2022年2022年典型的抽象函數(shù)問題例題分析

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載高考中的抽象函數(shù)問題及其解法精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由于函數(shù)概念比較抽象,同學(xué)對解有關(guān)函數(shù)記號f x 的問題感到困難,學(xué)好這部分學(xué)問,能加精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載深同學(xué)對函數(shù)概念的懂得,更好地把握函數(shù)的性質(zhì),培育敏捷性；提高解題才能,優(yōu)化同學(xué)數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)；現(xiàn)將常見解法及意義總結(jié)如下：一.解析式問題：1. 換元法： 即用中間變量表示原自變量x 的代數(shù)式,從而求出f x ,這也為證某些公式或等式常用的方法,此法解培育同學(xué)的敏捷性及變形才能；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 1：已知f x x2 x11、

2、求f x .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：設(shè)xu 、 就 xx1uu f u 21u1u12u 1u2xf x1x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2. 湊配法： 在已知f g xhx 的條件下,把h x并湊成以g u 表示的代數(shù)式,再利用代換精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載即可求f x . 此解法簡潔,仍能進一步復(fù)習(xí)代換法；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 2：已知13xx31 x1 x211

3、x1 x1 23 又 | x1 | | x |12xxxxxx| x |f xx1 , 求 f x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：f x1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 f xx x23x33x , |x | 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3. 待定系數(shù)法：先確定函數(shù)類型,設(shè)定函數(shù)關(guān)系式,再由已知條件,定出關(guān)系式中的未知系數(shù)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 3已知f x 二次實函數(shù),且f x1f x1x2 +2 x +4、 求f x .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下

4、載解: 設(shè)f x = ax2bxc ,就精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f x1f x1a x12b x1ca x12b x1c精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2ac4= 2 ax22bx2acx22x4 比較系數(shù)得2a12b213a、 b1、c精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f x221 x2x3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載224. 利用函數(shù)性質(zhì)法: 主要利用函數(shù)的奇偶性、 求分段函數(shù)的解析式.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 4. 已 知 y = f x為奇函數(shù) 、 當x >0 時、f xlg x1 、 求f

5、 x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解: f x 為奇函數(shù),f x 的定義域關(guān)于原點對稱,故先求x <0 時的表達式；- x >0、 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f xlgx1lg1x 、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 f x 為奇函數(shù),lg1xf xf x 當 x <0 時f xlg1x 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f xlg1lg1x、 x0x、 x0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)

6、資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 5一已知f x為偶函數(shù),g x 為奇函數(shù),且有f x + g x1, 求x1f x 、g x .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：f x 為偶函數(shù),g x 為奇函數(shù),f xf x 、 gxg x 、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載不妨用 - x 代換f x+ g x =1x1中的x 、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 f xg x1即 f x x1g x1x1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料

7、- - - 歡迎下載顯見 +即可消去g x、 求出函數(shù)f x1x21再代入求出g xxx21精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載5.方程組法：通過變量代換,構(gòu)造方程組,再通過加減消元法消去無關(guān)的部分；例 6. 已知1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f x+2f xx1,求f x 的表達式精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：用 1代替 x 得到f 1 +2f x11（ 1）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xxx又1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f x+2f xx1（2）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2（ 1）-

8、（ 2）得到3 f x2x1 ,于為f x2x1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載二.求值問題例 7.已知定義域為r 的函數(shù)xf x ,同時滿意以下條件：3 x33f 21、 f61 ；5精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f x. yf x. f y ,求f 3、f 9的值；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：取 x2、 y3 ,得f 6f 2f 3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由于f 21、 f61,所以5f 345精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又取 xy3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載得 f 9f 3f

9、385精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載評析：通過觀看已知與未知的聯(lián)系,奇妙地賦值,取x2、 y3 ,這樣便把已知條件精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f 21、 f61與欲求的5f 3溝通了起來；賦值法為解此類問題的常用技巧；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載三.定義域問題精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 8.已知函數(shù)f x2 的定義域為1, 2,求f x 的定義域；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：f x2 的定義域為1, 2,為指 1x2 ,所以f x2 中的x滿意 1x4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2

10、2從而函數(shù)fx的定義域為1, 4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載評析：一般地,已知函數(shù)f x 的定義域為a,求 fx的定義域問題,相當于已知f x 中 x 的精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載取值范疇為a,據(jù)此求 x的值域問題；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 9.已知函數(shù)f x的定義域為1、2 ,求函數(shù)f log 132x的定義域；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：f x 的定義域為1、2 ,意思為凡被f 作用的對象都在1、2 中,由此可得精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以函數(shù)f log 132x 的定義域為1、11

11、；4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載評析：這類問題的一般形式為：已知函數(shù)f x的定義域為a ,求函數(shù)f x 的定義域；正確懂得精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載函數(shù)符號及其定義域的含義為求解此類問題的關(guān)鍵；這類問題實質(zhì)上相當于已知 x此求 x 的取值范疇；例2 和例 1 形式上正相反；四.值域問題的值域a ,據(jù)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 10.設(shè)函數(shù)f x定義于實數(shù)集上,對于任意實數(shù)x、 y ,f xyf x f y 總成立,且存在精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x1x2 ,使得f x1

12、 f x2 ,求函數(shù)f x 的值域；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：令 xy0 ,得f 0f 0 2 ,即有f 00 或f 01 ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如 f 00 ,就f xf x0f x f(0) 0 ,對任意xr均成立,這與存在實數(shù)x1x2 , 使精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載得 f x1 f x2 成立沖突,故f 00 ,必有f 01 ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由于f xyf xf y 對任意x、 y 均成立,因此,對任意xr ,有精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 -

13、 - - 歡迎下載下面來證明,對任意xr、f x0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載設(shè)存在 x0r ,使得f x0 0 ,就f 0f x0x0 f x0 f x0 0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載這與上面已證的f 00 沖突,因此,對任意x r、f x0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以f x0評析：在處理抽象函數(shù)的問題時,往往需要對某些變量進行適當?shù)馁x值,這為一般向特別轉(zhuǎn)化的必要手段；五.判定函數(shù)的奇偶性：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 11 已 知f xyf xy2 f xf y 、 對一切實數(shù)x .y 都成立,且f 00 、

14、求證f x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載為偶函數(shù)；證明：令x =0、就已知等式變?yōu)閒 yf y2 f 0f y精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載在中令y =0 就 2f 0 =2f 0 f 0 0f 0=1f yf y2 f y 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f yf y f x為偶函數(shù)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載六.單調(diào)性問題精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 12.設(shè)f x定義于實數(shù)集上, 當 x0 時,f x1 ,且對于

15、任意實數(shù)x、 y 有f xyf xf y ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載求證：f x 在 r上為增函數(shù)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載證明：在f xyf x f y 中取 xy0 ,得f 0f 0 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如 f 00 ,令 x0、 y0 ,就f x0 ,與f x1 沖突精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以f x0 ,即有f 01精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當 x0 時,f x10 ；當 x0 時,x0、 f x10精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載而 f x f xf 011

16、所以f x0f x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又 當 x0 時,f 010精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以對任意xr ,恒有f x0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載設(shè)x1x2, 就 x2x10、 f x2x1 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以f x2 f x1 x2x1f x1 f x2x1 f x1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以 yf x 在 r 上為增函數(shù)；評析：一般地,抽象函數(shù)所滿意的關(guān)系式,應(yīng)看作給定的運算法就,就變量的賦值或變量及數(shù)值的分解與組合都應(yīng)盡量與已知式或所給關(guān)系式及所求的結(jié)果相關(guān)聯(lián)；2

17、七.解抽象不等式（確定參數(shù)的取值范疇）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 13：奇函數(shù)f x 在定義域（ -1 , 1）內(nèi)遞減,求滿意f 1mf 1m 0 的實數(shù) m 的取精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載值范疇；解：由f 1mf 1m2 0 得f 1mf 1m2 ,f x為函數(shù),精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f 1mf m21精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載11m1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又 fx在（ -1 , 1）內(nèi)遞減,

18、1m2110m1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1mm21八.對稱性問題精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 1）設(shè)a 、b 均為常數(shù),函數(shù)y f x 對一切實數(shù)x 都滿意f axf ax2b函數(shù)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載yf x 的圖象關(guān)于點a、 b 成中心對稱圖形；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 2）設(shè) a 、b 均為常數(shù), 函數(shù)yf x對一切實數(shù)x 都滿意f axf bx0函數(shù) yf x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載的圖象關(guān)于點 ab 、02成中心對稱圖形；精品學(xué)

19、習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 3）設(shè)a、 b 均為常數(shù),函數(shù)yf x 對一切實數(shù)x 都滿意f axf bx函數(shù) yf x 的精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載圖象關(guān)于軸xab對稱；2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 14：假如f x = ax2bxc 對任意的 t 有f 2t f 2t 、 比較f 1. f 2.f4的大小精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：對任意t 有f 2t f 2t x =2 為拋物線y = ax2bxc 的對稱軸精品學(xué)習(xí)資料

20、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又其開口向上f 2 最 小,f 1=f 3 在 2, 上 ,f x為增函數(shù)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 f 3<f 4、 f 2<f 1<f 4九.周期問題命題 1：如 a 為非零常數(shù),對于函數(shù)y=fx定義域的一切x ,滿意以下條件之一,就函數(shù)y=fx為周期函數(shù) .函數(shù) y=fx滿意 fx+a= fx,就 fx為周期函數(shù),且2a 為它的一個周期.1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載函數(shù) y=fx滿 足 fx+a=f x,就 fx為周期函數(shù),且2a 為它的一個周期.精品

21、學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載函數(shù) y=fx滿意 fx+a+fx=1,就 fx為周期函數(shù),且2a 為它的一個周期.命題 2：如 a.b ab 為非零常數(shù), 對于函數(shù)y=fx定義域的一切x,滿意以下條件之一,就函數(shù) y=fx為周期函數(shù) .(1) 函數(shù) y=fx滿意 fx+a=fx+b,就 fx為周期函數(shù),且|a-b|為它的一個周期.(2) 函數(shù)圖象關(guān)于兩條直線x=a, x=b 對稱,就函數(shù)y=fx為周期函數(shù),且2|a-b|為它的一個周期.(3) 函數(shù)圖象關(guān)于點ma、0 和點 nb、0 對稱, 就函數(shù) y=fx為周期函數(shù), 且 2|a-b|為它的一個周期 .(4) 函數(shù)圖象關(guān)于直線x=

22、a,及點 mb、0 對稱,就函數(shù)y=fx為周期函數(shù),且4|a-b|為它的一個周期 .命題 3：如 a 為非零常數(shù),對于函數(shù)y=fx定義域的一切x ,滿意以下條件之一,就函數(shù)y=fx為周期函數(shù).如 fx為定義在r 上的偶函數(shù),其圖象關(guān)于直線x=a 對稱,就fx為周期函數(shù),且2a 為它的一個周期 .如 fx為定義在r 上的奇函數(shù),其圖象關(guān)于直線x=a 對稱,就fx為周期函數(shù),且4a 為它的一個周期 .我們也可以把命題3 看成命題2 的特例 、 命題 3 中函數(shù)奇偶性. 對稱性與周期性中已知其中的任兩個條件可推出剩余一個. 下面證明命題3（ 1）,其他命題的證明基本類似.設(shè)條件 a:定義在r上的函數(shù)

23、fx為一個偶函數(shù).條 件 b: fx關(guān)于 x=a 對稱精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載條 件 c: fx為周期函數(shù) 、 且 2a 為其一個周期.結(jié)論 :已知其中的任兩個條件可推出剩余一個.證明 :已知 a.b c（ 2001 年全國高考第22 題其次問）fx為 r上的偶函數(shù)f-x=fx又 fx關(guān)于 x=a 對稱 f-x=fx+2afx=fx+2a fx為周期函數(shù) 、 且 2a 為它的一個周期已知 a.c b定義在r上的函數(shù)fx為一個偶函數(shù)f-x=fx又 2a 為 fx一個周期 fx=fx+2af-x=fx+2a fx關(guān)于 x=a 對稱已知 c.b afx關(guān)于 x=a 對稱 f-x

24、=fx+2a又 2a 為 fx一個周期 fx=fx+2af-x=fx fx為 r 上的偶函數(shù)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載t由命題 32 ,我們?nèi)钥梢缘玫浇Y(jié)論:fx為周期為t 的奇函數(shù),就f2=0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載基于上述命題闡述,可以發(fā)覺,抽象函數(shù)具有某些關(guān)系. 依據(jù)上述命題,我們易得函數(shù)周期,從而解決問題,以下探究上述命題在解決抽象函數(shù)問題中的運用.1. 求函數(shù)值例 1： fx為 r 上的奇函數(shù)fx= fx+4,x 0 , 2 時 fx=x,求 f2007的值解：方法一 fx= fx+4 fx+8 = fx+4 =fx8 為 fx的一個周期f20

25、07= f251×8-1=f-1= f1= 1方法二 fx= fx+4, fx為奇函數(shù)f-x=fx+4 fx關(guān) 于 x=2 對稱又 fx為奇函數(shù)8 為 fx的一個周期,以下與方法一相同.例 2：已知 fx為定義在r 上的函數(shù),且滿意fx+21 fx=1+fx, f1=2,求 f2021的值精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：由條件知fx1,故f x21f x1f x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f x41f x21精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1f x2f x類比命題1 可知,函數(shù)fx的周期為

26、8,故 f2021= f251× 8+1=f1=22. 求函數(shù)解析式精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 3：已知 fx為定義在r 上的偶函數(shù),fx= f4-x,且當 x2、0時, fx= 2x+1 ,就精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當 x4、6時求 fx的解析式精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：當 x0、2時x2、0 f x=2x+1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載fx為偶函數(shù) f x=fx fx=2x+1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當 x4、6時4x0、2 f 4+x=2 4+x+1=2x 7精品學(xué)習(xí)資料

27、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又函數(shù) fx為定義在r 上的偶函數(shù),fx= f4-x,類比命題3（ 1）知函數(shù)fx的周期為4故 f-4+x=fx精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 當 x4、6時求 fx=2x 7精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3. 判定函數(shù)的奇偶性例 4：已知 fx為定義在r 上的函數(shù),且滿意fx+999=斷函數(shù) fx的奇偶性 .1f x,f999+x=f999 x , 試 判精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：由 fx+999=1f x,類比命題1 可知,函數(shù)fx的周期為1998 即 f

28、x+1998=fx；由精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f999+x=f999 x 知 fx關(guān)于 x=999 對稱,即f x=f1998+x故 fx=f xfx為偶函數(shù)4. 判定函數(shù)的單調(diào)性例 5：已知 fx為定義在r 上的偶函數(shù),fx=f4-x,且當 x2、0時, fx為減函數(shù),求精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載證 當 x4、6時 fx為增函數(shù)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：設(shè) 4x1x26 就2x24x140精

29、品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 fx在 -2 , 0 上為減函數(shù)f x24f x14精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又函數(shù) fx為定義在r 上的偶函數(shù),fx= f4-x,類比命題3（ 1）知函數(shù)fx的周期為4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載故 fx+4=fx f x2 f x1 f-x=fxf x2 f x1 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載故 當 x4、6時 fx為增函數(shù)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載十. 四類抽象函數(shù)解法1.線性

30、函數(shù)型抽象函數(shù)線性函數(shù)型抽象函數(shù),為由線性函數(shù)抽象而得的函數(shù)；例 15.已知函數(shù)f （x）對任意實數(shù)x,y,均有 f （ x y） f （ x） f （ y）,且當 x 0 時, f （ x） 0, f （ 1） 2,求 f （ x）在區(qū)間 2, 1 上的值域；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載分析：由題設(shè)可知,函數(shù)f （ x） 為 ykx k0 的抽象函數(shù),因此求函數(shù)f （ x）的值域,關(guān)鍵在精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載于討論它的單調(diào)性；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：設(shè) x1x2 就 x2x10 , 當 x0時f（x0 ,f x2x10精品學(xué)

31、習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載,即f x2f x1 , f （ x）為增函數(shù)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載在條件中,令y x,就,再令 x y 0,就 f （0） 2 f （0）,f （ 0） 0,故 f （ x） f （ x）, f （ x）為奇函數(shù),f （ 1） f （ 1） 2, 又 f （ 2） 2 f （ 1） 4,f （x）的值域為4, 2；例 16.已知函數(shù)f （ x）對任意x、 yr ,滿意條件f （x） f （ y） 2 + f （ xy）, 且當x 0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載時

32、, f （ x） 2, f （ 3） 5,求不等式f a22a23 的解；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載分析：由題設(shè)條件可推測：f （ x）為 y x2 的抽象函數(shù),且f （ x）為單調(diào)增函數(shù),假如這一猜想正確,也就可以脫去不等式中的函數(shù)符號,從而可求得不等式的解；解：設(shè),當,就,即, f （ x）為單調(diào)增函數(shù)；,又 f （ 3） 5, f （1） 3；, 即,解得不等式的解為 1 <a < 3 ；2.指數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)例 17.設(shè)函數(shù) f （ x）的定義域為 （,）,滿意條件：存在,使得,對 任 何 x 和 y,成立；求：（ 1） f （ 0）；（ 2）對任意值x

33、,判定 f （x）值的正負；分析：由題設(shè)可推測f （x）為指數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù),從而猜想f （ 0） 1 且 f （x） 0；解：（ 1）令 y 0 代入,就,；如 f （x） 0,就對任意,有,這與題設(shè)沖突, f （ x） 0, f （ 0） 1；（ 2）令 y x 0,就,又由（ 1）知 f （ x） 0, f （ 2x） 0,即 f （x） 0,故對任意x, f （ x） 0 恒成立；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 18.為否存在函數(shù)f （ x）,使以下三個條件：f （ x） 0,x n； f （ 2） 4；同時成立？如存在,求出f （ x）的解析式,如不存在,說明理由；

34、分析：由題設(shè)可猜想存在數(shù)學(xué)歸納法證明如下：,又由f （ 2） 4 可得a 2故推測存在函數(shù),用（ 1） x 1 時,又 x n時, f （ x） 0,結(jié)論正確；（ 2）假設(shè)時有,就 xk 1 時, x k 1 時,結(jié)論正確；綜上所述, x 為一切自然數(shù)時；3.對數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)對數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù),即由對數(shù)函數(shù)抽象而得到的函數(shù)；例 19.設(shè) f （ x）為定義在（ 0,）上的單調(diào)增函數(shù),滿意,求：（ 1） f （ 1）；（ 2）如 f （ x） f （ x8） 2,求 x 的取值范疇；分析：由題設(shè)可推測f （x）為對數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù),f （ 1） 0, f （ 9） 2；解：（ 1）, f （

35、1） 0；（ 2）,從而有f （ x） f （ x 8） f （9）,即, f （ x）為（ 0,）上的增函數(shù),故,解之得： 8 x 9；例 20.設(shè)函數(shù)yf （ x）的反函數(shù)為y g（ x）；假如f （ ab） f （ a） f （ b）,那么g（ a b） g（ a）· g（ b）為否正確,試說明理由；分析 :由題設(shè)條件可推測y f （ x）為對數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù),又 y f （x）的反函數(shù)為y g（ x）, y g（ x）必為指數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù),于為猜想g（a b） g（ a）· g（ b）正確；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：設(shè) f （ a） m,

36、f （ b） n,由于 g（ x）為 f （ x）的反函數(shù),g（m） a,g（ n） b,從而, g（ m）· g（n） g（ m n）,以 a.b 分別代替上式中的m.n 即得 g（a b） g（ a）· g（ b）；4.冪函數(shù)型抽象函數(shù)冪函數(shù)型抽象函數(shù),即由冪函數(shù)抽象而得到的函數(shù)；例 21.已知函數(shù)f （ x）對任意實數(shù)x.y 都有 f （ xy） f （ x）· f （y）,且 f （ 1） 1,f （ 27） 9,當時,；（ 1）判定 f （ x）的奇偶性；（ 2）判定 f （ x）在 0,）上的單調(diào)性,并給出證明；（ 3）如,求 a 的取值范疇；分析：由

37、題設(shè)可知f （ x）為冪函數(shù)的抽象函數(shù),從而可猜想f （ x）為偶函數(shù),且在0,）上為增函數(shù)；解：（ 1）令 y 1,就 f （ x） f （ x）· f （ 1）, f （ 1） 1,f （ x） f （ x）, f （ x）為偶函數(shù)；（ 2）設(shè),時, f （ x1） f （ x2）,故 f （ x）在 0,）上為增函數(shù)；（ 3） f （ 27） 9,又,又,故；鞏固練習(xí)練習(xí)一精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1 給出四個函數(shù),分別滿意f xyf xf y ；g xyg x g y ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 h xyh xh y； t xyt x

38、t y ,又給出四個函數(shù)圖象精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載丁正確的匹配方案為（）（ a） 丁 乙 丙 甲（ b） 乙 丙 甲 ?。?c） 丙 甲 乙 ?。?d） 丁 甲 乙 丙2 定義在r 上的函數(shù)fx 滿意 f x + y = f x + f y x, y r,當 x<0 時, 、 f x>0 ,就函數(shù) f x 在a、b 上aba 有最小值f ab 有最大值f bc 有最小值f bd 有最大值f 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3 設(shè)函數(shù)fx的定義域為,且對x、 yr、 恒有fxyfxfy 、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如 f83

39、、就f2（）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載121124精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載4如偶函數(shù)f x 在3、 1 上為增函數(shù),就以下關(guān)系式中成立的為（）3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a f 2f 1f 23b f 1f 23f 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載c f 2f 1f 2d f 2f 2f 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載5 定義在r 上的函數(shù)fx 滿意：對任意實數(shù)m、 n ,總有fmnfmfn,且當 x0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載時,

40、0fx1（ 1）試舉出一個滿意條件的函數(shù)fx；（ 2）試求f0的值；（ 3）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載判定fx的單調(diào)性并證明你的結(jié)論；（ 4 ）如f 11 、 解不等式2f 2 x11 .8精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1-4dccdx精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載5 （ 1 ） 如fx1,（ 2 ） 在2fmnfmfn中 , 令 m1、n0 得 ：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f1f1f0 因 為 f10 ,所以, f01（ 3 ）要判定fx 的單調(diào)性,可任取x1 、 x2r ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載且 設(shè) x1x2 在已知條件fmnfmfn中,如取mnx2 、 mx1 ,就已知條件可化為：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載fx2fx1fx2x1由 于 x2x10 ,所以 1fx2x10 為比較fx2.fx1的精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載大小,只需