巧用平面法向量求空間角和空間距離

1、1 巧用平面法向量求空間角和空間距離平面法向量的定義為：如果a, 那么向量a 叫做平面的法向量 . 除此之外再也沒有涉及其他任何知識點，筆者發(fā)現(xiàn)巧用平面法向量處理空間角和空間距離等問題,可以化繁為簡 , 迎刃而解 . 現(xiàn)舉例說明 : 一、巧用平面法向量求斜線與平面所成的角方法指導 ： 如圖 1,pa 為平面的斜線 ,po 為平面的垂線，根據(jù)定義， 斜線 pa與平面所成的角pao,可以轉化為直線的方向向量pa與平面的法向量n 的夾角的余角或其補角的余角.即如果pa與n的夾角為銳角 ,則斜線 p a 與平面所成的角為2；如果pa與n的夾角為鈍角，則斜線pa 與平面所成的角為2. 故斜線pa與平面所

2、成角的的正弦值sin等于斜線的方向向量pa與平面的法向量 n 夾角余弦的絕對值，即sincos,panpa npan，arcsinpa npan. 金題示例1：如圖， 在直三棱柱abca1b1c1中，底面是等腰直角三角形，acb90，側棱 aa1 2，d、e 分別是 cc1與 a1b 的中點，點e 在平面 abd 上的射影是 abd 的重心g求 a1b 與平面 abd 所成角的大小 .命題意圖 ：主要考查線面關系和直棱柱等基礎知識，同時考查空間想像能力和推理運算能力知識依托 ：空間向量的坐標運算、平面法向量的應用及數(shù)量積公式解法過程： 如圖所示建立坐標系，坐標原點為o，設ca2a，則a(2a，

3、0，0)，b(0，2a，0)，d(0，0，1)，a1(2a，0，2)，e(a，a， 1)，)313232(，aag2()333aag e，)120(，abd032322abdge，解得a11(222)ba， ，2,2, 0ba，0,2,1bd圖1aopa1b1c1bcdaega1b1c1xbdyaegc(o)zk2 設平面 abd 的法向量,nx y z，則220,20.nbaxynbdyz于是取1,1,2n.11142cos,3236banbanban, 因為 a1b 與平面 abd 所成角的正弦值sin12cos,3ban，所以 a1b 與平面 abd 所成角是2arcsin3二、巧用平面

4、法向量求二面角方法指導 ：因為兩個半平面的法向量1n、2n的夾角等于二面角的平面角或者其補角. 注意結合圖形觀察二面角的平面角的大小從而決定它與兩個法向量夾角的關系：如果是銳角，則121212coscos,nnnnnn，1212arccosnnnn；如果是鈍角，則121212coscos,nnnnnn，1212arccosnnnn. 金題示例2：如圖，在五面體abcdef 中， fa平面 abcd, ad/bc/fe， abad， m為 ec 的中點， af=ab=bc=fe=12ad .求二面角acde 和 m acb 的大小 .命題意圖 ：考二面角等基礎知識，考查用空間向量解決立體幾何問題

5、的方法，考查空間想像能力、運算能力和推理論證能力 .知識依托 ：空間向量的坐標運算、平面法向量的應用解法過程： 如圖所示， 以點a為坐標原點， 分別以 ab、ad、af 為x、y、z 軸建立空間直角坐標系a xyz .設，1ab依題意得， 001b，011c， 020d，110e， 100f.21121m，1,1,0 ,dc0,1,1de可取平面abcd 的一個法向量0, 0,1naf,設平面 cde 的法向量,ux y z，則0,0.ud cud e于是0,0.xyyz令1x，可得1,1,1u，所以13cos,33 1unu nun，結合圖形可知二面角acde 為銳二面角，3 其大小與兩個法

6、向量的夾角相等為3arccos3. 設平面 cma 的法向量,vx y z ，則0,0.vacvam于是0,110.22xyxyz令2x，可得2,2, 2v，所以23cos,3231v nv nvn，結合圖形可知二面角mac b 為鈍二面角，其大小與兩個法向量的夾角互補，所以二面角mac b 的大小為3arccos3，即3arccos3. 三、巧用平面法向量求點到平面的距離方法指導 ：若點 p 為平面 外一點， 點 a 為平面 內任一點，平面的法向量為n，設點 p 在平面 內的射影為點o, 顯然，0n ao， popaao , nponpaaonpanaonpa，而nponpo，所以點p 到平

7、面 的距離為pandpon，即點 p 到平面 的距離為經過點p 的平面 的任意一個向量pa在平面的法向量n上的投影的絕對值.金題示例3：在金題示例1 中求點 a1到平面 aed 的距離解法過程： 由例 1 有 a(2，0， 0)，a1(2，0， 2)， e(1， 1，1)，d(0，0，1)(11 1)ae， ，,(110)ed，,設平面aed 的法向量,nx y z ，則0,0.naened于是0,0.xyzxy令1x，可得1,1,2n，又10, 0, 2a a，所以點 a1到平面 aed 的距離142636a andn.注: 求線面距 , 面面距 , 可先轉化為點面距, 再用此法求解.利用向量方法求解空間距離問題，可以回避此類問題中大量的作圖、證明等步驟，而轉化為向量間的計算問題p a