2008年碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)一試題及答案解析

1、2008 年 第 1 頁 2008 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)試題參考答案和評分參考數(shù)學(xué)試題參考答案和評分參考 數(shù)數(shù) 學(xué)（一）學(xué)（一）一選擇題一選擇題 ( 1 8 小題，每小題小題，每小題 4 分，共分，共 32 分分.) （1）設(shè)函數(shù)20( )ln(2)xf xt dt，則( )fx的零點個數(shù)為 （b） （a）0（b）1（c）2 （d）3（2）函數(shù)( , )arctanxf x yy在點（0，1）處的梯度等于（a） （a）i（b）i（c）j（d）j（3）在下列微分方程中，以123cos2sin2xycecxcx（123,c c c為任意常數(shù)）為通解的是 （

2、d） （a）044 yyyy. （b）044 yyyy（c）044 yyyy. （d）044 yyyy（4）設(shè)函數(shù)( )f x在(,) 內(nèi)單調(diào)有界，nx為數(shù)列，下列命題正確的是 （b） （a）若nx收斂，則 ()nf x收斂. (b) 若nx單調(diào)，則 ()nf x收斂. (c) 若 ()nf x收斂，則nx收斂. (d) 若 ()nf x單調(diào)，則nx收斂. （5） 設(shè) a 為 n 階非零矩陣， e 為 n 階單位矩陣， 若03a， 則 （c） （a）ea不可逆，ea不可逆. （b）ea不可逆，ea可逆. （c）ea可逆，ea可逆. （d）ea可逆，ea不可逆 （6）設(shè) a 為 3 階非零矩陣，

3、如果二次曲面方程( , , )1xx y z a yz 在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)方程 的圖形如圖，則 a 的正特征值個數(shù)為 （b） （a）0（b）1（c）2（d）3（7） 隨機變量x， y 獨立同分布， 且x 的分布函數(shù)為 f(x)， 則 z=maxx, y分布函數(shù)為 （a） （a）)(2xf； （b）)()(yfxf； （c）2)(1 1xf； （d）)(1)(1 yfxf（8） 隨機變量(0,1),(1,4)xnyn， 且相關(guān)系數(shù)1xy， 則 （d） （a）211p yx （b）211p yx（c）211p yx （d）211p yx天任啟航考研 h t t p :/w w w .z z q i

4、 h a n g .co m .cn2008 年 第 2 頁二、填空題： （二、填空題： （914 小題，每小題小題，每小題 4 分，共分，共 24 分分.） (9)微分方程0 xyy滿足條件(1)1y的解是yx/1(10) 曲線sin()ln()xyyxx在點（0，1）處的切線方程是1 xy.(11) 已知冪級數(shù)0(2)nnna x在0 x 處收斂， 在4x 處發(fā)散， 則冪級數(shù)0(3)nnna x的收斂域為5 , 1(12) 設(shè)曲面是224zxy的上側(cè)，則dxdyxxdzdxxydydz2=4(13) 設(shè) a 為 2 階矩陣，21,為線性無關(guān)的 2 維列向量，12120,2aaaaaa則 a

5、 的非零特征值為_1_(14) 設(shè)隨機變量 x 服從參數(shù)為 1 的泊松分布，則2exxp=e21三、解答題三、解答題 ( 15 23 小題，共小題，共 94 分分. ) (15)（本題滿分（本題滿分 9 分）分） 求極限40sinsin(sin )sinlimxxxxx解：解： 3040sinsinsinlimsinsinsinsinlimxxxxxxxxx 2 分 20203sincos1lim3cossincoscoslimxxxxxxxx6 分 613sinlim22210 xxx9 分 (16)（本題滿分（本題滿分 9 分）分） 計算曲線積分2sin22(1)lxdxxydy，其中 l

6、 是曲線sinyx上從點（0，0）到點( ,0)的一段. 解法解法 1：022cossin122sin122sindxxxxxydyxxdxldxxx022sin4分 0022c o s2c o s2x d xxxx6 分 22s in212s in222002x d xxx9 分 天任啟航考研 h t t p :/w w w .z z q i h a n g .co m .cn2008 年 第 3 頁 解法解法 2：取1l為x軸上從點0 ,到點0 , 0的一段，d是由l與1l圍成的區(qū)域11) 1(22sin) 1(22sin122sin222llllydyxxdxydyxxdxydyxxdx

7、2 分 02sin4xdxxydxdyd5 分 0020sin00)2cos1 (sin22cos214dxxxxdxxxxydydxx22sin212sin2220002xdxxxx 9 分 (17)（本題滿分（本題滿分 11 分）分） 已知曲線22220:35xyzcxyz，求 c 上距離xoy面最遠的點和最近的點. 解：解：點),(zyx到xoy面的距離為z，故求c上距離xoy面最遠點和最近點的坐標(biāo)，等價于求函數(shù)2zh 在條件02222zyx與53 zyx下的最大值點和最小值點. 3 分 令)53()2(),(2222zyxzyxzzyxl5 分 由530203420202222zyxz

8、yxzzlylxlzyx7 分 得yx ，從而53202222zxzx，解得555zyx或111zyx10 分 根據(jù)幾何意義， 曲線c上存在距離xoy面最遠的點和最近的點， 故所求點依次為)5 , 5, 5(和) 1 , 1 , 1 ( 11 分 (18)（本題滿分（本題滿分 10 分）分） 設(shè)( )f x是連續(xù)函數(shù)， (i) 利用定義證明函數(shù)xdttfxf0)()(可導(dǎo)，且( )( )f xf x； (ii) 當(dāng)( )f x是以 2 為周期的周期函數(shù)時，證明函數(shù)200)()(2)(dttfxdttfxgx也是以 2 為周期的周期函數(shù). 天任啟航考研 h t t p :/w w w .z z

9、q i h a n g .co m .cn2008 年 第 4 頁 (i) 證：證：對任意的x，由于( )f x是連續(xù)函數(shù)，所以xdttfxdttfdttfxxfxxfxxxxxxxxx)(lim)()(lim)()(lim000002分 )(lim)(lim00fxxfxx （其中介于x與xx之間） 由)()(lim0 xffx，可知函數(shù))(xf在x處可導(dǎo)，且)()(xfxf5 分 (ii) 證法證法 1：要證明)(xg以 2 為周期，即要證明對任意的x，都有)()2(xgxg，記)()2()(xgxgxh，則 2220000( )2( )(2)( )2( )( )xxh xf t dtxf

10、 t dtf t dtxf t dt0)()(2)()2(22020dttfxfdttfxf8分 又因為00)(2)(2)0()2()0(2020dttfdttfggh所以0)(xh，即)()2(xgxg10 分 證法證法 2：由于( )f x是以 2 為周期的連續(xù)函數(shù)，所以對任意的x，有 200020)()(2)()2()(2)()2(xxxdttfxdttfdttfxdttfxgxgxxxxdttfduufdttfdttfdttfdttf002002022)()2(2)()()()(28 分 0)()2(20 xdttftf即)(xg是以 2 為周期的周期函數(shù). 10 分 (19)（本題滿

11、分（本題滿分 11 分）分） 將函數(shù)21)(xxf，)0( x展開成余弦級數(shù)，并求級數(shù)121( 1)nnn的和.解：解：由于0220322)1 (2dxxa2 分 , 2 , 1,) 1(4cos)1 (21202nnnxdxxann5 分 所以nxnnxaaxfnnnncos) 1(431cos2)(121210， x0， 7 分 令0 x，有1212) 1(431)0(nnnf， 又1)0(f，所以12)1(2121nnn11 分 天任啟航考研 h t t p :/w w w .z z q i h a n g .co m .cn2008 年 第 5 頁 (20)（本題滿分（本題滿分 10

12、分）分） 設(shè),為 3 維列向量，矩陣,tta其中t，t為，的轉(zhuǎn)置. 證明：(i) 秩( )2r a ；(ii) 若, 線性相關(guān)，則秩( )2.r a 證：證：(i) ( )()ttr ar()()ttrr3分 2)()(rr 6分 (ii) 由于,線性相關(guān)，不妨設(shè)k，于是21)()1()()(2rkrrarttt10 分 (21)（本題滿分（本題滿分 12 分）分） 設(shè)n元線性方程bax ， 其中a 2222212121212n naaaaaaaaa,12nxxxx，100b (i) 證明行列式nana) 1( ； (ii) 當(dāng)a為何值時，該方程組有唯一解，并求1x； () 當(dāng)a為何值時，該方

13、程組有無窮多解，并求通解. (i) 證法(i) 證法 1：記nda2222212121212naaaaaaaaa當(dāng)1n時，ad21，結(jié)論成立，當(dāng)2n時，2223212aaaad，結(jié)論成立 2 分 假設(shè)結(jié)論對小于n的情況成立，將nd按第 1 行展開得 2122nnndada dnnnananaana) 1() 1(2221， 即nana)1( 6 分 天任啟航考研 h t t p :/w w w .z z q i h a n g .co m .cn2008 年 第 6 頁 證法證法 2：2222122222121321012211212212122nnaaaaaaaaaararaaaaaaaa

14、2 分 3222221301240123321212naaararaaaaaa4 分 nnnnanannannaaaarnnr) 1(101101340123012116 分 () 解：解：當(dāng)0a時，方程組系數(shù)行列式0nd，故方程組有唯一解. 由克萊姆法則，將nd第 1 列換成b，得行列式為 22112222111210212121212122nnnnaaaaaadnaaaaaaaaa所以，annddxnn) 1(11 9 分 天任啟航考研 h t t p :/w w w .z z q i h a n g .co m .cn2008 年 第 7 頁 () 解：解：當(dāng)0a時，方程組為 12101

15、101001000nnxxxx 此時方程組系數(shù)矩陣的秩和增廣矩陣的秩均為1n，所以方程組有無窮多解，其通解為0 1 001 000ttxk,其中k為任意常數(shù) 12 分 (22)（本題滿分（本題滿分 11 分）分） 設(shè)隨機變量 x 與 y 相互獨立，x 概率分布為1(1,0,1)3p xii，y 的概率密度為101( )0yyfy，其它記 yxz(i) 求102p zx； (ii) 求 z 的概率密度)(zfz. 解：解：(i) 021021xyxpxzp2121yp4 分 (ii)zyxpzzpzfz)(1,0,1,xzyxpxzyxpxzyxp1, 10,1, 1xzypxzypxzyp 1

16、1011xpzypxpzypxpzyp1131zypzypzyp) 1()() 1(31zfzfzfyyy7 分 13( )( )(1)( )(1)zzyyyfzf zfzfzfz9 分 其他, 021,31z11分 (23)（本題滿分（本題滿分 11 分）分） 設(shè)12,nx xx是總體為2( ,)n 的簡單隨機樣本，記niixnx11，212)(11niixxns，221snxt(i) 證明 t 是2的無偏估計量； (ii) 當(dāng)0,1時，求 dt.(i) 證：證：因2222221)(1)1(esnxdxeesnxesnxeet4 分天任啟航考研 h t t p :/w w w .z z q

17、i h a n g .co m .cn2008 年 第 8 頁 2222nn所以t是2的無偏估計量7 分 (ii) 解：解：當(dāng)0，1時，由于x與2s獨立 ，有 )1(22snxddt2221dsnxd9 分 22222) 1() 1(11)(1sndnnxndn) 1(21112) 1(2) 1(11212222nnnnnnnn 11分 天任啟航考研 h t t p :/w w w .z z q i h a n g .co m .cn2008 年 第 9 頁 數(shù)數(shù) 學(xué)（二）學(xué)（二）一選擇題一選擇題 ( 1 8 小題，每小題小題，每小題 4 分，共分，共 32 分分.) （1）設(shè)函數(shù)2( )(1

18、)(2)f xx xx，則( )fx的零點個數(shù)為（d） （a）0（b）1（c）2 （d）3（2）如圖，曲線段的方程為( )yf x，函數(shù)在區(qū)間0, a上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則定積分0( )axfx dx等于 （c） （a）曲邊梯形 abcd 面積. （b）梯形 abcd 面積. （c）曲邊三角形 acd 面積. （d）三角形 acd 面積. （3） 【 同數(shù)學(xué)一（3）題 】 （4） 判斷函數(shù)xxxxfsin1ln)(， 則)( xf有 （a） （a）1 個可去間斷點，1 個跳躍間斷點； （b）1 個跳躍間斷點，1 個無窮間斷點.（c）2 個跳躍間斷點；（d）2 個無窮間斷點 （5） 【 同數(shù)學(xué)一（4）

19、題 】 （6）設(shè)函數(shù)f連續(xù)，若dxdyyxyxfvufvud2222)(),(， 其中區(qū)域uvd為圖中陰影部分，則fu（a） （a）)(2uvf（b）)(2ufuv（c）)(uvf（d）)(ufuv（7） 【 同數(shù)學(xué)一（5）題 】 （8）設(shè)1221a，則在實數(shù)域上與 a 合同的矩陣為 （d） （a）2112（b）2112（c）2112（d）1221天任啟航考研 h t t p :/w w w .z z q i h a n g .co m .cn2008 年 第 10 頁 二、填空題： （二、填空題： （914 小題，每小題小題，每小題 4 分，共分，共 24 分分.） (9) 已知函數(shù)( )f

20、 x連續(xù)，且1)() 1()(cos1lim20 xfexxfxx，則)0(f2. (10) 微分方程0)(2xdydxexyx的通解是y)(xecx. (11) 【 同數(shù)學(xué)一（10）題 】(12) 曲線32)5(xxy的拐點坐標(biāo)為)6, 1(. (13) 已知xyyzx，則)2, 1(xz) 12(ln22.(14) 設(shè) 3 階矩陣 a 的特征值是, 3 , 2，若行列式482a，則1. 三、解答題三、解答題 ( 15 23 小題，共小題，共 94 分分. ) (15)（本題滿分（本題滿分 9 分）分） 【 同數(shù)學(xué)一（15）題 】 (16)（本題滿分（本題滿分 10 分）分） 設(shè) 函 數(shù))(

21、xyy 由 參 數(shù) 方 程20)1ln()(tduuytxx確 定 ， 其 中)(tx是 初 值 問 題0020txxtedtdx的解，求22dxyd. 解：解：由02xtedtdx得tdtdxex2，積分并由條件00tx，得21tex， 即)1ln(2tx 4 分 )1ln()1 (122)1ln(2222ttttttdtdxdtdydxdy7 分 1)1ln()1 (122)1ln(2)1ln()1 ()(22222222tttttttdtdxttdtddxdydxddxyd 10 分 天任啟航考研 h t t p :/w w w .z z q i h a n g .co m .cn200

22、8 年 第 11 頁 (17)（本題滿分（本題滿分 9 分）分） 計算 2120arcsin1xxdxx. 解：解：由于2211arcsinlimxxxx，故dxxxx10221arcsin是反常積分 令tx arcsin，有txsin，0,)2t1020202222sincoscossin1arcsintdtttdttttdxxxx 3 分202022sin4142sin16tdttt7 分 41162cos81162202t9 分 (18)（本題滿分（本題滿分 11 分）分） 計算ddxdyxy1 ,max，其中20 , 20),(yxyxd. 解：解：曲線1xy將區(qū)域d分成如圖所示的兩個

23、區(qū)域1d和2d3 分 211 ,maxddddxdyxydxdydxdyxy5 分 xxdydxdydxxydydx1022120210212218 分 2ln4192ln212ln41511 分 (19)（本題滿分（本題滿分 11 分）分） 設(shè))(xf是區(qū)間, 0上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)增加函數(shù)，且1)0(f，對任意的, 0t，直線txx , 0，曲線)(xfy 以及x軸圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周生成一旋轉(zhuǎn)體，若該旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面面積在數(shù)值上等于其體積的 2 倍，求函數(shù))(xf的表達式. 解：解：旋轉(zhuǎn)體的體積tdxxfv02)(，側(cè)面積tdxxfxfs02 )(1)(2， 由題設(shè)條件知ttdxxf

24、xfdxxf02;02)(1)()(4 分 上式兩端對t求導(dǎo)得：)(1)()(2 2tftftf， 即 21yy6 分 天任啟航考研 h t t p :/w w w .z z q i h a n g .co m .cn2008 年 第 12 頁 由分離變量法解得12)1ln(ctyy，即tceyy129 分 將1)0(y代入知1c，故teyy12，)(21tteey于是所求函數(shù)為)(21)(xxeexfy11分 (20)（本題滿分（本題滿分 11 分）分） (i) 證明積分中值定理： 若函數(shù))(xf在閉區(qū)間ba,上連續(xù)， 則至少存在一點ba,，使得)( )()(abfdxxfba； (ii)

25、若函數(shù))(x具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足) 1 ()2(，32)()2(dxx，則至少存在一點)3 , 1 (，使得( )0 證：證：(i) 設(shè)m與m是連續(xù)函數(shù))(xf在ba,上的最大值與最小值，即mxfm)(，bax,由積分性質(zhì)，有baabmdxxfabm)()()(，即mdxxfabmba)(12 分 由連續(xù)函數(shù)介值定理，至少存在一點ba,，使得badxxfabf)(1)(， 即)()(abfdxxfba 4 分 (ii) 由 (i) 知至少存在一點3 , 2，使)()23)()(32dxx 6 分 又由)()()2(32dxx知，32， 對)( x在2 , 1 和, 2上分別應(yīng)用拉格朗日 中值定

26、理，并注意到) 1 ()2(，)()2(，得 21 , 012) 1 ()2()( 11，32 , 02)2()()( 229 分 在,21上對導(dǎo)函數(shù)( )x應(yīng)用拉格朗日中值定理，有211221()( )( )0,( ,)(1,3) 11 分 (21)（本題滿分（本題滿分 11 分）分） 求函數(shù)222zyxu在約束條件22yxz和4zyx下的最大值與最小值. 解：解：作拉格朗日函數(shù)) 4()(),(22222zyxzyxzyxzyxf3 分 天任啟航考研 h t t p :/w w w .z z q i h a n g .co m .cn2008 年 第 13 頁 令0400202202222

27、zyxfzyxfzfyyfxxfzyx6 分 解方程組得)2 , 1 , 1 (),(111zyx，)8 , 2, 2(),(222zyx 9 分 故所求的最大值為 72，最小值為 6. 11 分 (22)（本題滿分（本題滿分 12 分）分） 【 同數(shù)學(xué)一（21）題 】 (23)（本題滿分（本題滿分 10 分）分） 設(shè) a 為 3 階矩陣，12, 為 a 的分別屬于特征值-1，1 的特征向量，向量3滿足323a， (i)(i) 證明123, 線性無關(guān)；（）（）令123 ,p ，求1p ap. 證明證明: (i) (i) 設(shè)存在數(shù)321,kkk，使得0332211kkk1用 a 左乘1 的兩邊，

28、并由11a，22a，得： 0)(3323211kkkk23 分 1 2 得：022311kk3因為21,是 a 的屬于不同特征值的特征向量，所以21,線性無關(guān)，從而031 kk代入1 得，022k，又由于02，所以02k，故123, 線性無關(guān). 7 分 （）（）由題設(shè)，可得),(),(321321aaaaap100110001100110001),(321p由(i)知，p為可逆矩陣，從而1001100011app 10 分 天任啟航考研 h t t p :/w w w .z z q i h a n g .co m .cn2008 年 第 14 頁 數(shù)數(shù) 學(xué)（三）學(xué)（三）一選擇題一選擇題 ( 1

29、 8 小題，每小題小題，每小題 4 分，共分，共 32 分分.) （1） 設(shè)函數(shù)( )f x在區(qū)間 1 , 1上連續(xù)， 則 x=0 是函數(shù)0( )( )xf t dtg xx的 （b） （a）跳躍間斷點. （b）可去間斷點. （c）無窮間斷點. （d）振蕩間斷點.（2） 【 同數(shù)學(xué)二（2）題 】 （3） 已知24( , )xyf x ye， 則 （b） （a）)0 , 0(xf ，)0 , 0(yf 都存在 （b）)0 , 0(xf 不存在，)0 , 0(yf 存在 （c）)0 , 0(xf 存在，)0 , 0(yf 不存在 （d）)0 , 0(xf )0 , 0(yf 都不存在 （4） 【

30、同數(shù)學(xué)二（6）題 】 （5） 【 同數(shù)學(xué)一（5）題 】 （6） 【 同數(shù)學(xué)二（8）題 】 （7） 【 同數(shù)學(xué)一（7）題 】 （8） 【 同數(shù)學(xué)一（8）題 】 二、填空題： （二、填空題： （914 小題，每小題小題，每小題 4 分，共分，共 24 分分.） (9)設(shè)函數(shù)21,( )2,xxcf xxcx在(,) 內(nèi)連續(xù)，則c1. (10) 函數(shù)3411xxfxxx，求積分222)(dxxf3ln21. (11) 設(shè)1),(22yxyxd，則ddxdyyx)(24/. (12) 【 同數(shù)學(xué)一（9）題 】(13) 設(shè) 3 階矩陣 a 的特征值是 1, 2, 2，e 為 3 階單位矩陣，則ea14=

31、 _3_ . (14) 【 同數(shù)學(xué)一（14）題 】 天任啟航考研 h t t p :/w w w .z z q i h a n g .co m .cn2008 年 第 15 頁 三、解答題三、解答題 ( 15 23 小題，共小題，共 94 分分. ) (15)（本題滿分（本題滿分 9 分）分） 計算201sinlimlnxxxx. 解：解：原式20lnsinlnlimxxxx=xxxxxxsin2sincoslim204 分 302sincoslimxxxxx206sinlimxxxx7 分 619 分 (16)（本題滿分（本題滿分 10 分）分） 設(shè)( , )zz x y是由方程22()xy

32、zxyz 所確定的函數(shù)，其中具有二階導(dǎo)數(shù)且1 ， (i) 求 dz； (ii) 記1( , )()zzu x yxyxy，求 ux. 解法解法 1：(i) 設(shè))(),(22zyxzyxzyxf則2xfx，2yfy，1zf 3 分 由公式xzfzxf ，yzfzyf ，得 21zxx，21zyy所以1(2)(2)1zzdzdxdyxdxydyxy7 分 (ii) 由于2( , )1u x y， 所以 2322(21)(1)(1)(1)uzxxx10 分 解法解法 2：(i) 對等式)(22zyxzyx兩端求微分,得22()xdxydydzdxdydz 5 分 解出 dz 得 2211xydzdx

33、dy7 分 (ii) 同解法 110 分 (17)（本題滿分（本題滿分 11 分）分） 【 同數(shù)學(xué)二（18）題 】 (18)（本題滿分（本題滿分 10 分）分） ( )f x是周期為 2 的連續(xù)函數(shù)， (i) 證明對任意實數(shù) t，有202)()(dxxfdxxftt； (ii) 證明xttdtdssftfxg02)()(2)(是周期為 2 的周期函數(shù). 天任啟航考研 h t t p :/w w w .z z q i h a n g .co m .cn2008 年 第 16 頁 證法證法 1：(i) 由積分的性質(zhì)知對任意的實數(shù) t， 022202)()()()(ttttdxxfdxxfdxxfd

34、xxf2 分 令2 xs，則有00022)()()2()(ttttdxxfdssfdssfdxxf所以2002002)()()()()(dxxfdxxfdxxfdxxfdxxftttt 5 分 (ii) 由 (i) 知對任意的t有202)()(dssfdssftt記adssf20)(，則axdttfxgx0)(2)(因為對任意的x，axdttfxadttfxgxgxx020)(2)2()(2)()2(adttfxx2)(228 分 02)(220adttf所以)(xg是周期為 2 的周期函數(shù). 10 分 證法證法 2：(i) 設(shè) 2)()(ttdxxftf，由于0)()2()(tftftf，

35、2 分 所以)(tf為常數(shù)，從而有)0()(ftf而20)()0(dxxff，所以20)()(dxxftf，即202)()(dxxfdxxftt 5 分 (ii) 由 (i) 知對任意的t有202)()(dssfdssftt記adssf20)(，則axdttfxgx0)(2)(，20)2()(2)2(xxadttfxg7 分 由于對任意x，( (2)2 (2)2 ( )g xf xaf xa，( ( )2 ( )g xf xa 所以( (2)( )0g xg x ，從而)()2(xgxg是常數(shù)， 即有0)0()2()()2(ggxgxg，所以)(xg是周期為 2 的周期函數(shù). 10 分 (19

36、)（本題滿分（本題滿分 10 分）分） 設(shè)銀行存款的年利率為05. 0r，并依年復(fù)利計算，某基金會希望通過存款 a 萬元實 現(xiàn)第一年提取 19 萬元，第二年提取 28 萬元，第 n 年提取)910(n萬元，并能按此規(guī) 律一直提取下去，問 a 至少應(yīng)為多少萬元？ 解：解：設(shè)na為用于第 n 年提取)910(n萬元的貼現(xiàn)值，則)910()1 (nrann天任啟航考研 h t t p :/w w w .z z q i h a n g .co m .cn2008 年 第 17 頁 故11)1 (910nnnnrnaa3 分 111)1 (9200)1 (9)1 (110nnnnnnrnrnr6 分 設(shè)

37、1)(nnnxxs，) 1 , 1(x因為21( )()()1(1)nnxxs xxxxxx，) 1 , 1(x9 分 所以42005. 1111srs（萬元） 故39804209200a（萬元） ，即至少應(yīng)存入 3980 萬元. 10 分 (20) ( 本題滿分本題滿分 12 分分 ) 【 同數(shù)學(xué)一（21）題 】(21) ( 本題滿分本題滿分 10 分分 ) 【 同數(shù)學(xué)二（23）題 】(22) ( 本題滿分本題滿分 11 分分 ) 【 同數(shù)學(xué)一（22）題 】(23) ( 本題滿分本題滿分 11 分分 ) 【 同數(shù)學(xué)一（23）題 】 天任啟航考研 h t t p :/w w w .z z q

38、i h a n g .co m .cn2008 年 第 18 頁 數(shù)數(shù) 學(xué)（四）學(xué)（四）一選擇題一選擇題 ( 1 8 小題，每小題小題，每小題 4 分，共分，共 32 分分.) （1） 設(shè)0ab， 則nnnnba1)(lim （b） （a）a. （b）1a. （c）b. （d）1b. （2） 【 同數(shù)學(xué)三（1）題 】 （3）設(shè)( )f x是連續(xù)的奇函數(shù)，( )g x是連續(xù)的偶函數(shù)，區(qū)域, 10),(xyxxyxd則以下結(jié)論正確的是 （a） （a）( ) ( )0.df y g x dxdy （b）( ) ( )0.df x g y dxdy （c） ( )( )0.df xg y dxdy（d） ( )( )0df yg x dxdy（4） 【 同數(shù)學(xué)二（2）題 】 （5） 【 同數(shù)學(xué)一（5）題 】 （6） 【 同數(shù)學(xué)二（8）題 】 （7） 【