2022年2022年北大附中高考數(shù)學專題復習導數(shù)與微分知識拓展2

1、精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載學科：數(shù)學教學內(nèi)容：導數(shù)與微分學問拓展（二）5什么為泰勒公式？怎樣求函數(shù)的泰勒公式？對于一些較復雜的函數(shù),為了便于爭論函數(shù)的性態(tài)和函數(shù)值的近似運算,我們往往期望用一些簡潔的函數(shù)來近似表達由于多項式表示的函數(shù)只要對自變量進行有限次加.減.乘三種運算, 便能求出它們的函數(shù)值,因此我們常常用多項式近似代替一般函數(shù),那一個函數(shù)具有什么條件才能用多項式函數(shù)近似代替呢？假如一個函數(shù)能用多項式近似代替,這個多項式的系數(shù)與這個函數(shù)有什么樣的關系呢？用多項式函數(shù)近似代替這個函數(shù)誤差又怎樣呢？2n第一爭論如p（x ）為一個n 次多項式精品學習資料精選學習資料 -

2、- - 歡迎下載p xa 0a1xa2 xa n x.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載將px按著xx0的冪表示,即令精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載p xb0b1 xx 02b2 xx0bn xnx 0.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載那么,b0.b1.b2.bn 與px有什么關系？精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載在上式中,令xx0,得b0p x 0 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載又p

3、 xb12b2 xx 023b3 xx 0nbn xn 1x0、精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載再令 xx 0 、 得b1px 0px 0.2n1.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載又px2b 23 2b3 xx 0n n1 b n xx 0、精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載再令 xx0 、得b2px0 2px0 2.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載p nxb0精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載n即：bkn.0p kx k.、 k0、1、

4、2、px、n.pxp nx精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載于為 : p xp x 00xx1.00xx22.00xxn . n.0精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載由此可知,將n 次多項式函數(shù)p（ x）按著xx 0的冪綻開,它的多項式的系數(shù)b k 由精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載p kx精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載多項式 p（x）所確定,即b0.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載kk.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載對于任意的函數(shù)（不必為多項式函數(shù)

5、）,只要函數(shù)f （x）在點x 0 存在直到n 階導數(shù),總精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2n能寫出一個相應的n 次多項式精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載tn xf x 0fx 0xx 1.fx 0xx 2.f nx0xn.x 0.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載00多項式 tnx 稱為 f（x ）在 x 0 的 n 次泰勒多項式 如用 n 次泰勒多項式近似代替f（ x ）,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載所產(chǎn)生的誤差怎樣表示呢？一般地,我們有：精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載如函

6、數(shù) f （ x）在含有點x 0 的某開區(qū)間（ a, b）內(nèi)有直到n 1 階導數(shù),就對任意的點x精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（ a, b）,有 f xf x 0fx 0xx 0fx 0x2xxx02.0f nxn0xx0n.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載f n 10xn1 .n 1 、 其中f n 1xn 1n1 .n 1 稱為拉格朗日余項,記作r n x ,即精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載r n xf n 1

7、xxn1 .0介于 x 0 與x 之間 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載上面的公式稱為泰勒（ taglor）公式, 也稱為具有高階導數(shù)的中值定理,在這里令n 1,f xf x 0fxx 0 、即為拉格朗日中值定理在上式中,如用泰勒多項式近似代替f （ x）,所產(chǎn)生的誤差為精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載| r n x | f n 1|0| xn1 .x|n 1介于 x 0與x 之間 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載特殊地,如f n 1x在（ a, b）上有界,設m>0、 對xa、 b,有 | f

8、n 1x|m 、 就誤精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載差可表示：精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載| rn x |m| x n1 .x| n 1 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載0從上面可以求出,要求f （ x ）的泰勒公式,只要求出泰勒多項式的系數(shù)b k ,而精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載f kxb k0k.、 因此只須求f（ x ）在x 0 的直到 n 階的導數(shù) f kx 0k0、1、 2、 n 即可精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎

9、下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例1將f xx 33x 22x4綻開為 x1的多項式 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載思路啟發(fā)x 1 可以寫成x（ 1）,故只需求出f （ x）有 1 點的各級導數(shù)即可精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載規(guī)范解法x 01、fxx 33x 22x4、f14;fx3x 26x2、f11;fx6x6、f10;fx6、f16.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載故得 f x41x10x1 232.6x1 3 .3.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載即fx4x1x1.精品學習資料精選學習資料

10、 - - - 歡迎下載在泰勒公式中,當x 00時,公式成為：精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載f xf 0f0 xf0 x 22.f n0nxn.f n 1xn1 .x n 1 、 01 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載這個公式稱為馬克勞林（maclaurin ）公式例 2將 f （x） ln（ 1 x）綻開為x 的冪式（即馬克勞林公式）思路啟發(fā)第一求出f （ x）在 0 點的各階導數(shù),然后代入公式即可規(guī)范解法當 x> 1 時, f （ x）為連續(xù)函數(shù),并有連續(xù)的各階導數(shù)：精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載f nxn1 .n11nn1、2、精品學習

11、資料精選學習資料 - - - 歡迎下載f n0又f 00、1x1 n 1 n1 . n1、2、.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載所以 ln 1xnx 2x 3x23x n 1x nn11nr n x 、精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載r n x1n1 101 .x n 1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例3求出函數(shù)f xex的馬克勞林公式.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載x規(guī)范解法已知fnxex 、f n01、精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2故有 ex1xx1.2.x nxn

12、1n.n1e、 01 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 4利用 ln（ 1 x ）綻開式的前五項運算ln1.2 之值精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載規(guī)范解法x6ln 1x1x2x3x23x4x 545r5 、精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載| r5 |取x610.2、6 、 0x .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載ln 1 2ln 10.20.21 0.2 221 0.2 331 0.2 441 0.2 55r5 、精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1| r5

13、|60.000641610.000011 00.2 、精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載故 ln1.20.20.020.002670.000400.000060.1823.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載6怎樣判別曲線的凹凸性及拐點？由導數(shù) fx的符號,可知函數(shù)f （ x）的單調(diào)性,但仍不能完全反映它的變化規(guī)律,如精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載函數(shù) yx 3 與 yx（圖 317）在（ 0,）都為單調(diào)增加的, 但增加的方式卻不同,yx 3精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載為向上彎曲的,而yx 為向下彎曲的因此,爭論函數(shù)圖像時,考察它們的彎曲

14、方向為很有必要的由圖 3 18（a）.圖 318（ b）我們可以直觀地看到,當動點p 沿著曲線滑動時,曲線上的切線隨著點p 而變化當每一點的切線位于曲線下方時,曲線為向上彎曲的,此時稱曲線為向下凹的；當每一點切線位于曲線的上方時,曲線為向下彎曲的,此時稱曲線為向上凸的精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載假如一條曲線y f （ x ）在區(qū)間（ a, b）上為向下凹或為向上凸的,我們就說曲線yf（x ）在（ a, b）上具有凸凹性,曲線向下凹與向上凸的分界點稱為曲線的拐點下面我們給出判定曲線的凸凹性的一個方法精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載設 f （ x ）

15、在 xx 0 的鄰域內(nèi)存在連續(xù)的一階導數(shù)和二階導數(shù),曲線y f （ x）在點精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載m x 0 、 f x 0的切線為 yf x 0fx 0xx 0.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載因而切線上橫坐標為x 的點的縱坐標為：精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載ybafx 0fx 0xx 0 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載曲線上橫坐標為x 的點的縱坐標為：12精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載f xbcf x 0fx 0xx 0f 2xx 0、精品學習資料精選學習

16、資料 - - - 歡迎下載2介于x0與x之間,故精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載ac1 f2xx 0.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載ac表示點 x 處曲線上的點與切線上的點之間的距離 如圖 3 19 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載(1) 當 fx 00 時, 就f ' ' x 在點x0 的充分小鄰域內(nèi)也大于0,因此 ac>o,于為 c 在精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載a 之上,換句話說,在m的充分小鄰域內(nèi),曲線弧落在切線之上,故曲線在m點鄰近為向下凹的精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載(2) 當 f

17、x 00、 就 fx在點x 0 的充分小鄰域內(nèi)也小于0,因此ac<0,即點c 在 a 之精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載下,換句話說, 在點 m的充分小鄰域內(nèi),曲線弧落在切線之下,故曲線在m點鄰近為向上凸的精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載(3) 當 fx 00 時, f可能為正數(shù)也可能為負數(shù)精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載如 x 由小于x0 變?yōu)榇笥趚 0 、 fx 不變號,就曲線在點m鄰近仍為向下凹的或向上凸精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載

18、的；如x 由小于x 0 變?yōu)榇笥趚 0 , fx 變號,就在點m 處曲線將從切線的一側穿過切線精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載進入另一側,即曲線在點m鄰近兩側,其中一側為向下凹的,就另一側為向上凸的此時,點 m為曲線向下凹與向上凸的分界點,即為拐點精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載從上面 3 中的可以看出,如x 0 為使得 fx 00 的點,就x 0 、 fx 0可能為拐點精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載依據(jù)以上的爭論,我們可以給出判別曲線yfx凸凹性的步驟：(1) 求出 y fx的定義域d精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載(

19、2) 求出 fx ,并求出方程fx0 的根x 1、x 2 等精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載(3) 用x1 、x 2 等點將 d分成如干個區(qū)域,在每個區(qū)間上判別fx的符號如fx0 ,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載就在此區(qū)間上的曲線為向下凹的；如fx0 ,就在此小區(qū)間上為向上凸的 此步驟通常列精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載表完成 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例1判定曲線yx3的凸凹性.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載規(guī)范解法定義

20、區(qū)域xr, y3x2、 y6x.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載令y6x0、得x0.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載當x 0時, y當x 0時, y6x0、曲線為向上凸的.6x0、曲線為向下凹的.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載當x0時,y0、 點0,0為曲線的拐點. 如圖320.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例2 爭論曲線y3x 44x31的凸凹性與拐點.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下

21、載規(guī)范解法定義域xr、精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載fx12x 312x 212x 2 x1 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載fx36x 224x36xx2.3精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載令fx0、 得x1220、 x 2.3精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載判定x10、 x 2鄰近f3x 的符號,列表如下：精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載x（, 0）00、 2322 、33精品學習

22、資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載fx00精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載f （x ）向下凹1向上凸11向下凹27精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載拐點（ 0, 1）211、327精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載由上表可知,曲線y3x 44x 31在（, 0）與2 、3為向下凹的,在0、 2為3精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載向上凸的,拐點為（0, 1）和2 、 11,如圖 321精品

23、學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載3277怎樣求曲線的漸近線？精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2我們知道雙曲線xa 22y1 的漸近線有兩條：x b2ay0 在作雙曲線的圖象時,假如b精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載能先把兩條漸近線作出來,再畫曲線的圖象,就較精確地畫出它的圖象因此假如一條曲線存在漸近線,先把它的漸近線求出來,對于精確描畫函數(shù)y f（ x）的圖象為特別必要的一般地,當曲線y f（ x ）上的動點p 沿著曲線y f（ x ）無限地運離原點時,如動點p到某肯定直線l 的距離無限地趨于0（如圖 322）,就稱直線l 的曲線 y f（ x）的漸近線下

24、面我們將分三種情形爭論曲線的漸近線（ 1）垂直漸近線如lim fx、 或lim fx、 就直線xx 0 為曲線 y f（ x）的垂直漸近線（垂直于xx 0xx 0精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載x 軸）例1求曲線 f x1x3x的垂直漸近線 .4精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載思路啟發(fā)求曲線的垂直線漸近線,第一找出訪分母為零的點x 0 ,然后檢查函數(shù)在這精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載些點兩側鄰近函數(shù)

25、的變化趨勢,如當無限接近該點時,函數(shù)趨于, 就 xx 0 即為垂直漸近精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載線規(guī)范解法x3x41x3x4x13x4limlim1、x3x3x41、精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載x3lim、x4lim、x4故直線 x 3 與 x 4 都為曲線的垂直漸近線（ 2）水平漸近線精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載如 limfxxb.limfxxb或lim fxb、x精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載就直線 y b 為曲線 y f （ x）的漸近線,稱為水平漸近線精品學習資料精選學

26、習資料 - - - 歡迎下載例2求曲 y1的水平漸近線 . x1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載思路啟發(fā)曲線 y f（ x ）為否存在水平漸近線,就為看當x （或x）時, f（ x）為否有有限極限b,如有有限極限b,就 y b 即為該曲線的水平漸近線否就,就不 存在水平漸近線精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載規(guī)范解法由于 lim10、xx1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載所以 y 0 為曲線的水平漸近線點評由以上的幾個例題可以看到,對于有理分式函數(shù)r（ x）來說,當分子的最高指數(shù)不超過分母的最高指數(shù)時,曲線y r（ x ）有水平漸近線,當分子的最高指數(shù)大

27、于分母的 最高指數(shù)時,曲線y r（x ）不存在水平漸近線精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例3求曲線 y5 x34x 33x27 x2x1 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載規(guī)范解法由于 limx5x 33x2532、4x7xx14精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載所以 y5 為曲線的水平漸近線.4精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載（ 3）斜漸近線如圖 3 22,設曲線 y f（ x ）的漸近線方程為y kx b,下面我們來確定常數(shù)k 和 b設曲線 y f（ x）上任意點p（ x ,

28、 f（ x）到直線y kx b 的距離為 |pm|,就由點到直線的距離公式有：精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載| pm | f xkx 1k 2b | .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載直線 y kx b 為曲線 y f （x ）的漸近線,當且僅當limxx| f xkxb | 1k 20; 當且僅當精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載limfxxxkxb0; 當且僅當limf xxxkxb 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載如 k 知道,就b 可由上式

29、求出,怎樣求k ？精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載x已知 lim1xx0、 從而由limxxf xkx x0得klimxxfx . x精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載于為,直線y kx b 為曲線 y f （x ）的漸近線當且僅當精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載klimxxfx 與 b xlimfxxxkx .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載因此,如上面兩個極限都存在,就曲線y f（ x ）有斜漸近線y kx b；如上面兩個極限至少有一個不存在,就曲線y f （ x）不存在斜漸近線精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例4求曲線

30、f xx324 x1的漸近線 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載思路啟發(fā)檢驗一條曲線y f（ x）為否存在斜漸近線,第一應檢驗limf xxxx為否為有精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載限數(shù)值,如為有限值k,就再檢驗limf xxxkx 為否為有限值b,如 b 為有限值,就曲線y精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載f （x ）存在斜漸近線y kx b精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載規(guī)范解法已知 limx3、 limx3、精品學習資料精選學習資料 - -

31、- 歡迎下載22x14 x1x14 x1所以, x 1 為曲線的垂直漸近線精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載又klimfxxxlimxx31 、24x x142精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載blimfxkxxlim5x9x4 x1limx5 .4x3x4 x14精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載于為直線 y1 x4 .45精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載即 x-4y-5=0 為曲線的斜漸近線例 5求曲線 y arctanx 的漸近線精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載規(guī)

32、范解法由于 limxarctan x、 lim2xarctan x. 2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載所以曲線有水漸近線y與 y.22精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例6求曲線 fx2x 2x x2的漸近線 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載規(guī)范解法lim2x 2x2、 lim2x 2x2.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載x0xx0x就 x 0（即 y 軸）為曲線的垂直漸近線精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載又klim fxxxlimx2x 2x22、x 2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載blim f xkxxl

33、imx2x 2x22xxx2lim1.xx精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載所以 y 2x 1 為曲線的斜漸近線8怎樣作函數(shù)的圖象？在中學數(shù)學中,我們利用描點法描畫了一些簡潔函數(shù)的圖象但為,描點法有缺陷,由于描點法中我們所選的點不行能許多,而一些關鍵性的點,如極值點.拐點等可能漏掉；而曲線的重要性態(tài)如單調(diào)性,凸凹性也沒有把握因此, 描點法所描畫的函數(shù)圖象往往與真實 的圖象相差甚遠現(xiàn)在, 我們已經(jīng)把握了借助于導數(shù)的符號,可以確定函數(shù)圖象在哪個區(qū)間上升, 在哪個區(qū)間下降,什么地方為極值點；借助于二階導數(shù)的符號,可以確定函數(shù)圖象在哪個區(qū)間向下凹,在那個區(qū)間向上凸,在什么地方為拐點而我們知道了函數(shù)圖象的升降.凸凹以及極值點和拐點后,由此也可以把握函數(shù)的性態(tài),并由此可以把函數(shù)的圖象畫得比較精確一般地,利用導數(shù)描點繪函數(shù)的圖象可依據(jù)以下的步驟來進行？（ 1）確定函數(shù)的定義域（ 2）觀看函數(shù)y f（ x）為否具有某些特性（如奇偶性.周期性）（ 3）求出函數(shù)y f（ x）的漸近線（假如有的話）精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（ 4）求出函數(shù)yfx 的一階導數(shù) fx 與二階導數(shù) fx .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（ 5）求出方程f