2020年整合近世代數(shù)模擬試題1及答案名師精品資料

1、近世代數(shù)模擬試題一.單項(xiàng)選擇題（每題5分，共25分）1. 在整數(shù)加群（Z，+ ）中，下列那個(gè)是單位元（）.A. 0B. 1C. -1D. 1/n, n 是整數(shù)2. 下列說(shuō)法不正確的是（）.A . G只包含一個(gè)元g,乘法是gg= g。G對(duì)這個(gè)乘法來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群B. G是全體整數(shù)的集合，G對(duì)普通加法來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群；C. G是全體有理數(shù)的集合，G對(duì)普通加法來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群；D. G是全體自然數(shù)的集合，G對(duì)普通加法來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群.3. 如果集合M的一個(gè)關(guān)系是等價(jià)關(guān)系，則不一定具備的是（）.A .反身性B.對(duì)稱(chēng)性 C.傳遞性 D.封閉性4. 對(duì)整數(shù)加群Z來(lái)說(shuō)，下列 不正確的是（）.A. Z沒(méi)有生成元.B.

2、 1是其生成元.C. 1是其生成元.D. Z是無(wú)限循環(huán)群.5. 下列敘述正確的是（）。A. 群G是指一個(gè)集合.B. 環(huán)R是指一個(gè)集合.C. 群G是指一個(gè)非空集合和一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，滿(mǎn)足結(jié)合律，并且單位元， 逆元存在.D. 環(huán)R是指一個(gè)非空集合和一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，滿(mǎn)足結(jié)合律，并且單位元，逆元存在.計(jì)算題（每題10分，共30分）1. 設(shè)G是由有理數(shù)域上全體2階滿(mǎn)秩方陣對(duì)方陣普通乘法作成的群，試求中G中下列各個(gè)元素c ="5<°3"Cd，的階.2. 試求出三次對(duì)稱(chēng)群S3 一(1) , (12), (13), (23) ,(1 23) , (1 32)的所有子群.3. 若e

3、是環(huán)R的惟一左單位元，那么e是R的單位元嗎？若是 請(qǐng)給予證明三.證明題（第1小題10分，第2小題15分，第3小題20分, 共45分）.1. 證明：在群中只有單位元滿(mǎn)足方程2x x.2. 設(shè)G是正有理數(shù)乘群，G是整數(shù)加群.證明:;:2lb Tna是群G到G的一個(gè)滿(mǎn)同態(tài)，其中a,b是整數(shù)，而（ab,2） =1.3. 設(shè)S是環(huán)R的一個(gè)子環(huán).證明：如果R與S都有單位元，但 不相等，則S的單位元必為R的一個(gè)零因子.近世代數(shù)模擬試題答案2008年11月、單項(xiàng)選擇題（每題5分，共25分）二.計(jì)算題(每題10分，共30分)1. 解：易知 c的階無(wú)限，d的階為2.但是“ 1 )cd =,-1 丿的階有限，是2.

4、2. 解：S3的以下六個(gè)子集已,(1)二 H2：(1),(12)二 H3 =(1),(13)1,出兀(1),(23)二 出八(1),(123),(132，叫二對(duì)置換乘法都是封閉的，因此都是S3的子集.3. 解：e是R的單位元。事實(shí)上，任取a,bR,則因e是R的左單位元，故(aea e)b 二 a(eb)ab eb 二 abab b 二 b,即ae-a e也是R的左單位元。故有題設(shè)得ae - a e 二 e, ae = a.即 e是r的單位元.三、證明題(每小題15分共45分)1 . 證明：設(shè)e是G的單位元，則e顯然滿(mǎn)足所說(shuō)的方程(3分)(3分)(2分)(2分)(7分)(3分)（3分）另外，設(shè)a，G且a2二a，則有a'a?二a'a,即 a = e（5分）（2 分）即只有e滿(mǎn)足方程2.證明： :顯然是G到G的一個(gè)滿(mǎn)射（3 分）又由于 當(dāng)（ab,2） =1, （cd,2） “時(shí)有（abcd,2） =1（ 4 分）（2n b 2m d）（2n m 也）“ m且a Cac（ 6 分）= cp（2n .b/P（2m 1）,ac故 是群G到G的一個(gè)同態(tài)滿(mǎn)射。（2分）3 證明：分別用e和e表示R與S的單位元，且e =，于是e不是R的單位元。（3分）因此，存在0 a R，使ae丄 a或ea = a（5 分）如果 ae a，貝U ae"-a =