1空間向量及其運算

1、3. 1.1空間向量及其運算(一)教學(xué)目標(biāo)：知識目標(biāo)：1空間向量；2相等的向量；3空間向量的加減與數(shù)乘運算及運算律；能力目標(biāo)：1理解空間向量的概念，掌握其表示方法；2會用圖形說明空間向量加法、減法、數(shù)乘向量及它們的運算律；3能用空間向量的運算意義及運算律解決簡單的立體幾何中的問題.德育目標(biāo)：學(xué)會用發(fā)展的眼光看問題，認(rèn)識到事物都是在不斷的發(fā)展、進(jìn)化的，會 用聯(lián)系的觀點看待事物.教學(xué)重點：空間向量的加減與數(shù)乘運算及運算律.教學(xué)難點：應(yīng)用向量解決立體幾何問題. 教學(xué)方法：討論式.教學(xué)過程：I 復(fù)習(xí)引入師在必修四第二章平面向量中，我們學(xué)習(xí)了有關(guān)平面向 量的一些知識，什么叫 做向量？向量是怎樣表示的呢？

2、生既有大小又有方向的量叫向量.向量的表示方法有： 用有向線段表示； 用字母a、b等表示； 用有向線段的起點與終點字母：AB.師數(shù)學(xué)上所說的向量是自由向量，也就是說在保持向量的方向、大小的前提下可以將向量進(jìn)行平移，由此我們可以得出向量相等的概念，請同學(xué)們回憶一下.生長度相等且方向相同的向量叫相等向量師學(xué)習(xí)了向量的有關(guān)概念以后，我們學(xué)習(xí)了向量的加減以及數(shù)乘向量運算:向量的加法：三角形法劃平行(邊畤法則2向量的減法：3實數(shù)與向量的積：實數(shù)入與向量a的積 是一個向量，記作 七,其長度 和方向規(guī)定如下：(1) | 冏=| 川 a|(2) 當(dāng)心0時，淪 與a同向；當(dāng)入v 0時，掃與a反向;當(dāng)入=0時，?a

3、= 0.師關(guān)于向量的以上幾種運算，請同學(xué)們回憶一下，有哪些運算律呢?生向量加法和數(shù)乘向量滿足以下運算律加法交換律：a + b= b+ a加法結(jié)合律：(a+ b) + c= a+( b+ c) 數(shù)乘分配律：Xa + b) = ?a+ %類比地引入空間向量的概念、表師今天我們將在必修四第二章平面向量的基礎(chǔ)上， 示方法、相同或向等關(guān)系、空間向量的加法、減法、數(shù)乘以及這三種運算的運算率，并進(jìn)行 一些簡單的應(yīng)用請同學(xué)們閱讀課本n 新課講授師如同平面向量的概念，我們把空間中具有大小和方向的量叫做向量.例如空間的一個平移就是一個向量那么我們怎樣表示空間向量呢？相等的向量又是怎樣表示的呢？生與平面向量一樣，空

4、間向量也用有向線段表示，并且同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量.師由以上知識可知，向量在空間中是可以平移的.空間任意兩個向量都可以用同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示因此我們說空間任意兩個向量是共面的 .師空間向量的加法、減法、數(shù)乘向量各是怎樣定義的呢？生空間向量的加法、減法、數(shù)乘向量的定義與平面向量的運算一樣：OBOAAB =a+ b,ABOBOP師/aOA空間向量的加法與數(shù)乘向量有哪些運算律呢？請大家驗證這些運算律.生空間向量加法與數(shù)乘向量有如下運算律：加法交換律：a + b = b + a;加法結(jié)合律：（a + b） + c =a + （ b + c）；（課件驗證）數(shù)乘分配律： /a

5、 + b）=入a+入b.師空間向量加法的運算律要注意以下幾點：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的 向量.即：Ai A2A2 A3A3 A4AniAn AAn因此，求空間若干向量之和時，可通過平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量.首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為零向量即：A AA2A3A3A4An lAn AnA兩個向量相加的平行四邊 形法則在空間仍然成立. 因此，求始點相同的兩個向量之和時，可以考慮用平行四邊形法則.例1已知平行六面體 ABCD A'B'C'D'（如圖），化簡下列向量表達(dá)式, 并標(biāo)出化簡結(jié)果的向量：1 A

6、B BC; AB AD AA' AB AD 一 CC'21(AB AD AA').3說明：平行四邊形 ABCD平移向量a到A' B' C勺軌跡所形成的幾何體，叫 做平行六面體記作 ABCDA' B' C D'平行六面體的六個面都是平行四邊形，每個面的邊叫做平行六面體的棱.4111A說明：由第2小題可知，始點相同且不在同一個平面內(nèi)的三個向量之和，等于以這三個這是平面向量加法的平向量為棱的平行六面體的以公共始點為始點的對角線所表示的向量, 行四邊形法則向空間的推廣.例2、如圖中，已知點 0是平行六面體 ABCD AiBiCiDi體對角

7、線的交點，點 P是任意一點，則32十兩+戶己十瓦十兩十兩+ pq = 83AB10分析:將要證明等式的左邊分解成兩部分：一上十'一 一一-一與心 1 ' i ,第一組向量和中各向量的終點構(gòu)成平行四邊形ABCD，第二組向量和中的各向量的終點構(gòu)成平行四邊形 AiBiCiDi，于是我們就想到了應(yīng)該先證明:4血與兩+陌+亦-'將以上所述結(jié)合起來就產(chǎn)生了本例的證明思路.解答：設(shè)E, Ei分別是平行六面體的面 ABCD與AiBiCiDi的中心，于是有兩十屈+兄十瓦=（習(xí)十甩）十（屈十PD） =同理可證:巫十殛十啻十亜二4西X 平行六面體體對角線的交點o杲鷗的中點.刃+西+更+瓦+馮

8、+兩 +兩十兩=APE+4 畫=4 蠢+福）=8?9,點評：在平面向量中，我們證明過以下命題：已知點O是平行四邊形ABCD對角線的交點，點P是平行四邊形 ABCD所在平面上任一點，則一 一 _：一 丿匕本例題 就是將平面向量的命題推廣到空間來.川.鞏固練習(xí)IV .教學(xué)反思平面向量僅限于研究平面圖形在它所在的平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間的 平移，它們的共同點都是指“將圖形上所有點沿相同的方向移動相同的長度”，空間的平移包含平面的平移.關(guān)于向量算式的化簡，要注意解題格式、步驟和方法.V .課后作業(yè)1課本1、2、2預(yù)習(xí)下一節(jié)：怎樣的向量叫做共線向量？兩個向量共線的充要條件是什么？空間中點在直

9、線上的充要條件是什么？什么叫做空間直線的向量參數(shù)表示式？怎樣的向量叫做共面向量？向量p與不共線向量a、b共面的 充要條件是什么？空間一點P在平面MAB內(nèi)的充要條件是什么？例1已知平行六面體結(jié)果的向量： AB BC ； AB AD AA' ABrAD -CC'21 1丄(AB3ADAA').例2、如圖中，已知點O是平行六面體 ABCD AiBiCiDi體對角線的交點，點P是任意一點，則3.1.1空間向量及其運算（一）課前預(yù)習(xí)學(xué)案預(yù)習(xí)目標(biāo)：理解空間向量的概念，掌握其表示方法；2會用圖形說明空間向量加法、減法、數(shù)乘向量及它們的運算律；預(yù)習(xí)內(nèi)容：1.叫空間向量.空間向量的表示方

10、法有：2 . 叫相等向量3.空間向量的運算法則：提出疑惑：同學(xué)們，通過你的自主學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中疑惑點疑惑內(nèi)容課內(nèi)探究學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)：知識目標(biāo)：1空間向量；2相等的向量；3空間向量的加減與數(shù)乘運算及運算律;能力目標(biāo)：1理解空間向量的概念，掌握其表示方法；2會用圖形說明空間向量加法、減法、數(shù)乘向量及它們的運算律；3能用空間向量的運算意義及運算律解決簡單的立體幾何中的問題.學(xué)習(xí)重點：空間向量的加減與數(shù)乘運算及運算律.學(xué)習(xí)難點：應(yīng)用向量解決立體幾何問題.學(xué)習(xí)過程：ABCD A'B'C'D'（如圖），化簡下列向量表達(dá)式，并標(biāo)出化簡丙+巨豐死+麗+

11、兩亠兩斗陌斗兩而當(dāng)堂檢測：1、下列說法中正確的是()A .兩個有共同起點且相等的向量，其終點可能不同B.若非零向量與-是共線向量，則 A、B、C、D四點共線Q社/ 了且叢”，則勸;C .若D 四邊形ABCD是平行四邊形的充要條件是二丄'= 2、已知空間四邊形 ABCD，連AC , BD，設(shè)M、G分別是BC、CD中點，則aS+-(rd+bc)=-BC3 ()B :人uuu3、如圖：在平行六面體 urnr r uuirAD b, AA1ABCD ABC1D1中，M為AG與BiDi的交點。若 ABrc，則下列向量中與 BM相等的向量是(cA1rc r b1 - 2 ra1rcr b1 - 2

12、ra1 - 2A)DAcb1- 2a1 - 2rc r b1 r 1(C) a -2 2五、課后練習(xí)與提高：1.對于空間任意一點uuu uuu uur xOA yOB zOC 是點uuuO和不共線三點 A, B,C，點P滿足0PP,A,B,C共面的(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件2 .已知正方體ABCD，點E,F分別是上底面 AG和側(cè)面CD1的中心，求下列各式中的x, y的值:uurUULUUuuuruuu(1)AC1x(ABBCCCi)，則 x;uuuuuurAA,uuuuuur(2)AExAByAD，則 x；y;uuuruuuruuuuur(3)AFADxAByAAi，則 x；y;ABiGU，化簡下列向量表達(dá)式，并填上化簡后的結(jié)