第4講二次函數(shù)與冪函數(shù)

1、第第 4 講講 二次函數(shù)與冪函數(shù)二次函數(shù)與冪函數(shù) 最新考綱 1.會(huì)用二次函數(shù)的圖象理解、分析、研究二次函數(shù)的性質(zhì)；2.了解冪函數(shù)的概念；3.結(jié)合函數(shù) yx，yx2，yx3，y1x，yx12的圖象，了解它們的變化情況. 知 識(shí) 梳 理 1.二次函數(shù) (1)二次函數(shù)解析式的三種形式： 一般式：f(x)ax2bxc(a0). 頂點(diǎn)式：f(x)a(xm)2n(a0). 零點(diǎn)式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0). (2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 解析式 f(x)ax2bxc(a0) f(x)ax2bxc(a0) 圖象 定義域 (，) (，) 值域 4acb24a， ，4acb24a 單調(diào)性 在，b2a

2、上單調(diào)遞減； 在b2a， 上單調(diào)遞增 在，b2a上單調(diào)遞增； 在b2a， 上單調(diào)遞減 對(duì)稱性 函數(shù)的圖象關(guān)于 xb2a對(duì)稱 2.冪函數(shù) (1)冪函數(shù)的定義 一般地，形如 yx的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中 x 是自變量，為常數(shù). (2)常見的 5 種冪函數(shù)的圖象 (3)常見的 5 種冪函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù) 特征 性質(zhì) yx yx2 yx3 yx12 yx1 定義域 R R R 0，) x|xR， 且x0 值域 R 0，) R 0，) y|yR， 且y0 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 單調(diào)性 增 (，0減，0，)增 增 增 (0，)減 (，0)減， 定點(diǎn) (0，0)，(1，1) (1，1) 診 斷 自

3、測(cè) 1.判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”) (1)二次函數(shù) yax2bxc(a0)，xR 為偶函數(shù)的充要條件為 b0.() (2)二次函數(shù) yax2bxc，xa，b的最值一定是4acb24a.() (3)冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)(1，1)和(0，0).() (4)冪函數(shù)的圖象不經(jīng)過第四象限.() (5)當(dāng) 0 時(shí)，函數(shù) yx的圖象是一條直線.() 2.在同一坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù) yxa(a0)和 yax1a的圖象可能是( ) 解析 若 a0， 由 yxa的圖象知排除 C， D 選項(xiàng)， 由 yax1a的圖象知應(yīng)選 B；若 a0，yxa的圖象知排除 A，B 選項(xiàng)，但 yax1a的圖象均不適合，綜上選B. 答案

4、 B 3.(2016 濟(jì)寧高三診斷)已知冪函數(shù) f(x)kax的圖象過點(diǎn)12，22，則 k( ) A.12 B.1 C.32 D.2 解析 由冪函數(shù)的定義知 k1.又 f1222，所以1222，解得 12，從而 k32. 答案 C 4.(2016 張家口模擬)已知函數(shù) h(x)4x2kx8 在5，20上是單調(diào)函數(shù)，則 k 的取值范圍是( ) A.(，40 B.160，) C.(，40160，) D. 解析 函數(shù) h(x)的對(duì)稱軸為 xk8，因?yàn)?h(x)在5，20上是單調(diào)函數(shù)，所以k85或k820，即 k40 或 k160，故選 C. 答案 C 5.(人教 A 必修 1P82A10 改編)已知

5、冪函數(shù) yf(x)的圖象過點(diǎn)2，22，則此函數(shù)的解析式為_；在區(qū)間_上遞減. 答案 yx12 (0，) 考點(diǎn)一 二次函數(shù)的圖象及應(yīng)用 【例 1】 (1)設(shè) abc0，二次函數(shù) f(x)ax2bxc 的圖象可能是( ) (2)已知函數(shù) f(x)x2mx1，若對(duì)于任意 xm，m1，都有 f(x)0，且 a1)的圖象可能是( ) (2)已知實(shí)數(shù) a，b 滿足等式 2 014a2 015b，下列五個(gè)關(guān)系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中不可能成立的關(guān)系式有( ) A.1 個(gè) B.2 個(gè) C.3 個(gè) D.4 個(gè) 解析 (1)函數(shù) yax1a是由函數(shù) yax的圖象向下平移1a個(gè)單位長(zhǎng)度得到，A

6、 項(xiàng)顯然錯(cuò)誤；當(dāng) a1 時(shí)，01a1，平移距離小于 1，所以 B 項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng) 0a1時(shí)，1a1，平移距離大于 1，所以 C 項(xiàng)錯(cuò)誤，故選 D. (2)設(shè) 2 014a2 015bt，如圖所示，由函數(shù)圖象，可得 若 t1，則有 ab0；若 t1，則有 ab0；若 0t1，則有 ab0. 故可能成立，而不可能成立. 答案 (1)D (2)B 規(guī)律方法 (1)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖象問題的研究，往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象，通過平移、對(duì)稱變換得到其圖象.(2)一些指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往結(jié)合相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合求解. 【訓(xùn)練 2】 (1)函數(shù) f(x)axb的圖象如圖，其中 a，

7、b 為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是( ) A.a1，b0 B.a1，b0 C.0a1，b0 D.0a1，b0 (2)(2016 衡水模擬)若曲線|y|2x1 與直線 yb 沒有公共點(diǎn)， 則 b 的取值范圍是_. 解析 (1)由 f(x)axb的圖象可以觀察出，函數(shù) f(x)axb在定義域上單調(diào)遞減，所以 0a1.又由圖象在 y 軸截距小于 1 可知 ab1，即b0，所以 b0，故選 D. (2)曲線|y|2x1 與直線 yb 的圖象如圖所示，由圖象可知：如果|y|2x1 與直線 yb 沒有公共點(diǎn)，則 b 應(yīng)滿足的條件是 b1，1. 答案 (1)D (2)1，1 考點(diǎn)三 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【例

8、3】 (1)(2015 天津卷)已知定義在 R 上的函數(shù) f(x)2|xm|1(m 為實(shí)數(shù))為偶函數(shù)，記 af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，則 a，b，c 的大小關(guān)系為( ) A.abc B.cab C.acb D.cba (2)如果函數(shù) ya2x2ax1(a0，a1)在區(qū)間1，1上的最大值是 14，則 a的值為( ) A.13 B.1 C.3 D.13或 3 解析 (1)由函數(shù) f(x)2|xm|1 為偶函數(shù)，得 m0， 即 f(x)2|x|1，其圖象過原點(diǎn)，且關(guān)于 y 軸對(duì)稱， 在(，0)上單調(diào)遞減，在(0，)上單調(diào)遞增. 又 af(log0.53)f(log23)

9、f(log23)，bf(log25)， cf(0)，且 0log23log25， 所以 cab，故選 B. (2)令 axt，則 ya2x2ax1t22t1(t1)22. 當(dāng) a1 時(shí)，因?yàn)?x1，1，所以 t1a，a ， 又函數(shù) y(t1)22 在1a，a 上單調(diào)遞增， 所以 ymax(a1)2214，解得 a3(負(fù)值舍去). 當(dāng) 0a1 時(shí)，因?yàn)?x1，1，所以 ta，1a， 又函數(shù) y(t1)22 在a，1a上單調(diào)遞增， 則 ymax1a12214， 解得 a13(負(fù)值舍去). 綜上知 a3 或 a13. 答案 (1)B (2)D 規(guī)律方法 (1)在利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)解決相關(guān)綜合問題時(shí)，要

10、特別注意底數(shù) a 的取值范圍，并在必要時(shí)進(jìn)行分類討論；(2)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的指數(shù)型函數(shù)的定義域、值域(最值)、單調(diào)性、奇偶性的求解方法，要化歸于指數(shù)函數(shù)來解. 【訓(xùn)練 3】 (1)下列各式比較大小正確的是( ) A.1.72.51.73 B.0.610.62 C.0.80.11.250.2 D.1.70.30.93.1 (2)已知函數(shù) f(x)2|2xm|(m 為常數(shù))，若 f(x)在區(qū)間2，)上是增函數(shù)，則 m 的取值范圍是_. 解析 (1)A 中，函數(shù) y1.7x在 R 上是增函數(shù)，2.53，1.72.51.73. B 中，y0.6x在 R 上是減函數(shù)，10.62. C 中，0.811.2

11、5，問題轉(zhuǎn)化為比較 1.250.1與 1.250.2的大小. y1.25x在 R 上是增函數(shù)，0.10.2， 1.250.11.250.2，即 0.80.11，00.93.10.93.1. (2)令 t|2xm|， 則 t|2xm|在區(qū)間m2， 上單調(diào)遞增， 在區(qū)間，m2上單調(diào)遞減，而 y2t為 R 上的增函數(shù)，所以要使函數(shù) f(x)2|2xm|在2，)上單調(diào)遞增，則有m22，即 m4，所以 m 的取值范圍是(，4. 答案 (1)B (2)(，4 思想方法 1.比較兩個(gè)指數(shù)冪大小時(shí)，盡量化同底或同指數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)相同，指數(shù)不同時(shí)，構(gòu)造同一指數(shù)函數(shù)， 然后比較大小； 當(dāng)指數(shù)相同， 底數(shù)不同時(shí)， 構(gòu)造

12、兩個(gè)指數(shù)函數(shù)，利用圖象比較大小. 2.指數(shù)函數(shù) yax(a0，且 a1)的單調(diào)性和底數(shù) a 有關(guān)，當(dāng)?shù)讛?shù) a 與 1 的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論. 3.與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，要弄清復(fù)合函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成；而與其有關(guān)的最值問題，往往轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題. 易錯(cuò)防范 1.指數(shù)冪的運(yùn)算容易出現(xiàn)的問題是誤用指數(shù)冪的運(yùn)算法則，或在運(yùn)算中變換的方法不當(dāng)，不注意運(yùn)算的先后順序等. 2.形如 a2xb axc0 或 a2xb axc0(0)形式， 常借助換元法轉(zhuǎn)化為二次方程或不等式求解，但應(yīng)注意換元后“新元”的范圍. 第第 6 講講 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù) 最新考綱 1

13、.理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)；了解對(duì)數(shù)在簡(jiǎn)化運(yùn)算中的作用；2.理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點(diǎn)，會(huì)畫底數(shù)為 2，10，12的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象；3.體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型；4.了解指數(shù)函數(shù) yax(a0，且 a1)與對(duì)數(shù)函數(shù) ylogax(a0，且 a1)互為反函數(shù). 知 識(shí) 梳 理 1.對(duì)數(shù)的概念 如果 axN(a0，且 a1)，那么數(shù) x 叫做以 a 為底 N 的對(duì)數(shù)，記作 xlogaN，其中 a 叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N 叫做真數(shù). 2.對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算性質(zhì) (1)對(duì)數(shù)的性質(zhì) alogaNN；logaaNN (

14、a0，且 a1)； 零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù). (2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性法則(a0，且 a1，M0，N0) loga(M N)logaMlogaN；logaMNlogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR). (3)對(duì)數(shù)的重要公式 換底公式：logbNlogaNlogab (a，b 均大于零且不等于 1)； logab1logba，推廣 logablogbclogcdlogad. 3.對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) (1)概念：函數(shù) ylogax(a0，且 a1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中 x 是自變量，函數(shù)的定義域是(0，). (2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) a1 0a1 圖象 定義域 (0，) 值域 R 性質(zhì) 過點(diǎn)(1，

15、0)，即 x1 時(shí)，y0 當(dāng) x1 時(shí)，y0； 當(dāng) 0 x1 時(shí)，y0 當(dāng) x1 時(shí)，y0； 當(dāng) 0 x1 時(shí)，y0 在(0，)上是增函數(shù) 在(0，)上是減函數(shù) 診 斷 自 測(cè) 1.判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”) 精彩 PPT 展示 (1)logax22logax.() (2)函數(shù) ylog2x 與 ylog122x 都是對(duì)數(shù)函數(shù).() (3)loga(bc)logablogac.() (4)若 logamlogan，則 mn.() (5)函數(shù) f(x)lgx2x2與 g(x)lg(x2)lg(x2)是同一個(gè)函數(shù).() 2.函數(shù) f(x)loga(x2)2(a0，且 a1)的圖象必過定點(diǎn)(

16、) A.(1，0) B.(1，2) C.(1，2) D.(1，1) 解析 令 x1，則 loga(x2)0，此時(shí) f(1)2，故選 C. 答案 C 3.(2015 浙江卷)若 alog43，則 2a2a_. 解析 alog43log23， 2a2a2log232log23 3134 33. 答案 4 33 4.函數(shù) f(x)log5(2x1)的單調(diào)增區(qū)間是_. 解析 由 2x10，得 x12，所以函數(shù)的定義域?yàn)?2， ，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù) f(x)log5(2x1)的單調(diào)增區(qū)間是12， . 答案 12， 5.(人教 A 必修 1P75B2 改編)若 loga341(a0，且 a1)，則

17、實(shí)數(shù) a 的取值范圍是_. 解析 當(dāng) 0a1 時(shí)，loga34logaa1， 解得 0a34；當(dāng) a1 時(shí)，loga34logaa1，解得 a1. 答案 0，34(1，) 考點(diǎn)一 對(duì)數(shù)式的運(yùn)算 【例 1】 計(jì)算：(1)log222_；2log23+log43_. (2)(lg 2)2lg 2lg 50lg 25_. 解析 (1)log222log22log2212112； 2log23+log432log232log4332log4332log233 3. (2)原式(lg 2)2(1lg 5)lg 2lg 52 (lg 2lg 51)lg 22lg 5 (11)lg 22lg 5 2(lg

18、2lg 5)2. 答案 (1)12 3 3 (2)2 規(guī)律方法 在對(duì)數(shù)運(yùn)算中， 要熟練掌握對(duì)數(shù)式的定義， 靈活使用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、換底公式和對(duì)數(shù)恒等式對(duì)式子進(jìn)行恒等變形，多個(gè)對(duì)數(shù)式要盡量化成同底的形式. 【訓(xùn)練 1】 (1)設(shè) 2a5bm，且1a1b2，則 m 等于( ) A. 10 B.10 C.20 D.100 (2)已知函數(shù) f(x)12x，x4，f（x1），x4，則 f(2log23)的值為_. 解析 (1)由已知，得 alog2m，blog5m， 則1a1b1log2m1log5mlogm2logm5logm102.解得 m 10. (2)因?yàn)?2log234，所以 f(2log23

19、)f(3log23)，而 3log234， 所以 f(3log23)123+log231812log231813124. 答案 (1)A (2)124 考點(diǎn)二 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用 【例 2】 (1)已知函數(shù) yloga(xc)(a，c 為常數(shù)，其中 a0，且 a1)的圖象如圖，則下列結(jié)論成立的是( ) A.a1，c1 B.a1，0c1 C.0a1，c1 D.0a1，0c1 (2)當(dāng) 0 x12時(shí)，4xlogax，則 a 的取值范圍是( ) A.0，22 B.22，1 C.(1， 2) D.( 2，2) 解析 (1)由題圖可知，函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù)，所以 0a1.又當(dāng) x0 時(shí)，y0，即 l

20、ogac0，所以 0c1. (2)由題意得，當(dāng) 0a1 時(shí)，要使得 4xlogax0 x12，即當(dāng) 0 x12時(shí)，函數(shù) y4x的圖象在函數(shù) ylogax 圖象的下方.又當(dāng) x12時(shí)，4122，即函數(shù) y4x的圖象過點(diǎn)12，2 .把點(diǎn)12，2 代入函數(shù) ylogax， 得 a22.若函數(shù) y4x的圖象在函數(shù) ylogax 圖象的下方， 則需22a1(如圖所示). 當(dāng) a1 時(shí)，不符合題意，舍去. 所以實(shí)數(shù) a 的取值范圍是22，1 . 答案 (1)D (2)B 規(guī)律方法 (1)研究對(duì)數(shù)型函數(shù)的圖象時(shí)，一般從最基本的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對(duì)稱變換得到對(duì)數(shù)型函數(shù)的圖象.(2)對(duì)于較復(fù)雜

21、的不等式有解或恒成立問題，可以借助函數(shù)圖象解決，具體做法為：對(duì)不等式變形，使不等號(hào)兩邊對(duì)應(yīng)兩函數(shù) f(x)，g(x)；在同一坐標(biāo)系下作出兩函數(shù) yf(x)及 yg(x)的圖象； 比較當(dāng) x 在某一范圍內(nèi)取值時(shí)圖象的上下位置及交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來確定參數(shù)的取值或解的情況. 【訓(xùn)練 2】 已知函數(shù) f(x)loga(2xb1)(a0，a1)的圖象如圖所示，則 a，b滿足的關(guān)系是( ) A.0a1b1 B.0ba11 C.0b1a1 D.0a1b11 解析 由函數(shù)圖象可知， f(x)在 R 上單調(diào)遞增， 故 a1.函數(shù)圖象與 y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，logab)，由函數(shù)圖象可知1logab0，解得1ab1.

22、綜上有 01ab1. 答案 A 考點(diǎn)三 對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 微題型 1 比較大小 【例 31】 (1)設(shè) alog32，blog52，clog23，則( ) A.acb B.bca C.cba D.cab (2)已知 xln ，ylog52，ze12，則( ) A.xyz B.zxy C.zyx D.yzx 解析 (1) 323，12 5，32，log33log32log33，log51log5 2log55，log23log22， 12a1，0b12，c1，cab. (2)xln ln e，x1. ylog52log55，0y12. ze121e1412，12z1.綜上可得，yzx. 答案

23、 (1)D (2)D 規(guī)律方法 (1)若底數(shù)為同一常數(shù)，則可由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判斷；若底數(shù)為同一字母，則需對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論；(2)若底數(shù)不同，真數(shù)相同，則可以先用換底公式化為同底后， 再進(jìn)行比較； (3)若底數(shù)與真數(shù)都不同， 則常借助 1，0 等中間量進(jìn)行比較. 微題型 2 解簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)不等式 【例 32】 (1)若 loga(a21)loga2a0，則 a 的取值范圍是( ) A.(0，1) B.0，12 C.12，1 D.(0，1)(1，) (2)設(shè)函數(shù)f(x)log2x，x0，log12（x），x0.若f(a)f(a)， 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ) A.(1，0)(0，1) B

24、.(，1)(1，) C.(1，0)(1，) D.(，1)(0，1) 解析 (1)由題意得 a0 且 a1，故必有 a212a. 又 loga(a21)loga2a0， 所以 0a1， 同時(shí) 2a1， a12， 綜上， a12，1 . (2)由題意可得a0，log2alog2a或a0，log12（a）log2（a）， 解得 a1 或1a0. 答案 (1)C (2)C 規(guī)律方法 形如 logaxlogab 的不等式，借助 ylogax 的單調(diào)性求解，如果 a 的取值不確定，需分 a1 與 0a1 兩種情況討論；形如 logaxb 的不等式，需先將 b 化為以 a 為底的對(duì)數(shù)式的形式. 【訓(xùn)練 3】

25、 (1)已知 a21.2， b120.8， c2log52， 則 a， b， c 的大小關(guān)系為( ) A.cba B.cab C.bac D.bca (2)函數(shù) f(x)axloga(x1)在0，1上最大值和最小值之和為 a，則 a 的值為_. 解析 (1)b120.820.821.2a，c2log52log522log55120.8b，cba. (2)yax與 yloga(x1)的單調(diào)性相同. 當(dāng) a1 時(shí)，f(x)的最大值為 f(1)，最小值為 f(0). 當(dāng) 0a1 時(shí)，f(x)的最大值為 f(0)，最小值為 f(1). 不論 a1 還是 0a1 都有 f(0)f(1)a，即 a0log

26、a1aloga2a，解得a12. 答案 (1)A (2)12 思想方法 1.對(duì)數(shù)值取正、負(fù)值的規(guī)律 當(dāng) a1 且 b1 或 0a1 且 0b1 時(shí)，logab0； 當(dāng) a1 且 0b1 或 0a1 且 b1 時(shí)，logab0. 2.研究對(duì)數(shù)型函數(shù)的圖象時(shí)，一般從最基本的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對(duì)稱變換得到.特別地，要注意底數(shù) a1 和 0a1 的兩種不同情況.有些復(fù)雜的問題，借助于函數(shù)圖象來解決，就變得簡(jiǎn)單了，這是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn). 3.利用單調(diào)性可解決比較大小、解不等式、求最值等問題，其基本方法是“同底法”，即把不同底的對(duì)數(shù)式化為同底的對(duì)數(shù)式，然后根據(jù)單調(diào)性來解決. 4.多

27、個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象比較底數(shù)大小的問題，可通過圖象與直線 y1 交點(diǎn)的橫坐標(biāo)進(jìn)行判定. 易錯(cuò)防范 1.在運(yùn)算性質(zhì) logaMnnlogaM 中，要特別注意條件，在無 M0 的條件下應(yīng)為logaMnnloga|M|(nN*，且 n 為偶數(shù)). 2.解決與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)需注意兩點(diǎn)：(1)務(wù)必先研究函數(shù)的定義域；(2)注意對(duì)數(shù)底數(shù)的取值范圍. 三年高考真題三年高考真題 1.(2014 四川)已知 b0，log5ba，lgbc，5d10，則下列等式一定成立的是( ) A.dac B.acd C.cad D.dac 2.(2015 浙江)若 alog43，則 2a2a_. 3.(2015 安徽)lg52

28、2lg 2121_. 4.(2014 安徽)168134log354log345_. 5.(2014 陜西)已知 4a2，lg xa，則 x_. 考點(diǎn) 2 基本函數(shù)的圖象的應(yīng)用 6.(2014 山東)已知函數(shù) yloga(xc)(a，c 為常數(shù)，其中 a0，a1)的圖象如圖，則下列結(jié)論成立的是( ) A.a1，c1 B.a1，0c1 C.0a1，c1 D.0a1，0c1 7.(2014 浙江)在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù) f(x)xa(x0)，g(x)logax 的圖象可能是( ) 8.(2015 四川)已知函數(shù) f(x)2x，g(x)x2ax(其中 aR).對(duì)于不相等的實(shí)數(shù) x1，x2，設(shè) mf

29、（x1）f（x2）x1x2，ng（x1）g（x2）x1x2， 現(xiàn)有如下命題： 對(duì)于任意不相等的實(shí)數(shù) x1，x2，都有 m0； 對(duì)于任意的 a 及任意不相等的實(shí)數(shù) x1，x2，都有 n0； 對(duì)于任意的 a，存在不相等的實(shí)數(shù) x1，x2，使得 mn； 對(duì)于任意的 a，存在不相等的實(shí)數(shù) x1，x2，使得 mn. 其中的真命題有_(寫出所有真命題的序號(hào)). 考點(diǎn) 3 基本函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用 9.(2015 四川)設(shè) a，b 都是不等于 1 的正數(shù)，則“3a3b3”是“l(fā)oga3logb3”的( ) A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件 10.(2015 天津)已

30、知定義在 R 上的函數(shù) f(x)2|xm|1(m 為實(shí)數(shù))為偶函數(shù)，記 af(log0.53)，b(log25)，cf(2m)，則 a，b，c 的大小關(guān)系為( ) A.abc B.acb C.cab D.cba 11.(2015 陜西)設(shè) f(x)ln x， 0ab， 若 pf( ab)， qfab2， r12(f(a)f(b)，則下列關(guān)系式中正確的是( ) A.qrp B.qrp C.prq D.prq 12.(2015 山東)設(shè)函數(shù) f(x)3x1，x1，2x，x1，則滿足 f(f(a)2f(a)的 a 取值范圍是( ) A.23，1 B.0，1 C.23， D.1, ) 13.(2014

31、 江西)已知函數(shù) f(x)5|x|， g(x)ax2x(aR).若 fg(1)1， 則 a( ) A.1 B.2 C.3 D.1 14.(2014 遼寧)已知 a213，blog213，clog1213，則( ) A.abc B.acb C.cab D.cba 15.(2014 天津)函數(shù) f(x)log12(x24)的單調(diào)遞增區(qū)間為( ) A.(0，) B.(，0) C.(2，) D.(，2) 16.(2014 天津)設(shè) alog2 ，blog12，c2，則( ) A.abc B.bac C.acb D.cba 17.(2014 山東)已知實(shí)數(shù) x，y 滿足 axay(0a1y21 B.ln

32、(x21)ln(y21) C.sin xsin y D.x3y3 18.(2015 福建)若函數(shù) f(x)2|xa|(aR)滿足 f(1x)f(1x)，且 f(x)在m，)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù) m 的最小值等于_. 19.(2014 天津)函數(shù) f(x)lg x2的單調(diào)遞減區(qū)間是_. 20.(2016 全國(guó))若 ab0，0c1，則( ) A.logaclogbc B.logcalogcb C.accb 21.(2016 浙江)已知 ab1.若 loga blogb a52，abba，則 a_，b_. 第第 7 講講 函數(shù)的應(yīng)用函數(shù)的應(yīng)用 最新考綱 1.結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的

33、聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)；2.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長(zhǎng)特征，結(jié)合具體實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)增長(zhǎng)、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義；3.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用. 知 識(shí) 梳 理 1.函數(shù)的零點(diǎn) (1)函數(shù)的零點(diǎn)的概念 對(duì)于函數(shù) yf(x)，把使 f(x)0 的實(shí)數(shù) x 叫做函數(shù) yf(x)的零點(diǎn). (2)函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系 方程 f(x)0 有實(shí)數(shù)根函數(shù) yf(x)的圖象與 x 軸有交點(diǎn)函數(shù) yf(x)有零點(diǎn). (3)零點(diǎn)存在性定理 如果函數(shù) yf(x)滿足： 在區(qū)間a， b上的圖象是

34、連續(xù)不斷的一條曲線； f(a) f(b)0；則函數(shù) yf(x)在(a，b)上存在零點(diǎn)，即存在 c(a，b)，使得 f(c)0，這個(gè)c 也就是方程 f(x)0 的根. 2.二次函數(shù) yax2bxc(a0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系 0 0 0)的圖象 與 x 軸的交點(diǎn) (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 無交點(diǎn) 零點(diǎn)個(gè)數(shù) 兩個(gè) 一個(gè) 零個(gè) 3.指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較 函數(shù) 性質(zhì) yax(a1) ylogax(a1) (n0)yxn 在(0，) 上的增減性 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增 增長(zhǎng)速度 越來越快 越來越慢 相對(duì)平穩(wěn) 圖象的變化 隨x的增大逐漸表現(xiàn)為 與 y 軸平行 隨 x 的增大逐

35、漸表現(xiàn)為與 x 軸平行 隨 n 值變化而各有不同 值的比較 存在一個(gè) x0，當(dāng) xx0時(shí)，有 logaxxnax 診 斷 自 測(cè) 1.判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”) 精彩 PPT 展示 (1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與 x 軸的交點(diǎn).() (2)函數(shù) yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則 f(a) f(b)0.() (3)二次函數(shù) f(x)ax2bxc(a0)存在一個(gè)正零點(diǎn)、一個(gè)負(fù)零點(diǎn)的充要條件為ac0.() (4)冪函數(shù)增長(zhǎng)比直線增長(zhǎng)更快.() (5)當(dāng) x0 時(shí)，函數(shù) y2x與 yx2的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).() 2.若函數(shù) f(x)唯一的一個(gè)零點(diǎn)同時(shí)在區(qū)間(0，16)，

36、(0，8)，(0，4)，(0，2)內(nèi)，那么下列命題中正確的是( ) A.函數(shù) f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)有零點(diǎn) B.函數(shù) f(x)在區(qū)間(0，1)或(1，2)內(nèi)有零點(diǎn) C.函數(shù) f(x)在區(qū)間2，16)上無零點(diǎn) D.函數(shù) f(x)在區(qū)間(1，16)內(nèi)無零點(diǎn) 解析 由題意可知，函數(shù) f(x)的唯一零點(diǎn)一定在區(qū)間(0，2)內(nèi)，故一定不在2，16)內(nèi). 答案 C 3.已知函數(shù) f(x)6xlog2x.在下列區(qū)間中，包含 f(x)零點(diǎn)的區(qū)間是( ) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，4) D.(4，) 解析 由題意知， 函數(shù) f(x)在(0， )上為減函數(shù)， 又 f(1)6log2160， f

37、(2)3log2220，f(4)64log24322120，由零點(diǎn)存在性定理，可知函數(shù) f(x)在區(qū)間(2，4)上必存在零點(diǎn)，故選 C. 答案 C 4.(2015 天津卷)已知函數(shù) f(x)2|x|，x2，（x2）2，x2，函數(shù) g(x)3f(2x)，則函數(shù) yf(x)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析 由已知條件可得 g(x)3f(2x)|x2|1，x0，3x2，x0， 函數(shù) yf(x)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).即為函數(shù) yf(x)與 yg(x)圖象的交點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù) yf(x)與 yg(x)的圖象如圖所示，由圖可知函數(shù) yf(x)與yg(x)的圖象有

38、 2 個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù) yf(x)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 2，選 A. 答案 A 5.(人教 A 必修 1P104 例 5 改編)某桶裝水經(jīng)營(yíng)部每天的房租、人員工資等固定成本為 200 元，每桶水的進(jìn)價(jià)是 5 元，銷售單價(jià)與日均銷售量的關(guān)系如表所示： 銷售單價(jià)/元 6 7 8 9 10 11 12 日均銷售量/桶 480 440 400 360 320 280 240 請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出分析，這個(gè)經(jīng)營(yíng)部為獲得最大利潤(rùn)，定價(jià)應(yīng)為_元. 解析 設(shè)在進(jìn)價(jià)基礎(chǔ)上增加 x 元后，日均銷售利潤(rùn)為 y 元， 日均銷售量為 48040(x1)52040 x(桶)， 則 y(52040 x)x20040 x252

39、0 x200，0 x13. 當(dāng) x6.5 時(shí)，y 有最大值.所以只需將銷售單價(jià)定為 11.5 元，就可獲得最大的利潤(rùn). 答案 11.5 考點(diǎn)一 函數(shù)與方程 微題型 1 函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判定 【例 11】 (1)(2016 唐山一模)設(shè) f(x)exx4，則函數(shù) f(x)的零點(diǎn)位于區(qū)間( ) A.(1，0) B.(0，1) C.(1，2) D.(2，3) (2)(2015 長(zhǎng)沙模擬)若abc， 則函數(shù)f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間( ) A.(a，b)和(b，c)內(nèi) B.(，a)和(a，b)內(nèi) C.(b，c)和(c，)內(nèi) D.(，a)和(c，)內(nèi)

40、 解析 (1)f(x)exx4，f(x)ex10，函數(shù) f(x)在 R 上單調(diào)遞增，對(duì)于 A 項(xiàng)，f(1)e1(1)45e10，f(0)30，f(1)f(0)0，A 不正確；同理可驗(yàn)證 B，D 不正確，對(duì)于 C 項(xiàng)，f(1)e14e30，f(2)e224e220，f(1)f(2)0.故 f(x)的零點(diǎn)位于區(qū)間(1，2). (2)令 y1(xa)(xb)(xb)(xc)(xb) 2x(ac)，y2(xc)(xa)，由 abc 作出函數(shù) y1，y2的圖象(圖略)，由圖可知兩函數(shù)圖象的兩個(gè)交點(diǎn)分別位于區(qū)間(a，b)和(b，c)內(nèi)，即函數(shù) f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(a，b)和(b，c)內(nèi). 答案

41、 (1)C (2)A 規(guī)律方法 判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是否存在零點(diǎn)，要根據(jù)具體題目靈活處理.當(dāng)能直接求出零點(diǎn)時(shí)，就直接求出進(jìn)行判斷；當(dāng)不能直接求出時(shí)，可根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷，當(dāng)用零點(diǎn)存在性定理也無法判斷時(shí)可畫出圖象判斷. 微題型 2 判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù) 【例 12】 (1)函數(shù) f(x)x1212x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( ) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)(2016 鄭州一模)函數(shù) f(x)ln xx22x，x0，4x1，x0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是_. 解析 (1)因?yàn)?yx12在 x0，)上單調(diào)遞增，y12x在 xR 上單調(diào)遞減，所以 f(x)x1212x在 x0，)上單調(diào)遞增，又 f(0)10，f(1

42、)120，所以 f(x)x1212x在定義域內(nèi)有唯一零點(diǎn). (2)當(dāng) x0 時(shí)，令 g(x)ln x， h(x)x22x.畫出 g(x)與 h(x)的圖象如圖： 故當(dāng) x0 時(shí)，f(x)有 2 個(gè)零點(diǎn). 當(dāng) x0 時(shí)，由 4x10，得 x14，綜上函數(shù) f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 3. 答案 (1)B (2)3 規(guī)律方法 函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法：(1)直接求零點(diǎn)，令 f(x)0，有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)；(2)零點(diǎn)存在性定理，要求函數(shù)在區(qū)間a，b上是連續(xù)不斷的曲線，且 f(a) f(b)0，再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3)利用圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出兩函數(shù)圖象，觀察其交點(diǎn)個(gè)數(shù)即得零點(diǎn)個(gè)數(shù). 微題

43、型 3 根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的存在情況，求參數(shù) 【例 13】 (2015 湖南卷)已知函數(shù) f(x)x3，xa，x2，xa，若存在實(shí)數(shù) b， 使函數(shù) g(x)f(x)b 有兩個(gè)零點(diǎn)，則 a 的取值范圍是_. 解析 當(dāng) a0 時(shí)，若 x(a，)，則 f(x)x2，當(dāng) b(0，a2)時(shí)，函數(shù) g(x)f(x)b 有兩個(gè)零點(diǎn)，分別是 x1 b，x2 b. 當(dāng) 0a1 時(shí)，f(x)的圖象如圖所示. 易知函數(shù) yf(x)b 最多有一個(gè)零點(diǎn). 當(dāng) a1 時(shí)，f(x)的圖象如圖所示. 當(dāng) b(a2，a3時(shí)，函數(shù) g(x)f(x)b 有兩個(gè)零點(diǎn)，分別是 x13b，x2 b. 綜上，a(，0)(1，). 答案 (，0)

44、(1，) 規(guī)律方法 已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值常用的方法和思路：(1)直接法，直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法，先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合，先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后觀察求解. 【訓(xùn)練 1】 (1)(2014 湖北卷)已知 f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，當(dāng) x0 時(shí)，f(x)x23x.則函數(shù) g(x)f(x)x3 的零點(diǎn)的集合為( ) A.1，3 B.3，1，1，3 C.2 7，1，3 D.2 7，1，3 (2)(2016 安徽皖北四校聯(lián)考)已知函數(shù) f(x)2xa，x0，2x1

45、，x0(aR)，若函數(shù) f(x)在 R 上有兩個(gè)零點(diǎn)，則 a 的取值范圍是( ) A.(，1) B.(，1 C.1，0) D.(0，1 解析 (1)當(dāng) x0 時(shí)，f(x)x23x，令 g(x)x23xx30，得 x13，x21. 當(dāng) x0 時(shí)，x0，f(x)(x)23(x)， f(x)x23x，f(x)x23x. 令 g(x)x23xx30， 得 x32 7，x42 70(舍)， 函數(shù) g(x)f(x)x3 的零點(diǎn)的集合是2 7，1，3，故選 D. (2)當(dāng) x0 時(shí)，由 f(x)0，即 2x10，解得 x12. 當(dāng) x0 時(shí)，由題意可得 f(x)有一個(gè)零點(diǎn)，故 a2x，因?yàn)?x0，所以 2x

46、(0，1，所以 a 的取值范圍為(0，1，所以選 D. 答案 (1)D (2)D 考點(diǎn)二 二次函數(shù)的零點(diǎn)問題 【例 2】 已知函數(shù) f(x)x2ax2，aR. (1)若不等式 f(x)0 的解集為1，2，求不等式 f(x)1x2的解集； (2)若函數(shù) g(x)f(x)x21 在區(qū)間(1，2)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍. 解 (1)因?yàn)椴坏仁?f(x)0 的解集為1，2， 所以 a3，于是 f(x)x23x2. 由 f(x)1x2，得 2x23x10，解得 x12或 x1， 所以不等式 f(x)1x2的解集為 xx12或x1. (2) 函 數(shù) g(x) 2x2 ax 3 在 區(qū)

47、間 (1 ， 2) 上 有 兩 個(gè) 不 同 的 零 點(diǎn) ， 則g（1）0，g（2）0，1a42，a2240，即a50，2a110，8a4，a2 6或a2 6，解得5a2 6. 所以實(shí)數(shù) a 的取值范圍是(5，2 6). 規(guī)律方法 解決與二次函數(shù)有關(guān)的零點(diǎn)問題：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判別式及根與系數(shù)之間的關(guān)系；(3)利用二次函數(shù)的圖象列不等式組. 【訓(xùn)練 2】 已知 f(x)x2(a21)x(a2)的一個(gè)零點(diǎn)比 1 大， 一個(gè)零點(diǎn)比 1 小，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍. 解 法一 設(shè)方程 x2(a21)x(a2)0 的兩根分別為 x1，x2(x1x2)，則(x1

48、1)(x21)0，x1x2(x1x2)10， 由根與系數(shù)的關(guān)系， 得(a2)(a21)10，即 a2a20，2a1. 法二 函數(shù)圖象大致如圖，則有 f(1)0，即 1(a21)a20，得 a2a20， 2a2；a0，b2；a1，b2. 5.(2015 天津)已知函數(shù) f(x)2|x|，x2，（x2）2，x2，函數(shù) g(x)bf(2x)，其中bR，若函數(shù) yf(x)g(x)恰有 4 個(gè)零點(diǎn)，則 b 的取值范圍是( ) A.74， B.，74 C.0，74 D.74，2 6.(2014 山東)已知函數(shù) f(x)|x2|1，g(x)kx.若方程 f(x)g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù) k 的取值

49、范圍是( ) A.0，12 B.12，1 C.(1，2) D.(2，) 7.(2014 湖北)已知 f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，當(dāng) x0 時(shí)，f(x)x23x.則函數(shù)g(x)f(x)x3 的零點(diǎn)的集合為( ) A.1，3 B.3，1，1，3 C.2 7，1，3 D.2 7，1，3 8.(2014 重慶)已知函數(shù) f(x)1x13，x（1，0，x，x（0，1， 且 g(x)f(x)mxm 在(1，1內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是( ) A.94，2 0，12 B.114，2 0，12 C.94，2 0，23 D.114，2 0，23 9.(2015 湖南)若函數(shù) f(x

50、)|2x2|b 有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) b 的取值范圍是_. 10.(2015 安徽)在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中， 若直線 y2a 與函數(shù) y|xa|1 的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，則 a 的值為_. 11.(2015 湖北)a 為實(shí)數(shù)，函數(shù) f(x)|x2ax|在區(qū)間0，1上的最大值記為 g(a).當(dāng)a_時(shí)，g(a)的值最小. 12.(2015 北京)設(shè)函數(shù) f(x)2xa，x1，4（xa）（x2a），x1. 若 a1，則 f(x)的最小值為_； 若 f(x)恰有 2 個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是_. 13.(2015 湖南)已知函數(shù) f(x)x3，xa，x2，xa，若存在實(shí)數(shù) b， 使函數(shù) g(

51、x)f(x)b 有兩個(gè)零點(diǎn)，則 a 的取值范圍是_. 14.(2014 天津)已知函數(shù) f(x)|x25x4|，x0，2|x2|，x0.若函數(shù) yf(x)a|x|恰有 4 個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為_. 15.(2014 天津)已知函數(shù) f(x)|x23x|，xR.若方程 f(x)a|x1|0 恰有 4 個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為_. 16.(2016 全國(guó))已知函數(shù) f(x)(xR)滿足 f(x)2f(x)，若函數(shù) yx1x與 yf(x)圖象的交點(diǎn)為(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，則i1m (xiyi)( ) A.0 B.m C.2m D.4m 17.(2

52、016 山東)已知函數(shù) f(x)|x|，xm，x22mx4m，xm，其中 m0，若存在實(shí)數(shù) b，使得關(guān)于 x 的方程 f(x)b 有三個(gè)不同的根，則 m 的取值范圍是_. 18.(2016 四川)某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司 2015年全年投入研發(fā)資金 130 萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過 200 萬元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)( ) A.2018 年 B.2019 年 C.2020 年 D.2021 年 19.(2016 北京)某網(wǎng)店統(tǒng)計(jì)了連續(xù)三天售出商品的種類情況：第一天售出 19 種商品，第二天售出 13 種商品，第三天售出 18 種商品