立體幾何平行與垂直經(jīng)典證明題（精編版）

1、1 / 6 新課標(biāo)立體幾何?？甲C明題匯總1、四邊形abcd是空間四邊形，,e f g h分別是邊,ab bc cd da的中點(diǎn)（1）求證： efgh 是平行四邊形（2）假設(shè) bd=2 3，ac=2 ， eg=2 。求異面直線ac 、bd所成的角和eg 、bd所成的角。證明：在abd中，,e h分別是,ab ad的中點(diǎn)1/,2ehbd ehbd同理，1/,2fgbd fgbd/,ehfg ehfg四邊形efgh是平行四邊形。(2) 90 30 考點(diǎn)：證平行利用三角形中位線，異面直線所成的角2、如圖，空間四邊形abcd中，,bcac adbd，e是ab的中點(diǎn)。求證：1ab平面 cde; 2平面cd

2、e平面abc。證明：1bcacceabaebe同理，adbddeabaebe又cedeeab平面cde2由 1有ab平面cde又ab平面abc，平面cde平面abc考點(diǎn)：線面垂直，面面垂直的判定a h g f e d c b a e d b c 2 / 6 3、如圖，在正方體1111abcdabc d中，e是1aa的中點(diǎn)，求證：1/ac平面bde。證明：連接ac交bd于o，連接eo，e為1aa的中點(diǎn)，o為ac的中點(diǎn)eo為三角形1a ac的中位線1/eoac又eo在平面bde，1ac在平面bde外1/ac平面bde?？键c(diǎn)：線面平行的判定4、abc中90acb,sa面abc,adsc, 求證：ad

3、面sbc證明：90acbbcac又sa面abcsabcbc面sacbcad又,scad scbccad面sbc考點(diǎn)：線面垂直的判定5、正方體1111abcdabc d，o是底abcd對(duì)角線的交點(diǎn) . 求證： ( )c1o面11abd； (2)1ac面11ab d證明：1連結(jié)11ac，設(shè)11111acb do，連結(jié)1ao1111abcdabc d是正方體11a acc是平行四邊形a1c1ac且11acac又1,o o分別是11,acac的中點(diǎn)，o1c1ao且11o cao11aoc o是平行四邊形111,c oao ao面11ab d，1co面11ab dc1o面11ab d21cc面1111a

4、 bc d11!ccb dae d1 cb1d c b a sdcbad1odbac1b1a1c3 / 6 又1111acb d，1111b dac c面111acb d即同理可證11acad，又1111d badd1ac面11ab d考點(diǎn)：線面平行的判定利用平行四邊形，線面垂直的判定.7 、正方體abcda1b1c1d1中 (1) 求證：平面a1bd平面b1d1c；(2) 假設(shè)e、f分別是aa1，cc1的中點(diǎn)，求證：平面eb1d1平面fbd證明： (1) 由b1bdd1，得四邊形bb1d1d是平行四邊形，b1d1bd，又bd 平面b1d1c，b1d1平面b1d1c，bd平面b1d1c同理a1

5、d平面b1d1c而a1dbdd，平面a1bd平面b1cd(2) 由bdb1d1，得bd平面eb1d1取bb1中點(diǎn)g，aeb1g從而得b1eag，同理gfadagdfb1edfdf平面eb1d1平面eb1d1平面fbd考點(diǎn)：線面平行的判定利用平行四邊形8、四面體abcd中，,acbd e f分別為,ad bc的中點(diǎn)， 且22efac，90bdc，求證：bd平面acd證明：取cd的中點(diǎn)g，連結(jié),eg fg，,e f分別為,ad bc的中點(diǎn)，eg12/ac12/fgbd，又,acbd12fgac，在efg中，222212egfgacefegfg，bdac，又90bdc，即bdcd，accdcbd平面

6、acd考點(diǎn)：線面垂直的判定, 三角形中位線，構(gòu)造直角三角形9、如圖p是abc所在平面外一點(diǎn)，,papb cb平面pab，m是pc的中點(diǎn)，n是ab上的點(diǎn)，3annb1求證：mnab； 2當(dāng)90apb，24abbc時(shí)，求mn的長(zhǎng)。證明：1取pa的中點(diǎn)q，連結(jié),mq nq，m是pb的中點(diǎn)，/mqbc，cb平面pab，mq平面pabqn是mn在平面pab的射影，取ab的中點(diǎn)d，連結(jié)pd，,papbpdab，又3annb，bnnd/qnpd，qnab，由三垂線定理得mnab 290apb，,papb122pdab，1qn，mq平面pab. mqnq，且112mqbc，2mn考點(diǎn)：三垂線定理a1 ab1

7、bc1 cd1 dgef4 / 6 10、如圖，在正方體1111abcdabc d中，e、f、g分別是ab、ad、11c d的中點(diǎn) . 求證：平面1d ef平面bdg. 證明：e、f分別是ab、ad的中點(diǎn)，efbd又ef平面bdg，bd平面bdgef平面bdg1dgeb四邊形1dgbe為平行四邊形，1d egb又1d e平面bdg，gb平面bdg1d e平面bdg1efd ee，平面1d ef平面bdg考點(diǎn)：線面平行的判定利用三角形中位線11、如圖，在正方體1111abcdabc d中，e是1aa的中點(diǎn) . 1求證：1/ac平面bde；2求證：平面1a ac平面bde. 證明：1設(shè)acbdo，

8、e、o分別是1aa、ac的中點(diǎn)，1aceo又1ac平面bde，eo平面bde，1ac平面bde21aa平面abcd，bd平面abcd，1aabd又bdac，1acaaa，bd平面1a ac，bd平面bde，平面bde平面1a ac考點(diǎn)：線面平行的判定利用三角形中位線，面面垂直的判定12、abcd是矩形，pa平面abcd，2ab，4paad，e為bc的中點(diǎn)1求證：de平面pae； 2求直線dp與平面pae所成的角證明：在ade中，222adaede，aedepa平面abcd，de平面abcd，pade又paaea，de平面pae2dpe為dp與平面pae所成的角在rt pad，4 2pd，在rt

9、 dce中，2 2de在rt dep中，2pdde，030dpe考點(diǎn)：線面垂直的判定, 構(gòu)造直角三角形13 、如圖， 在四棱錐pabcd中，底面abcd是060dab且邊長(zhǎng)為a的菱形， 側(cè)面pad是等邊三角形，且平面pad垂直于底面abcd1假設(shè)g為ad的中點(diǎn)，求證：bg平面pad；2求證：adpb；5 / 6 3求二面角abcp的大小證明：1abd為等邊三角形且g為ad的中點(diǎn)，bgad又平面pad平面abcd，bg平面pad2pad是等邊三角形且g為ad的中點(diǎn)，adpg且adbg，pgbgg，ad平面pbg，pb平面pbg，adpb3由adpb，adbc，bcpb又bgad，adbc，bgb

10、cpbg為二面角abcp的平面角在rt pbg中，pgbg，045pbg考點(diǎn)：線面垂直的判定, 構(gòu)造直角三角形, 面面垂直的性質(zhì)定理，二面角的求法定義法14、如圖 1, 在正方體1111abcdabc d中，m為1cc的中點(diǎn)，ac交bd于點(diǎn)o，求證：1ao平面mbd證明：連結(jié)mo，1am，db1a a，dbac，1a aaca，db平面11a acc，而1ao平面11a accdb1ao設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，那么22132aoa，2234moa在 rt11ac m中，22194a ma 22211aomoam， 1aoomomdb=o，1ao平面mbd考點(diǎn)：線面垂直的判定，運(yùn)用勾股定理尋求線線垂直

11、15、如圖，在三棱錐bcd中，bcac，adbd，作becd，為垂足，作ahbe于求證：ah平面bcd證明：取ab的中點(diǎn)，連結(jié)cf，dfacbc，cfabadbd，dfab又cfdff，ab平面cdfcd平面cdf，cdab又cdbe，beabb，cd平面abe，cdahahcd，ahbe，cdbee，ah平面bcd考點(diǎn)：線面垂直的判定16、證明：在正方體abcd a1b1c1d1中， a1c平面 bc1d 6 / 6 證明：連結(jié)ac bdac ac 為 a1c在平面 ac上的射影bd a ca c bca cbc d11111同理可證平面考點(diǎn)：線面垂直的判定，三垂線定理17、如圖，過(guò)s引三條長(zhǎng)度相等但不共面的線段sa、sb 、sc ，且 asb= asc=60 ， bsc=90 ，求證：平面abc 平面 bsc 證明 sb=sa=sc ， asb= asc=6