīng)的第三邊矢量滿足：.又因?yàn)?

13、，所以 .結(jié)論：從矢量的加法與數(shù)乘矢量的運(yùn)算規(guī)則知：矢量也可以象多項(xiàng)式那樣運(yùn)算.例如：化簡：例1（P.13） 設(shè)式的中線，求證：.證：（如圖）又因?yàn)闉榈闹行模?，得，于是有：.例2（P.13） 用矢量法證明：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段平行于第三邊且等于第三邊的一半.證：設(shè)兩邊，的中點(diǎn)依次為，（如圖），則：，所以 且.§1.4 矢量的線性關(guān)系與矢量的分解矢量的加法和數(shù)與矢量的乘法統(tǒng)稱為矢量的線性運(yùn)算.易見：有限個(gè)矢量通過線性運(yùn)算，它的結(jié)果仍然是一個(gè)矢量.定義1.4.1（P.15）（線性組合、線性表示）定理1.4.1 如果矢量，那么矢量與矢量共線的充要條件是可以用矢量線性表示，或者說是

14、的線性組合，即：，且系數(shù)被、惟一確定.這時(shí)稱為用線性組合來表示共線矢量的基底.證明：（充分性）若，由矢量的數(shù)乘定義可知與共線.（必要性）若與共線，由是非零矢量，再由上節(jié)數(shù)乘第二分配律的證明可知一定存在實(shí)數(shù)，使.（唯一性）若，則，因?yàn)?，所以，即?定理1.4.2 如果矢量、不共線，那么矢量與、共面的充要條件是可以用矢量、線性表示，或者說可以分解成、的線性組合，即：且系數(shù)、被、唯一確定.此時(shí)叫做平面上矢量的基底.證明：（必要性）因?yàn)?、不共線，所以，.設(shè)與、共面，如果與（或）共線，則由定理1.4.1有：，其中（或）；如果與、都不共線，把它們歸結(jié)到共同的起點(diǎn)，并設(shè)，.那么經(jīng)過的終點(diǎn)分別作，的平行線依次

15、與直線、交于（如圖）.因?yàn)?，由定?.4.1可設(shè)， ，又，所以.（充分性）設(shè)，如果、中有一個(gè)為零，顯然成立.如果、均不為零，由矢量加法的平行四邊形法則知：是以、為鄰邊的平行四邊形的對角線矢量，因此、共面，而，從而與、共面.（唯一性）系數(shù)、被、唯一確定.設(shè)，則.如果，那么，得，矛盾！所以一定有，從而有：.即系數(shù)、被、唯一確定.定理1.4.3（P.17）證明：（類似定理1.4.2）例1（如圖）（P.18）已知：，.求.解：因?yàn)椋?，所以?又因?yàn)?，不共線，由定理1.4.2及、兩式得： 解得： 于是有：，即：.例2（P.19）證明：四面體對邊中點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)且互相平分.證：（P.19）設(shè)四面體的

16、一組對邊，的中點(diǎn)，的連線為，其中點(diǎn)為，其余二組對邊的中點(diǎn)為，.只要證明，三點(diǎn)重合即可.取三個(gè)不共面矢量，（如圖）.擴(kuò)充線性組合的概念可得線性相關(guān)和線性無關(guān)的概念定義1.4.2（P.20）推論1.4.1（P.20）一個(gè)矢量線性相關(guān)的充要條件為：.或一個(gè)矢量線性無關(guān)的充要條件為：.定理1.4.4（P.20）在時(shí)，矢量線性相關(guān)的充要條件是其中有一個(gè)矢量是其余矢量的線性組合.證：“”（必要性）如果線性相關(guān)，由定義1.4.2知有成立，且中至少有一個(gè)不為零.不妨設(shè)為，則有：即：是的線性組合.“”（充分性）設(shè)中有一矢量，不妨設(shè)為，它是其余矢量的線性組合；即，于是，因?yàn)椴蝗珵?，所以線性相關(guān).定理1.4.5（

17、）如果一組矢量中的一部分矢量線性相關(guān)，則這組矢量必定線性相關(guān).證：（）推論1.4.2（）一組矢量如果含有零矢量，那么這組矢量必定線性相關(guān).（）定理1.4.6（）兩矢量共線的充要條件是它們線性相關(guān).證：“”（必要性）設(shè)與共線，若，由推論1.4.2知與線性相關(guān)；若，由定理1.4.1知，存在唯一確定的，使，即，于是與線性相關(guān).“”（充分性）設(shè)與線性相關(guān).由定義有：且不全為零，不妨設(shè)，于是，從而與共線.定理1.4.7（）三矢量共面的充要條件是它們線性相關(guān).證：“”（必要性）設(shè)、三矢量共面，如果、三矢量中有兩矢量共線，則由定理1.4.6知它們共線，再由定理1.4.5知、三矢量線性相關(guān).如果、三矢量兩兩不

18、共線，則由定理1.4.2知，即，而，不全為零，于是、線性相關(guān).“”（充分性）設(shè)、三矢量線性相關(guān).即存在不全為零的三個(gè)數(shù)，使成立.不妨設(shè)，則由.如果、共線，顯然、三矢量共面；如果、不共線，由定理1.4.2知、三矢量共面.結(jié)論：由定理1.4.6及定理1.4.7可得：要判別、是否共線，只要判別是否存在不全為零的數(shù)使得；同理：要判別、三矢量是否共面，只要判別是否存在不全為零的數(shù)，使得.定理1.4.8（）空間任何四個(gè)矢量總是線性相關(guān).證：（）設(shè)、是空間中任意四個(gè)矢量.如果、三矢量共面，則由定理1.4.7知它們線性相關(guān).再由定理1.4.5知、線性相關(guān).如果、三矢量不共面，則由定理1.4.3知有成立，由定理

19、1.4.4可知、線性相關(guān).推論1.4.3（）空間中四個(gè)以上的矢量必定線性相關(guān).例3（P.22）設(shè).試證，三點(diǎn)共線的充要條件是：存在不全為零的實(shí)數(shù)、，使得：且.證：“”（必要性）設(shè)，三點(diǎn)共線，那么與共線從而線性相關(guān)（定理1.4.6），于是存在不全為零的實(shí)數(shù)、，使得：，即：，也即：.令，則存在不全為零的實(shí)數(shù)、，使得：且. “”（充分性）設(shè)有不全為零的實(shí)數(shù)、，使得：且.不妨設(shè)，則有：，即：.又因?yàn)?、不全為零（否則、均為0）.所以與共線，于是，三點(diǎn)共線.例4（）設(shè)、為兩不共線矢量，證明矢量，共線的充要條件是：.證：、兩矢量共線（定理1.4.6）的充要條件是存在不全為零的數(shù)，使，即：.又因?yàn)椤⒉还簿€，所

20、以、線性無關(guān)，從而得：.又不全為零，即上述二元一次齊次線性方程組有非零解，于是、共線的充要條件是.§1.5 標(biāo)架與坐標(biāo)在空間中任意取定點(diǎn)，從引出三個(gè)不共面的矢量，由定理1.4.3知：空間中任何矢量都可以分解成、的線性組合，即： （*）且、是唯一的一組有序?qū)崝?shù).定義1.5.1（P.25）標(biāo)架；笛卡爾標(biāo)架；笛卡爾直角標(biāo)架；仿射標(biāo)架；右手標(biāo)架；左手標(biāo)架.定義1.5.2（P.26）矢量關(guān)于標(biāo)架的分量或坐標(biāo).如果，則矢量可以記作：或.定義1.5.3（P.26）徑矢；坐標(biāo)；坐標(biāo)系；坐標(biāo)原點(diǎn)；坐標(biāo)矢量；右手坐標(biāo)系；左手坐標(biāo)系；仿射坐標(biāo)系；笛卡爾坐標(biāo)系；直角坐標(biāo)系.特別約定：用、表示直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)

21、矢量.即用表示直角坐標(biāo)系.另外，以后討論空間問題時(shí)，采用的坐標(biāo)系一般都是空間右手直角坐標(biāo)系.在空間中取交于定點(diǎn)且兩兩相互垂直的三軸，；并在這三條軸上依次配置以為始點(diǎn)且與軸同向的單位矢量、.那么由定理1.4.3可知，空間中任一點(diǎn)的徑矢均可唯一地表示成： （*）即空間中的一點(diǎn)或其徑矢確定唯一的有序數(shù)組；反之，任一給定的有序數(shù)組，由（）式可以確定唯一的或點(diǎn).方法是：在三軸上依次取，；則由，為三棱決定的長方體中，以為始點(diǎn)的對角線矢量即為.這樣，就建立了點(diǎn)（或其徑矢）與有序數(shù)組之間的一一對應(yīng)關(guān)系.由此我們就說在空間中確定了一個(gè)直角坐標(biāo)系，記作：（或）.其中單位矢量、稱為坐標(biāo)矢量，定點(diǎn)稱為坐標(biāo)原點(diǎn)，三軸，

22、稱為坐標(biāo)軸.依次稱為軸、軸、軸；每兩條坐標(biāo)軸確定的平面：，面稱為坐標(biāo)平面，依次稱為面，面，面.滿足（）式的、稱為徑矢關(guān)于坐標(biāo)系的坐標(biāo)或分量，記作：，即：.特別，三坐標(biāo)矢量、的坐標(biāo)是：、.如果空間中任一點(diǎn)的徑矢關(guān)于坐標(biāo)系的坐標(biāo)為.即：，則、稱為關(guān)于坐標(biāo)系的坐標(biāo)，記作：或.特別點(diǎn)的坐標(biāo)特征（P.27）.三坐標(biāo)平面將空間分成八個(gè)區(qū)域，每一區(qū)域稱為卦限.類似可以引入平面上的直角坐標(biāo)系.例（）設(shè)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)系的坐標(biāo)為，求作點(diǎn).解：因點(diǎn)的坐標(biāo)為，即.以原點(diǎn)為始點(diǎn)，作（顯然在軸上），（在軸上，在軸上），過、分別作垂直于各自所在軸的平面、，則三平面的公共點(diǎn)即為所求.（如圖）用坐標(biāo)進(jìn)行矢量的運(yùn)算1 用矢量的始點(diǎn)和

23、終點(diǎn)坐標(biāo)表示矢量的分量：定理1.5.1（P.28）矢量的分量等于其終點(diǎn)坐標(biāo)減去其始點(diǎn)坐標(biāo).證：設(shè)矢量的始點(diǎn)與終點(diǎn)在標(biāo)架的坐標(biāo)分別為，即有：，而：所以：.2 用矢量的分量進(jìn)行矢量的線性運(yùn)算.定理1.5.2（）兩矢量和的分量等于兩矢量對應(yīng)分量之和.即如果，那么：.證：（P.28P.29）定理1.5.3（）數(shù)乘矢量的分量等于這個(gè)數(shù)與矢量的對應(yīng)分量的積.即：如果，那么.證：（P.29）3 兩矢量共線的條件，三矢量共面的條件定理1.5.4（P.29）兩個(gè)非零矢量，共線的充要條件是： 證：因?yàn)槭噶俊⒐簿€的充要條件是其中一矢量可用另一矢量線性表示，不妨設(shè).于是，得：，.所以：.約定：分母為零時(shí)，分子也為零.

24、推論1.5.1（）三點(diǎn)，和共線的充要條件是： .定理1.5.5（P.30）三個(gè)非零矢量，共面的充要條件是：.證：（P.30）推論1.5.2（P.30）四個(gè)點(diǎn)共面的充要條件是： 或：4 線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)定義（P.3031）求分已知有向線段成定比的分點(diǎn)的坐標(biāo)有如下定理定理1.5.6（P.31） 設(shè)有向線段的始點(diǎn)為，終點(diǎn)為（如圖）.那么分有向線段成定比（）的分點(diǎn)的坐標(biāo)是：，.證：（P.31）推論1.5.3（P.31）設(shè)，那么線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是：，.例（P.32）已知三角形三頂點(diǎn)為，求的重心（即三角形三中線的公共點(diǎn)）的坐標(biāo).解：（P.32）§1.6 矢量在軸上的射影定義：（P.34）點(diǎn)在軸上

25、的射影.定義1.6.1（P.34）（）定義（P.3435）（射影記作） 如果是與同方向的單位向量，則有：可以記為.于是有：.定義（P.3536）夾角，記作：.定理1.6.1（P.36）矢量在軸上的射影等于矢量的模乘以軸與該矢量夾角的余弦.即：，.證：（P.3637）另證：（如圖）過矢量的起點(diǎn)引軸，使與軸平行且具有相同的正方向，那么軸和矢量的夾角等于軸與的夾角，且有：.設(shè)點(diǎn)在上的投影點(diǎn)為點(diǎn)，于是：.所以.顯然，當(dāng)一非零矢量與其投影軸成銳角時(shí)，矢量的投影為正；成鈍角時(shí)，矢量的投影為負(fù)；成直角時(shí)，矢量的投影為零.推論：相等向量在同一軸上的射影相等.定理1.6.2 （P.35）對任何向量，有：.證明：

26、設(shè)為軸.作（如圖）.那么：.設(shè)在軸上的射影依次為，那么有：因?yàn)椋荷溆跋蛄浚溆跋蛄?，射影向?所以：射影向量射影向量+射影向量.由P34(1.61)式得：，其中為上與同方向的單位向量.所以：.即：.定理1.6.3（P.36）對任何向量與任意實(shí)數(shù)，有：.證明：如果或，命題顯然成立.設(shè)，則當(dāng)時(shí)，時(shí)，于是：當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，由此可知命題成立.例.（P.36）設(shè)在直角坐標(biāo)系下，向量，證明： .證明：（P.37）設(shè)向徑，那么在坐標(biāo)軸上的射影即是在坐標(biāo)軸上的射影.設(shè)點(diǎn)在軸，軸，軸上的射影分別是（如圖）.那么有：射影向量，射影向量，射影向量.由向量在軸上射影的定義可知：.練習(xí).P.37. Ex.1 EX.2&#

27、167;1.7 兩向量的數(shù)量積（數(shù)性積、點(diǎn)積）一質(zhì)點(diǎn)在力作用下，經(jīng)過位移，那么這個(gè)力所作的功為，其中.類似的情況在其他問題中也常遇到.從這個(gè)問題可看出，有時(shí)要對兩個(gè)向量，作這樣的運(yùn)算，其運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)數(shù)，它等于，及它們夾角的余弦的積，我們稱它為兩個(gè)向量，的數(shù)量（數(shù)性積），記作：.定義1.7.1（P.37）數(shù)量積的性質(zhì)：1.當(dāng)中有一個(gè)為零向量時(shí)，由；2.當(dāng)兩個(gè)向量均為非零向量時(shí)，因?yàn)椋海?，所以，；3.當(dāng)時(shí)，；4.當(dāng)時(shí)，稱為的數(shù)量平方，記作：.即，從而，且，特別當(dāng)時(shí)，；5.當(dāng)且時(shí)，有.定理1.7.1（P.38）.證明：“”（必要性）當(dāng)時(shí)，所以.“”（充分性）當(dāng)時(shí)，如果且，那么，所以；如果中有零向

28、量，結(jié)論顯然成立.問題：由可否得出或？定理1.7.2（P.39）向量的數(shù)量積滿足下面的運(yùn)算律： 交換律：。 關(guān)于數(shù)因子的結(jié)合律：； 分配率：。證明：（P.39）如果，公式中有零向量，那么結(jié)論顯然成立。設(shè)均是非零向量。如果，結(jié)論顯然成立。 如果，那么有：。而。推論：（P.39）。例.。例1.證明：平行四邊形對角線的平方和等于它各邊的平方和。證明：（如圖）。在中，設(shè)，對角線，則，于是得即結(jié)論成立。例2.試證：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么它就和平面內(nèi)任何直線都垂直，即它垂直于平面。證明：設(shè)直線與平面內(nèi)兩相交直線都垂直。是內(nèi)任一直線。在直線上分別任意取非零向量。依條件有：，從而有

29、：。又因?yàn)椴还簿€，與共面。所以可用線性表示：。于是：。即。也即所在的直線與所在的直線垂直，從而垂直于平面。例3.證明：三角形的三條高交于一點(diǎn)。證明：（如圖）設(shè)的兩邊上的高交于點(diǎn)，那么。因?yàn)?，所以。得：。又，有得：。于是：，從而結(jié)論成立。在直角坐標(biāo)系下，用向量的坐標(biāo)表示數(shù)量積（內(nèi)積）。定理1.7.3.（P.41）設(shè)，那么。證明：（P.41）推論：設(shè)，那么，。在直角坐標(biāo)系下，利用上述結(jié)論可以導(dǎo)出下面幾個(gè)重要公式：1.兩點(diǎn)距離公式：定理1.7.4（P.41）設(shè)，那么。定理1.7.5空間兩點(diǎn)，間的距離：。2.兩向量的方向余弦。方向角：（P.42）向量與坐標(biāo)軸（或坐標(biāo)向量）所成的角叫做向量的方向角，方向

30、角的余弦稱為方向余弦。定理1.7.6非零向量的方向余弦是：且其中是與軸，軸，軸的交角，即的方向角。證明：（P.42）因?yàn)?，且。所以。于是。同理可證其余兩式。進(jìn)而可知成立。特別地，單位向量的方向余弦等于它的坐標(biāo)。即有：。3.兩向量的交角。定理1.7.7設(shè)空間中兩個(gè)非零向量為和，那么它們的夾角的余弦為：。推論：向量與互相垂直的充要條件是。注：在平面直角坐標(biāo)系下，平面上的向量也有類似的結(jié)論。（P。4345）例4（P。45）已知三點(diǎn)，且，求：（1）與的夾角；（2）在上的射影。解：，；，于是：（1），所以；（2）。例5（P。45）利用兩向量的數(shù)量積證明柯西施瓦茲（CauchySchwarz）不等式：。證

31、明：設(shè)，因?yàn)?，而，所以，?于是。例已知：，求證：。證明：令，由已知條件，得：，又，于是有：。§1.8兩向量的向量積（外積）定義1。8。1（P。47）兩向量與的向量積（外積）是一個(gè)向量，記作：或。其模,其方向與，都垂直，且，構(gòu)成右手標(biāo)架（如圖）。特別，當(dāng)時(shí)，。定理1.8.1（P.47） 兩不共線向量，的向量積的模等于以，為鄰邊的平行四邊形的面積。定理1.8.2（P.48）兩向量與共線。證明：（P.48）定理1.8.3（P.48）向量積是反交換的，即：。證明：（P.48）定理1.8.4（P.48）向量積滿足關(guān)于數(shù)因子的結(jié)合律：，其中，為任意向量，為任意實(shí)數(shù)。證明：（P.48）推論：設(shè)，

32、為任意實(shí)數(shù)，為任意向量，那么。定理1.8.5（P.49）向量積滿足分配律：。證明：（P.4950）（主要用作圖法證，分兩步證，過程從略）推論：。例1（P.50）證明：，并說明其幾何意義。證明：（P.50）例2（P.51）證明：.證明：（P.51）定理1.8.6（P.51）如果，那么，或 或.證明：（P.51）例3（P.52）已知空間三點(diǎn)，試求：（1）的面積；（2）的邊上的高.解： 例.用向量法證明：如果，那么.分析：如果令，那么題目可改寫為“如果，那么.”，即只要證.證明：令，由條件有，即，而（P.52例2） ，所以，得，從而.例.（P.53 Ex.7）用向量法證明：（1）三角形的正弦定理；（

33、2）三角形面積的海倫（Heron）公式：，.證：在中，設(shè)，且，。（1）因?yàn)?，由P.53 Ex.2（2）可得，所以，即，于是。（2）因?yàn)?，所以。由P.51例2有 又因?yàn)椋?，所以即?將式代入式得令得.§1.9 三向量的混合積對于任意三向量，如果先將向量，作數(shù)性積，然后再與第三個(gè)向量相乘，則可得到與向量共線的向量；如果先將向量，作外積，則得到的向量可與第三個(gè)向量作數(shù)量積或向量積.下面只介紹前一種情形.定義1.9.1（P.54）定理1.9.1（P.54） 三個(gè)不共面的向量，的混合積的絕對值等于以，為棱的平行六面體的體積，且當(dāng)，構(gòu)成右手系時(shí)混合積是正數(shù)，當(dāng)，構(gòu)成左手系時(shí)混合積是負(fù)數(shù).即，當(dāng)

34、，構(gòu)成右手系時(shí)，當(dāng)，構(gòu)成左手系時(shí).證明：（P.5455）定理1.9.2（P.55）三向量，共面的充要條件是.證明：“”如果，共線即或，顯然，共面且有；如果，不共線且，則當(dāng)，共面時(shí)，因?yàn)椋?，于是?“”如果，共線（）或，顯然，共面且有；如果，不共線且，當(dāng)即時(shí)，即，又，于是，共面.定理1.9.3（P.55）輪換混合積的三個(gè)因子，并不改變它的值，對調(diào)任何兩個(gè)因子要改變乘積的符號(hào).即證明：（P.55）推論：。證明：例1.（P.56.）設(shè)三向量滿足：。證明：共面。證明：（兩邊與作數(shù)量積即可證）。定理1.9.4（P.56）如果，那么：證明：（P.56.）例2.已知四面體ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)：。求它的體積

35、。解：由初等幾何知道，四面體ABCD的體積等于以AB，AC，AD為棱的平行六面體的體積的六分之一，即：。于是。例3.設(shè)不共面，求向量對于的分解式。解：因?yàn)椴还裁妫啥ɡ?.4.3有：，其中待定。上式兩邊與作數(shù)量積：。即。又由不共面知。于是：。同理：。例.ABC為三角形，O為空間中任一點(diǎn)，設(shè)，則的面積為：。解：因?yàn)椋?。所以。思考：如何利用混合積推導(dǎo)出四點(diǎn)共面的充要條件？課題：第二章 曲面與空間曲線方程。教學(xué)目的和要求：通過學(xué)習(xí)，使學(xué)生理解空間坐標(biāo)系下曲面與空間曲線方程之定義及表示，熟悉空間中一些特殊曲面、曲線的方程。教學(xué)重點(diǎn)：空間坐標(biāo)系下曲面與空間曲線方程的定義。教學(xué)難點(diǎn)：空間坐標(biāo)系下，空間曲線

36、方程的一般規(guī)范表示。主要內(nèi)容：1.平面曲線的方程。（略） 2.曲面方程。 3.空間曲線方程。教學(xué)方法：講授法。教具：三角板。參考資料：課后作業(yè)：課后部分習(xí)題與補(bǔ)充練習(xí)題。課后記：§2.1 平面曲線的方程（略）（P.6676）約定：表示空間曲面，表示空間曲線，表示三元方程.§2.2 曲面的方程一曲面方程（普通方程）定義2.2.1（P.79）三元方程與空間曲面的關(guān)系：一般來說，空間曲面的方程是三元方程；一個(gè)三元方程業(yè)表示一個(gè)空間曲面。但也有如下的一些特殊情況：1.若的左端可以分解成，那么或，此時(shí)表示兩葉曲面：和，如：（表示兩個(gè)球面）及（表示三個(gè)坐標(biāo)面）；2.如僅表示點(diǎn)；3.表示

37、軸，類似表示軸；4. 表示圓柱面。表示橢圓柱面。5. 不表示任何實(shí)圓形。稱為虛曲面。曲面方程求法：例1.（P.79）例2.（P.80）例3.（P.80）例4.（P.80）例5.（P.8081）球面方程的特征。（P.81）求曲面（曲線）的方程的一般步驟：1.選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使方程易求且求出的方程簡單。（如題目已給定，這步可?。?。如：遇到圖形有對稱軸或?qū)ΨQ中點(diǎn)，常常取對稱軸為坐標(biāo)軸，或?qū)ΨQ中心為原點(diǎn)）2.在曲線（或曲面）上任取一點(diǎn)；3.根據(jù)曲線（或曲面）上的點(diǎn)所滿足的幾何條件寫出等式；4.用點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系式表示這個(gè)等式，并化簡得方程；5.證明所得的方程就是曲線（或曲面）的方程。（若化簡過程是解變

38、形過程，便可斷言所得的方程即是曲線（曲面）的方程）。二.曲面的參數(shù)方程。定義2.2.2（P.82）例6.求球心在原點(diǎn)，半徑為的球面的參數(shù)方程。（略）解：設(shè)是曲面上的任一點(diǎn)，為原點(diǎn)，將分解成平行于三條坐標(biāo)軸的向量之和。（如：）。§2.3 空間曲線的方程。（略）定義（P.89）例1.（P.89）例2.（P.89）定義（P.90）例3.（P.90）課題：第三章 平面與空間直線。教學(xué)目的與要求：通過本章的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握空間坐標(biāo)系從下平面、直線方程的各種形式，熟練掌握平面與空間直線間各種位置關(guān)系的解析條件，會(huì)求平面與空間直線各種距離與夾角。主要內(nèi)容：1.平面方程及位置關(guān)系。2.空間直線方程及

39、各種位置關(guān)系。3.平面束。重點(diǎn)與難點(diǎn)：空間直線與平面各種形式的方程及它們之間的轉(zhuǎn)換。教學(xué)方法及教具：講授法。參考資料：課后作業(yè)：課后部分習(xí)題及補(bǔ)充練習(xí)。教學(xué)后記：§3.1 平面的方程。一.方程的建立。約定：用表示平面。定義：（1） 與平面平行的一對不共線向量，稱為的方位向量。（2）與垂直的非零向量，稱為的法線向量，簡稱法向量。1.已知平面上一點(diǎn)。及其方位向量，求此平面方程。解：建立空間坐標(biāo)系，設(shè)，對動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則共面共面（不共線） 式稱為平面的向量式參數(shù)方程.令，則 式稱為平面的坐標(biāo)式參數(shù)方程.由兩邊與作數(shù)量積或由共面消去參數(shù)得：，即 式統(tǒng)稱為平面的點(diǎn)位式方程.2.已知平面上非共線三點(diǎn)

40、 ，求通過三點(diǎn)的平面的方程.解：建立坐標(biāo)系。設(shè)。并設(shè)為上任意一點(diǎn)。由式有： 式稱為平面的三點(diǎn)式方程。特別地，當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為：時(shí)，有：。即： 稱為平面的截距式方程。其中稱為在三坐標(biāo)軸上的截距。3.已知平面上一點(diǎn)及其法向量，求平面方程。解：建立空間直角坐標(biāo)系：。設(shè)，為上任一點(diǎn)，。則：。 稱為平面的點(diǎn)法式方程。特別地，如果平面上的點(diǎn)特殊地取自原點(diǎn)向平面所引垂線的垂足，而的法向量取單位法向量（不過原點(diǎn)時(shí)）。當(dāng)過原點(diǎn)時(shí)，單位法向量只要垂直于即可。設(shè)。為上任一點(diǎn)。則：（向量式法式方程）（坐標(biāo)式）此方程稱為的法式方程。平面的法式方程具有兩個(gè)特征：一次項(xiàng)系數(shù)的平方和為1；因?yàn)槭窃c(diǎn)到的距離，所以常數(shù)

41、項(xiàng)。二.平面的一般方程。在空間坐標(biāo)系下，對任一平面，都可利用其上一點(diǎn)及其方位向量，將其方程寫成：。其中，。因?yàn)椴还簿€，所以不全為（否則矛盾?。┘纯臻g中任一平面都可以用關(guān)于的三元一次方程來表示。反過來，對任何一個(gè)三元一次方程：，不妨設(shè)。取三點(diǎn)。由于。所以，即不共線。于是它們確定的平面方程為：展開得：。（平面的一般方程）。于是有如下的平面方程基本定理：定理3.1.1（P.100）比較點(diǎn)法式方程與一般方程可知：若平面的一般方程為：，則為平面的一個(gè)法向量。一些特殊三元一次方程的圖形特點(diǎn)：（1）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，通過原點(diǎn)。（2）當(dāng)且僅當(dāng)，（或），平面平行于軸（軸或軸）；當(dāng)且僅當(dāng)，（或），平面過軸（軸或軸）。（

42、3）當(dāng)且僅當(dāng)，（或），平面平行于面（面或面）。當(dāng)且僅當(dāng)，（或），平面即為面（面或面）。三.一般方程化為法式方程。根據(jù)平面的法式方程的兩個(gè)特征，可以將平面的一般方程：化為法式方程。因?yàn)椋?。所以一般方程可寫為：?（*）比較向量式法式方程?？芍灰猿耍?）式可得法式方程：。其中的符號(hào)根據(jù)來確定。此過程稱為法式化。取定符號(hào)后的值稱為法化因子。容易看出：原點(diǎn)到平面的距離為：。例3.（P.104）例4.（P.104）§3.2 平面與點(diǎn)的相關(guān)位置.空間中平面與點(diǎn)的位置關(guān)系:點(diǎn)在平面:上.(條件)點(diǎn)不在上.(條件:).1.點(diǎn)與平面間的距離.定義3.2.1(P.106)(距離)定義3.2.2(P.

43、106)離差.其中是的單位法向量,是點(diǎn)向引垂線的垂足.定理3.2.1(P.107) 點(diǎn)與平面:之間的離差為:.其中.證明:由定義3.2.2及(圖37，P.107)得：。又因?yàn)樗?。于是：。推?（P.107） 點(diǎn)與平面的離差為：。推論2（P.108） 點(diǎn)與平面間的距離為：。2.平面劃分空間問題，三元一次不等式的幾何意義。（P.108）例.證明線段與：相交，而線段與不相交。其中。§3.3 兩平面的相交位置?？臻g兩個(gè)平面的相交位置有三種情形：相交、平行和重合。設(shè)兩平面的方程分別為： （1） （2）平面與是相交還是平行或重合，決定于由方程（1）和（2）組成的方程組是有還是無解，或是兩個(gè)方程

44、僅相差一個(gè)非零因子。因此有：定理3.3.1（P.110）與相交/ 與重合。在直角坐標(biāo)系下，由兩個(gè)平面的法向量為及也可得出相同的結(jié)論。在直角坐標(biāo)系下兩個(gè)平面的交角。設(shè)兩個(gè)平面，的交角記為。如圖所示，或。于是：。由此可得：定理3.3.2 。例1.求兩平面，的夾角。解：因?yàn)?，所以。即或。?.決定參數(shù)的值，使平面與平面成角。解：解得。例3.求平面通過兩點(diǎn)和且與平面成角。解：設(shè)所求平面為，由平面過兩點(diǎn)和有，即。再由平面與平面成角，有，即，解得。于是所求平面方程為：和。§3.4 空間直線的方程。一.直線的對稱式方程與參數(shù)方程.已知直線上的一點(diǎn)及直線的方向向量，求直線的的方程。（直線的方向向量：

45、與直線平行的非零向量稱為直線的方向向量。）解：取定空間坐標(biāo)系，設(shè)，直線的方向向量，為上的任一點(diǎn)，。那么 （為參數(shù)）稱為直線的向量式參數(shù)式方程。由參數(shù)式方程可得： （為參數(shù)）稱為直線的坐標(biāo)式參數(shù)方程。又。得：稱為直線的點(diǎn)向式方程（或?qū)ΨQ式或標(biāo)準(zhǔn)式方程）例.求通過點(diǎn)且垂直于平面的直線方程。解：依題意，直線的方向向量可以取為平面的法向量，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，因此直線的點(diǎn)向式方程為。其坐標(biāo)式參數(shù)方程為 （為參數(shù)）。例1.（P.112） 求通過空間兩點(diǎn)和的直線方程。解：取為直線的方向向量，設(shè)為上的任意點(diǎn)，則，所以直線的向量式參數(shù)方程為：，坐標(biāo)式參數(shù)方程為：，對稱式方程為：。上式也稱為直線的兩點(diǎn)式方程

46、。在空間直角坐標(biāo)系下，如果直線的方向向量特別地取為單位向量：，那么直線的參數(shù)方程為：，或直線的對稱方程為：。（*）且此時(shí)參數(shù)的絕對值恰好等于直線上的點(diǎn)與之間的距離。直線的方向向量的方向角與方向余弦分別稱為直線的方向角與方向余弦。直線的方向向量的坐標(biāo)或與它成比例的一組數(shù)稱為直線的方向數(shù)。直線的方向余弦與方向數(shù)的關(guān)系：；或。一般地，我們用比表示與非零向量共線的直線的方向數(shù)。二.直線的一步方程?？臻g直線可看成是兩個(gè)平面的交線。如果兩相交平面與相交于直線，那么直線可用方程組 （*）來表示，此方程組稱為空間直線的一般式方程。事實(shí)上，如果點(diǎn)在上，那么點(diǎn)同時(shí)在兩個(gè)平面上，其坐標(biāo)滿足方程組（*）；反過來，滿足

47、方程組（*）的點(diǎn)同在兩個(gè)平面上，所以一定在它們的交線上。綜上所述，方程組（*）就是的方程。直線的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程之間的轉(zhuǎn)換。設(shè)直線的方程為。其中不全為零，不妨設(shè)，那么直線方程可寫成： 。整理可得的一般式方程。 。其中。它是一種特殊的一般方程。其中的兩個(gè)平面過直線且分別平行于軸與軸的平面。在直角坐標(biāo)系下它們又分別垂直于與面。此時(shí)，我們稱這個(gè)一般式方程為直線的射影式方程。反過來，如果直線的方程為其中。又因?yàn)椋圆蝗珵榱?。不妨設(shè)，再令由方程組解出。得直線上的一點(diǎn)。于是直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：。那么由一般式方程分別消去和即可得直線的射影式方程。例2.（P.118） 化直線的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程和射影式方程

48、。解法1：因?yàn)榈南禂?shù)行列式，所以可由原方程組分別消去和得直線的射影式方程為：，所以直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：。解法2：顯然，直線的方向數(shù)為，令解得，即是上的一點(diǎn)，所以直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：。例3.將直線的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程。例 將化為一般方程（射影式）。§3.5 直線與平面的相關(guān)位置。一.空間直線與平面的相關(guān)位置。相交，平行，平面上。設(shè)直線與平面的方程為：。有如下判別它們相關(guān)位置的定理：定理3.5.1. 直線與平面的相關(guān)位置關(guān)系有下面的充要條件：10相交：；20 平行：，且；30 直線在平面上：，且。證明：（P.121.）二.直線與平面的交角。設(shè)直線與平面的交角為，的方向向量為，的法向量為，記

49、為。則，。§3.6 空間直線與點(diǎn)的相關(guān)位置。兩種：定義3.6.1點(diǎn)到直線的距離（如圖）。§7 空間兩直線的相關(guān)位置。1.空間兩直線的位置關(guān)系：設(shè)兩空間直線為：容易看出，的位置關(guān)系決定于三向量的相互關(guān)系。（如圖）（1）與異面異面。（2）與共面共面。當(dāng)與共面時(shí)，時(shí)，與相交，時(shí)，與平行，時(shí)，與重合。于是有如下定理：定理3.7.1（P.126）2.空間兩直線的夾角。，。 （如圖）定理3.7.2. 在直角坐標(biāo)系里，有：。推論：。3.兩異面直線間的距離與公垂線方程。定義3.7.2.（P.127）定義3.7.3.（P.127） （如圖）定理3.7.3.（P.127）定理3.7.4. 兩異面直線與之間的距離公式為：。4.兩異面直線的公垂線方程。設(shè)，