2022年2022年初中數(shù)學九年級上冊《一元二次方程》熱門應(yīng)用題

1、精選學習資料 - - - 歡迎下載一元二次方程的熱門應(yīng)用題一.面積問題例 1張大叔從市場上買回一塊矩形鐵皮,他將此矩形鐵皮的四個角各剪去一個邊長為1米的正方形后,剩下的部分剛好能圍成一個容積為15 米 3 的無蓋長方體運輸箱,且此長方體運輸箱底面的長比寬多2米現(xiàn)已知購買這種鐵皮每平方米需20 元錢,問張大叔購回這張矩形鐵皮共花了多少元錢？解：設(shè)這種運輸箱底部寬為x 米,就長為（ x+2 ）米依題意,得x（ x+2 ）×1=15化簡,得x2+2x-15=0 解之,得 x1=3, x2=-5 （不合題意,舍去） 所以這種運輸箱底部長為 5 米,寬為 3 米由長方體綻開圖知,購買的矩形鐵皮

2、面積為（ 5+2 ）×（ 3+2 ） =35（米 2）故購回這張矩形鐵皮要花35×20 700 元錢 點評：此題要深刻懂得題意中的已知條件,弄清各數(shù)據(jù)的相互關(guān)系,布列方程,并正確打算一元二次方程根的取舍問題解決此類問題要善于運用轉(zhuǎn)化的思想方法,將實精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題二.數(shù)字問題兩個數(shù)的和等于6、積等于 8、求這兩個數(shù) .三.銷售利潤問題例 2某種新產(chǎn)品進價為120 元,在試銷階段發(fā)覺每件售價（元）與產(chǎn)品的日銷量（件）始終存在下表中的數(shù)量關(guān)系：（ 1）請你依據(jù)上表所給數(shù)據(jù)表述出每件售價提高的數(shù)量（元）與日銷量削減的數(shù)量（件）之間

3、的關(guān)系（ 2）在不轉(zhuǎn)變上述關(guān)系的情形下,請你幫忙商場經(jīng)理策劃每件商品定價為多少元時,每日盈利可達到1 600 元？解：（ 1）由表格中數(shù)量關(guān)系可知：該產(chǎn)品每件售價上漲 1 元,其日銷量就削減1 件（ 2）設(shè)每件產(chǎn)品漲價x 元,就銷售價為（130+x）元, 日銷量為（ 70-x ）件由題意,得 （ 130+x） -120（ 70-x） =1 600 ,解得 x1=x2=30, 130+30=160 （元）答：每件商品定價為160 元時,每日盈利達到1 600 元精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載點評：隨著市場經(jīng)濟的日益富強,市場競爭更為激烈因此, “銷售問題 ”仍將為人們關(guān)注的焦點,

4、仍會被搬上中考試卷這不僅較好地錘煉了同學分析問題.解決問 題的才能,而且讓同學們真正體會到數(shù)學的珍貴價值值 得說明的為,第（2）小題仍可以用表格中其它兩組數(shù)據(jù)列出方程,結(jié)果相同,同學們不妨試一試四.旅行消費問題例 3（南通市）據(jù)5 月 8日南通日報報道：今年“五一 ”黃金周期間,我市實現(xiàn)旅行收入再創(chuàng)歷史新高, 旅行消費出現(xiàn)多樣化,各項消費所占比例如下圖所示,其中住宿消費為3 438.24 萬元（ 1）求我市今年 “五一 ”黃金周期間旅行消費共多少億元？旅行消費中各項消費的中位數(shù)為多少萬元？（ 2）對于 “五一 ”黃金周期間的旅行消費,假如我市要達到 3.42 億元的目標,那么,到 的平均增長率

5、為多少？解：（ 1）由圖知,住宿消費為3438.24萬元,占旅行精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載消費的 22.62, 所以消費共3 438.24 ÷22.62 15 200（萬元） =1.52（億元）所以交通消費為15 200 ×17.56 2 669.12（萬元）所以我市今年“五一 ”黃金周期間旅行消費中各項消費的中位數(shù)為（ 3 438.24 2 669.12） ÷2 3 053.68（萬元）（ 2）設(shè)到 旅行消費的年均增長率為x,就 1.52（ 1+x ） 2=3.42得 x1=0.5=50 , x2=-2.5（舍去）所以到 旅行消費的平均增長率

6、為50點評：此題考查通過統(tǒng)計圖獵取信息的才能及用方程的思想解決實際問題的才能第（ 2）小題求年平均增長率,因此屬增長率問題在解答這類題時應(yīng)當把握其基本關(guān)系式：結(jié)果量（增長率）n×基礎(chǔ)量；結(jié)果量（1-降 低率） n×基礎(chǔ)量（其中n 為增長或降低次數(shù)） 五.節(jié)省與環(huán)保問題例 4 （宜昌課改試驗區(qū)）我國人均用紙為 28 公斤, 每個中學畢業(yè)生離校時大約有 10 公斤廢紙；用 1 噸廢紙造出來的再生好紙,所能節(jié)省的造紙木材相當于 18 棵大樹, 而平均每畝森林只有 50 至 80 棵這樣的大樹（ 1）如我市中學畢業(yè)生中環(huán)保意識較強的5萬人,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎

7、下載能把自己離校時的全部廢紙送到回收站使之制造為再生好紙,那么最少可使多少畝森林免遭砍伐？（ 2）宜昌市從初開頭實施自然林愛護工程,到初成效顯著,森林面積大約由1374.094 萬畝增加到1500.545萬畝假設(shè)該地區(qū)年用紙量的15% 可以作為廢紙回收利用,并且森林面積年均增長率保持不變,請你按宜昌市總?cè)丝跒?415萬人運算：在從初到初這一年度內(nèi),我市新增加的森林面積與因廢紙回收利用所能愛護的森林面積之和最多可能達到多少畝（精確到1 畝）？解：（ 1）5 萬名中學畢業(yè)生廢紙回收使森林免遭砍伐的最少畝數(shù)為5×104×10÷1 000 ×18÷80

8、=112.5（畝）（ 2）設(shè)到 初我市森林面積年均增長率為x, 就 1 374.094（ 1+x ） 2=1 500. 45故 x1=0.045=4.5% , x2=-2.045 （舍去）所以初到初全年新增森林面積：1500.545 ×104×（ 1+4.5） 2×4.5 737 385（畝）又全市回收廢紙所能愛護的森林面積最多為415×104×28× 5 ÷ 1 000 × 18÷ 50 6（2畝75）新增森林面積和愛護森林面積之和為：精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載737 385+6 2

9、75=743 660 （畝）點評：此例不僅考查了同學們解答實際應(yīng)用問題的才能,仍對同學們發(fā)揚節(jié)省精神.增強環(huán)保意識起到潛移默化的北作用a東六.航海問題某軍艦以20 節(jié)的速度由西向東航行、一艘電子偵察船以30 節(jié)的速度由南向北航行 、它能偵察出四周50 海里b包括 50 海里 范疇內(nèi)的目標.如圖 、當該軍艦行至a 處時 、電子偵察船正位于 a 處的正南方向的b 處、瓶 ab=90 海里 .假如軍艦和偵察船仍按原先速度沿原方向連續(xù)航行、那么航行途中偵察船能否偵察到這艘軍艦.假如能 、最早何時能偵察到.假如不能 、請說明理由 .七. 圖表信息應(yīng)用問題單一圖象信息的應(yīng)用問題：例 1美化城市,改善人們的

10、居住環(huán)境已成為城市建設(shè)的一項重要內(nèi)容,某市城區(qū)近幾年來通過拆舊房,植草.栽樹,修建公園等措施,使城區(qū)綠地面積不斷增加,如圖1,（ 1）依據(jù)圖中供應(yīng)的信息,回答以下問題：精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載底的綠地面積為公頃；比 底增加了公頃；在 . . 這三年中綠地面各增加最多的一年為；（ 2）為了滿意城市進展的需要,方案在底使綠地面積達到 72.6 公頃,試求. 兩年綠地面積的年平均增長率；解析： 環(huán)境愛護為當今社會的一個熱點點問題；此題主要考查在閱讀. 懂得.讀圖的基礎(chǔ)上用一元二次方程解決實際問題的才能； 仔細觀看圖象從中獵取有用的信息為解題的關(guān)鍵；精品學習資料精選學習資料 -

11、- - 歡迎下載解：（ 1） 60, 4, 2004；（ 2 ）設(shè)平均增長率為x ,由題意得601x272.6 ,即精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1x21.21 ； x112、精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1x1.1、x10.1、 x22.1（不合題意舍去） ；答：略；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載多個圖象信息的應(yīng)用問題：例 2某開發(fā)區(qū)為改善居民的住房條件,第年都新建一批 住 房 , 人 均 住 房 面 積 逐 年 增 加 （ 人 均 住 房 面 積精品學

12、習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載該區(qū)住房面積=該區(qū)人口總數(shù),單位：平方米/ 人 ）,該開發(fā)區(qū)至 ,每年年底人精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載口總數(shù)和人均住房面積統(tǒng)計結(jié)果如圖2（ 1）,（ 2）請依據(jù)上面兩圖所供應(yīng)的信息解答下面問題：（ 1）該區(qū) 2004 和 2005 兩年中哪一年比上年增加的住房面積多？多增加了多少？（ 2）由于經(jīng)濟進展的需要,估計底,該區(qū)居民將增加2 萬人,住房面積要達到13 平方米 /人,試求2006 和 2007這兩年該區(qū)住房總面積的年平均增長率應(yīng)達到百分之幾？ 解析：由于此題為兩個圖象的組合,所以應(yīng)把兩個圖形結(jié)合起來獵取獵取信息；解：（ 1） 比

13、 增加住房面積20×10-18 ×9.6=27.2； 比 2005增加住房面積18×9.6-17 ×9=19.8 ；多增加了： 27.2-19.8=7.4（萬平方米） ；（ 2）設(shè)住房總面積的年平均增長率應(yīng)達到x、由題意得：精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載220（0 1x）13202, 即 20（0 1x）2286, 解 得 ：（1x）21.43 ,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載x10.196、 x22.196（不合題意舍去） ；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載所以

14、 2006 和 2007 這兩年該區(qū)住房總面積的年平均增長率應(yīng)達到 19.6% ；一元二次方程應(yīng)用新題型一.條件探求型例 1要建一個面積為150m2 的長方形養(yǎng)雞場,為了節(jié)省材料,雞場的一邊靠著原有的一面墻,墻長為am,另三 邊用竹籬笆圍成,假如籬笆的長為35m（ 1）求雞場的長與寬各為多少？（ 2）題中,墻的長度a 對題目的解起著怎樣的作用？ 分析：第（ 2）小題著眼于作為條件顯現(xiàn)的常數(shù)a,探索這一條件對題目的解有何影響,需依據(jù)第（1）小題的結(jié) 果進行爭論解：（ 1）設(shè)平行于墻的一邊長為xm,就另一邊的長為35x , 2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載依據(jù)題意,得35x x21

15、50 ,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解得 x1=15, x2=20精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載當 x=15 時, 35x10 ；當 x=20 時, 35x15 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載222答：略精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（ 2）由題意可知： 當 a<15 時, 此題無解； 當 15a<20時,此題只有一個解；當a20 時,此題有兩解二.方案設(shè)計型例 2某中學有一塊長為am,寬為 bm的矩形場地,方案在該場地上修筑寬都為2米的兩條相互垂直的道路,余下的四塊矩形小場地建成草坪（ 1）如圖 1,請分別寫出每條

16、道路的面積（用含a 或含 b 的代數(shù)式表示） ；（ 2）已知a b=2 1,并且四塊草坪的面積之和為 312m2,試求原先矩形場地的長與寬各為多少米？（ 3）在（ 2）的條件下,為進一步美化校內(nèi),依據(jù)實際情形,學校打算對整個矩形場地作如下設(shè)計（要求同時 符合下述兩個條件） ：條件：在每塊草坪上各修建一個面積盡可能大的菱形花圃（花圃各邊必需分別與所在草坪的對角線平行）,并且其中有兩個花圃的面積之差為13m2；條件：整個矩形場地（包括道路.草坪.花圃）為軸對稱圖形請你畫出符合上述設(shè)計方案的一種草圖（不必說明畫精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載法與依據(jù)）,并求出每個菱形花圃的面積解：（

17、1）這兩條道路的面積分別為2am2 與 2bm2（ 2）設(shè) b=xm,就 a=2xm, 依題意,得2x·2x - （ 2x+4x-4 ） 312 整理,得x -3x-154=0,解得 x1=14, x2=-11 （舍去） 所以 b=14,a=2x=28 即矩形的長為28m,寬為 14m（ 3）符合設(shè)計方案的一種草圖如圖2 所示,其中四個菱形花圃中,第1 個與第 2 個,第 3 個與第 4 個花圃的面精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載積分別相等設(shè) ae x,就 fb=14-2-x=12-x（ m）, ag28213（ m）2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載依題

18、意,得113 x1 12x1313 22解得 x=7（ m）所以大菱形花圃的面積為171345.5 （ m2）,2小菱形花圃的面積為11271332.5 （ m2）2（注：其他符合設(shè)計方案的三種花圃見圖3,圖 4,圖 5 ,同上法仍可求得大.小花圃的面積分別為45.5m2 與32.5m2）精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載三.創(chuàng)意自編型例 3編一道關(guān)于增長率的一元二次方程應(yīng)用題,并解答編題要求：（ 1）題目完整,題意清晰；（ 2）題意與方程的解都要符合實際；分析：題目只給出大致的編題要求,可視為一種情境,除此以外的內(nèi)容,諸如條件.解法.結(jié)果等均未確定,需 要自行設(shè)置,屬于綜合開放題

19、的范疇由于為編題,我們可以先依據(jù)要求列出方程,為了使應(yīng)用題好編并且便于運算,盡量使題目中的已知數(shù)據(jù)和結(jié)果都為整數(shù),比如預(yù)定方程為： 100（ 1+x） 2=144據(jù)此編一道應(yīng)用題為：某鋼廠 7 月份產(chǎn)值為100 萬元,方案9 月份產(chǎn)值可達144萬元那么,這兩個月的產(chǎn)值平均每月的增長率為多精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載少？一元二次方程解法的綜合應(yīng)用一.與不等式學問的綜合應(yīng)用例 1 證明關(guān)于 x 的方程 （ m2-8m+17 ）x2+2mx+1=0 不論 m 為何值時,都為一元二次方程分析：方程含二次項系數(shù),要證明 “不論 m 為何值時, 方程都為一元二次方程 ”,只需證明二次項系

20、數(shù) m2-8m+17的值不等于 0證明：由于二次項系數(shù)m2-8m+17 m2-8m+16+1=（ m-4） 2+1,又由于（ m-4 ） 20,所以（ m-4 ） 2 1 0,即 m2-8m+17 0所以不論m 為何值時,原方程都為一元二次方程精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載二.與題目中隱含條件的綜合應(yīng)用例 2如關(guān)于 x 的一元二次方程 （ m-1 ）x2+3m 2x+（ m+3）（ m-1） =0 有一個根為0,就 m 的值為（） -3 或 1 3 或 -1 -3 1分析： 由題意知, 0 為方程的根, 故由根的定義知： x=0 滿意方程,所以把x=0 代入原方程,得（m+3 ）（ m-1）=0,故 m=-3 或 m=1,但題設(shè)明確指出為關(guān)于x 的一元二次方程,因此隱含了條件m-10,即 m1,故正確答案為c三.與三角形三邊關(guān)系定理的綜合應(yīng)用 例 3請依據(jù)下面的解題過程回答疑題一個三角形的兩邊長分別為3cm 和 7cm,第三邊長為整數(shù) acm,且 a 滿意 a2-10a+21=0 ,求三角形的周長解：由已知可得4