導(dǎo)數(shù)運(yùn)算常見類型

1、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算常見類型盧玉才江蘇太倉(cāng)高級(jí)中學(xué) 215400 在討論函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，導(dǎo)數(shù)是不可或缺的重要工具，求導(dǎo)運(yùn)算已經(jīng)成為解決函數(shù)問題過程中的基本運(yùn)算。1 熟記導(dǎo)數(shù)公式表，運(yùn)算法則少不了基本初等函數(shù)有常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)，它們通過加、減、乘、除四種運(yùn)算可以產(chǎn)生較為復(fù)雜的函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)可以通過基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出例 1已知函數(shù)( )(1)(2)(),*fxx xxxnnn=+，求(0)f 的值解 ：( )( )(1)(2)()(1)(2)() fxxxxxnxxxxn=+， 令， 則 有0 x =(0)12fn= l評(píng)注 ：( )f x是個(gè)因式的乘積，由

2、函數(shù)積的求導(dǎo)法則，可以得到1n+( )fx的形式因?yàn)槭乔?，所?0)f (1)(2)() xxx+n具體的結(jié)果無需求出。例 2已知( )sin2()2xf xexfx=+，求( )f x解：( )(sin )2()2xfxexf=+，而，從而有(sin )cossinxxxexexe=+x( )(sincos )2()2xfxexxf=+分別令2x=，可以得到2()2()22fef=+，即2()2fe= -，2( )sinxf xexe=-x評(píng)注：分析( )f x的解析式可知，()2f的大小是關(guān)鍵，必須構(gòu)造一個(gè)關(guān)于()2f的方程，這可以從( )fx入手。( )f x是由 3 個(gè)基本初等函數(shù)構(gòu)成

3、，由它們的導(dǎo)數(shù)公式可以到( )fx，代入2就能求出()2f的大小了。2復(fù)合函數(shù)須分解，導(dǎo)數(shù)結(jié)果自然來復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，關(guān)鍵是將函數(shù)合理地看成若干個(gè)基本初等函數(shù)復(fù)合，再利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求出其導(dǎo)數(shù)例 5已知( )f x為定義在r上的奇函數(shù)且其導(dǎo)數(shù)存在，為定義在( )g xr的偶函數(shù)且其導(dǎo)數(shù)存在求證：( )fx為偶函數(shù)，為奇函數(shù)( )gx解：因?yàn)? )f x為定義在r上的奇函數(shù)， 所以有()( )fxf x-= - 兩邊同時(shí)求關(guān)于x的導(dǎo)數(shù)，有() ( )fxf-= -xx-令，則( ),yf tt=() ( )( 1)()fxftfx-=-= -，也就是()( )fxfx-=，即( )fx為偶函

4、數(shù)同理可證，為奇函數(shù)( )g x評(píng)注 ：對(duì)于形如()f axb+的復(fù)合函數(shù)， 我們可以通過( ),yf u uaxb=+這樣的分解來求()f axb+的 導(dǎo) 數(shù) ， 其 導(dǎo) 數(shù) 為， 因 為ua( )afuxb=+， 從 而()f axb+的 導(dǎo) 數(shù) 就 是()afaxb+3函數(shù)形式巧變形，導(dǎo)數(shù)運(yùn)算便利多求給定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可以先分析函數(shù)的具體形式。有時(shí)，函數(shù)解析式中有乘積或者是商的形式，我們可以采取合適的代數(shù)變形手段，將乘積化成和（如展開等） 、除化成積（如除看成乘以倒數(shù)等） 、除化成差（如利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則等），合理地求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例 3求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）2311( )()f xx xxx

5、=+（2）1( )lnxf xx+=，解： （1）32( )1f xxx-=+ +，( )( )()3( )1 2fxxx-=+，利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可以得到23( )32fxxx-=-(（2）( )ln(1)lnf xxx)( )ln(1) lnf=+-，xxx=+-，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)法則有111( )1(fxxxx x=-= -+1)評(píng)注 ： （1）中是函數(shù)乘積的形式，如果利用函數(shù)積的求導(dǎo)法則會(huì)比較繁瑣，我們通過代數(shù)變形，將乘積化成和，將商化成負(fù)指數(shù)冪，求導(dǎo)就很簡(jiǎn)單了；（2）中是復(fù)合函數(shù)的形式，直接利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則也比較困難，可先利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則將原函

6、數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的差，再利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)得最后結(jié)果。例 4已知22( )xxaxaf xe+=，對(duì)0,1x?，均有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍( )0fx 解：2( )(2 )xf xxaxa e-=+，利用積函數(shù)的求導(dǎo)法則有2( )(2)xfxxa xa e-?= -+-? 由0,1x?， 均 有， 有( )0fx 0,1x?， 此等價(jià)于2(2)0 xa xa-+-0,1x?，3(1)1ax4x-+-+3(1)1x4x-+-+的最小值為，從而00a 評(píng)注 ：由于所給函數(shù)是商的形式，先將它轉(zhuǎn)化為乘積的形式，這樣求函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)就比較方便實(shí)數(shù)a的取值范圍采用了參變分離的方法，將參數(shù)的取值范圍問題轉(zhuǎn)化為易

7、求的函數(shù)最值問題4切線斜率要利用，數(shù)形結(jié)合最重要導(dǎo)數(shù)的幾何意義是表示曲線上在該點(diǎn)的切線的斜率，所以導(dǎo)數(shù)、 斜率之間是一種數(shù)和形的相互轉(zhuǎn)換例 7已知函數(shù)，過原點(diǎn)作曲線yexey =x的切線，求切線的方程.解 ：設(shè) 切 點(diǎn) 為(00,x)x e， 因xye=， 所 以00|xx xy=e=。 由 點(diǎn) 斜 式 得 切 線 方 程 為00()0 xxyexxe=-+，由切線過原點(diǎn)，0000(0)xxexe=-+，解得01x =，代入切線方程即有：.exy =評(píng)注 ：確定切線方程需要切點(diǎn)坐標(biāo)和斜率，斜率是可以由函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)得到，因此切點(diǎn)坐標(biāo)是求切線方程的關(guān)鍵。利用切線過原點(diǎn)可得到切點(diǎn)滿足的方程，從而求得切點(diǎn)進(jìn)而求得切線方程。例 8對(duì)于正整數(shù)，設(shè)曲線n(1)nyxx=-在2x =處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求數(shù)列na1nan?+?的前n項(xiàng)和解 ：由(1)nyx=- x可以得到1nnyxx+=-，從而1(nn1)ynxnx-=-+，當(dāng)時(shí)，。切線方程為2x =1(2)2nyn-= -+1(2)2(2)2nnynx-= -+-0y，令=得，這樣na = (1)2nn