17知識(shí)講解離散型隨機(jī)變量的均值與方差理提高

1、離散型隨機(jī)變量的均值與方差【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值或期望的概念，會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出均值 或期望，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題；2. 理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的概念，會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出方 差或標(biāo)準(zhǔn)差，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題；【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、離散型隨機(jī)變量的期望1定義：一般地，若離散型隨機(jī)變量的概率分布為X1X2XiPP:> p則稱(chēng)EX4 X2P2XnPn為 的均值或數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱(chēng)期望.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)均值(期望)是隨機(jī)變量的一個(gè)重要特征數(shù)，它反映或刻畫(huà)的是隨機(jī)變量取值的平均水平.P1P21Pn-n,E(X1X2 Xn)

2、(3)隨機(jī)變量的均值與隨機(jī)變量本身具有相同的單位.2.性質(zhì)：E()EE ;若ab (a、b是常數(shù)), 是隨機(jī)變量，則E(ab)aEb的推導(dǎo)過(guò)程如下：(2 ) 一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量的分布列為的概率分布中，令p1p2 pn ,1-，所以的數(shù)學(xué)期望又稱(chēng)為平均數(shù)、均值。n也是隨機(jī)變量，有 E(a b) aE b ；X1X2Xiabax2 bax bPRP2R于是 E(ax1 b) P1(ax2 b)p2 (axi b)pi=a(X1 p1X2P2 N 口 )b(p1P2 E(a b) aE b。要點(diǎn)二：離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差1一組數(shù)據(jù)的方差的概念：已知一組數(shù)據(jù)花，X2，Xn，它們的平

3、均值為 X，那么各數(shù)據(jù)與 X的差的平方的平均數(shù)2 1 2 2 2S2 (Xi X) + (X2 X)+ (xn X)2叫做這組數(shù)據(jù)的方差。n2離散型隨機(jī)變量的方差：一般地，若離散型隨機(jī)變量的概率分布為XiX2XiPPiP2Pi2 2 2則稱(chēng)D =(XiE )Pi+(X2E )P2 + (XnE ) Pi +稱(chēng)為隨機(jī)變量的方差，式中 的E是隨機(jī)變量 的期望.D 的算術(shù)平方根.D 叫做隨機(jī)變量 的標(biāo)準(zhǔn)差，記作要點(diǎn)詮釋?zhuān)弘S機(jī)變量 的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的；隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差也是隨機(jī)變量E的特征數(shù)，它們都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度；方差(標(biāo)準(zhǔn)差)越小，隨機(jī)

4、變量的取值就越穩(wěn)定(越靠近平均值)標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位，所以在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用更廣泛。3期望和方差的關(guān)系：2 2D E( ) (E )4方差的性質(zhì)：若 ab(a、b是常數(shù)), 是隨機(jī)變量，則也是隨機(jī)變量， D D(a b) a2D ；要點(diǎn)三：常見(jiàn)分布的期望與方差1、二點(diǎn)分布：若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為p的二點(diǎn)分布，則期望E p方差 D p(i p).證明： P( 0) q, P( 1) p, 0 p 1, p q1 E 0 q 1D (0 P)2(1 p)2P(1 P).2、二項(xiàng)分布:若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布，即B(n, P),則期望E nP方差Dnp(1- p)期

5、望公式證明:./ i /k k、n k /k k n kk k n k k Cn p qn n 0n Cn p q，-P( k) CnP (1 p)Cn p q ，00n11n122n2- E 0 Cn p q 1 CnP q 2 Cn p qn!又'kC： k 品 Fnnv00 n 111 n 2kEnp(Cn 1p q + Cn 1P q + + Cnq(n1)(k 1)n 1 n 10、+ + Cn 1 p q )np(p q)n 1 np .3、幾何分布：獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中， 若事件A在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都為p，事件A第一次發(fā)生時(shí)所做的試驗(yàn)次數(shù)是隨機(jī)變量，且 P( k) (1

6、p)k 1p，k 0,1,2,3, L,n丄，稱(chēng)離散型隨機(jī)變量服從幾何分布，記作： P( k) g(k，P)。若離散型隨機(jī)變量服從幾何分布，且 P( k) g(k，P)，則期望E1P方差D1- P2P要點(diǎn)詮釋?zhuān)弘S機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布或者幾何分布，要從取值和相應(yīng)概率兩個(gè)角度去驗(yàn)證。4、超幾何分布：若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為N, M , n的超幾何分布，則nM期望E()N要點(diǎn)四：離散型隨機(jī)變量的期望與方差的求法及應(yīng)用1求離散型隨機(jī)變量的期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的基本步驟: 理解的意義，寫(xiě)出可能取的全部值； 求 取各個(gè)值的概率，寫(xiě)出分布列；X1XXiPP1P2Pi根據(jù)分布列，由期望、方差的定義求出E 、

7、D 、E為 P1 X2 P2 Lxn PnL222DX1EP1x2EP2 LXnEPnL注意:常見(jiàn)分布列的期望和方差，不必寫(xiě)出分布列，直接用公式計(jì)算即可.2離散型隨機(jī)變量的期望與方差的實(shí)際意義及應(yīng)用 離散型隨機(jī)變量的期望，反映了隨機(jī)變量取值的平均水平； 隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度。方差越大數(shù)據(jù)波 動(dòng)越大。 對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)變量1和2，當(dāng)需要了解他們的平均水平時(shí)，可比較 E 1和E 2的大小。 E 1和E 2相等或很接近，當(dāng)需要進(jìn)一步了解他們的穩(wěn)定性或者集中程度時(shí)，比較D 1和D 2，方差值大時(shí)，則表明E比較離散，反之，則表明 E比較集中品種的優(yōu)劣、儀器

8、的好壞、預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確與否、武器的性能等很多指標(biāo)都與這兩個(gè)特征數(shù)(數(shù)學(xué)期望、方差)有關(guān).【典型例題】類(lèi)型一、離散型隨機(jī)變量的期望例1 已知隨機(jī)變量X的分布列為：X21012P111m1r43520試求：(1) E (X); ( 2)若 y=2X 3,求 E ( Y) 【思路點(diǎn)撥】 分布列中含有字母 m,應(yīng)先根據(jù)分布列的性質(zhì)，求出m的值，再利用均值的定義求解；對(duì)于(2),可直接套用公式，也可以先寫(xiě)出 Y的分布列，再求 E (Y)【解析】解法二：由于 Y=2X 3，所以y的分布如下:X75311P11111435620(1)由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，得1 1 111 , m1_ m 4352061111

9、 2 - E(X)(2) 1(1)-0433620(2)解法-:由公式E (aX+b)=aE (X) +b，得仃30E(Y) E(2X 3)2E(X) 3 2173623015 E(Y)(7) 1 ( 5) 1 ( 3) 1 ( 1) 1 1 丄4356206215【總結(jié)升華】求期望的關(guān)鍵是求出分布列，只要隨機(jī)變量的分布列求出，就可以套用期望的公式求解，對(duì)于aX+b型隨機(jī)變量的期望，可以利用期望的性質(zhì)求解，當(dāng)然也可以求出aX+b的分布列，再用定義求解.舉一反三:【變式1】已知某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下:45678910P 0 .02000000.04.06.09.28.29.22求E .【

10、答案】E 4 P( 4) 5 P( 5) 6 P(6) 7 P( 7) 8 P( 8) 9 P(9) 10 P( 10)4 0.02 5 0.04 6 0.06 7 0.09 8 0.28 9 0.29 10 0.228.32?！咀兪?】已知隨機(jī)變量 E的分布列為E210123P111112mn126121其中m, n 0,1)，且E( E弄一，則m, n的值分別為 61 1【答案】1 ,丄34由 P1+ p2 + + p6= 1，得 m+ n =,121 11由 E( E=)，得一m=,62611 m , n 34'【變式3】隨機(jī)變量E的分布列為:E024P0.40.30.3則E(5

11、 E+ 4)等于()A . 13B. 11C. 2.2D . 2.3【答案】A由已知得E(洋 0 >0.4+ 2 >0.3 + 4 >0.3= 1.8, - E(5 E+ 4) = 5E( E ) 4= 5>.8 + 4= 13.【變式4】設(shè)離散型隨機(jī)變量的可能取值為1,2,3, 4,且P(k) ak b( k 1,2,3,4 ) , E 3 ,則 a b ；【答案】0.1 ；由分布列的概率和為1,有(a b) (2a b) (3a b) (4a b) 1,又 E3，即 1 (a b) 2 (2a b) 3 (3a b) 4 (4a b) 3,解得 a 0.1, b 0

12、 ,故 a b 0.1。例2.(2014重慶)一盒中裝有9張各寫(xiě)有一個(gè)數(shù)字的卡片， 其中4張卡片上的數(shù)字是1, 3張卡片上的 數(shù)字是2, 2張卡片上的數(shù)字是3,從盒中任取3張卡片.(I )求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率；(II )X表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求 X的分布列與數(shù)學(xué)期望.(注：若三個(gè)數(shù)字a, b, c滿(mǎn) 足a電宅，則稱(chēng)b為這三個(gè)數(shù)的中位數(shù).)547【答案】(I )(I )478428【思路點(diǎn)撥】不放回的抽取，是古典概型【解析】(I )由古典概型的概率計(jì)算公式得所求概率為P 6+ C35P=廠(chǎng)C384(I )由題意知X的所有可能取值為1, 2, 3,且P(X = 1)=

13、c4c5+ c3C31742P(X = 2)=c3c；c；+ cc6+ c；c34384P(X = 3)=渾C3X123以X的分布列為:17 c 43 門(mén) 147所以 E(X) 1+2+3=42841228【總結(jié)升華】求離散型隨機(jī)變量均值的關(guān)鍵在于列出概率分布表.舉一反三：E123456P111111666666【變式1】 隨機(jī)的拋擲一個(gè)骰子，求所得骰子的點(diǎn)數(shù)E的數(shù)學(xué)期望.【答案】拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)E的概率分布為所以111111 1E1 X + 2 X + 3 X + 4 X + 5 X + 6 X = (1 + 2+ 3 + 4+ 5+ 6) 乂 = 3.5 6 6

14、6 6 6 6 6拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)E的數(shù)學(xué)期望，就是E的所有可能取值的平均值.1【變式2】甲、乙、丙、丁獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，其中甲的成功率是一，乙、丙、丁的成功率都是2(1) 若破譯密碼成功的人數(shù)為 X，求X的概率分布;(2) 求破譯密碼成功人數(shù)的數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)破譯密碼成功的人數(shù)X的可能取值為0, 1,2,P(X0)854P(X1)c32054P(X2)c31854P(X3)54P(X4)154則X的概率分布表為X01234P8_20187_1_5454545454818(2)由(1 )知 E(X) 0154即破譯密碼成功的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望為201872345454541.5.1541

15、.5,54【變式3】交5元錢(qián)，可以參加一次抽獎(jiǎng)，已知一袋中有同樣大小的球10個(gè)，其中有8個(gè)標(biāo)有1元錢(qián)，2個(gè)標(biāo)有5元錢(qián)，抽獎(jiǎng)?wù)咧荒軓闹腥稳?2個(gè)球，他所得獎(jiǎng)勵(lì)是所抽 2球的錢(qián)數(shù)之和求抽獎(jiǎng)?wù)攉@利的數(shù)學(xué)期 望.【答案】 抽到的2個(gè)球上的錢(qián)數(shù)之和 E是個(gè)隨機(jī)變量，其中E取每一個(gè)值時(shí)所代表的隨機(jī)事件的概率是 容易獲得的，本題的目標(biāo)是求參加抽獎(jiǎng)的人獲利的數(shù)學(xué)期望，由E與 的關(guān)系為 =E 5，利用公式E () =E (E) 5可獲解答.設(shè)E為抽到的2球錢(qián)數(shù)之和，則 E =2(抽到2個(gè)1元)，E =(抽到E的取值如下:1個(gè)1元，所以,由題意得 P(2)C028, p(1個(gè)5元)，E6) C8C1 2 16=1

16、0(抽到2個(gè)5元).45，P( 10) Co 45，- E(28)2 45 616又設(shè)E()45為抽獎(jiǎng)?wù)攉@利的可能值，則7518E( ) 55例3. 甲、乙兩人各進(jìn)行1 1810 -455=5,1.4 .次射擊,所以抽獎(jiǎng)?wù)攉@利的期望為甲每次擊中目標(biāo)的概率為1，乙每次擊中目標(biāo)的概率為2-，記甲3擊中目標(biāo)的次數(shù)為 X，乙擊中目標(biāo)的次數(shù)為Y ,(1 )求X的概率分布；(2)求X和Y的數(shù)學(xué)期望.【思路點(diǎn)撥】甲、乙擊中目標(biāo)的次數(shù)均服從二項(xiàng)分布.【解析】(1) P(XP(X1)c3P(X2)C3P(X3)C33所以X的概率分布如下表:X0123P133188881331由(1)知 E(X) 0 8 183

17、 83 85，6場(chǎng)比賽，每場(chǎng)均決出勝負(fù),1。3(1)(2)(3)【答案】(1)這支籃球隊(duì)首次獲勝前已經(jīng)負(fù)了兩場(chǎng)的概率為P (1 1)24271 2-E(X) 31.5, E(Y) 32。23【總結(jié)升華】舉一反三：在確定隨機(jī)變量服從特殊分布以后，可直接運(yùn)用公式求其均值.【變式1】(2014秋 南崗區(qū)校級(jí)月考) 某籃球隊(duì)與其他 6支籃球隊(duì)依次進(jìn)行設(shè)這支籃球隊(duì)與其他籃球隊(duì)比賽中獲勝的事件是獨(dú)立的，并且獲勝的概率均為 求這支籃球隊(duì)首次獲勝前已經(jīng)負(fù)了兩場(chǎng)的概率； 求這支籃球隊(duì)在 6場(chǎng)比賽中恰好獲勝 3場(chǎng)的概率;求這支籃球隊(duì)在 6場(chǎng)比賽中獲勝場(chǎng)數(shù)的期望。1 1故概率為 C； (§)3 (1 -)

18、3 20(2)6場(chǎng)比賽中恰好獲勝 3場(chǎng)的情況有1278 160277291(3)由于X服從二項(xiàng)分布，即 X : B(6,),31 二 EX 6 23【變式2】個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有100分+學(xué)生甲選對(duì)任一題的概率為個(gè)選項(xiàng)是正確答案，每0.9，學(xué)生乙一次單元測(cè)驗(yàn)由20個(gè)選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有4題選擇正確答案得 5分，不作出選擇或選錯(cuò)不得分，滿(mǎn)分則在測(cè)驗(yàn)中對(duì)每題都從 4個(gè)選擇中隨機(jī)地選擇一個(gè)，求學(xué)生甲和乙在這次英語(yǔ)單元測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的期望?！敬鸢浮吭O(shè)學(xué)生甲和乙在這次英語(yǔ)測(cè)驗(yàn)中正確答案的選擇題個(gè)數(shù)分別是則 B (20,0.9) , B(20,0.25),E 20 0.918,E20 0.255 +由于

19、答對(duì)每題得5分，學(xué)生甲和乙在這次英語(yǔ)測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)分別是5和5 所以，他們?cè)跍y(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的期望分別是：E(5 )5E( )5 1890, E(5 )5E( )5 525 類(lèi)型二、離散型隨機(jī)變量的方差例4 已知離散型隨機(jī)變量1的概率分布為112345671111111P7777777離散型隨機(jī)變量 2的概率分布為23 73. 83. 944. 14. 24. 3P11111117777777求這兩個(gè)隨機(jī)變量期望、均方差與標(biāo)準(zhǔn)差【解析】1E 11 -12714 ;777D1(1 4)2 1(22 14) 7(7 4)2弓4;1 D 1 2E23.7 13.8 14.3 14 ;777D2=0.04,

20、2.D2 0.2.【總結(jié)升華】本題中的1和2都以相等的概率取各個(gè)不同的值，但1的取值較為分散，2的取值較為集中. E 1E 24 , D1 14 , D 20.04 ,方差比較清楚地指出了2比1取值更集中.1 = 2, 20. 2,可以看出這兩個(gè)隨機(jī)變量取值與其期望值的偏差 舉一反三：【變式1】已知隨機(jī)變量 E的分布列如下表:E-101P1111236(1 )求 E (E), D (E), n(2 )設(shè) n =2 E +3求 E ( n, D ( n 1359111【答案】(1) E( ) X1P1 X2P2 X3P3 (1)01 -2 36D( ) X1E()2P1X2E()2 P2X3E(

21、 )2 P3720(2)E()2E()3-,D()4D()【答案】本題考查方差的求法.可由分布列先求出直接利用公式D (X) =E (X2)-E (X ) 2 來(lái)解.解法一亠:1 11E(X)1 2 L n-(1 2 L n)nnnn(n1)1 n 12n2，求 D(X ) 03 9【變式2】設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為X12nP111nnnX的期望E (X),再利用方差的定義求之也可n21二 D(X)22Ln2)(n1)(1 2n)(n 1)24n 1。12解法二：由解法一可求得E(X)又 E(X2)12n 122 1n n1(1222 Lnn2)1 Ln(n 1)(2 n 1)2 2- D(X

22、) E(X ) E(X)(n 1)(2 n1)(n41)2n21。121%，從中任意地連續(xù)取出 20件商品，求抽出次品數(shù)的期望與例5.有一批數(shù)量很大的商品的次品率為方差。【思路點(diǎn)撥】由于產(chǎn)品數(shù)量很大，因而抽樣時(shí)抽出次品與否對(duì)后面的抽樣的次品率影響非常小，所以 可以認(rèn)為各次抽查的結(jié)果是彼此獨(dú)立的，可以看作20次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)利用二項(xiàng)分布的公式解答。【解析】設(shè)抽出次品數(shù)為，因?yàn)楸怀樯唐窋?shù)量相當(dāng)大，抽20件商品可以看作20次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),所以 B(20,1%),所以 Enp 20 1% 0.2Dn p(1 p) 20 1% (1 1%) 0.198【總結(jié)升華】1. 解答本題的關(guān)鍵是理解清楚：抽20件商

23、品可以看作 20次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，即 B(20,1%)，從而可用公式：E np , Dnp(1 p)直接進(jìn)行計(jì)算；2. 以下抽查問(wèn)題可以看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：(1) 涉及產(chǎn)品數(shù)量很大，而且抽查次數(shù)又相對(duì)較少的產(chǎn)品抽查問(wèn)題；(2) 如果抽樣采用有放回地從小數(shù)量產(chǎn)品中抽取產(chǎn)品，則各次抽樣的次品率不變，各次抽樣是否抽出 次品是完全獨(dú)立的事件；但從小數(shù)量產(chǎn)品中任意抽取產(chǎn)品(即無(wú)放回地抽取)每次抽樣后次品率將會(huì)發(fā)生 變化，即各次抽樣是不獨(dú)立的，不能看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。舉一反三：【變式】若某批產(chǎn)品共 100件，其中有20件二等品，從中有放回地抽取3件，求取出二等品的件數(shù)的期望、方差?！敬鸢浮坑深}知一次取出二等品的

24、概率為0.2，有放回地抽取 3件，可以看作3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，即取出二等品的件數(shù) B(3,0.2),所以 E np 3 0.20.6 ,【高清課堂：離散型隨機(jī)變量的均值與方差408737例題1】Dnp(1 p) 3 0.2 (1 0.2)0.48 .【變式2】有10件產(chǎn)品,其中3件是次品.從中任取2件,若抽到的次品數(shù)為 X,求X的分布列，期望和方差【答案】10件產(chǎn)品中有3件次品從中任取兩件,次品數(shù)x可能取值為0r1r2.P(X = 0) =X旳分布列為X012P71571S115x的數(shù)學(xué)期望是應(yīng)兇二“丄+匕？+力2二 1.5 丄方差為 D(X = (0-l)tx-Z. + (l-x2. + (2

25、-5)1xA5155155152875畝產(chǎn)量300320330340畝數(shù)20254015類(lèi)型四、離散型隨機(jī)變量的期望和方差的應(yīng)用例6.甲、乙兩種水稻在相同條件下各種植100畝，收獲的情況如下:甲：乙:畝產(chǎn)量310320330340畝數(shù)30204010試評(píng)價(jià)哪種水稻的質(zhì)量較好.【思路點(diǎn)撥】 本題是期望與方差的綜合應(yīng)用問(wèn)題要比較甲、乙兩種水稻的質(zhì)量，需求出其平均畝產(chǎn)量 并對(duì)其穩(wěn)定情況進(jìn)行比較題中只給出了畝產(chǎn)量與畝數(shù)關(guān)系，所以應(yīng)先列出甲、乙兩種水稻的畝產(chǎn)量的概 率分布，再求其期望與方差.【解析】 設(shè)甲、乙兩種水稻的畝產(chǎn)量分別為X和Y .20 125 1則 P(X 300), P(X 320)100

26、5100 440 2153P(X 330), P(X 340)100 5100 20口303201且 P(Y 310), P(Y 320)1005辿100,P(Y 320)100 1040P(Y 330)1001二 E(X) 300 -532,P(Y 340)51 -320 -41-320-330340105510(Y),這表明兩種水稻的平均畝產(chǎn)量相同,2 1 2 1D(X) (310 323)- (320 323)2 (33054E(Y) 310即 E (X ) =E330 -5330 -340丄。103 323,201 -323,進(jìn)一步求各自的方差，得2 223323)2 - (340 3

27、23)2520171,23212 221D(Y) (310323)(320 323)(330 323)(340 323)101。105510即V (X )> V (Y),這說(shuō)明乙種水稻的產(chǎn)量較為穩(wěn)定，因此乙種水稻質(zhì)量較好.【總結(jié)升華】期望(均值)僅體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平但如果兩個(gè)隨機(jī)變量的均值相等，還需比較其方差，方差大說(shuō)明隨機(jī)變量的取值較分散(波動(dòng)大)，方差小說(shuō)明取值較集中、穩(wěn)定.當(dāng)我們希望實(shí)際的平均水平比較理想時(shí)，則先求它們的均值，但不要誤認(rèn)為均值相等時(shí)，它們都一樣 好，這時(shí)，還應(yīng)看它們相對(duì)于均值的偏離程度，也就是看哪一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定(即比較方差的大小)，相對(duì)穩(wěn)定者就更好如果我們希

28、望比較穩(wěn)定時(shí)，這時(shí)應(yīng)先考慮方差，再考慮均值是否接近即可.舉一反三：【變式1】甲、乙兩個(gè)野生動(dòng)物保護(hù)區(qū)有相同的自然環(huán)境，且野生動(dòng)物的種類(lèi)和數(shù)量也大致相等.而兩個(gè) 保護(hù)區(qū)內(nèi)每個(gè)季度發(fā)現(xiàn)違反保護(hù)條例的事件次數(shù)的概率分布分別為甲保護(hù)區(qū)：X10123P0.30.30.20.2乙保護(hù)區(qū):X2012P0.10.50.4試評(píng)定這兩個(gè)保護(hù)區(qū)的管理水平.【答案】甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)X1的數(shù)學(xué)期望和方差分別為：E (X1)=0 >0.3+1 0.3+2 02+3 02=1.3;D (X1)=(0 1.3)2>0.3+(1 1.3)2>0.3+(2 1.3)2>0.2+(3 1.3)2>0

29、.2=1.21 乙保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)置的數(shù)學(xué)期望和方差分別為：E (X2)=0 >0.1 + 1 0.5+2 00.4=1.3 ;D (X2)=(0 1.3)2>0.1+(1 1.3)2>0.5+(2 1.3)2>0.4=0.41 因?yàn)镋 ( X1) =E (X2), D (X1)> D (X2),所以?xún)蓚€(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每季度平均發(fā)生的違規(guī)事件次數(shù)是相 同的，但乙保護(hù)區(qū)內(nèi)發(fā)生的違規(guī)事件次數(shù)更集中和穩(wěn)定，而甲保護(hù)區(qū)內(nèi)發(fā)生的違規(guī)事件次數(shù)相對(duì)分散，波 動(dòng)較大.【變式2】 根據(jù)氣象預(yù)報(bào)，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25,有大洪水的概率為 0.01，該地區(qū)某工地上有一臺(tái)大型設(shè)備，

30、遇到大洪水時(shí)要損失60000元，遇到小洪水時(shí)要損失10000元為保護(hù)設(shè)備，有以下3種方案：方案1:運(yùn)走設(shè)備，搬運(yùn)費(fèi)為 3800元：方案2:建保護(hù)圍墻，建設(shè)費(fèi)為2000元，但圍墻只能防小洪水；方案3:不采取措施，希望不發(fā)生洪水.試比較哪一種方案好.【答案】 要比較哪一種方案好，只要把三種方案的損失的數(shù)學(xué)期望求出，哪一個(gè)小，哪一個(gè)方案就好. 用X1、X2、X3分別表示三種方案的損失.采用方案1:無(wú)論有無(wú)洪水，都損失3800元，即X=3800 .采用方案2:遇到大洪水時(shí)，損失2000+60000=62000 (元)；沒(méi)有大洪水時(shí)，損失 2000元，即X262000,有大洪水2000,無(wú)大洪水60000,有大洪水同樣，采用方案3 :有X310000,有小洪水0,無(wú)洪水于是， E (Xi) =3800,E (X2) =6200