第25講 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、2.3.1 中值定理中值定理2.3.2 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則2.3.3 泰勒公式泰勒公式 ( )( , )(11)yf xa b 設(shè)設(shè)在在內(nèi)內(nèi)具具有有階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)0( , )1:xa b 在在任任一一點(diǎn)點(diǎn)的的 階階泰泰勒勒展展開(kāi)開(kāi)式式為為20000)(! 2)()()()(xxfxxxfxfxf P162 LT2 LT3將將f (x)=ln(1+x) (x 1)展展開(kāi)為開(kāi)為x的冪式的冪式. 利用上面結(jié)果的前五項(xiàng)計(jì)算利用上面結(jié)果的前五項(xiàng)計(jì)算ln1.2(1)1( ).(1) !nnfxn ! )0(! 2)0()0()0()()(2nnxnfxfxffxf (0)x 位位于于 與與 之之間間0P1

2、15 LT 3.),1ln()(nyxy求求設(shè)設(shè) xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy ( )1(1)!( 1)(1)nnnnyx ( )0kxy 1( 1)(1)!kk (1)( )nf 1!( 1)(1)nnn ! )0(! 2)0()0()0()()(2nnxnfxfxffxf (1)1( ).(1) !nnfxn ( )(0) !kfk 111 kk 23451ln(1)( 1)2345nnxxxxxxxn ：kx.),1ln()(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解:P162 LT2將將f (x)=ln(1+x)展開(kāi)為展開(kāi)為x的冪式的冪式 x -1 ( )(0)

3、!kkfxk(1)( )nf 1!( 1)(1)nnn 111 kkxk ( )0kxy 1( 1)(1)!kk ! )0(! 2)0()0()0()()(2nnxnfxfxffxf (1)1( ).(1) !nnfxn 23451ln(1)( 1)2345nnxxxxxxxn 111( 1)1 (1+ ) nnnxn P162 LT2將將f (x)=ln(1+x)展開(kāi)為展開(kāi)為x的冪式的冪式 x1 23451ln(1)( 1)2345nnxxxxxxxn 111( 1)( 0 )1 (1+ ) nnnxxn 在在 與與之之間間( )2(0)(0)( )(0)(0)()2!nnnfff xffx

4、xxo xn 利用上面結(jié)果的前五項(xiàng)計(jì)算利用上面結(jié)果的前五項(xiàng)計(jì)算ln1.2P162 LT3x=0.2P162 LT323451ln(1)( 1)2345nnxxxxxxxn 111( 1)1 (1+ ) nnnxn x=0.223450.20.20.20.2ln(10.2)0.22322 =0.18235R ( 0 )x 在在 與與之之間間( 0 0.2 ) 在在 與與之之間間65610.26(1+ ) R 0.000064(0.000011)6 6610.26(1+ ) ()sin2.fxxmMaclaurin 求求的的階階公公式式解解)2sin()( )( kxxfk 因因?yàn)闉?)(0)si

5、n2kkf 1, 2, .k 352112sin.( 1)( )3!5!(21)!mmmxxxxxRxm P162 LT5sin 21sin 2mm 0 11m 21sin2m 221sin2m sin12m cos1m 11m 1, 2, .m 2 21 kmkm 21221221sin()( )()!mmxmRxxm )10( 其中其中352112sin.( 1)( )3!5!(21)!mmmxxxxxRxm 212( )( 1)cos(21)!mmmxRxxm 212sin()xm 2sinxm cosxm( 1) cosmx 公式公式常用函數(shù)的常用函數(shù)的 Maclaurin2.3.1

6、中值定理中值定理2.3.2 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則2.3.3 泰勒定理泰勒定理P190 13, 15P188 XT2.3 1, 2, 3 , 5 _RolleLaw P189 12. 利用洛必達(dá)法則求極限利用洛必達(dá)法則求極限 (19: 第一項(xiàng)分母為第一項(xiàng)分母為2次方不是次方不是3次方次方)6,7, 8, 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理XT2.3 1. 驗(yàn)證下列函數(shù)在給定區(qū)間是否滿(mǎn)足驗(yàn)證下列函數(shù)在給定區(qū)間是否滿(mǎn)足 洛爾定理的條件。洛爾定理的條件。 23(1) 31yx 32(2) 1 1,1yxx (3) , 0yxxa aa 1,1x ( 1,1)x ( )( )f af b 連續(xù)連續(xù) 可導(dǎo)可

7、導(dǎo) 等高等高 226 331xyx 0 x 132 3yx (0,0)尖點(diǎn)尖點(diǎn) 0 x 2. ( )(1)(2)(3)(4) ( )0f xxxxxfx 不不用用求求的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，說(shuō)說(shuō)明明有有幾幾個(gè)個(gè)根根，并并指指出出它它們們所所在在的的區(qū)區(qū)間間. .0 (1)(2)(3)(4)ffff( )1,22,33,4Rollef x 在在閉閉區(qū)區(qū)間間上上滿(mǎn)滿(mǎn)足足定定理理123123( )(1,2)(2,3)(3,4)()= ()= ()=0f xfff即即在在三三個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)均均分分別別至至少少有有一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)，使使又又f(x)為三次多項(xiàng)式函數(shù)，至多有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，為三次多項(xiàng)式函數(shù)，至多有三

8、個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以所以 f(x)=0有三個(gè)根分別位于有三個(gè)根分別位于 內(nèi)。內(nèi)。(1,2)(2,3)(3,4)( )1xf xex( )0f( )1xfxe因因( )10fe 故故0 解解得得證明：假設(shè)方程還有一個(gè)根為證明：假設(shè)方程還有一個(gè)根為a0， 則對(duì)于函數(shù)則對(duì)于函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間0，a之間滿(mǎn)足之間滿(mǎn)足Rolle定理定理, , 故至少存在一點(diǎn)故至少存在一點(diǎn)介于介于0 0與與a之間，有之間，有這與這與介于介于0與與a之間之間矛盾，矛盾， 所以假設(shè)錯(cuò)誤原命題成立。所以假設(shè)錯(cuò)誤原命題成立。XT2.3 5. 證明方程證明方程 只有只有x=0一個(gè)根一個(gè)根. 1xex(0)( )0ff a有有x

9、yo0, 0 xy0 1xxex0, 0 xy0 1xxex拉格朗日中值定理證明拉格朗日中值定理證明 1xee x 1xeex 1 1xex0 xyex ，在在端端點(diǎn)點(diǎn) 和和 的的區(qū)區(qū)間間( )( )( )()f bf afba 第二章第二章 微分學(xué)微分學(xué)第一節(jié)第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)算導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)算第二節(jié)第二節(jié) 微分微分第三節(jié)第三節(jié) 中值定理中值定理 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用2.3.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1 函數(shù)單調(diào)性的判別法函數(shù)單調(diào)性的判別法一、單調(diào)性的判別法一、單調(diào)性的判別法二、單調(diào)區(qū)間的求法二、單調(diào)區(qū)間的求法一、單調(diào)性的判別法一、單調(diào)性的判別法xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)(

10、xf0)( xfabBA ( ) ( , ).yf xa b 定定理理 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)(1) ( , ) ( )0 ( )( , )a bfxf xa b 如如在在內(nèi)內(nèi)，則則在在上上嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)增增加加；(2)( , )( )0( )( , ).a bfxf xa b 如如在在內(nèi)內(nèi)，則則在在上上嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)減減少少證明證明:),(,21baxx 12,xx 設(shè)設(shè)應(yīng)用拉格朗日中值定理應(yīng)用拉格朗日中值定理, ,得得)()()()(212121xxxxfxfxf , 0)(),( xfba內(nèi)內(nèi)，若若在在, 0)( f則則).()(21xfxf .)(嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)增增加加在在

11、上a,bxfy , 0)( xf若若, 0)( f則則).()(21xfxf .,)(上上嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)減減少少在在baxfy 12( ),f xxx在在上上解：解： . 1 的的單單調(diào)調(diào)性性討討論論函函數(shù)數(shù) xeyx1 xey,)0 ,(內(nèi)內(nèi)在在 , 0 y.函函數(shù)數(shù)嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)減減少少,), 0(內(nèi)內(nèi)在在 , 0 y).,(:D. 函函數(shù)數(shù)嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)增增加加1xyo, 0 y由由, 0 x得得. )( ) 0)( ( 的駐點(diǎn)或穩(wěn)定點(diǎn)的駐點(diǎn)或穩(wěn)定點(diǎn)叫做函數(shù)叫做函數(shù)的實(shí)根的實(shí)根即方程即方程使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)定義定義xfxf . 3的的單單調(diào)調(diào)性性討討論論函函數(shù)數(shù)xy 22

12、3xy ,)0 ,(內(nèi)內(nèi)在在 , 0 y.函函數(shù)數(shù)嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)增增加加,), 0(內(nèi)內(nèi)在在 , 0 y).,(:D. 函函數(shù)數(shù)嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)增增加加, 0 y由由, 0 x得得解：解：上上嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù)在在),(: D注意注意: :區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零, ,不影響區(qū)間的單調(diào)性不影響區(qū)間的單調(diào)性. .10 ( ) ( , ).( ) ( , ) ( ) ( )( , )設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)如如果果在在內(nèi)內(nèi)，那那么么在在內(nèi)內(nèi)嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)增增加加. . . .yf xa ba bfxyf xa b xxysin 求函數(shù)求函數(shù)在在 內(nèi)的單調(diào)性?xún)?nèi)的

13、單調(diào)性. 0,2 xycos1 0,2( )0 xfx 且且僅僅在在點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)有有, 0 00: ( , )( )( ) ( )( , ).推推廣廣如如果果在在內(nèi)內(nèi)，且且僅僅有有限限個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)那那么么在在內(nèi)內(nèi)嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)增增加加a bfxfxyf xa b 解解 . )( 32的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間確定函數(shù)確定函數(shù)xxf ).,(:D32( ),3fxx . ,0導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)不不存存在在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0)( xf(0,) 在在上上嚴(yán)嚴(yán)格格增增加加；時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) x0, 0)( xf(,0) 在在上上嚴(yán)嚴(yán)格格減減少少；嚴(yán)格增區(qū)間為嚴(yán)格增區(qū)間為(,0).(0,).32xy 嚴(yán)格減區(qū)間為嚴(yán)

14、格減區(qū)間為3. (0)x 二、單調(diào)區(qū)間的求法二、單調(diào)區(qū)間的求法 1. .確定函數(shù)定義區(qū)間確定函數(shù)定義區(qū)間駐點(diǎn)，駐點(diǎn)， 不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn) 2. .找單調(diào)區(qū)間可能的分界點(diǎn)找單調(diào)區(qū)間可能的分界點(diǎn)求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)y 3. .由由各區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)各區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判斷來(lái)判斷函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的單調(diào)性xy y)0 ,( 00)2 , 0( 20), 2(_.2的的單單調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間確確定定xexy 解解定義域?yàn)槎x域?yàn)?.,(xxexxey 22xexx )2(得得令令0 y2, 021 xx嚴(yán)格減少區(qū)間為：嚴(yán)格減少區(qū)間為：(,0),(2,) ;嚴(yán)格增加區(qū)間為：嚴(yán)格增加區(qū)間為：(0,2).列表討論列表討論4P

15、157 LT1(2)xx xe . )1ln(1 , 0 成立成立試證試證時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxxx P157 LT2證明證明(1),1ln()( xxxf 設(shè)設(shè).1)(xxxf 則則( )(0,)( )0,f xfx 在在可可導(dǎo)導(dǎo)，且且(0,) 在在上上嚴(yán)嚴(yán)格格增增加加；, 0)0( f時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) 0 x, 0)1ln( xx即即 ln(1)xx 于于是是. )1ln(1 , 0 成立成立試證試證時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxxx ，0)0()( fxf11 P68ln(1).nn 提提示示：P157 LT2證明證明 (2),1)1ln()( xxxxg 設(shè)設(shè) .1)( 2xxxg 則則( )(0,)( )0,g

16、xgx 在在可可導(dǎo)導(dǎo)，且且, 0)0( g時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) 0 x)1ln(1 xxx 于于是是. )1ln(1 , 0 成成立立試試證證時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxxx ，0)0()( gxg01)1ln()( xxxxg即即綜上綜上(1)(2)命題不等式得證！命題不等式得證！P157 LT2(0,) 在在上上嚴(yán)嚴(yán)格格增增加加；單調(diào)區(qū)間的求法單調(diào)區(qū)間的求法 1. .確定函數(shù)定義區(qū)間確定函數(shù)定義區(qū)間駐點(diǎn)駐點(diǎn);不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn) 2. .找單調(diào)區(qū)間可能的分界點(diǎn)找單調(diào)區(qū)間可能的分界點(diǎn)求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)y 3. .由各區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性由各區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性作業(yè)：作業(yè)：XT2.3 18（2、5）

17、，）， 19 ( )( , )(11)yf xa b 設(shè)設(shè)在在內(nèi)內(nèi)具具有有階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)0( , )1:xa b 在在任任一一點(diǎn)點(diǎn)的的 階階泰泰勒勒展展開(kāi)開(kāi)式式為為20000)(! 2)()()()(xxfxxxfxfxf 一、曲線的凹凸與拐點(diǎn)的定義一、曲線的凹凸與拐點(diǎn)的定義二、曲線的凹凸與拐點(diǎn)的判定二、曲線的凹凸與拐點(diǎn)的判定2.3.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用2 曲線的凹凸與拐點(diǎn)曲線的凹凸與拐點(diǎn)一、曲線的凹凸與拐點(diǎn)的定義一、曲線的凹凸與拐點(diǎn)的定義問(wèn)題問(wèn)題: :如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向? ?xyoxyo1x2x)(xfy 任意弧段位于所張弦的下任意弧段位于所張弦的下( (上上)

18、)方方xyo)(xfy 1x2xABC上凹上凹上凸上凸把凹與凸的分界點(diǎn)把凹與凸的分界點(diǎn)稱(chēng)為曲線的拐點(diǎn)稱(chēng)為曲線的拐點(diǎn). .xyo)(xfy 1x2xxyo1x2x)(xfy 定義定義若曲線弧位于其每一點(diǎn)的切線上方若曲線弧位于其每一點(diǎn)的切線上方, ,則稱(chēng)該曲線是上凹的則稱(chēng)該曲線是上凹的若曲線弧位于其每一點(diǎn)的切線下方若曲線弧位于其每一點(diǎn)的切線下方, ,則稱(chēng)該曲線是上凸的則稱(chēng)該曲線是上凸的. .ABCxyo二、曲線二、曲線凹凸凹凸與拐點(diǎn)的判定與拐點(diǎn)的判定內(nèi)內(nèi)若若在在導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)具具有有二二階階在在上上連連續(xù)續(xù)在在如如果果),(,),(,)( bababaxf定理定理; ,)(, 0)()1( 上上的的

19、圖圖形形是是上上凹凹的的在在則則baxfxf . ,)(, 0)()2( 上上的的圖圖形形是是上上凸凸的的在在則則baxfxf 證明證明, 0之之間間與與介介于于xx 階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)具具有有在在因因?yàn)闉?1),()( baxf0( , )1:xa b 在在任任一一點(diǎn)點(diǎn)的的 階階泰泰勒勒展展開(kāi)開(kāi)式式為為，若若0)( xf)()()(:000 xxxfxfxf 有有，則則若若0)(0)( fxf)()()(:000 xxxfxfxf 則有則有 . ,)(上上的的圖圖形形是是上上凹凹的的在在所所以以，baxf . ,)(上上的的圖圖形形是是上上凸凸的的在在所所以以，baxf20000)(! 2)(

20、)()()(xxfxxxfxfxf ，則則0)( fxyo)(xfy ab0 xx二、曲線二、曲線凹凸凹凸與拐點(diǎn)的判定與拐點(diǎn)的判定內(nèi)內(nèi)若若在在導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)具具有有二二階階在在上上連連續(xù)續(xù)在在如如果果),(,),(,)( bababaxf定理定理; ,)(, 0)()1( 上上的的圖圖形形是是上上凹凹的的在在則則baxfxf . ,)(, 0)()2( 上上的的圖圖形形是是上上凸凸的的在在則則baxfxf xyo)(xfy 1x2xxyo1x2x)(xfy . 3的的凹凹凸凸性性判判斷斷曲曲線線xy 解解,32xy ,6xy ，時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 0 x, 0 y，時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 0 x, 0 y(0,) 曲曲

21、線線在在為為凹凹的的；注意到注意到, , . )0 , 0(是是曲曲線線的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)故故P168 LT3(,0). 曲曲線線在在 是是上上凸凸的的.)0 , 0(點(diǎn)點(diǎn)是是曲曲線線由由凸凸變變凹凹的的分分界界點(diǎn)點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn)的判定的判定二、曲線凹凸與二、曲線凹凸與拐點(diǎn)拐點(diǎn)的判定的判定定理定理, 0)( , )( 00 xfxxf且且的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)二二階階可可導(dǎo)導(dǎo)在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù). )(,( , )( )2(000不是拐點(diǎn)不是拐點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)不變號(hào)不變號(hào)兩近旁?xún)山詘fxxfx ；即即為為拐拐點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)變變號(hào)號(hào)兩兩近近旁旁 )(,( , )( )1(000 xfxxfx 解解),( :D,121223xxy

22、).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,( ),32()32, 0(032)(xf )(xf 00上凹上凹上凸上凸上凹上凹拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn))1 , 0()2711,32(),32,0 ,( 凹凹區(qū)區(qū)間間為為32, 0凸凸區(qū)區(qū)間間為為列表討論：列表討論：43341.yxx 求求曲曲線線的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)及及凹凹凸凸區(qū)區(qū)間間P169 LT5. 3的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)求求曲曲線線xy 解解: :, 0 x,3132 xy,9235 xy. , 0均均不不存存在在是是不不可可導(dǎo)導(dǎo)點(diǎn)點(diǎn)yyx , 0,), 0( y內(nèi)內(nèi)在在0,) . 曲曲線線在在上上是是上上凸凸的的. 0 )(處連續(xù)處

23、連續(xù)在在 xxf例例, 0,)0 ,( y內(nèi)內(nèi)在在(,0 . 曲曲線線在在上上是是上上凹凹的的. )0 , 0(3的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)是是曲曲線線點(diǎn)點(diǎn)xy 曲線拐點(diǎn)的充分條件曲線拐點(diǎn)的充分條件, 0)( , )( 00 xfxxf且且的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)二二階階可可導(dǎo)導(dǎo)在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù). )(,( , )( )2(000不是拐點(diǎn)不是拐點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)不變號(hào)不變號(hào)兩近旁?xún)山詘fxxfx . )()(,(,)(000的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)曲曲線線也也可可能能是是連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)不不存存在在若若xfyxfxxf 注意注意: :；即為拐點(diǎn)即為拐點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)變號(hào)變號(hào)兩近旁?xún)山?)(,( , )( )1(000 xfxxfx 一、曲線的凹、凸

24、、拐點(diǎn)的定義一、曲線的凹、凸、拐點(diǎn)的定義二、二、曲線的凹凸、曲線的凹凸、拐點(diǎn)拐點(diǎn)的判定的判定2.3.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用2 曲線的凹凸與拐點(diǎn)曲線的凹凸與拐點(diǎn)2.3.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1. 1. 函數(shù)單調(diào)性的判別法函數(shù)單調(diào)性的判別法2. 2. 曲線的凹凸與拐點(diǎn)曲線的凹凸與拐點(diǎn)3. 3. 函數(shù)的極值及其求法函數(shù)的極值及其求法 函數(shù)的極值及其求法函數(shù)的極值及其求法一、函數(shù)極值的定義一、函數(shù)極值的定義二、函數(shù)極值的求法二、函數(shù)極值的求法2.3.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3 一、函數(shù)極值的定義一、函數(shù)極值的定義x)1 ,( ), 2( )2 , 1(12)(xf )(xf 0032 166 6

25、( )29 123PLTf xxxx 似似2( )618 12fxxx 2 1 263 2xx )1()(fxf )2()(fxf 621xx .)()(,)()( ;)()(,)()( ),(,),()( 000000的的一一個(gè)個(gè)極極小小值值是是函函數(shù)數(shù)就就稱(chēng)稱(chēng)成成立立如如果果的的一一個(gè)個(gè)極極大大值值是是函函數(shù)數(shù)就就稱(chēng)稱(chēng)成成立立如如果果內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)定定義義xfxfxfxfxfxfxfxfxUxxUxf 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值, ,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)使函數(shù)取得極值的點(diǎn) x0 稱(chēng)為極值點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn). .oxyab)(xfy 1x2x4x5

26、x6xoxyoxy0 x0 x( (1) )極值點(diǎn)只能是區(qū)間內(nèi)部的點(diǎn)，區(qū)間端點(diǎn)不會(huì)是極值點(diǎn)只能是區(qū)間內(nèi)部的點(diǎn)，區(qū)間端點(diǎn)不會(huì)是. .( (2) )極值是局部概念，可有多個(gè)。極值是局部概念，可有多個(gè)。 極小值可能大于極大值。極小值可能大于極大值。2x4x5x6xoxy)(xfy 1x二、函數(shù)極值的求法二、函數(shù)極值的求法( ), .f x可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)的的極極值值點(diǎn)點(diǎn)必必定定是是它它的的駐駐點(diǎn)點(diǎn) 但但函函數(shù)數(shù)的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)卻卻不不一一定定是是極極值值點(diǎn)點(diǎn)例如例如, ,3xy , 00 xy0 x. 0)( )( )(3 000 xfxxxf處取得極值，則一定有處取得極值，則一定有處具有導(dǎo)數(shù)，且在處具

27、有導(dǎo)數(shù)，且在在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)設(shè)必要條件必要條件定理定理. 但但不不是是極極值值點(diǎn)點(diǎn)定理定理4(第一充分條件第一充分條件) P163. )( , 0)( ),( ; 0)( ),( )1(00000處處取取得得極極大大值值在在點(diǎn)點(diǎn)則則有有而而，有有如如果果xxfxfxxxxfxxx . )( , 0)( ),( ; 0)( ),( )2(00000處處取取得得極極小小值值在在點(diǎn)點(diǎn)則則有有而而，有有如如果果xxfxfxxxxfxxx . )( , )(),( ),( )3(00000處處無(wú)無(wú)極極值值在在點(diǎn)點(diǎn)則則相相同同的的符符號(hào)號(hào)及及如如果果xxfxfxxxxxx f( (x) )在在x0 0的去心的去心鄰域可導(dǎo)鄰域可導(dǎo), x0點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù),x)1 ,(), 2( )2 , 1(12)(xf )(xf 00312 92)(23 xx