第6講 靜態(tài)電磁場(chǎng)分析

1、第六講第六講 靜態(tài)電磁場(chǎng)分析靜態(tài)電磁場(chǎng)分析第六講第六講靜態(tài)電磁場(chǎng)分析靜態(tài)電磁場(chǎng)分析第六講第六講 靜態(tài)電磁場(chǎng)分析靜態(tài)電磁場(chǎng)分析分類認(rèn)識(shí)靜態(tài)電磁場(chǎng)問題分類認(rèn)識(shí)靜態(tài)電磁場(chǎng)問題靜態(tài)電場(chǎng)靜態(tài)電場(chǎng)按場(chǎng)的類型按場(chǎng)的類型靜態(tài)磁場(chǎng)靜態(tài)磁場(chǎng)按電荷靜止或運(yùn)動(dòng)情況分類按電荷靜止或運(yùn)動(dòng)情況分類靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)恒定電流場(chǎng)恒定電流場(chǎng)靜止靜止 =0=00J 勻速運(yùn)動(dòng)勻速運(yùn)動(dòng) 有限有限0J 一、靜電場(chǎng)分析一、靜電場(chǎng)分析第六講第六講 靜態(tài)電磁場(chǎng)分析靜態(tài)電磁場(chǎng)分析一、靜電場(chǎng)分析一、靜電場(chǎng)分析1 1、靜電場(chǎng)的基本方程和邊界條件、靜電場(chǎng)的基本方程和邊界條件 邊界條件邊界條件（一般性問題）（一般性問題）邊界邊界0DE 微分形式：微分形式：D

2、E本構(gòu)關(guān)系本構(gòu)關(guān)系環(huán)境環(huán)境 基本方程（基本方程（一般性問題一般性問題）源源n12n12()()0SeDDeEEdd0SCDSqEl積分形式：積分形式：1n2n1t2t0SDDEE或或第六講第六講 靜態(tài)電磁場(chǎng)分析靜態(tài)電磁場(chǎng)分析一、靜電場(chǎng)分析一、靜電場(chǎng)分析2 2、靜電場(chǎng)問題的分析求解方法、靜電場(chǎng)問題的分析求解方法 方法一：場(chǎng)源積分法方法一：場(chǎng)源積分法( )rVyxzoriVrM301()( )d4VrRE rVR30( )1( )d4SSr RE rSR30( )1( )d4lCr RE rlR體電荷：體電荷：面電荷：面電荷：線電荷：線電荷：方法缺點(diǎn)：方法缺點(diǎn)：1 1、難以得到解析解；、難以得到解

3、析解； 2 2、只適用于無界空間靜電問題（不含邊界條件）。、只適用于無界空間靜電問題（不含邊界條件）。不常用！不常用！第六講第六講 靜態(tài)電磁場(chǎng)分析靜態(tài)電磁場(chǎng)分析一、靜電場(chǎng)分析一、靜電場(chǎng)分析 方法二：應(yīng)用靜電場(chǎng)的高斯定理方法二：應(yīng)用靜電場(chǎng)的高斯定理001( )( )SVQE rdSr dV方法要求：存在閉合積分曲面方法要求：存在閉合積分曲面( (高斯面高斯面) )，在整個(gè)或者分段高斯，在整個(gè)或者分段高斯面上，面上， 或或 為恒定值。為恒定值。EE dS方法優(yōu)點(diǎn)：可以得到靜電問題的解析解。方法優(yōu)點(diǎn)：可以得到靜電問題的解析解。方法缺點(diǎn)：只適用于電荷分布呈方法缺點(diǎn)：只適用于電荷分布呈對(duì)稱對(duì)稱分布（球?qū)?/p>

4、稱、軸對(duì)稱、分布（球?qū)ΨQ、軸對(duì)稱、 面對(duì)稱）的靜電問題求解。面對(duì)稱）的靜電問題求解。常用！常用！2 2、靜電場(chǎng)問題的分析求解方法、靜電場(chǎng)問題的分析求解方法第六講第六講 靜態(tài)電磁場(chǎng)分析靜態(tài)電磁場(chǎng)分析一、靜電場(chǎng)分析一、靜電場(chǎng)分析 方法三：間接求解方法方法三：間接求解方法0E 0 E 電位函數(shù)電位函數(shù)lel電位函數(shù)與電場(chǎng)關(guān)系：電位函數(shù)與電場(chǎng)關(guān)系： A B EdE dl 方法優(yōu)點(diǎn)：將求矢量函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為求標(biāo)量函數(shù)的問題方法優(yōu)點(diǎn)：將求矢量函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為求標(biāo)量函數(shù)的問題dEl 2 2、靜電場(chǎng)問題的分析求解方法、靜電場(chǎng)問題的分析求解方法第六講第六講 靜態(tài)電磁場(chǎng)分析靜態(tài)電磁場(chǎng)分析靜電場(chǎng)分析典型例題靜電場(chǎng)分

5、析典型例題【例【例1 1】 在無限大真空中，已知電位在無限大真空中，已知電位 ，求對(duì)應(yīng)的電，求對(duì)應(yīng)的電場(chǎng)強(qiáng)度及電荷分布。場(chǎng)強(qiáng)度及電荷分布。E 解解: :電場(chǎng)強(qiáng)度為電場(chǎng)強(qiáng)度為在在 處，電荷密度處，電荷密度/0( )4rqrer/20011()()44rrrrdqqeeeedrrrr 0r 0E2021()r Er/0201(1)4rdqrer dr/24rqer 為了確定在為了確定在 處是否存在點(diǎn)電荷，做一半徑為處是否存在點(diǎn)電荷，做一半徑為 的高的高斯球面。則由高斯定理，可求得高斯面內(nèi)包圍總電荷為斯球面。則由高斯定理，可求得高斯面內(nèi)包圍總電荷為0r 0r第六講第六講 靜態(tài)電磁場(chǎng)分析靜態(tài)電磁場(chǎng)分析

6、靜電場(chǎng)分析典型例題靜電場(chǎng)分析典型例題（續(xù)上例）（續(xù)上例） 而在球面內(nèi)的體分布電荷而在球面內(nèi)的體分布電荷 為為Q0sQE dS0/0200011()4rsqedSrr 0/2020011()44rqerrr0/0(1)rrqe/24rVqQedVr0/22044rrqer drr 0/20rrqredr 0/0(1)rrqeq 則在則在 處的電荷量為處的電荷量為0r QQq第六講第六講 靜態(tài)電磁場(chǎng)分析靜態(tài)電磁場(chǎng)分析【例【例2 2】?jī)蓧K無限大接地導(dǎo)體板如圖放置，在兩導(dǎo)體板間放置一面密度兩塊無限大接地導(dǎo)體板如圖放置，在兩導(dǎo)體板間放置一面密度為為 的均勻面電荷分布。求導(dǎo)體板間的電位及電場(chǎng)。的均勻面電荷

7、分布。求導(dǎo)體板間的電位及電場(chǎng)。解一：解一：極板間電荷滿足一維拉普拉斯方程極板間電荷滿足一維拉普拉斯方程 xyb0S1( ) x2( ) xOa212222( )0(0)( )0()dxxbdxdxbxadx111222( )( )xc xdxc xd由電位邊界條件：由電位邊界條件：12000 xx a0210( )( )Sx bxxxx 12x bx b0s靜電場(chǎng)分析典型例題靜電場(chǎng)分析典型例題第六講第六講 靜態(tài)電磁場(chǎng)分析靜態(tài)電磁場(chǎng)分析（續(xù)上例）故有：（續(xù)上例）故有：1220112221000Sdc adcbdc bdcc 解以上四式，最終可得：解以上四式，最終可得：010020()( )0(

8、)()SSabxxxbabxaxbxaa01100220()( )( )0( )( )SxSxabE xxexbabExxebxaa 靜電場(chǎng)分析典型例題靜電場(chǎng)分析典型例題第六講第六講 靜態(tài)電磁場(chǎng)分析靜態(tài)電磁場(chǎng)分析 xyb0S1( ) x2( ) xOa解二：解二： 由于電荷為無限大面電荷，故電場(chǎng)方向始終指向由于電荷為無限大面電荷，故電場(chǎng)方向始終指向x方向，且電方向，且電場(chǎng)均勻分布。場(chǎng)均勻分布。1122,xxEe E Ee E由高斯定理有：由高斯定理有：0210SxEE由電位關(guān)系有：由電位關(guān)系有：12()xxE bEab010020()( )0( )SxSxabE xexbabExebxaa 0

9、01100220()( )0( )()SxaSxabxE dxxxbabxE dxaxbxaa靜電場(chǎng)分析典型例題靜電場(chǎng)分析典型例題 設(shè)極板間電場(chǎng)強(qiáng)度分別為設(shè)極板間電場(chǎng)強(qiáng)度分別為 ，則，則第六講第六講 靜態(tài)電磁場(chǎng)分析靜態(tài)電磁場(chǎng)分析由邊界條件知在邊界兩邊由邊界條件知在邊界兩邊 連續(xù)。連續(xù)。E解：解：設(shè)同軸線內(nèi)導(dǎo)體單位長(zhǎng)度帶電量為設(shè)同軸線內(nèi)導(dǎo)體單位長(zhǎng)度帶電量為Q Q。SD dSQ110(2)r ErEQ 110(2)rQEer 110ln(2)baQbUE dra 【例【例3 3】同軸線內(nèi)外導(dǎo)體半徑分別為同軸線內(nèi)外導(dǎo)體半徑分別為a,ba,b，導(dǎo)體間部分填充介質(zhì)，介質(zhì)，導(dǎo)體間部分填充介質(zhì)，介質(zhì)介電常數(shù)

10、為介電常數(shù)為 ，如圖所示。已知內(nèi)外導(dǎo)體間電壓為，如圖所示。已知內(nèi)外導(dǎo)體間電壓為U U。求：求：1) 1) 導(dǎo)體間單位長(zhǎng)度內(nèi)的電場(chǎng)能量導(dǎo)體間單位長(zhǎng)度內(nèi)的電場(chǎng)能量 2)2)內(nèi)外導(dǎo)體間電容。內(nèi)外導(dǎo)體間電容。110(2)lnlnUQba (lnln )rUEeba rab01靜電場(chǎng)分析典型例題靜電場(chǎng)分析典型例題第六講第六講 靜態(tài)電磁場(chǎng)分析靜態(tài)電磁場(chǎng)分析12221011122eVVWE dVE dV2210122221111(2)2(lnln )2(lnln )bbaaUUrdrrdrbarbar21101(2)2 (lnln )Uba ( (續(xù)上例）兩種方法求電場(chǎng)能量：續(xù)上例）兩種方法求電場(chǎng)能量：或應(yīng)

11、用導(dǎo)體系統(tǒng)能量求解公式或應(yīng)用導(dǎo)體系統(tǒng)能量求解公式12eiiiWqU12eWQU110(2)lnlnUQba 21101(2)2 (lnln )Uba 110(2)lnlnQCUba 靜電場(chǎng)分析典型例題靜電場(chǎng)分析典型例題第六講第六講 靜態(tài)電磁場(chǎng)分析靜態(tài)電磁場(chǎng)分析【例【例4 4】導(dǎo)體球殼，內(nèi)徑為導(dǎo)體球殼，內(nèi)徑為b b，外徑為，外徑為c c，球殼球心為半徑為，球殼球心為半徑為a a導(dǎo)體球，導(dǎo)導(dǎo)體球，導(dǎo)體球帶電量體球帶電量Q Q，外導(dǎo)體接地。中間充滿兩種介質(zhì)，介電系數(shù)分別為，外導(dǎo)體接地。中間充滿兩種介質(zhì)，介電系數(shù)分別為1 1和和2 2，介質(zhì)分界面如圖所示。，介質(zhì)分界面如圖所示。求：（求：（1 1）空間

12、場(chǎng)分布）空間場(chǎng)分布E(r)E(r)； （2 2）空間電位分布；）空間電位分布； （3 3）自由電荷分布；）自由電荷分布； （4 4）系統(tǒng)電場(chǎng)能量）系統(tǒng)電場(chǎng)能量; ; (5) (5) 內(nèi)外導(dǎo)體間電容。內(nèi)外導(dǎo)體間電容。 Q cba12解：解：由邊界條件知，由邊界條件知， 連續(xù)。連續(xù)。E（1 1）rara，該區(qū)域?yàn)閷?dǎo)體空間，故：，該區(qū)域?yàn)閷?dǎo)體空間，故： =0=0； E a a rbrb，由高斯定理有，由高斯定理有SD dSQ2122()rEQ2122()rQEer1112122()rQDEer2222122()rQDEer靜電場(chǎng)分析典型例題靜電場(chǎng)分析典型例題第六講第六講 靜態(tài)電磁場(chǎng)分析靜態(tài)電磁場(chǎng)分析

13、（續(xù)上例）（續(xù)上例） Q cba12靜電場(chǎng)分析典型例題靜電場(chǎng)分析典型例題b b rcrcrc，0E （2 2）求電位分布。）求電位分布。brE dr1211()2 ()Qrb 1211()2 ()Qab 2122()brQdrrarbara)解：解：由安培環(huán)路定律，可以求得在導(dǎo)體間由安培環(huán)路定律，可以求得在導(dǎo)體間磁感應(yīng)強(qiáng)度分布：磁感應(yīng)強(qiáng)度分布：xyzxDaPII12BBB00()()22 ()yyIIeexDx則導(dǎo)體間單位長(zhǎng)度的磁通量為則導(dǎo)體間單位長(zhǎng)度的磁通量為0lnln()2D aD aaaIB dxxDx 0lnIDaa0lnDaLIa0lnDa第六講第六講 靜態(tài)電磁場(chǎng)分析靜態(tài)電磁場(chǎng)分析恒

14、定磁場(chǎng)典型例題恒定磁場(chǎng)典型例題【例【例2】求內(nèi)外半徑分別為求內(nèi)外半徑分別為a和和b的無限長(zhǎng)同軸線單位長(zhǎng)度的自感。的無限長(zhǎng)同軸線單位長(zhǎng)度的自感。解：解：在內(nèi)導(dǎo)體內(nèi)，設(shè)導(dǎo)體內(nèi)電流為在內(nèi)導(dǎo)體內(nèi)，設(shè)導(dǎo)體內(nèi)電流為I I，由安培環(huán)路，由安培環(huán)路定律定律a a 0 0b b02()2IBeaa則導(dǎo)體內(nèi)單位長(zhǎng)度磁能為則導(dǎo)體內(nèi)單位長(zhǎng)度磁能為22220240011224mVVIWB dVdVa222024001224aIda 2016I0228miWLI在內(nèi)外導(dǎo)體之間：在內(nèi)外導(dǎo)體之間：0,22IIBH第六講第六講 靜態(tài)電磁場(chǎng)分析靜態(tài)電磁場(chǎng)分析恒定磁場(chǎng)典型例題恒定磁場(chǎng)典型例題【例【例2】求內(nèi)外半徑分別為求內(nèi)外半徑分

15、別為a和和b的無限長(zhǎng)同軸線單位長(zhǎng)度的自感。的無限長(zhǎng)同軸線單位長(zhǎng)度的自感。a a 0 0b b22001212ln224mVbaWB HdVIIbda 外022ln2moWbLIa外總的自感為總的自感為00ln82iobLLLa( (續(xù)上例續(xù)上例) )第六講第六講 靜態(tài)電磁場(chǎng)分析靜態(tài)電磁場(chǎng)分析恒定磁場(chǎng)典型例題恒定磁場(chǎng)典型例題【例【例3】無限長(zhǎng)細(xì)導(dǎo)線中載有電流無限長(zhǎng)細(xì)導(dǎo)線中載有電流I1，附近有，附近有一共面的矩形線框，載有電流一共面的矩形線框，載有電流I2，如圖，如圖a。求：（求：（1）系統(tǒng)互感；）系統(tǒng)互感； （2）當(dāng)矩形線框繞對(duì)稱軸轉(zhuǎn)動(dòng)到圖）當(dāng)矩形線框繞對(duì)稱軸轉(zhuǎn)動(dòng)到圖b所所示位置時(shí)，系統(tǒng)磁場(chǎng)能量

16、改變多少？示位置時(shí)，系統(tǒng)磁場(chǎng)能量改變多少？解：解：( (1)1)電流電流I1I1在空間中產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為在空間中產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 H1 H2 I2 I1 d H1 I2 I1 R1 R2 0 12IBer在在I2I2回路中產(chǎn)生的磁通量為回路中產(chǎn)生的磁通量為11/20 12/22d HSd HIB dsH drr 0212111(/2)ln2(/2)HdHLIdH0 1211(/2)ln2(/2)I HdHdH第六講第六講 靜態(tài)電磁場(chǎng)分析靜態(tài)電磁場(chǎng)分析恒定磁場(chǎng)典型例題恒定磁場(chǎng)典型例題(續(xù)上例續(xù)上例) H1 H2 I2 I1 d H1 I2 I1 R1 R2 ( (2)2)電流回路系統(tǒng)磁能為電流回路系統(tǒng)磁能為221 112