全微分及其應(yīng)用

1、第四節(jié)全微分及其應(yīng)用一元函數(shù)y f(x)在x處可微的本質(zhì)是：可用x處自變量的增量 x的線性函數(shù) A x 近似地描述函數(shù)值 增量 y ,從而可簡(jiǎn) 化 y的計(jì)算.我們自然要問(wèn)：給定二元函數(shù) z f x, y，當(dāng)x,y有改變量 x, y時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值的改變量z與 x, y有何關(guān)系？可否用 x, y的線性函數(shù) A x B y來(lái)近似代替 z ?一、全微分1 .全微分的定義對(duì)于一元函數(shù) y f(x),當(dāng)自變量在點(diǎn) x處有增量 x時(shí)，若函數(shù)的增量y可表示為y A x o( x),其中，A與x無(wú)關(guān)而僅與x有關(guān)，當(dāng)x 0時(shí)，o( x)是比 x高階 的無(wú)窮小量.則稱(chēng)函數(shù)y f (x)在點(diǎn)x可微，并把A x叫做y

2、 f (x)在點(diǎn)x的微分，記作 dy ,即dy A x.類(lèi)似的，我們給出二元函數(shù)全微分的定義 .定義 如果二元函數(shù)z f(x, y)在點(diǎn)P x,y的某一個(gè)鄰域U(P)內(nèi)有定義，相應(yīng)于自y) f (x, y).稱(chēng) z為函數(shù)變量的增量 x, y,函數(shù)的增量為 z f(x x,yf(x,y)在點(diǎn)P(x,y)處的全增量.若全增量z可表示為z A x B y o()(6.4.1)其中A,B僅與x,y有關(guān)，而與 x, y無(wú)關(guān),& x)2( y)2 ,則稱(chēng)函數(shù) z f(x, y)在點(diǎn)P(x, y)可微.并稱(chēng)A xB y為f (x, y)在點(diǎn)P(x, y)的全微分，記作d z或d f (x, y),即

3、:(6.4.2)說(shuō)明0時(shí)，o()是比高階的無(wú)窮小量，即:.0 lim0limx, yo .( x)2 ( y)20,0 J x)2 ( y)20;(2)習(xí)慣上,自變量的增量 x與 y常寫(xiě)成dx與dy (類(lèi)似于一元函數(shù)的情形可證明其相等性,請(qǐng)讀者自行完成)，并分別稱(chēng)為自變量 x, y的微分.這樣，函數(shù)z f x, y的全微 分也可寫(xiě)為：d z Adx Bdy(3)如果函數(shù)在區(qū)域 的可微函數(shù).D內(nèi)的各點(diǎn)都可微，則稱(chēng)函數(shù)在 區(qū)域D內(nèi)可微,或稱(chēng)函數(shù)為D內(nèi)例1求證函數(shù)zx2 y2在xo, yo處可微，并求其全微分解 因?yàn)閤o, yo處函數(shù)的全增量為2z xo xyo222y x yo2xo x 2yo

4、ylimx, yo,o(x)2 ( y)2.(x)2 ( y)222x,lymo,o( x) ( y) °.所以，根據(jù)可微的定義知，函數(shù)z x2y2在xo, yo處可微，且其全微分為d z 2xo x2yo y 2x0d x 2y°d y.2 .全微分與偏導(dǎo)數(shù)、連續(xù)的關(guān)系(1)可微必連續(xù)在第三節(jié)中我們指出，多元函數(shù)即使可偏導(dǎo)(即各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在),也不能保證函數(shù)是連 續(xù)的.然而，從全微分的定義知，如果函數(shù)z f (x,y)在點(diǎn)P(x,y)可微，則函數(shù)在該點(diǎn)必定連續(xù).事實(shí)上，由于此時(shí)lim z 0,也就是x, y o,oxjym。,0 f (x x,y V)f(x,y) o,即

5、 lim f(x x, y y) “乂,丫).從而2 f(x, y)在點(diǎn) P(x, y)處連續(xù).x, y o,o在一元函數(shù)中，可導(dǎo)與可微是等價(jià)的，那么對(duì)二元函數(shù)，可微與可偏導(dǎo)存在之間有什么關(guān)系呢？下面的兩個(gè)定理回答了這個(gè)問(wèn)題.(2)可微必可偏導(dǎo)定理1(可微的必要條件)若函數(shù)z f(x,y)在點(diǎn)P(x, y)可微，則函數(shù)在點(diǎn)P(x,y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù) -z,-z都存在(即函數(shù)z f (x, y)在點(diǎn)P(x, y)可偏導(dǎo))，且 x y, z zz , zd zx y dxdy.(6.4.3)x yx y證明 因z f(x, y)在點(diǎn)P(x, y)可微，所以對(duì)于P(x,y)的某一鄰域U P內(nèi)的任意一點(diǎn)

6、(x x, yy)，都有f (xx, y y) f(x, y) Ax By o().特別地，當(dāng) y 0 時(shí)，| x| 且 f(x x, y) f(x, y) A x o(| x |),兩邊同除以限得二 limf(x x，y)f(x，y)2 °J_) a,x x 0xx 0x同理zB ,所以d zyz一 y.y然而,兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在是二元函數(shù)可微的必要條件而不是充分條件.例如22xy0;22xy0.xy一22f(x, y)，x y0,在原點(diǎn)(0,0)處有fx(0.0)0, fy(0,0) 0(即可偏導(dǎo)，但是由第二節(jié)例8可知，該函數(shù)在原點(diǎn)(0,0)是不連續(xù)的，因此函數(shù)在原點(diǎn)(0,0)不可微

7、.但是，可以證明，如果函數(shù)的各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，則該函數(shù)必是可微的.定理2(可微的充分條件)如果函數(shù)z f(x, y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)fx(x, y), fy(x, y)在點(diǎn)P(x,y)的某一鄰域內(nèi)存在且在該點(diǎn)連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微.由上述結(jié)論可知：二元函數(shù)的可微、可偏導(dǎo)及連續(xù)之間的關(guān)系為偏導(dǎo)數(shù)存在(可偏導(dǎo))偏導(dǎo)數(shù)存在(可偏導(dǎo))且連續(xù)可微一般情況下，上述關(guān)系是不可逆的.3.全微分公式及其計(jì)算由定理1知，二元函數(shù)z f(x, y)的全微分可以寫(xiě)成fy(x,y)dy.(6.4.4)dz df (x, y) zdx z dyfx(x, y)dxx y稱(chēng)上式為全微分公式.全微分公式很容易推廣到二元以上的

8、函數(shù)的情形.例如，如果三元函數(shù)u f x,y,z可微分，那么它的全微分公式為：du udx udy udzfx(x, y, z)dx fy(x,y,z)dy fz(x, y,z)dz (6.4.5)x y z由此可見(jiàn)，在函數(shù)可微的條件下，要求函數(shù)白全微分，只需先求出其偏導(dǎo)數(shù)，再代入全微分公式進(jìn)行組裝即可得到例2求函數(shù)z x2y y2的全微分.解 因?yàn)?_z 2xy, x2 2y,所以 dz 2xydx (x2 2y)dy. xy23例3 求函數(shù)f(x,y) x y在點(diǎn)(2, 1)處的全微分.解 因?yàn)?fx(x,y)2xy3, fy(x,y) 3x2y2 ,所以 fx(2, 1)4, fy(2,

9、 1) 12.由于兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的，故df (2, 1) 4dx 12dy.例4求函數(shù)uyz*八x cos arctan一的全微分.u 2 y 2 .所以z y z2yu u 1 y z因?yàn)?,sin f2x y 22 y zdu dx (-sin 22zz .2)dy 2 dz .y z y z二、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用二元函數(shù)的全微分也可用來(lái)做近似計(jì)算.若二元函數(shù)z f （x,y）在點(diǎn)P0 （x0, y0）可微,則有z f（xox, v。 y） f（x0,y0）fx（x0,y°） x fy（xo,y。） y o（）,其中 V（ x）2 （ y）2.故當(dāng)| x|, | y|充分

10、小時(shí)，有zfx（xo,y。）x fy（xo,y。）y dz,（6.4.6）即f（x。x, y。y）f（xo,y。）fx（xo,y。）x fy（xo,y。）y.移項(xiàng)得f（x。X, y。y）f（x0,y。）fx（xo,yo） x 與a。,丫。）丫 （6.4.7）公式（6.4.6 ）可用來(lái)計(jì)算函數(shù)的增量的近似值，公式（6.4.7 ）可用來(lái)計(jì)算函數(shù)的近似值.例5計(jì)算V1.023 1.973的近似值.解 設(shè)函數(shù)f (x, y)x x3的函數(shù)值.取x01, x 0.02,y。2, y 0.03.則fx(x, y)3x22*x3工3y2fy(x,y) 3y32,x3而 fix。，%)f(1,2)3, fx(

11、1,2),1.023 1.97331.、c-,fy(1, 2)2,所以2 y1-0.02 2 ( 0.03)2.95.3y3 ,所計(jì)算的值可看作是函數(shù)在x 1.02, y 1.97處例6 有一圓柱體，受壓后發(fā)生形變,它的半徑由20厘米增大到20.05厘米，高度由100厘米減少到99厘米，求此圓柱體體積變化的近似值2.解設(shè)圓枉體的半徑，局和體積分別為r,h,V ,則V r h .記r,h,V的增量依次為r, h, V ,且 r 20,h 100,r 0.05, h 1,由公式(6.4.6)得V ，-，h 2 rh r hr2 h220100 0.05202(1)200 .即此圓柱體在受壓后體積約減少了200立方厘米.6-41.求下列函數(shù)的全微分：z In . x2y2 ； (2)z 3xe y2 .x In 5； (3)