2015年重慶市高考數(shù)學(xué)試卷(理科)答案與解析解析

1、2015年重慶市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1（5分）（2015重慶）已知集合a=1，2，3，b=2，3，則（）aa=bbab=cabdba考點(diǎn)：子集與真子集菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：集合分析：直接利用集合的運(yùn)算法則求解即可解答：解：集合a=1，2，3，b=2，3，可得ab，ab=2，3，ba，所以d正確故選：d點(diǎn)評：本題考查集合的基本運(yùn)算，基本知識的考查2（5分）（2015重慶）在等差數(shù)列an中，若a2=4，a4=2，則a6=（）a1b0c1d6考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：

2、等差數(shù)列與等比數(shù)列分析：直接利用等差中項(xiàng)求解即可解答：解：在等差數(shù)列an中，若a2=4，a4=2，則a4=（a2+a6）=2，解得a6=0故選：b點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，等差中項(xiàng)個(gè)數(shù)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力3（5分）（2015重慶）重慶市2013年各月的平均氣溫（）數(shù)據(jù)的莖葉圖如，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）a19b20c21.5d23考點(diǎn)：莖葉圖菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：概率與統(tǒng)計(jì)分析：根據(jù)中位數(shù)的定義進(jìn)行求解即可解答：解：樣本數(shù)據(jù)有12個(gè)，位于中間的兩個(gè)數(shù)為20，20，則中位數(shù)為，故選：b點(diǎn)評：本題主要考查莖葉圖的應(yīng)用，根據(jù)中位數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵比較基礎(chǔ)4（5分）（2015重慶）“x1”是“

3、（x+2）0”的（）a充要條件b充分而不必要條件c必要而不充分條件d既不充分也不必要條件考點(diǎn)：充要條件菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：簡易邏輯分析：解“（x+2）0”，求出其充要條件，再和x1比較，從而求出答案解答：解：由“（x+2）0”得：x+21，解得：x1，故“x1”是“（x+2）0”的充分不必要條件，故選：b點(diǎn)評：本題考察了充分必要條件，考察對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題5（5分）（2015重慶）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）abcd考點(diǎn)：由三視圖求面積、體積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：空間位置關(guān)系與距離分析：判斷三視圖對應(yīng)的幾何體的形狀，利用三視圖的數(shù)據(jù)，求解幾何體的體積即可解答：解：由

4、三視圖可知，幾何體是組合體，左側(cè)是三棱錐，底面是等腰三角形，腰長為，高為1，一個(gè)側(cè)面與底面垂直，并且垂直底面三角形的斜邊，右側(cè)是半圓柱，底面半徑為1，高為2，所求幾何體的體積為：=故選：a點(diǎn)評：本題考查三視圖與直觀圖的關(guān)系，組合體的體積的求法，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵6（5分）（2015重慶）若非零向量，滿足|=|，且（）（3+2），則與的夾角為（）abcd考點(diǎn)：數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：平面向量及應(yīng)用分析：根據(jù)向量垂直的等價(jià)條件以及向量數(shù)量積的應(yīng)用進(jìn)行求解即可解答：解：（）（3+2），（）（3+2）=0，即3222=0，即=3222=2，cos，=，即，=，故選：a點(diǎn)評

5、：本題主要考查向量夾角的求解，利用向量數(shù)量積的應(yīng)用以及向量垂直的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵7（5分）（2015重慶）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出k的值為8，則判斷框圖可填入的條件是（）asbscsds考點(diǎn)：循環(huán)結(jié)構(gòu)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：圖表型；算法和程序框圖分析：模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的k，s的值，當(dāng)s時(shí)，退出循環(huán)，輸出k的值為8，故判斷框圖可填入的條件是s解答：解：模擬執(zhí)行程序框圖，k的值依次為0，2，4，6，8，因此s=（此時(shí)k=6），因此可填：s故選：c點(diǎn)評：本題考查了當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，根據(jù)框圖的流程判斷程序運(yùn)行的s值是解題的關(guān)鍵8（5分）（2015重慶）已知直線l：

6、x+ay1=0（ar）是圓c：x2+y24x2y+1=0的對稱軸過點(diǎn)a（4，a）作圓c的一條切線，切點(diǎn)為b，則|ab|=（）a2bc6d考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：直線與圓分析：求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心和半徑，由直線l：x+ay1=0經(jīng)過圓c的圓心（2，1），求得a的值，可得點(diǎn)a的坐標(biāo)，再利用直線和圓相切的性質(zhì)求得|ab|的值解答：解：圓c：x2+y24x2y+1=0，即（x2）2+（y1）2 =4，表示以c（2，1）為圓心、半徑等于2的圓由題意可得，直線l：x+ay1=0經(jīng)過圓c的圓心（2，1），故有2+a1=0，a=1，點(diǎn)a（4，1）由于ac=2，cb=r=2，切線的長|a

7、b|=6，故選：c點(diǎn)評：本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓相切的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題9（5分）（2015重慶）若tan=2tan，則=（）a1b2c3d4考點(diǎn)：三角函數(shù)的積化和差公式；三角函數(shù)的化簡求值菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：三角函數(shù)的求值分析：直接利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡所求表達(dá)式，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式結(jié)合已知條件以及積化和差個(gè)數(shù)化簡求解即可解答：解：tan=2tan，則=3故答案為：3點(diǎn)評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，積化和差以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力10（5分）（2015重慶）設(shè)雙曲線=1（a0，b0）的右焦點(diǎn)為f，右頂點(diǎn)為a，過f作af的垂線與雙曲線交于b，c兩點(diǎn)，過b，c

8、分別作ac，ab的垂線，兩垂線交于點(diǎn)d若d到直線bc的距離小于a+，則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是（）a（1，0）（0，1）b（，1）（1，+）c（，0）（0，）d（，）（，+）考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計(jì)算題；創(chuàng)新題型；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：由雙曲線的對稱性知d在x軸上，設(shè)d（x，0），則由bdac得，求出cx，利用d到直線bc的距離小于a+，即可得出結(jié)論解答：解：由題意，a（a，0），b（c，），c（c，），由雙曲線的對稱性知d在x軸上，設(shè)d（x，0），則由bdac得，cx=，d到直線bc的距離小于a+，cx=a+，c2a2=b2，01，雙曲線的漸近線斜率的取

9、值范圍是（1，0）（0，1）故選：a點(diǎn)評：本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定d到直線bc的距離是關(guān)鍵二、填空題：本大題共3小題，考生作答5小題，每小題5分，共25分.把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.11（5分）（2015重慶）設(shè)復(fù)數(shù)a+bi（a，br）的模為，則（a+bi）（abi）=3考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算；復(fù)數(shù)求模菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)分析：將所求利用平方差公式展開得到a2+b2，恰好為已知復(fù)數(shù)的模的平方解答：解：因?yàn)閺?fù)數(shù)a+bi（a，br）的模為，所以a2+b2=3，則（a+bi）（abi）=a2+b2=3；故答案為：3點(diǎn)評：本題考查了復(fù)數(shù)的模以及復(fù)數(shù)的乘法

10、運(yùn)算；屬于基礎(chǔ)題12（5分）（2015重慶）的展開式中x8的系數(shù)是（用數(shù)字作答）考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：二項(xiàng)式定理分析：先求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再令x的冪指數(shù)等于8，求得r的值，即可求得展開式中的x8的系數(shù)解答：解：由于的展開式的通項(xiàng)公式為 tr+1=，令15=8，求得r=2，故開式中x8的系數(shù)是 =，故答案為：點(diǎn)評：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題13（5分）（2015重慶）在abc中，b=120°，ab=，a的角平分線ad=，則ac=考點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：解三角形分析：利用已知條件求出a，c，然后利用正弦定理求出

11、ac即可解答：解：由題意以及正弦定理可知：，即，adb=45°，a=180°120°45°，可得a=30°，則c=30°，三角形abc是等腰三角形，ac=2=故答案為：點(diǎn)評：本題考查正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，三角形的解法，考查計(jì)算能力三、考生注意：（14）、（15）、（16）三題為選做題，請從中任選兩題作答，若三題全做，則按前兩題給分14（5分）（2015重慶）如題圖，圓o的弦ab，cd相交于點(diǎn)e，過點(diǎn)a作圓o的切線與dc的延長線交于點(diǎn)p，若pa=6，ae=9，pc=3，ce：ed=2：1，則be=2考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段菁優(yōu)網(wǎng)版

12、權(quán)所有專題：選作題；推理和證明分析：利用切割線定理計(jì)算ce，利用相交弦定理求出be即可解答：解：設(shè)ce=2x，ed=x，則過點(diǎn)a作圓o的切線與dc的延長線交于點(diǎn)p，由切割線定理可得pa2=pcpd，即36=3×（3+3x），x=3，由相交弦定理可得9be=ceed，即9be=6×3，be=2故答案為：2點(diǎn)評：本題考查切割線定理、相交弦定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)15（5分）（2015重慶）已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線c的極坐標(biāo)方程為，則直線l與曲線c的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為（2，）考點(diǎn)：簡單曲線的極坐標(biāo)方程；直線的

13、參數(shù)方程菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程分析：求出直線以及曲線的直角坐標(biāo)方程，然后求解交點(diǎn)坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化我2極坐標(biāo)即可解答：解：直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），它的直角坐標(biāo)方程為：xy+2=0；曲線c的極坐標(biāo)方程為，可得它的直角坐標(biāo)方程為：x2y2=4，x0由，可得x=2，y=0，交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），它的極坐標(biāo)為（2，）故答案為：（2，）點(diǎn)評：本題考查曲線的極坐標(biāo)方程直線的參數(shù)方程與普通方程的互化，基本知識的考查16（2015重慶）若函數(shù)f（x）=|x+1|+2|xa|的最小值為5，則實(shí)數(shù)a=6或4考點(diǎn)：帶絕對值的函數(shù)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：創(chuàng)新題型；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：分類討論a與1的大小關(guān)

14、系，化簡函數(shù)f（x）的解析式，利用單調(diào)性求得f（x）的最小值，再根據(jù)f（x）的最小值等于5，求得a的值解答：解：函數(shù)f（x）=|x+1|+2|xa|，故當(dāng)a1時(shí)，f（x）=，根據(jù)它的最小值為f（a）=3a+2a1=5，求得a=6當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=3|x+1|，它的最小值為0，不滿足條件當(dāng)a1時(shí)，f（x）=，根據(jù)它的最小值為f（a）=a+1=5，求得a=4綜上可得，a=6 或a=4，故答案為：6或4點(diǎn)評：本題主要考查對由絕對值的函數(shù)，利用單調(diào)性求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題四、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17（13分）（2

15、015重慶）端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗，設(shè)一盤中裝有10個(gè)粽子，其中豆沙粽2個(gè)，肉粽3個(gè)，白粽5個(gè)，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個(gè)（）求三種粽子各取到1個(gè)的概率；（）設(shè)x表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù)，求x的分布列與數(shù)學(xué)期望考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差；古典概型及其概率計(jì)算公式菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：概率與統(tǒng)計(jì)分析：（）根據(jù)古典概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算即可；（）隨機(jī)變量x的取值為：0，1，2，別求出對應(yīng)的概率，即可求出分布列和期望解答：解：（）令a表示事件“三種粽子各取到1個(gè)”，則由古典概型的概率公式有p（a）=（）隨機(jī)變量x的取值為：0，1，2，則p（x=0）=，p（x=1）=，p（x=2

16、）=，x012pex=0×+1×+2×=個(gè)點(diǎn)評：本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望的計(jì)算，求出對應(yīng)的概率是解決本題的關(guān)鍵18（13分）（2015重慶）已知函數(shù)f（x）=sin（x）sinxx（）求f（x）的最小正周期和最大值；（）討論f（x）在上的單調(diào)性考點(diǎn)：二倍角的余弦；三角函數(shù)的周期性及其求法；復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)分析：（）由條件利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性和最值求得f（x）的最小正周期和最大值（）根據(jù)2x0，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，分類討論求得f（x）在上的單調(diào)性解答：解：（）函數(shù)f（x

17、）=sin（x）sinxx=cosxsinx（1+cos2x）=sin2xsin2x=sin（2x），故函數(shù)的周期為=，最大值為1（）當(dāng)x 時(shí)，2x0，故當(dāng)02x時(shí)，即x，時(shí)，f（x）為增函數(shù)；當(dāng)2x時(shí)，即x，時(shí)，f（x）為減函數(shù)點(diǎn)評：本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性和最值，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題19（13分）（2015重慶）如題圖，三棱錐pabc中，pc平面abc，pc=3，acb=d，e分別為線段ab，bc上的點(diǎn)，且cd=de=，ce=2eb=2（）證明：de平面pcd（）求二面角apdc的余弦值考點(diǎn)：二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：空間角分析

18、：（）由已知條件易得pcde，cdde，由線面垂直的判定定理可得；（）以c為原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)閤yz軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，易得，的坐標(biāo)，可求平面pad的法向量，平面pcd的法向量可取，由向量的夾角公式可得解答：（）證明：pc平面abc，de平面abc，pcde，ce=2，cd=de=，cde為等腰直角三角形，cdde，pccd=c，de垂直于平面pcd內(nèi)的兩條相交直線，de平面pcd（）由（）知cde為等腰直角三角形，dce=，過點(diǎn)d作df垂直ce于f，易知df=fc=fe=1，又由已知eb=1，故fb=2，由acb=得dfac，故ac=df=，以c為原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)閤yz軸

19、的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則c（0，0，0），p（0，0，3），a（，0，0），e（0，2，0），d（1，1，0），=（1，1，0），=（1，1，3），=（，1，0），設(shè)平面pad的法向量=（x，y，z），由，故可取=（2，1，1），由（）知de平面pcd，故平面pcd的法向量可取=（1，1，0），兩法向量夾角的余弦值cos，=二面角apdc的余弦值為點(diǎn)評：本題考查二面角，涉及直線與平面垂直的判定，建系化歸為平面法向量的夾角是解決問題的關(guān)鍵，屬難題20（12分）（2015重慶）設(shè)函數(shù)f（x）=（ar）（）若f（x）在x=0處取得極值，確定a的值，并求此時(shí)曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1）處的

20、切線方程；（）若f（x）在3，+）上為減函數(shù)，求a的取值范圍考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用分析：（i）f（x）=，由f（x）在x=0處取得極值，可得f（0）=0，解得a可得f（1），f（1），即可得出曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1）處的切線方程；（ii）解法一：由（i）可得：f（x）=，令g（x）=3x2+（6a）x+a，由g（x）=0，解得x1=，x2=對x分類討論：當(dāng)xx1時(shí)；當(dāng)x1xx2時(shí)；當(dāng)xx2時(shí)由f（x）在3，+）上為減函數(shù)，可知：x2=3，解得即可解法二：“分離參數(shù)法”：由f（x）在3，+）上為減函數(shù)，可得f（x）

21、0，可得a，在3，+）上恒成立令u（x）=，利用導(dǎo)數(shù)研究其最大值即可解答：解：（i）f（x）=，f（x）在x=0處取得極值，f（0）=0，解得a=0當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=，f（x）=，f（1）=，f（1）=，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1）處的切線方程為，化為：3xey=0；（ii）解法一：由（i）可得：f（x）=，令g（x）=3x2+（6a）x+a，由g（x）=0，解得x1=，x2=當(dāng)xx1時(shí)，g（x）0，即f（x）0，此時(shí)函數(shù)f（x）為減函數(shù)；當(dāng)x1xx2時(shí)，g（x）0，即f（x）0，此時(shí)函數(shù)f（x）為增函數(shù)；當(dāng)xx2時(shí)，g（x）0，即f（x）0，此時(shí)函數(shù)f（x）為減函數(shù)由f（x）在3，

22、+）上為減函數(shù)，可知：x2=3，解得a因此a的取值范圍為：解法二：由f（x）在3，+）上為減函數(shù)，f（x）0，可得a，在3，+）上恒成立令u（x）=，u（x）=0，u（x）在3，+）上單調(diào)遞減，au（3）=因此a的取值范圍為：點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值，考查了分類討論思想方法、“分離參數(shù)法”、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題21（12分）（2015重慶）如題圖，橢圓=1（ab0）的左、右焦點(diǎn)分別為f1，f2，過f2的直線交橢圓于p，q兩點(diǎn)，且pqpf1（）若|pf1|=2+|=2，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若|pf1|=|pq|，求橢圓

23、的離心率e考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：創(chuàng)新題型；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：（）由橢圓的定義，2a=|pf1|+|pf2|，求出a，再根據(jù)2c=|f1f2|=2，求出c，進(jìn)而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）由橢圓的定義和勾股定理，得|qf1|=|pf1|=4a|pf1|，解得|pf1|=2（2）a，從而|pf2|=2a|pf1|=2（1）a，再一次根據(jù)勾股定理可求出離心率解答：解：（）由橢圓的定義，2a=|pf1|+|pf2|=2+2=4，故a=2，設(shè)橢圓的半焦距為c，由已知pf2pf1，因此2c=|f1f2|=2，即c=，從而b=1，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）連接f1q，由橢圓的定義，