機械工程控制基礎(chǔ)(修訂本)陳康寧習題解答

1、第1章 拉普拉斯變換的數(shù)學方法復習思考題1. 拉氏變換的線性性質(zhì)、微分定理、積分定理、時域的位移定理、復域位移定理、初值定理、終值定理、卷積定理是什么？如何應用？解答：（1）線性性質(zhì)：若有常數(shù)K1，K2，函數(shù)f1(t)，f2(t)，且Lf1(t)=F1(s)，Lf2(t)=F2(s)，則（2）微分定理：若f(t)的拉氏變換為F(s)，則f(0)為t=0時的f(t)值。此定理需考慮在t0處是否有斷點。如果在t0處有斷點，f(0)f(0)，則該定理需修改成f(0)為由正向使t0時的f(t)值；f(0)為由負向使t0時的f(t)值；進而可推出f(t)的各階導數(shù)的拉氏變換：式中f (i)(0)（0in

2、）表示f(t)的i階導數(shù)在t=0時的取值。如果在t0處有斷點，f(0)f(0)，則該定理需修改成式中f (i)(0)（0in）表示f(t)的i階導數(shù)在t從正向趨近于零時的取值。f (i)(0)（0in）表示f(t)的i階導數(shù)在t從負向趨近于零時的取值當初始條件均為零時，即則有（3）積分定理若f(t)的拉氏變換為F(s)，則是對不定積分的拉普拉斯變換。式中，是在t = 0時的值。如果f(t)在t0處包含一個脈沖函數(shù)，則，此時，必須將上述定理修正如下：式中，是在t = 0時的值；，是在t = 0時的值。對于定積分的拉普拉斯變換，如果f(t)是指數(shù)級的，則上述定理修改如下：如果f(t)在t0處包含一

3、個脈沖函數(shù)，則，此時依此類推如果，該定理也要修正成（4）時域的位移定理若f(t)的拉氏變換為F(s)，對任一正實數(shù)a，有f(ta)為延遲時間a的函數(shù)f(t)，當ta時，f(t)0。（5）復域位移定理f(t)的拉氏變換為F(s)。對任一常數(shù)a（實數(shù)或復數(shù)），有（6）初值定理若函數(shù)f(t)及其一階導數(shù)都是可拉氏變換的，則函數(shù)f(t)的初值為即原函數(shù)f(t)在自變量t趨于零（從正向趨于零）時的極限值，取決于其象函數(shù)F(s)的自變量s趨于無窮大時sF(s)的極限值。（7）終值定理若函數(shù)f(t)及其一階導數(shù)都是可拉氏變換的，并且除在原點處唯一的極點外，sF(s)在包含j軸的右半s平面內(nèi)是解析的（這意味著

4、當t時f(t)趨于一個確定的值），則函數(shù)f(t)的的終值為（8）卷積定理若，則有式中，積分，稱作f(t)和g(t)的卷積。2. 用部分分式法求拉氏反變換的方法。解答：（1）F(s)無重極點的情況F(s)總是能展開為下面簡單的部分分式之和：式中K1、K2、Kn為待定系數(shù)（系數(shù)Ki為常數(shù)，稱作極點spi上的留數(shù)）。式中pi為A(s)0的根，。求得各系數(shù)后，則F(s)可用部分分式表示因從而可求得F(s)的原函數(shù)為當F(s)的某極點等于零，或為共軛復數(shù)時，同樣可用上述方法。注意，由于f(t)是個實函數(shù)。若p1和p2是一對共軛復數(shù)極點，那么相應的系數(shù)K1和K2也是共軛復數(shù)，只要求出K1或K2中的一個值，

5、另一值即可得。（2）F(s)有重極點的情況假設(shè)F(s)有r個重極點p1，其余極點均不相同，則式中K11、K12、K1r的求法如下：其余系數(shù)Kr1、K r2、Kn的求法與第一種情況所述的方法相同，即求得所有的待定系數(shù)后，F(xiàn)(s)的反變換為3. 用拉氏變換求解微分方程的步驟。解答：用拉氏變換解線性常微分方程，首先通過拉氏變換將常微分方程化為象函數(shù)的代數(shù)方程，進而解出象函數(shù)，最后由拉氏反變換求得常微分方程的解。習 題（1）解：利用拉氏變化的線性疊加特性（2）解法1：利用cos10t的拉氏變換結(jié)果和復數(shù)域位移定理解法2：直接按定義并與cost的拉氏變換進行比較解法3：直接按定義求解解法4：直接套用教材

6、表2-1中第14項結(jié)果（3）（用和角公式展開）解法1：利用和角公式展開，然后利用拉氏變換的線性疊加性所以解法2：直接利用定義求解，令，則有（1）而（2）（3）將（3）式和（2）式代入（1）得【注】本題不可直接利用延時定理，因為函數(shù)不是延時函數(shù)，如果使用了延時定理，則將改變定義域。（4）解法1：，利用復域平移特性得解法2： 利用復域微分特性得解法3：直接按定義并與tn的拉氏變換進行比較解法4：直接按定義求解得到遞推關(guān)系如下：所以解法5：直接套用教材表2-1中第9項結(jié)果（1）解：設(shè)t0時，f(t)0利用拉氏變換的線性特性（2）解：利用拉氏變換的性質(zhì)：線性性質(zhì)，復域平移特性（3）解：設(shè)t0時，f(t

7、)0。利用拉氏變換線性特性、延時特性和復域平移特性【注】本題不可對第二項(t1)2e2t采用如下方法：因為，利用時域位移定理得，再利用復域平移定理得。這樣計算的結(jié)果是錯誤的，原因在于：在利用時域位移定理時，將(t1)2的定義域變成了，而原題中(t1)2的定義域為。換句話說，這里(t1)2并不是t2的延時函數(shù)。（4）解法1：，如圖2-2所示。所以 2 3 4 56-1-0.500.51tf(t)圖題2-2sin(t)sin(t)1(t)解法2：直接按定義求解。解：（1）（2）根據(jù)部分分式法得所以所以所以，與（1）中計算結(jié)果相同?！咀ⅰ勘绢}求拉氏反變換時，可以利用教材表2-1中的第10項。、解：（

8、1）根據(jù)拉氏變換的微分特性得知f '(t)的拉氏變換為則再次利用初值定理得（2）則結(jié)果與（1）中計算的一致。解：（a）解法1：設(shè)，則（見圖2-5-1(a)）由此得解法2：令根據(jù)拉氏變換的積分特性得解法3：直接利用拉氏變換定義則（b）解法1：設(shè)，則由圖2-5-1(b)可知所以解法2：令根據(jù)拉氏變換的積分特性得解法3：直接利用拉氏變換定義則（c）解法1：利用拉氏變換的積分特性。由圖可見根據(jù)拉氏變換的積分特性得圖題5-2-1f1(t)f1(t2)101(t2)f1(t)f1(t1)21(t3)f1(t3)1(t1)（1）解法1：利用部分分式法。先將F(s)展開成部分分式因為兩個極點共軛，所以

9、K2與K1共軛，即即所以解法2：查表法利用拉氏變換對照表查得（2）解法1：利用部分分式法。先將F(s)展開成部分分式令即所以根據(jù)拉氏變換線性特性得解法2：利用拉氏變換復域平移定理及線性性質(zhì)得（3）解：利用部分分式法。先將F(s)展開成部分分式即所以（4）解：利用部分分式法。先將F(s)展開成部分分式即（5）解：利用部分分式法。先將F(s)展開成部分分式即則（6）解：利用拉氏變換的實數(shù)域位移定理（延時定理）得（7）解：將F(s)展開成部分分式即所以2-1 求下列卷積（1） 1*1解：因為，利用拉氏變換的卷積定理得對上式進行拉普拉斯逆變換得（2） t*t解：因為，利用拉氏變換的卷積定理得對上式進行

10、拉普拉斯逆變換得（3） t*et解：因為，利用拉氏變換的卷積定理得對上式進行拉普拉斯逆變換（可查表）得（4） t*sint解：因為，利用拉氏變換的卷積定理得對上式進行拉普拉斯逆變換得2-2 用拉氏變換的方法解下列微分方程（1）解：對微分方程等號兩邊同時求拉氏變換得將初始條件代入上式并整理得解得對X(s)求拉普拉斯逆變換得到（2）解：對微分方程等號兩邊同時求拉氏變換得將初始條件代入上式并整理得解得對X(s)求拉普拉斯逆變換（查表）得到101第2章 系統(tǒng)的數(shù)學模型習 題3-1 列出圖題31所示各種機械系統(tǒng)的運動微分方程式(圖中未注明x(t)均為輸入位移，y(t)為輸出位移)解：（a）對y(t)點利

11、用牛頓第二定律得即（b）對m利用牛頓第二定律得整理得（c）對y(t)點利用牛頓第二定律得整理得（d）對圖(d)所示系統(tǒng)，由牛頓定律有其中（e）對m利用牛頓第二定律得整理得3-2 列出圖題32所示系統(tǒng)的運動微分方程式，并求輸入軸上的等效轉(zhuǎn)動慣量J和等效阻尼系數(shù)B。圖中T1、1為輸入轉(zhuǎn)矩及轉(zhuǎn)角，TL為輸出轉(zhuǎn)矩。解：對J1列寫平衡方程得（1）（2）（3）（4）式中T2為J1的輸出轉(zhuǎn)矩，T3為J2的輸入轉(zhuǎn)矩，2為J2的轉(zhuǎn)角。將（3）、（4）式代入（2）式，求得T2，再將求得的T2代入（1）式得輸入軸上的等效轉(zhuǎn)動慣量J為輸入軸上的等效阻尼系數(shù)B為3-3 求圖題33所示各電氣網(wǎng)絡(luò)輸入和輸出量間關(guān)系的微分方

12、程式，圖中ui為輸入電壓，uo為輸出電壓。解：（a）方法1：設(shè)流過LC回路的電流為i，利用基爾霍夫電壓定律得 （1） （2）對（2）式求導得 （3）（3）式代入（1）得方法2：設(shè)流過LC回路的電流為iL，利用基爾霍夫電流定律得iL=iC即對上式求導，并整理得（b）方法1：設(shè)流過L的電流為i，利用基爾霍夫電壓定律得消除中間變量i（過程同(a)）得方法2：設(shè)流過L的電流為i，流過C1、C2的電流分別為i1和i2，利用基爾霍夫電流定律得i = i1 + i2即對上式求導，并整理得（c）方法1：設(shè)流過R1的電流為i1，流過C1的電流為i2，利用基爾霍夫電壓定律得 （1） （2） （3）由（1）得 （4

13、）（4）代入（2）并后求導得 （5）（5）、（4）代入（3）后，求導，再整理得方法2：設(shè)流過R1的電流為i1，流過C1的電流為i2，流過R2、C2的電流為i，電阻C2上的電壓為uC2，利用基爾霍夫電流定律得i = i1 + i2即（1） （2）由式（2）得 （3）將式（3）及其一階導數(shù)代入（2），并整理得（d）解法1：設(shè)流過回路的電流為i，利用基爾霍夫電壓定律得 （1） （2）（1）×C1（2）×C2得 （3）對（2）求導得 （4）（3）代入（4）并整理得或解法2：利用基爾霍夫電流定律，過程略。3-4 列出圖題34所示機械系統(tǒng)的作用力f(t)與位移x(t)之間關(guān)系的微分方程

14、。解：設(shè)杠桿轉(zhuǎn)角為，對m使用牛頓第二定律得整理得3-5 如圖題35所示的系統(tǒng)，當外力f(t)作用于系統(tǒng)時，m1和m2有不同的位移輸出x1(t)和x2(t)，試求f(t)與x2(t)的關(guān)系，列出微分方程式。解：對m1使用牛頓第二定律得（1）對m2使用牛頓第二定律得（2）由公式（2）得（3）對（1）式等號兩邊同時求微分一次得（4）將（3）式表示的及其二、三階導數(shù)代入（4）并整理得到3-6 求圖題36所示的各機械系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：（a）對m利用牛頓第二定律得即令X(s)=Lx(t)，F(xiàn)(s)=Lf(t)，在初始條件為0的條件下，等號兩邊同時做拉普拉斯變換得由此得該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為（b）對m利用牛頓

15、第二定律得即令X(s)=Lx(t)，F(xiàn)(s)=Lf(t)，在初始條件為0的條件下，等號兩邊同時做拉普拉斯變換得由此得該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為x3(t)式中：， rad·s-1，（c）引入中間變量x3(t)，分別對x2(t)點和x3(t)點利用牛頓第二定律得令X1(s)=Lx1(t)，X2(s)=Lx2(t)，X3(s)=Lx3(t)，在初始條件為0的條件下，對上兩式等號兩邊同時做拉普拉斯變換得（1）（2）由（1）式得代入（2）式并整理得此系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為式中：，（d）對x2(t)點利用牛頓第二定律得即令X1(s)=Lx1(t)，X2(s)=Lx2(t)，在初始條件為0的條件下，等號兩邊同時

16、做拉普拉斯變換得由此得該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為式中：，3-7 圖題37所示f(t)為輸入力，系統(tǒng)的彈簧剛度為k，軸的轉(zhuǎn)動慣量為J，阻尼系數(shù)為B，系統(tǒng)的輸出為軸的轉(zhuǎn)角(t)，軸的半徑為r。求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：利用相應力學定律得即令F(s)=Lf(t)，(s)=L(t)，在初始條件為0的條件下，等號兩邊同時做拉普拉斯變換得所以傳遞函數(shù)為3-8 證明圖題38(a)和(b)所示的系統(tǒng)是相似系統(tǒng)。證明：（a）在3-3題中已經(jīng)得到圖題3-8（a）所示電路的微分方程為令Ui(s)=Lui(t)，Uo(s)=Luo(t)，在初始條件為0的條件下，等號兩邊同時做拉普拉斯變換得由此得其傳遞函數(shù)為（b）引入中間變量x，

17、分別對x和x2利用牛頓第二定律得令X1(s)=Lx1(t)，X2(s)=Lx2(t)，X(s)=Lx(t)，在初始條件為0的條件下，等號兩邊同時做拉普拉斯變換得消去X(s)得（a）和（b）具有相似的傳遞函數(shù)，故這兩個系統(tǒng)為相似系統(tǒng)。比較兩式可知，兩者參數(shù)相似關(guān)系為或【注】若兩個系統(tǒng)的數(shù)學模型（如微分方程、傳遞函數(shù)等）具有相同的形式，則稱為相似系統(tǒng)。在相似系統(tǒng)數(shù)學模型中占據(jù)相同位置的物理量，稱為相似量。3-9 若某系統(tǒng)在階躍輸入x(t)1(t)作用時，系統(tǒng)的輸出響應為，試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和脈沖響應函數(shù)。解：(1)求傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)是在初始條件為零的情況下，系統(tǒng)輸出的拉普拉斯變換與輸入的拉普拉斯變

18、換之比。因為y(0)=1-1+10，所以，題中所給的單位階躍響應為非0初始條件下的響應，因此，不能直接利用y(t)的拉氏變換求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。方法1：由響應可知，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應為1，所以系統(tǒng)的靜態(tài)增益為1；系統(tǒng)的瞬態(tài)響應有2項指數(shù)衰減項，所以，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)有兩個極點，分別為2和1，即系統(tǒng)為二階系統(tǒng)，而且因為穩(wěn)態(tài)響應為1，故可知系統(tǒng)微分方程的特解為1，由此可知，系統(tǒng)微分方程中不存在輸入的微分項，所以，系統(tǒng)的微分方程形式為在考慮初始條件的情況下，對上式做拉氏變換得即亦即 （1）（1）式中第一項即為系統(tǒng)0初始條件下的響應的拉氏變換。由單位階躍響應得將上述結(jié)果及X(s)=1/s代入(1)式得單位階躍

19、響應的拉氏變換 （2）對題中給定的單位階躍響應求拉氏變換得 （3）因為（2）和（3）式相等，所以（3）式分母與（2）式公分母比較得代入（2）式得 （4）因為（1）式中第一項即為系統(tǒng)0初始條件下的響應的拉氏變換，所以（4）式中的第一項即為系統(tǒng)0初始條件下的響應的拉氏變換，即：所以系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為方法2：由題中單位階躍響應可知，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應為1，所以系統(tǒng)的靜態(tài)增益為1；系統(tǒng)的瞬態(tài)響應有2項，所以，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)有兩個極點，分別為2和1，故系統(tǒng)在0初始條件下的單位階躍響應（對線性因果系統(tǒng)就是零狀態(tài)響應）應該具有如下形式：因為初始條件為0，所以有聯(lián)立上兩式解得A = 1，B = 2所以，系統(tǒng)在0初始

20、條件下的單位階躍響應為其拉氏變換為已知輸入信號為單位階躍信號，其拉氏變換為所以，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為（2）求單位脈沖響應由傳遞函數(shù)的定義可知而所以所以這樣求得響應為零初始條件下的響應（零狀態(tài)響應）。3-10 運用方塊圖簡化法則，求圖題310各系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：（a）簡化過程如圖題解3-10（a）所示，傳遞函數(shù)為（b）簡化過程如圖題解3-10（b）所示，傳遞函數(shù)為圖題解3-10（a） 圖題3-10（a）的簡化過程R(s)C(s)R(s)C(s)R(s)C(s)R(s)C(s)R(s)C(s)相加點前移分支點后移消去兩個反饋回路消去反饋回路（b）圖題解3-10（b） 圖題3-10（b）的簡化過程分支

21、點前移消去反饋回路和并聯(lián)回路消去反饋回路消去反饋回路R(s)C(s)R(s)C(s)R(s)C(s)R(s)C(s)R(s)C(s)3-11 畫出圖題311所示系統(tǒng)的方塊圖，并寫出其傳遞函數(shù)。解：分別對質(zhì)量m和x1(t)利用牛頓第二定律得整理得在初始條件為0的情況下，對上兩式等號兩邊同時做拉普拉斯變換得上兩式的方塊圖分別如圖題解3-11（a）、（b）所示。圖題解3-11（a）（b）X(s)X1(s)F(s)F(s)X1(s)X (s)（c）X(s)（d）X(s)F(s)將方塊圖（a）、（b）合并得系統(tǒng)的方塊圖，如圖解3-11（c）所示，化簡得方塊圖（d）。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為圖題312x1(t)k

22、1Bm2m1k2x(t)f(t)說明本題也可以先求出兩個串聯(lián)彈簧的等效剛度，然后用一個方程即可求出傳遞函數(shù)。3-12 畫出圖題312所示系統(tǒng)的方塊圖，該系統(tǒng)在開始時處于靜止狀態(tài)，系統(tǒng)的輸入為外力f(t)，輸出為位移x(t)，并寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：設(shè)m1的位移為x1(t)，如圖題3-12所示。分別對質(zhì)量m1和m2利用牛頓第二定律得整理得在初始條件為0的條件下，對上兩式等號兩邊同時做拉普拉斯變換得即上兩式的方塊圖分別如圖題解3-12（a）、（b）所示。圖題解3-12（a）（b）F(s)X1(s)X (s)X(s)X1(s)（c）F(s)X(s)將方塊圖（a）、（b）合并得系統(tǒng)的方塊圖，如圖解3

23、-12（c）所示，化簡一次得方塊圖（d）。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為3-13 求圖題313所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：利用梅遜公式（）前向通路只有一條，該前向通路的傳遞函數(shù)為有兩條回路，傳遞函數(shù)分別為因為所有兩個回路具有一條公共支路，所以沒有不接觸回路，因此特征式為因為兩個回路都與唯一的前向通路相接觸，故從中去掉兩個回路的傳遞函數(shù)即可得到前向通路的特征式的余因子11=1將上述結(jié)果代入梅遜公式得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為（b）前向通路有兩條，這兩條前向通路的傳遞函數(shù)分別為有兩條回路，傳遞函數(shù)分別為因為所有兩個回路具有一條公共支路，所以沒有不接觸回路，因此特征式為因為兩個回路都與兩個前向通路相接觸，故從中去掉兩個回路的

24、傳遞函數(shù)即可得到兩個前向通路的特征式的余因子1=12=1將上述結(jié)果代入梅遜公式得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為3-14 圖題314所示為發(fā)動機速度控制系統(tǒng)的方塊圖。發(fā)動機速度由轉(zhuǎn)速測量裝置進行測量。試畫出該系統(tǒng)的信號流圖。圖題314參考速度轉(zhuǎn)速測量裝置液壓伺服機構(gòu)負載干擾發(fā)動機實際速度解：其信號流圖如圖題解3-14所示。圖題解3-14N(s)R(s)C(s)1113-15 對傳遞函數(shù)試推導對應的狀態(tài)方程表達式。解法1：（套公式笨辦法）。與教材式（3-121）比較得到代入教材式（3-130）得狀態(tài)空間表達式為式中，u為輸入變量。解法2：（參考現(xiàn)代控制工程Modern Control Engineering美

25、Katsuhiko Ogata緒方勝彥著盧伯英，于海勛等譯北京：電子工業(yè)出版社，2000年5月第3版）令式中，0，1由下式確定代入上式得而所以狀態(tài)空間表達式為【注】結(jié)果與解法1不同，這是因為狀態(tài)空間表達式不是唯一的（取決于所選取的狀態(tài)變量，可能有無窮多個）。解法3：利用拉氏反變換即令則對上面三式做拉氏反變換得所以狀態(tài)方程為輸出方程為3-16 圖題316所示系統(tǒng)，以圖中所標記的x1、x2、x3為狀態(tài)變量，推導其狀態(tài)空間表達式。u、y分別為輸入、輸出，1、2、3是標量。解：由圖可知所以系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為3-17 設(shè)系統(tǒng)的微分方程為試求系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式。解：這是一個三階系統(tǒng)，輸入變量為u，輸

26、出變量為y。選取3個狀態(tài)變量x1，x2，x3，它們分別為代入原微分方程中得故系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為（合稱狀態(tài)空間表達式）輸出方程為3-18 給定系統(tǒng)傳遞函數(shù)為試寫出它的狀態(tài)空間表達式。解：（套公式）。與教材式（3-121）比較得到代入教材式（3-130）得狀態(tài)空間表達式為式中，u為輸入變量。第3章 系統(tǒng)的瞬態(tài)響應與誤差分析復習思考題習 題4-1 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為求這個系統(tǒng)的單位階躍響應。解法1：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為（假定為負反饋）所以系統(tǒng)的單位階躍響應的拉氏變換為利用部分分式法計算得到，所以對上式做拉普拉氏反變換得到單位階躍響應為解法2：利用教材上的結(jié)論系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為（

27、假定為負反饋）上式等號兩邊比較得，解得： rad·s-1（負根舍掉），這是一個過阻尼二階震蕩系統(tǒng)，有兩個不相等的負實數(shù)極點：，所以，該單位階躍響應為式中：，代入上式得階躍響應為4-2 設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試求系統(tǒng)的上升時間、峰值時間、最大超調(diào)量和調(diào)整時間。解法1：直接套用教材上的結(jié)論。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為（假定為負反饋）等號兩邊比較得n=1 rad·s-1（負根舍掉），=0.5。這是一個欠阻尼二階震蕩系統(tǒng)，所以上升時間：峰值時間：最大超調(diào)量：調(diào)整時間（用近似公式）：調(diào)整時間的較準確值（用Matlab按準確的理論響應曲線測量的結(jié)果）：解法2：直接按指標定義求解。

28、系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為（假定為負反饋）等號兩邊比較得n=1 rad·s-1（負根舍掉），=0.5。這是一個欠阻尼二階系統(tǒng)，其單位階躍響應為然后按著指標的定義求解（參見教材中的求解過程）。4-3 設(shè)有一閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為為了使系統(tǒng)對階躍輸入的響應，有約5%的超調(diào)量和2s的調(diào)整時間，試求和n的值應等于多大。解：設(shè)允許的誤差范圍為%，系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)，則根據(jù)題意得到 (1) (2)由（1）式解得（舍掉負根0.69）0.69將%=5%和0.69代入（2）式解得n2.405 rad·s-1將%=2%和0.69代入（2）式解得n3.069 rad·s-14-4 圖題44所示系

29、統(tǒng)，當輸入r(t) 10t和r(t) 4 6t 3t2時，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。圖題44解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為開環(huán)增益K=10/4=2.5。復域系統(tǒng)誤差為（1）解法1：利用教材的結(jié)論。這是一個1型系統(tǒng)，所以其單位斜坡響應的穩(wěn)態(tài)誤差為當r(t) 10t時的穩(wěn)態(tài)誤差為解法2：按定義推導。當r(t) 10t時，R(s) 10/s2，代入上述誤差的拉氏變換式得到利用拉普拉斯變換的終值定理得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為（2）解法1：利用教材的結(jié)論。這是一個1型系統(tǒng)，其靜態(tài)位置、速度和加速度誤差系數(shù)分別為Kp=，Kv=K=2.5，Ka=0根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理可知，系統(tǒng)對r(t) 4 6t 3t2響應的穩(wěn)態(tài)誤差為解法2

30、：按定義推導。當r(t) 4 6t 3t2時，代入上述誤差的拉氏變換式得到利用拉普拉斯變換的終值定理得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為4-5 設(shè)題44中的前向傳遞函數(shù)變?yōu)檩斎敕謩e為r(t) 10t，r(t) 4 6t 3t2和r(t) 4 6t 3t2 1.8t3時，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為其開環(huán)增益為K=10/1=10。復域系統(tǒng)誤差為（1）解法1：利用教材的結(jié)論。這是一個1型系統(tǒng)，開環(huán)增益K=10，所以其單位斜坡響應的穩(wěn)態(tài)誤差為當r(t) 10t時的穩(wěn)態(tài)誤差為解法2：按定義推導。當r(t) 10t時，R(s) 10/s2，代入上述誤差公式得到利用拉普拉斯變換的終值定理得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為（2

31、）當r(t) 4 6t 3t2時利用上述方法可分別求得系統(tǒng)對單位階躍信號1(t)、單位斜坡信號（t）和加速度信號（t2）的穩(wěn)態(tài)誤差為根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加特性可得系統(tǒng)對r(t) 4 6t 3t2響應的穩(wěn)態(tài)誤差為（3）當r(t) 4 6t 3t2 1.8t3時系統(tǒng)對信號t3的穩(wěn)態(tài)誤差為根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加特性可得系統(tǒng)對r(t) 4 6t 3t2 1.8t3響應的穩(wěn)態(tài)誤差為【注】此題所給系統(tǒng)是一個不穩(wěn)定系統(tǒng)（因為有一對共軛極點的實部大于0。特征方程的根=閉環(huán)傳遞函數(shù)極點：-1.4857，0.2069±j0.7974），所以上述計算結(jié)果毫無意義。若將系統(tǒng)改成，則系統(tǒng)穩(wěn)定。4-6 圖題46為由穿孔

32、紙帶輸入的數(shù)控機床的位置控制系統(tǒng)方塊圖，試求解：系統(tǒng)的前向傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為（1）由閉環(huán)傳遞函數(shù)可知，這是一個二階震蕩系統(tǒng)（2）最大超調(diào)量：上升時間：（3）當r(t) 1(t)時，R(s) 1/s，復域系統(tǒng)誤差為利用拉普拉斯變換的終值定理得系統(tǒng)對單位階躍輸入響應的穩(wěn)態(tài)誤差為也可以利用教材上的結(jié)論求解（這是個1型系統(tǒng)，開環(huán)增益K=9。1型系統(tǒng)對單位階躍輸入響應的穩(wěn)態(tài)誤差為0）。（4）當r(t) t時，R(s) 1/s2，復域的系統(tǒng)誤差為利用拉普拉斯變換的終值定理得系統(tǒng)對單位斜坡輸入響應的穩(wěn)態(tài)誤差為也可以利用教材上的結(jié)論求解（這是個1型系統(tǒng)，開環(huán)增益K=9。1型系統(tǒng)對單位斜坡輸入響應的

33、穩(wěn)態(tài)誤差為ess=1/K=1/9）。4-7 求圖題47所示帶有速度控制的控制系統(tǒng)的無阻尼自然頻率n，阻尼比及最大超調(diào)量Mp（取K 1500，d 0.01(s)）。解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為等號兩邊比較得 rad·s-1當輸入為單位階躍信號時，R(s)=1/s，所以利用部分分式法計算得到K3=1對C(s)進行拉氏逆變換得到系統(tǒng)的階躍響應為將K1、K2、K3代入上式中，并整理得令解得第一個峰值時間為將tp代入c(t)中可得到最大超調(diào)量為將n和代入上式求得4-8 求圖題48所示系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)Kp、Kv、Ka，當輸入是40t時，穩(wěn)態(tài)速度誤差等于多少？解：這是一個1型系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為開

34、環(huán)增益K=10。靜態(tài)位置誤差系數(shù)靜態(tài)速度誤差系數(shù)靜態(tài)加速度誤差系數(shù)當輸入是40t時，穩(wěn)態(tài)速度誤差為或者【注】此題所給系統(tǒng)是一個不穩(wěn)定系統(tǒng)（可以用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判別）（閉環(huán)傳遞函數(shù)的三個極點為：-7.4572，0.2286±j3.6548），所以上述計算結(jié)果毫無意義。4-9 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如題49所示。解：（1）由圖可知求得復域的系統(tǒng)誤差為則在單位階躍輸入信號1(t)作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為（2）外部擾動N1(s)單獨作用時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差外部擾動N2(s)單獨作用時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差（3）4-10 已知系統(tǒng)如圖題410所示。在輸入信號為單位階躍r(t) 1(t)和干擾信號亦為階躍信號n(t)

35、2×1(t)作用下，試求：解：（1）由圖可知求得復域系統(tǒng)誤差為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為將R(s)=1/s和N(s)=2/s代入上式得【注】此題原題可能有數(shù)據(jù)錯誤。當K=40時ess=0當K=20時ess=0（2）若在擾動作用點之前的前向通道中引入積分環(huán)節(jié)1 / s，則求得復域系統(tǒng)誤差為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為將R(s)=1/s和N(s)=2/s代入上式得結(jié)果說明：在擾動作用點之前的前向通道中引入積分環(huán)節(jié)1 / s，可以同時消除對階躍型輸入信號和干擾信號響應的穩(wěn)態(tài)誤差。若在擾動作用點之后引入積分環(huán)節(jié)1 / s，則求得復域系統(tǒng)誤差為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為將R(s)=1/s和N(s)=2/s代入上式得結(jié)果說明：

36、在擾動作用點之后引入積分環(huán)節(jié)1 / s，可以消除對階躍型輸入信號響應的穩(wěn)態(tài)誤差，但不能消除由階躍型干擾信號引起的穩(wěn)態(tài)誤差。系統(tǒng)的頻率特性習 題5-1 設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為當系統(tǒng)作用以下輸入信號時，試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出。解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為則因為系統(tǒng)是線性系統(tǒng)，且輸入為簡諧信號，所以系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為其中將輸入信號角頻率=1代入上兩式得所以系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為過程同，=2，所以所以系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為因為輸入為-，根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理知，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出就是上面兩個穩(wěn)態(tài)響應相減，即5-2 繪制下列各環(huán)節(jié)的伯德圖解：兩個都是比例環(huán)節(jié)解：第一個為比例環(huán)節(jié)與積分環(huán)節(jié)串聯(lián)，第二個為2重微分環(huán)節(jié)，斜

37、率=20dB/dec；，斜率=40dB/dec解：第一個是一個比例環(huán)節(jié)與一個慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)：，轉(zhuǎn)角頻率T=1 rads1。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率20dB/dec第二個是一個比例環(huán)節(jié)與一個一階微分環(huán)節(jié)串聯(lián)：，轉(zhuǎn)角頻率T=1/2=0.5 rads1。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率20dB/dec解：第一個由一個一階微分環(huán)節(jié)和一個慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)一階微分環(huán)節(jié)：，轉(zhuǎn)角頻率T=1/0.2=5 rads1。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率20dB/dec慣性環(huán)節(jié)：，轉(zhuǎn)角頻率T=1/0.05=20 rads1。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率20dB/dec第二個由一個一階微分環(huán)節(jié)和一個慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)一階微分環(huán)

38、節(jié)：，轉(zhuǎn)角頻率T=1/0.05=20 rads1。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率20dB/dec慣性環(huán)節(jié)：，轉(zhuǎn)角頻率T=1/0.2=5 rads1。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率20dB/dec解：由一個比例環(huán)節(jié)、一個一階微分環(huán)節(jié)、一個積分環(huán)節(jié)、二個慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)組成比例環(huán)節(jié)：，一階微分環(huán)節(jié)：，轉(zhuǎn)角頻率T=1/2=0.5 rads1。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率20dB/dec積分環(huán)節(jié)：，斜率20dB/dec，慣性環(huán)節(jié)1：，轉(zhuǎn)角頻率T=1/1=1 rads1。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率20dB/dec慣性環(huán)節(jié)2：，轉(zhuǎn)角頻率T=1/0.1=10 rads1。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率20

39、dB/dec-100-80-60-40-200204060L()/dB 10-210-1100101102103-180-135-90-4504590()/ºBode Diagram /rads1sys1sys2sys3sys4sys5sys20dB/dec0dB/dec20dB/dec40dB/dec解：由二個一階微分環(huán)節(jié)、二個慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)組成一階微分環(huán)節(jié)1：，轉(zhuǎn)角頻率T=1/0.2=5 rads1。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率20dB/dec一階微分環(huán)節(jié)2：，轉(zhuǎn)角頻率T=1/0.5=2 rads1。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率20dB/dec慣性環(huán)節(jié)1：，轉(zhuǎn)角頻率T=1/0.

40、05=20 rads1。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率20dB/dec慣性環(huán)節(jié)2：，轉(zhuǎn)角頻率T=1/5=0.2 rads1。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率20dB/dec解：一個比例環(huán)節(jié)，一個微分環(huán)節(jié)與一個比例環(huán)節(jié)串聯(lián)（可以看成一個微分環(huán)節(jié)），一個積分環(huán)節(jié)與一個比例環(huán)節(jié)串聯(lián)（可以看成一個積分環(huán)節(jié)），然后三者并聯(lián)組成比例環(huán)節(jié)：，。微分環(huán)節(jié)：，。積分環(huán)節(jié)：，。解：由一個比例環(huán)節(jié)，一個一階微分環(huán)節(jié)，二重積分環(huán)節(jié)，二個慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)組成。比例環(huán)節(jié)：，一階微分環(huán)節(jié)1：，轉(zhuǎn)角頻率T=1/2=0.5 rads1。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率20dB/dec兩重積分環(huán)節(jié)：，。慣性環(huán)節(jié)1：，轉(zhuǎn)角頻率T=1/0.

41、5=2 rads1。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率20dB/dec慣性環(huán)節(jié)2：，轉(zhuǎn)角頻率T=1/0.1=10 rads1。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率20dB/dec-150-100-50050100 10-210-1100101102103-270-225-180-135-90-4504590Bode Diagramsys1sys2sys3sys4sys5sys60dB/dec40dB/dec20dB/dec40dB/decL()/dB()/º /rads1680.52解：這是一個欠阻尼振蕩環(huán)節(jié)，時間常數(shù)T=0.1 s，無阻尼固有角頻率n=1/T=10rads1，阻尼比=0.5。

42、低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率40dB/dec，轉(zhuǎn)角頻率T=1/T=n=10 rads1。解：由一個比例環(huán)節(jié)、一個積分環(huán)節(jié)、一個慣性環(huán)節(jié)、一個欠阻尼振蕩環(huán)節(jié)串聯(lián)組成。比例環(huán)節(jié)：，積分環(huán)節(jié)：，。慣性環(huán)節(jié)：，轉(zhuǎn)角頻率T=1/2=0.5 rads1。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率20dB/dec振蕩環(huán)節(jié)，時間常數(shù)T=1 s，無阻尼固有角頻率n=1/T=1 rads1，阻尼比=0.6/(2T)=0.3。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率40dB/dec，轉(zhuǎn)角頻率T=1/T=n=1 rads1。-150-100-50050100 10-210-1100101102-360-315-270-225-180-1

43、35-90-450Bode Diagramsys1sys2sys3sys4sys20dB/decL()/dB()/º /rads140dB/dec80dB/dec5-3 繪制下列各環(huán)節(jié)的乃奎斯特圖解：解：，n=10，=0.5。，因相角從0º變化到180º，且終點從第3象限趨于原點，所以與負虛軸必有交點，令實部等于0，解得與虛軸的交點頻率=n=10，該點幅值和相角為峰值點：，解：，與實軸交點頻率與實軸交點-3-2-10-50-40-30-20-10010Nyquist DiagramRe()Im()-1-0.8-0.6-0.4-0.20-0.6-0.4-0.200.

44、20.40.6Nyquist DiagramRe()Im()0.417解：設(shè)k0，T0，Re(0)=0，Im(0)=0，Re()=k/T，Im()=0，所以，Nyquist曲線是一個圓心在（k/(2T)，0），半徑為k/(2T)的半圓。0k/T0Nyquist DiagramRe()Im()k/(2T)k/(2T)解：，Re()0，Im()0-2-1.5-1-0.50×105-1-0.500.51×104Nyquist DiagramRe()Im()-2-1.5-1-0.50-1.5-1-0.500.511.5Nyquist DiagramRe()Im()-0.500.5-

45、0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.4Nyquist DiagramRe()Im()5-4 繪制下列各環(huán)節(jié)尼柯爾斯圖 ；解：；5-5 為使題5-5圖所示系統(tǒng)的截止頻率b=100( rad·s-1)，T值應為多少？圖題5-5解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 （1） （2）所以令解得【注】如果要套用教材上的公式，則在套用之前一定要先將傳遞函數(shù)或頻響函數(shù)化成標準的慣性環(huán)節(jié)表達式，確定時間常數(shù)，如上面公式（1）和（2）所示。本題慣性環(huán)節(jié)時間常數(shù)為T/2，即截止頻率b=2/T。5-6 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試求閉環(huán)系統(tǒng)的Mr，r及b。解：單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為則前向傳遞

46、函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為變成通用形式或由上面的式子可知靜態(tài)增益K=10/11無阻尼固有角頻率阻尼比因阻尼比小于，所以幅頻特性存在峰值。所以相對諧振峰值：謝振頻率： 截止頻率：102030405060708090100-180-135-90-450System: sysFrequency ( rad·s-1): 52.5Phase (deg): -90Phase (deg)Frequency ( rad·s-1ec)0.20.40.60.64280.811.2System: sysPeak gain (abs): 1.02At frequency ( rad·s-

47、1): 35.2System: sysFrequency ( rad·s-1): 1.49Magnitude (abs): 0.909System: sysFrequency ( rad·s-1): 65.2Magnitude (abs): 0.643Magnitude (abs)5-7 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別為；試確定K，使閉環(huán)系統(tǒng)的Mr1.4，同時求出r和b。解：（1）開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為由上式可見，這是一個典型二階系統(tǒng)，其中 （1） （2）將阻尼比代入解得代入（2）式得根據(jù)題意，幅頻特性存在峰值，所以阻尼比應該小于，即取=0.3874，K=90.6149。將K值代入（1）式得諧振頻率Frequency ( rad·s-1ec)00.20.40.60.811.21.4System: sysPeak gain (abs): 1.19At frequency ( rad·s-1ec): 8.64System: sysFrequency ( rad·s-1ec): 14.3Magnitude (abs): 0.601System: sysFrequency ( rad