小學奧數(shù)勾股定理(共5頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上勾股定理內(nèi)容概述1.勾股定理(畢達哥拉斯定理):直角三角形中的兩直角邊平方后的和等于斜邊的平方 公元前500年古希臘的畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)了勾股定理后,曾宰牛百頭,廣設盛筵以示慶賀2. 公元前11世紀的周髀算經(jīng)中提到:故折矩,以為句廣三,股修四、徑修五既方之.外半卿一矩,環(huán)而共盤.得成三、四、五 三國時期的趙爽注解道:句股各自乘,并之為弦實,開方除之,即弦.案:弦圖又可以句股相乘為朱實二,倍之為朱實四,以句股之差自相乘為中黃實,加差之,亦成弦實漢朝張蒼、狄昌壽整理的九章算術第九卷為句股.其中解釋到:短面曰句，長面曰股，相與結角曰弦.句短其股，股短其弦 句股各自乘，并，而開方

2、除之，即弦中國科學院數(shù)學與系統(tǒng)科學研究院的徽標(右圖所示)采用的就是趙爽的弦圖.2002年在北京舉行的國際數(shù)學家大會的徽標也是弦圖如下,在弦圖中有3. 伽菲爾德證法:美國第20任總統(tǒng)伽菲爾德對數(shù)學有濃厚的興趣,在還是中學教師時曾給出一種勾股定理的證明方法： 梯形面積=(上底下底)×高 =(a+b)×(a+b)=(a+b)2；三個直角三角形的面積和=ab+ab+c2；梯形面積=三個直角三角形面積和 (a+b)2=ab+ab+c2,所以a2+b2=c2.4. 公元前3世紀的歐幾里得在幾何原本中給出一種證明,簡敘如下： 如圖,作出三個正方形,它們的邊長分別為直角三角形ABC的三邊

3、長.連接圖中的虛線段對應的點；過C作CK平行于AF,交AB、FG分別于J、K點 易證AFCBAE,有AF.FK=,EA.CA=,所以；易證CBGHBA，有BG.KG=,BH.IH=,所以. 而即有AB2=AC2+CB2.5. 勾股數(shù)組:a=u2-v2,b=2uv,c=u2+v2如果a、6、c可以如此表達,那么a、b、c稱之為勾股數(shù)組,有a2+b2=c2 如:u=2,v=l時a=3,b=4,c=5；u=7,v=6時a=13,b=84,c=85 當然將已知的勾股數(shù)組內(nèi)每個數(shù)都同時擴大若干倍得到的新的一組數(shù)還是勾股數(shù)組.典型問題2.智能機器貓從平面上的O點出發(fā).按下列規(guī)律行走:由O向東走12厘米到A

4、1,由A1向北走24厘米到A2,由A2向西走36厘米到A3,由A3向南走48厘米到A4,由A4向東走60厘米到A5,問:智能機器貓到達A6點與O點的距離是多少厘米?【分析與解】 如右圖所示,當智能機器貓到達A6點時,相對O點,向東走了12-36+60=36厘米,向北走了24-48+72=48厘米有=362+482,即OA2=60所以,A6點到O點的距離為60厘米4.如圖32-3所示,直角三角形PQR的兩個直角邊分別為5厘米,9厘米問下圖中3個正方形面積之和比4個三角形面積之和大多少? 【分析與解】 如右圖,延長AR,DQ,過E,F分別作AR,DQ的平行線,在正方形EFRQ內(nèi)交成四個全等的直角三

5、角形和一個小正方形GHMN，四個全等的直角三角形面積之和與四個白色的三角形面積之和相等小正方形HGNM的邊長為9-5=4厘米,所以面積為16平方厘米,而另外兩個正方形ABPR、CDQR他的面積分別為25,81所以原圖中3個正方形面積之和比4個三角形面積之和大25+8l+16=122平方厘米6.若把邊長為1的正方形ABCD的四個角剪掉,得一四邊形A1BlClDl,試問怎樣剪,才能使剩下的圖形仍為正方形,且剩下圖形的面積為原來正方形面積的,請說明理由.(寫出證明及計算過程)【分析與解】如左圖所示,我們知道利用弦圖,可是弦圖怎么利用?設構造出的弦圖中最小正方形的面積為x最大正方形面積為1,那么有剩下

6、的正方形面 積為(x+1)=,所以x=. 那么,最小正方形的邊長為.由于是四角對稱的剪去,所以有ADl=DCl=CBl=BA1=,AAl=BBl=CCl=DDl= 證明及計算過程略8.有5個長方形,它們的長和寬都是整數(shù),且5個長和5個寬恰好是110這10個整數(shù)；現(xiàn)在用這5個長方形拼成1個大正方形,那么,大正方形面積的最小值為多少? 【分析與解】 注意到,5個長、寬均不相等的長方形拼成一個正方形,只有一種拼法.(如右圖所示，由弦圖聯(lián)想到) A、B、C、D中必有一個長方形的一邊長為10,不妨設為A， 那么顯然不能組成邊長為10的正方形； 如果能夠組成邊長為11的正方形,那么有11=10+1=9+2

7、=8+3=7+4=6+5,那么大正方形的四邊必須是為11,則剩下的兩個數(shù),它們的和為11,為中問陰影部分的長、寬和；評注:如果能夠組成邊長為12的正方形,那么有12=10+2=9+3=8+4=7+5,剩下1、6試填不滿足 對于邊長為13的正方形,注意到13=10+3=9+4=8+5=7+6,剩下1、2,有見下圖情形,滿足10.園林小路,曲徑通幽.如圖32-7所示,小路由白色正方形石板和青、紅兩色的三角形石板鋪成.問：內(nèi)圈三角形石板的總面積大,還是外圈三角形的總面積大?請說明理由 【分析與解】如圖,我們?nèi)我獬槌鰞蓧K相鄰的白色正方形石板,及它們所夾成的青、紅兩色的三角形石板，如圖所示.圖中有CDB+ADG=1800. 如果,將CDE逆時針旋轉900,得.有、在同一條直線上,且與等底同高,所以有. 也就是