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![2006年考研數(shù)學(xué)二真題及答案(精編版)_第3頁](http://file2.renrendoc.com/fileroot_temp3/2021-12/1/c9fa0958-abf9-442b-8425-e4723d061400/c9fa0958-abf9-442b-8425-e4723d0614003.gif)
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文檔簡介
1、2006年考研數(shù)學(xué)二真題一、填空題( 16 小題,每小題4 分,共 24 分。)(1) 曲線 ?=?+4?5?-2?的?水平漸近線方程為 。1【答案】 ?= 5。?+4?1+4?1【解析】 ?5?-2?=? ?=? 5?5-2?1故曲線的水平漸近線方程為?= 5 。1綜上所述,本題正確答案是?= 5【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)函數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線1?2(2) 設(shè)函數(shù) ?(?) = ?3 01?, 0,在?= 0處連續(xù),則 ?= 。?, ?= 0【答案】 3 。1?2?2? 13 0【解析】 ?= ?0?=?=.2?03?31綜上所述,本題正確答案是3【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)函數(shù)、極限、連續(xù)
2、初等函數(shù)的連續(xù)性+(3) 反常積分 0? (1+?2 ) 2= ?!敬鸢浮俊窘馕觥?12 。?1?(1 + ?2 )11?2 2=?2 2 =?2 2 =?(-?2 )|0(1 + ?)? + 01(1 + ? )1? +210( 1 + ?)2 ? +1 + ?0=?(1? -2 ? +11 + ?2) = 2綜上所述,本題正確答案是2【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)反常積分?的通解為(4) 微分方程 ?= ?(1-?) 。【答案】 ?= ?-?, ?為任意常數(shù)。?【解析】1-?|?|? =? ? ? = ? -?+? ?即?= ?-?, ?為任意常數(shù)綜上所述,本題正確答案是?= ?-? ?!?/p>
3、考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)常微分方程一階線性微分方程(5) 設(shè)函數(shù) ?= ?(?由)【答案】 -?。方程 ?= 1 -?確定,則 ?|?=0= ?!窘馕觥康仁絻蛇厡?duì)?求導(dǎo)得 ?= -?-?將?= 0 代入方程 ?= 1 -?可得 ?= 1。?|?將?= 0, ?= 1 代入 ?= -?-?,得 ?=0= -?.綜上所述,本題正確答案是-??!究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法(6) 設(shè)矩陣 ?= 21 , ?為二階單位矩陣,矩陣?滿足 ?= ?+ 2?,則-12|?| = ?!敬鸢浮?2。【解析】?= ?+ 2? ?( ?-?) = 2? | ?(?-?)
4、| = | ?|? |?| ?-?| = 22 = 4因?yàn)?|?-?| = | 11 | = 2 ,所以 |?| = 2。-11綜上所述,本題正確答案是2 ?!究键c(diǎn)】線性代數(shù)行列式行列式的概念和基本性質(zhì),行列式按行(列)展開定理二、填空題( 714 小題,每小題4 分,共 32 分,下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的。)(7) 設(shè)函數(shù) ?= ?(?具)有二階導(dǎo)數(shù),且?(?) > 0, ?(?) >0, ? ?為自變量 ?在點(diǎn) ?0處的增量, ? ?與?分? 別為 ?(?在) 點(diǎn) ?0?處對(duì)應(yīng)的增量與微分,若? ?> 0 ,則(a)0 < ?<?
5、 ?(b)0 <? ?< ?(c)? ?< ?<?【答案】 a?!窘馕觥?(c)?<? ?< 0【方法一】由函數(shù)?= ?(?單) 調(diào)上升且凹,根據(jù)?和?的?幾何意義,得如下所示的圖由圖可得 0 < ?<? ?【方法二】由凹曲線的性質(zhì),得?( ?0+? ?) > ?( ?0 ) + ?( ?0 ) ?,?( ?0) ?> 0, ?> 0 ,即 0 < ?<? ?綜上所述,本題正確答案是a。? 0,于是 ?( ?0+? ?) -?( ?0?) >【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)導(dǎo)數(shù)和微分的概念,導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意
6、義?(8) 設(shè)?(?是) 奇函數(shù),除?= 0 外處處連續(xù), ?= 0 是其第一類間斷點(diǎn),則0(a) 連續(xù)的奇函數(shù)(b)連續(xù)的偶函數(shù)(c)在?= 0 間斷的奇函數(shù)(d)在?= 0 間斷的偶函數(shù)【答案】 b。?(?)?是?【解析】顯然?(?在) 任何有限區(qū)間?,?上都可積,于是?( ?) = 0 ?(?)?連?續(xù)?,又因?(?是) 奇函數(shù),則?( ?) = 0 ?(?)?是?偶? 函數(shù)。綜上所述,本題正確答案是b?!究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)函數(shù)、極限、連續(xù)函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)(9) 設(shè)函數(shù) ?(?可)微, ?(?) = ?1+?(?) , ?(1
7、) = 1, ?(1 ) = 2 ,則 g(1) 等于(a)?-3 1(b)-?3-1(c)-?2-1(d)?-2 1【答案】 c?!窘馕觥?? ( ?) = ?1+?(?)?(?).由?(1 ) = 1, g ( 1 ) = 2 ,?(1)1得g( 1) = ?g?(1) -1 = ?2?-1 = -?2-1綜上所述,本題正確答案是c?!究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法(10) 函數(shù) ?= ?1 ?+ ?2?-?2? + ?滿足的一個(gè)微分方程是(a)?-?-2?= 3?(b)?-?-2?= 3?(c)?+ ?-2?= 3?(d)?+ ?-2
8、?= 3?【答案】 d?!窘馕觥恳?yàn)?= ?1?+ ?2 ?-2? + ?是二階常系數(shù)非齊次線性方程的解,故?=?1?+ ?2?-2? 是對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解,? = ?是非齊次方程的特解,因此?= 1, ?= -2 是齊次方程特征方程的根,齊次方程應(yīng)為?+ ?-2?= 0,這樣可排除a 和 b,又因?yàn)??= 1 是特征方程的單根,因此非齊次項(xiàng)為?( ?) = ?,因此答案為d。綜上所述,本題正確答案是d?!究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)常微分方程線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理,簡單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,二階常系數(shù)齊次線性微分方程?0(11) 設(shè)?(?,?)為連續(xù)函數(shù),則41?0?(?,?等?)
9、?于?2(a)0 22 1-?2? 1-?2?(?,?)?2(b) 022 1-?2?0 1-?2?(?,?)?(c)2?(?,?)?(d)2 ?(?,?)?0?00【答案】 c。2 1-?20?【解析】如圖所示,顯然是y型域,則原式= 2 ?(?,?)?綜上所述,本題正確答案是c【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)微積分學(xué)二重積分的概念、基本性質(zhì)和計(jì)算?(12) 設(shè)?(?,?)與?(?,?)均為可微函數(shù),且?(?,?) 0 。已知 (?0 , ?0 )是?(?,?)在約束條件?( ?, ?) = 0下的一個(gè)極值點(diǎn),下列選項(xiàng)正確的是(a)若?( ?, ?) = 0,則 ?( ?, ?) = 0?00?00
10、(b)若?( ?, ?) = 0,則 ?( ?, ?) 0?00?00?00?00(c)若?( ?, ?) 0 ,則 ?( ?, ?) = 0(d)若?( ?, ?) 0 ,則 ?( ?, ?) 0?00?00【答案】 d?!窘馕觥勘绢}主要考查了二元函數(shù)極值的必要條件和拉格朗日乘數(shù)法。作拉格朗日函數(shù)?( ?, ?, ?) = ?( ?, ?) + ?(?, ?), 并記對(duì)應(yīng) ?0 , ?0 的參數(shù) ?的?( ?, ?, ?) = 0值為 ?0?, 則 ?000, 即?( ?, ?, ?) = 0?000?( ?, ?) +? ?( ?, ?) = 0?000?00, 消去 ?得:?( ?,?)
11、 + ?(?, ?) = 00?000?00?( ?, ?)?( ?, ?) -?( ?, ?)?(?, ?) = 0, 整理得:?00?00?00?00?( ?, ?) =1?( ?, ?) ?(?, ?) ( 因?yàn)??( ?, ?) 0) ,?00?( ?,?)?00?00? 00?00?00若?( ?, ?) 0, 則?( ?, ?) 0 。綜上所述,本題正確答案是d【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)微積分學(xué)二元函數(shù)的極限(13) 設(shè)?1 , ?2 ,?, ?均? 為 ?維列向量, ?是?×?矩陣,下列選項(xiàng)正確的是(a)若?1, ?2, ?, ?線性相關(guān),則 ?1?, ?2?, ?, ?
12、線性相關(guān)(b)若?1, ?2,?, ?線性相關(guān),則 ?1?, ?2?, ?, ?線性無關(guān)(c)若?1, ?2, ?, ?線性無關(guān),則 ?1?, ?2?, ?, ?線性相關(guān)(d)若?1, ?2, ?, ?線性無關(guān),則 ?1?, ?2?, ?, ?線性無關(guān)【答案】 a?!窘馕觥俊痉椒ㄒ弧恳?yàn)?1 , ?2 ,?, ?線?2 ?2 +? +?= 0性相關(guān),故存在不全為零的數(shù)?1 , ?2, ?, ?使得 ?1?1 +從而有 ?(?1?1 + ?2?2 +? +? ?)? = ?0= 0即?1?1?+?2 ?2?+? +?= 0, 由于 ?1, ?2,?, ?不全為 0 而是上式成立,說明?1?, ?
13、2?, ?, ?線性相關(guān)?!痉椒ǘ坷弥葋砬蠼?,利用分塊矩陣有( ?1?, ?2?, ?, ?) =?(?1?, ?2 ,? ,?)那么 ?(?1?, ?2?, ?, ?)? ?(?1?, ?2 ,? ,?)因?yàn)??1, ?2 ,? ,?線性相關(guān),有?(?1 , ?2 ,?, ?)? < s從而 ?(?1?, ?2?, ?, ?)?< ? 故,?1?, ?2?, ?, ?線性相關(guān)。綜上所述,本題正確答案是a【考點(diǎn)】線性代數(shù)向量向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)、向量組的秩(14) 設(shè)?為三階矩陣,將?的第 2 行加到第1 行的 ?,再將 ?的第 1 列的 -1 倍加到第2 列得110?,
14、記 ?= 010 ,則001(a)?= ?-1 ?(b)?= ?-1?(c)?= ?t ?(d)?= ?t?【答案】 b?!窘馕觥堪匆阎獥l件,用初等矩陣描述有1101- 10?= 010 ?,?=? 010 0010011101- 10所以 ?= 010 ? 010 = ?-?。001001綜上所述,本題正確答案是b【考點(diǎn)】線性代數(shù)矩陣矩陣的線性運(yùn)算三、解答題( 1523 小題,共94 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。)(15) (本題滿分10 分)試確定常數(shù) ?,?,?的值,使得 ?( 1 + ?+? 0時(shí)比 ?3 高階的無窮小量。?2?) = 1 + ?+?(?3?) ,其中
15、?(?3?)是當(dāng) ?2?33【解析】由泰勒公式知:? = 1 +2 +3 + ?( ?)?(2)?2?3(3) (2 )則?1 + ?+?= (1 +2 +3 + ? )1 + ?+?121133= 1 + ( ?+ 1) ?+ ( 2 + ?+ ?)? + ( 6 + 2 ?+ ?)? + ?( ?),比較等式兩端同次冪的系數(shù)得= 1 + ?+?( ?3 )?+ 1 = ?12 + ?+ ?= 0, 解得 ?=13 , ?= -213 , ?= 6 。116 + 2 ?+ ?= 0【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)函數(shù)、極限、連續(xù)泰勒公式(16) (本題滿分10 分)?求?.?【解析】本題用到了幾個(gè)常用的積分
16、公式?= ?=?,【方法一】令?=?則,?1?=? ?=?= -?+?=?-?-? ?|?+?|?+?1 1-?2?= -?-?| ?-?| + ?。?-?【方法二】 ?=?-?1令1-?2? = ?則,?=?= -?1-?2?+ 1-?2?1?11-? 1-?2?=?2?-1=2 ?|1?+?| + ?,?1?1- 1-?2?則?=? -?+2 ?2? + ?1+ 1-?【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)不定積分的計(jì)算(17) (本題滿分10 分)?1+?2 +?2設(shè)區(qū)域 ?= (?,?|)?2 + ?2 1, ? 0 ,計(jì)算二重積分?= ?1+?.?【解析】本題需要用到二重積分的對(duì)稱性,又因?yàn)?/p>
17、積分區(qū)域?yàn)閳A域的一部分,所以化為極坐標(biāo)下的累次積分來求解。積分區(qū)域 ?如圖所示,因?yàn)閰^(qū)域?關(guān)于 ?軸對(duì)稱,函數(shù) ?(?, ?) =11+?2 +?2是變量 ?的偶函?1數(shù),函數(shù) ?( ?, ?) =1+?2 +?2 是變量 ?的奇函數(shù),則 ? ?1+?2 +?2 ?=?12 ?2?12 ?=?2 2 ?2?1 1+? +?00 ?+1?2=2? ?1+?2 +?2 ?=?0,1+?1?2故? ?1+?2 +?2 ?=? ? ?1+?2 +?2 ?+? ?1+?2 +?2 ?=? 2。?10?2 +?2 = 11?【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)不定積分的計(jì)算(18) (本題滿分12 分)設(shè)數(shù)列
18、?滿足 0 < ?1? < ?,?+1 = ?(?=1,2, ?) .(i)證明 ?存在,并求該極限;?(?(ii)計(jì)算?+1)1?2?.?【解析】本題數(shù)列是由遞推關(guān)系給出的,通常用單調(diào)有界準(zhǔn)則證明極限存在,并求出極限,第二問轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極限來求解。(i)用歸納法證明 ?單調(diào)減且有下界,由于?<?, ?( 0, ?) ,則由 0 < ?1 < ?知, 0 < ?2? = ?1?<?1? < 設(shè),0 <? < ?,則0 < ?+1 = ?<?< 所. 以 ?單調(diào)減且有下界,故極限?存在,記 ?=?, 由?+1 = ?知
19、?=?所?以?, ?= 0, 即 ? = 0 。?11?1?+1?2?2?2?(ii)由于 ?(?)=?(?), 所以,考慮函數(shù)極限?( ?)?= ?2,?0 ?0 ?ln?(1+?-?)?-?又?= ?= ?0 ?2?0?2?0?21 2?-1- 2 ?1= ? 2= ?2 = -,?0 3?03?61?1?- 1?+1 ?2- 1則?(?)?2 =? 6 , 故 ?(?)? = ? 6 。?0 ?【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)函數(shù)、極限、連續(xù)極限的四則運(yùn)算、單調(diào)有界準(zhǔn)則(19) (本題滿分10 分) 證明:當(dāng)0 < ?< ?< ?時(shí), ?+?2?+?>? ?+?2?+?.?【解析
20、】本題可構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性來證明。設(shè)?( ?) = ?+?2?+?0, ?則?( ?) = ?+?-?2?+?= ?-?+?(?) = ?-?-?=?-?<?0?,?(0, ?)則?( ?)在 0, ?上單調(diào)減,從而有?( ?) > ?( ?) = 0 ?(0, ?)因此, ?( ?) 在0, ?上單調(diào)增,當(dāng)0 < a < b < 時(shí), ?(?) > ?(?)即?+?2?+?>? ?+?2?+?。?【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)函數(shù)、極限、連續(xù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)(20) (本題滿分12 分)設(shè)函數(shù) ?(?在)(0, +)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),且?= ?( 2?+?
21、2) 滿足等式?2 ?2 +?2?2 = 0(i)( )?(?)驗(yàn)證 ? +?= 0;(ii)若?( 1) = 0, ?( 1 ) = 1 ,求函數(shù) ?(?的)表達(dá)式。【解析】本題主要考查復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求解。設(shè)?= ?2?+ ?2 , 則?(),()= ? ?22=? ?22? ?+? ?+? ?2?+?2-?2?2 ?2 +?2?2? = ? (?)? ?2?+?2 ? ?2?+?2 + ?( ?)?2 +?2,?2?2= ? ( ?) ? ?2 +?2 + ?( ?) ?22 3 ,?2 ?2(? +? ) 2?2?2? ?2 ?2 ?2 ?2?= ? ( ?) ? ?2 +?2 + ?
22、( ?) ?22 3 ,將?2 , ?2代入 ?2 +?2 = 0 得?(?) + ?( ?)?= 0 。(? +? )2(ii)令?( ?) = ?,則?+ ?= 0 ? ?兩邊積分得:? = -? ,?1?1?=?-?+? ?,?即? ?=, 即?( ?) =1?由?( 1 ) = 1可得? = 1. 所以有1 兩邊積分得1?( ?) =,?( ?) = ?+?2?,由?( 1) = 0 可得?2 = 0, 故?( ?) = ?。?【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)微積分學(xué)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)(21) (本題滿分12 分)?= ?2? + 1,已知曲線 ?的方程為 ?= 4?-?2?( ? 0 ) .(
23、i) 討論 ?的? 凹凸性;(ii) 過點(diǎn) (-1,0)引 ?的切線,求切點(diǎn)(?0 ,?0) ,并寫出切線的方程;(iii) 求此切線與 ?(?對(duì)應(yīng)于 ? ?0 的部分 )及?軸所圍成的平面圖形的面積。【解析】確定凹凸性,也就是確定二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù),要求切線方程,先求斜率。(i) 因?yàn)?=?(?)?(?)=4-2?2=-12?2 ?所以?2? =? 2?(-1) ?=(-2?2) ?11? ?( ) = -3?2 ?當(dāng)?> 0時(shí), ?2? < 0, 故?是凸的。(ii) 當(dāng)?= 0 時(shí),?( 0) = 0, ?( 0) = 4, ?( 0 ) = 1, ?( 0) = 0 ,?|?=
24、0 = ,則?= 0時(shí), ?在? 對(duì)應(yīng)點(diǎn)處切線方程為?= 1, 不合題意,故設(shè)切點(diǎn)(?0,?0 )對(duì)應(yīng)的參數(shù)為 ?0? > 0, 則?在(?0, ?0?) 的切線方程為:?-( 4? -?2) = ( 2 -1)(? -?2 -1)00?0?0令?= -1,?= 0, 得?0?2 + ?0?-2 = 0, 解得 ?0? = 1 或?0?= -2(舍去 ),由?0?=1知,切點(diǎn)為 ( 2,3 ), 切線方程為 ?= ?+ 1(iii) 令?= 4?-?2?, 得?1?= 0, ?2? = 4, 對(duì)應(yīng)曲線 l與x軸的兩個(gè)交點(diǎn) (1,0) 和(17,0 ) , 由以上討論知曲線 l和所求的切線
25、如圖所示,故所求平面圖形面積為:2291s = (?+ 1)?- ?=?- (4?-?2?)?(?2?+ 1)-1120917=- ( 4?-?2?) ? 2?=? .203?(2,3)(-1,0)(1,0)?(17,0)?【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)函數(shù)圖形的凹凸性、平面曲線的切線和法線高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)定積分的應(yīng)用(22) (本題滿分9 分)?1 + ?2 + ?3 + ?4? = -1,已知非齊次線性方程組 4?1 + 3?2 + 5?3 -?4? = -1,?1?+ ?2 + 3?3 + ?4?= 1有三個(gè)線性無關(guān)的解。(i) 證明方程組系數(shù)矩陣?的秩 ?( ?) = 2; (ii)求?, ?的值及方程組的通解?!窘馕觥勘绢}主要考查含參數(shù)的非齊次線性方程組的求解問題。(i)設(shè)?1 , ?2 , ?3 是非齊次線性方程組的三個(gè)線性無關(guān)的解,那么?1 -? 2 ,?1 -? 3 , 是?=? 0線性無關(guān)的解,所以?-?(?) 2, 即?(?)2 ,顯然矩陣 ?中有 2 階子式不為 0, 又有 ?(?) 2, 從而秩?(?) = 2.(ii) 對(duì)增廣矩陣作初等行變換,有1111?= 435-1-1| -11111-1 0-11-5|3?13?101 -?3 -?-? ?+ 11111 01-15004 -2?+ 4?-5-
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