隨機(jī)微分方程及其應(yīng)用實(shí)用教案

1、隨機(jī)(su j)微分方程的重要性 近年來，隨機(jī)微分方程，隨機(jī)分析有了迅速發(fā)展，隨機(jī)微分方程的理論廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)、生物、物理、自動化等領(lǐng)域。 在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，用隨機(jī)微分方程來解決期權(quán)定價的問題，在產(chǎn)品的銷售，市場的價格等隨機(jī)事件中，可根據(jù)大量的試驗(yàn)數(shù)據(jù)確定某個隨機(jī)變量，并附加初始條件建立隨機(jī)微分方程的數(shù)學(xué)模型，從而推斷出總體的發(fā)展變化規(guī)律。 在生物領(lǐng)域，用于揭示疾病的發(fā)生規(guī)律以及疾病的傳播流行過程，腫瘤(zhngli)演化機(jī)制等。 在物理領(lǐng)域，用于布朗粒子的逃逸與躍遷問題，反常擴(kuò)散。第1頁/共32頁第一頁，共32頁。22 設(shè)X為n維的隨機(jī)變量,W為m維的維納運(yùn)動，b和B是給定(i dn)的函數(shù)，并不

2、是隨機(jī)變量， ， nnRTRb , 0:mnnMTRB , 0:1、隨機(jī)微分方程、隨機(jī)微分方程(wi fn fn chn)的定義：的定義：那么隨機(jī)微分方程可以表示成如下形式：0)0(),(),(XXdWtXBdttXbdX若X滿足等式： 那么X就是此隨機(jī)微分方程的解。dWssXBdsssXbXtXtt000),(),()( 如果系數(shù)b和B分別滿足：b(x,t)=c(t)+D(t)x，B(x,t)=E(t)+F(t)x,那么就稱此方程為線性隨機(jī)微分方程。如果c(t)=E(t)=0，那么線性隨機(jī)微分方程是齊次的。如果F(t)=0，這稱隨機(jī)微分方程狹義上是線性。2第2頁/共32頁第二頁，共32頁。3

3、332、線性隨機(jī)微分方程、線性隨機(jī)微分方程(wi fn fn chn)的解的形的解的形式式 以上(yshng)我們定義的是基于n維隨機(jī)變量和m維布朗運(yùn)動的隨機(jī)微分方程，實(shí)際應(yīng)用中大多數(shù)為一維的情況，以下給出一維中隨機(jī)微分方程的解的具體形式 當(dāng)m=n=1時，線性隨機(jī)微分方程的一般形式如下：0)0()()()()(XXdWXtftedtXtdtcdX)()()()()()()()(01010ttdWsesdssfsescsXttX解為：)2(exp()(002ttfdWdsfdt其中3第3頁/共32頁第三頁，共32頁。隨機(jī)(su j)微分方程舉例2 2、線性隨機(jī)、線性隨機(jī)(su j)(su j)微

4、分方程舉例微分方程舉例例例1、股票價格、股票價格 設(shè)P(t)表示在t時刻股票的價格，通過股票價格的變化率可以(ky)建立P(t)的隨機(jī)微分方程：dWdtPdP其中和為常數(shù)，0 表示股票趨勢項(xiàng)，表示股票波動項(xiàng)，則微分方程轉(zhuǎn)化為下面的形式：PdWPdtdP根據(jù)伊藤公式可知：dWdtdtPPPdPPd)2(21)(log(2222第4頁/共32頁第四頁，共32頁。隨機(jī)微分方程(wi fn fn chn)舉例可以解出P(t)：由此可知，若初始價格為正直(zhngzh)，則股票價格總是正的。ttWeptP)2()(02)(由隨機(jī)微分方程可知(k zh)： 并且 ，則可知(k zh)：dWPdsPptPt

5、t000)(0)(0dWPEtdssPEptPEt00)()(可以解出：teptPE0)(因此股票價格的期望值由股票的趨勢項(xiàng)決定，與股票的波動沒有關(guān)系。第5頁/共32頁第五頁，共32頁。6隨機(jī)微分方程(wi fn fn chn)舉例例例2：朗之萬方程：朗之萬方程(fngchng) 存在摩擦力的情況下，布朗粒子的運(yùn)動(yndng)模型服從一維的隨機(jī)微分方程， ，其中表示白噪聲，b0表示摩擦系數(shù)，表示擴(kuò)散系數(shù)。在此方程中，X代表布朗粒子的運(yùn)動(yndng)速率。X0與維納過程相互獨(dú)立，因?yàn)榘自肼暿蔷S納過程對時間的導(dǎo)數(shù)，所以此方程等價于下面的隨機(jī)微分方程：bXX0)0(XXdWbXdtdX 根據(jù)線性

6、隨機(jī)微分方程解的形式可以求得此微分方程的解為：dWeXetXtstbbt0)(0)(第6頁/共32頁第六頁，共32頁。7隨機(jī)(su j)微分方程舉例可以(ky)求出X的期望：)()(0XEetXEbt)1 (2)()()()(2)()(2()(222020)(220)(2020220)(20)(02022btbttstbtstbbtbttstbtstbbtbtebXEedseEdWeEXEeXEedWedWeXeXeEtXE則X的方差(fn ch)為：)1 (2)()(2202btbtebXVetXV則當(dāng)t趨于無窮大時：btXVtXE2)(0)(2從解的形式來看，當(dāng)t趨于無窮大時，X的漸近分布

7、為正態(tài)分布 ，與初始分布無關(guān)。)2, 0(2bN第7頁/共32頁第七頁，共32頁。8隨機(jī)(su j)微分方程舉例例例3 3：烏倫貝克過程：烏倫貝克過程(guchng)(guchng)布朗運(yùn)動(b ln yn dn)的另一隨機(jī)微分方程模型：10)0(,)0(YYYYYbY 其中Y(t)是t時刻布朗粒子的位移，Y0與Y1是給定的高斯隨機(jī)變量，b0是摩擦系數(shù)，是擴(kuò)散系數(shù)，通常為白噪聲。 若 ，即X表示速率，則原方程等價于以下朗之萬方程：YX1)0(YXdWbXdtdX則方程的解為：dWeYetXtstbbt0)(1)(第8頁/共32頁第八頁，共32頁。9隨機(jī)(su j)微分方程舉例則可以(ky)解出

8、原微分方程的解Y(t)：dsXYtYt00)(例例4 4：隨機(jī)諧波：隨機(jī)諧波(xi b)(xi b)振子振子102)0(,)0(XXXXXbXX 其中 表示線性的保守勢場力， 表示摩擦阻尼力，表示白噪聲，可以通過一般的公式來求解此隨機(jī)微分方程。 當(dāng)X1=0，b=0，=1時，隨機(jī)微分方程的解為：X2XbdWsttXtXt00)(sin(1)cos()(第9頁/共32頁第九頁，共32頁。1010隨機(jī)諧波振子(zhn z)的微分方程進(jìn)行推廣可以的得到如下方程：10)0(,)0()()(XXXXtxVXbX 阻尼力，b是摩擦系數(shù)保守勢場力，V(x)即為勢函數(shù)，在隨機(jī)(su j)諧波振子微分方程中 為線

9、性的，當(dāng)勢函數(shù)為非線性的時，就會存在逃逸的問題。 隨機(jī)力或噪聲項(xiàng)，通常為高斯白噪聲1.摩擦系數(shù)b可以是線性的，也可以是非線性的。2.此方程中X的導(dǎo)數(shù)為一階，然而X的導(dǎo)數(shù)也可以是分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，即分?jǐn)?shù)階摩擦10XxV2)(第10頁/共32頁第十頁，共32頁。111111 逃逸問題是研究系統(tǒng)在隨機(jī)力作用下從穩(wěn)態(tài)出發(fā)的演化過程，盡管隨機(jī)力很小，但是足以引起布朗粒子的逃逸，從而使原來的穩(wěn)態(tài)發(fā)生質(zhì)的改變，我們基于以上的隨機(jī)微分方程來研究布朗粒子的逃逸問題。 若勢函數(shù)V(x)是非線性的，且是單勢阱，結(jié)構(gòu)(jigu)如下圖： 11第11頁/共32頁第十一頁，共32頁。121212 從勢函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖中可以看出該勢

10、阱的高度為 ，勢能最小值的位置坐標(biāo)為xs ，也是V(x)的穩(wěn)定點(diǎn)，最大值的位置坐標(biāo)為xu，也是V(x)的不穩(wěn)定點(diǎn)。當(dāng) 時， ，因此系統(tǒng)在負(fù)x方向是被束縛的，xxu,系統(tǒng)會自動(zdng)趨于無窮，所以xxu叫做逃逸區(qū)。研究系統(tǒng)從束縛區(qū)進(jìn)入逃逸區(qū)的問題，就叫“逃逸問題”。Vx)(xV12 當(dāng)勢阱函數(shù)V(x)為雙穩(wěn)勢阱時，在隨機(jī)力的作用下，兩個勢阱中的運(yùn)動不再相互獨(dú)立，初始在某一勢阱內(nèi)的系統(tǒng)(xtng)，會在不同時間以不同的概率進(jìn)入另一勢阱。逃逸問題也就轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)(xtng)在隨機(jī)力的作用下兩個穩(wěn)態(tài)之間的躍遷問題。第12頁/共32頁第十二頁，共32頁。131313 如圖所示：它在x的正負(fù)無窮上都是

11、受束縛的，勢函數(shù)有兩個極小值（穩(wěn)定解）和一個極大值（不穩(wěn)定解 ）。如果不存在隨機(jī)力的作用，初態(tài)處于的勢阱內(nèi)的粒子將逗留在原勢阱內(nèi)，它們將各自趨于初態(tài)所處勢阱的極小值，即到達(dá)系統(tǒng)的穩(wěn)定解。而一旦到達(dá)了此穩(wěn)態(tài)，粒子將永遠(yuǎn)不再偏離。但若存在隨機(jī)力激勵(jl)的條件下，則粒子就可能在兩個穩(wěn)態(tài)之間躍遷。13V(x)的雙勢阱(sh jn)結(jié)構(gòu)圖第13頁/共32頁第十三頁，共32頁。1414 逃逸率和平均首次穿越時間是用來刻畫逃逸過程和躍遷過程的兩個重要的特征量，布朗粒子首次穿過勢壘所用的時間即為首通時間，由于隨機(jī)力的作用，在同樣(tngyng)條件的各次實(shí)驗(yàn)中，首通時間是各不相同的，即從一個穩(wěn)態(tài)出發(fā)系統(tǒng)越

12、過勢壘進(jìn)入另一勢阱所用時間在各次試驗(yàn)中是不同的，這些時間的平均值叫作平均第一渡越時間（MFPT）。14第14頁/共32頁第十四頁，共32頁。15非線性摩擦(mc)下的逃逸率ModelModel：)(2)()(,0tDxUvvvmvx粒子(lz)的質(zhì)量，假設(shè)m=1高斯(o s)白噪聲，噪聲強(qiáng)度為D15（1）(v)表示非線性摩擦函數(shù)，在非平穩(wěn)問題中，摩擦函數(shù)有RH和SET兩種形式。RH摩擦函數(shù)的表達(dá)式：u0表示在沒有噪聲激勵下，粒子最終到達(dá)的速度，假設(shè)u0=1,0=20,SET摩擦函數(shù)的表達(dá)式： ,假設(shè)=2)()(2020uvv1),11 ()(20vv)3()(3xxAxU（2）勢函數(shù)U(x)的

13、表達(dá)式為： ，A表示振幅，則U(x)的結(jié)構(gòu)圖如下：第15頁/共32頁第十五頁，共32頁。16非線性摩擦(mc)下的逃逸率如圖所示，勢能(shnng)最小值坐標(biāo)x-min=-1,為穩(wěn)定點(diǎn)，勢能(shnng)最大值坐標(biāo)x-max=1，為不穩(wěn)定點(diǎn)，x1為逃逸區(qū)。A43 如果振幅很小的話，粒子會很容易逃出勢壘，存在臨界值振幅Ac，使得不存在噪聲激勵時，粒子逗留在原勢阱內(nèi)，不會逃逸。對于(duy)不同的摩擦函數(shù)，臨界值的表達(dá)式不同。根據(jù)V的零切線的分叉可以可以計算出振幅的臨界值。 該勢阱的高度為3/4A。第16頁/共32頁第十六頁，共32頁。17非線性摩擦(mc)下的逃逸率 零切線：在不存在噪聲的情況下

14、， 所表示的直線就是v的零切線。那么v的零切線為方程 的圖像，該方程是關(guān)于v的三次方程，如果給定x的值，速率v存在三個解，位于中間的解是動態(tài)不穩(wěn)定的，上下解的分支形成粒子的軌跡，x零切線與v的切斜線相交僅僅(jnjn)形成兩個不穩(wěn)定的固定點(diǎn)。通過上下解的分歧情況可以求出振幅的臨界值。0v 0)1 ()(20 xAvv17對于(duy)SET摩擦函數(shù)臨界振幅為： 當(dāng)=2時，Ac=0.3)8 (, 2)2()()3 (ddddAc對于RH摩擦函數(shù)臨界振幅為： ，當(dāng)u0=1時， Ac=0.38 )3/(22330uAc第17頁/共32頁第十七頁，共32頁。18非線性摩擦(mc)下的逃逸率 如圖所示，

15、可以看出，當(dāng)振幅小于臨界值時，粒子的軌跡與零切線(qixin)很接近，并且很快逃出穩(wěn)定區(qū)，當(dāng)振幅大于臨界值時，粒子保持在最小值附近，軌跡類似于一極限環(huán)，即布朗粒子的運(yùn)動穩(wěn)定在極限環(huán)內(nèi)。在無噪聲激勵下，布朗粒子的樣本(yngbn)路徑如圖：18第18頁/共32頁第十八頁，共32頁。19非線性摩擦(mc)下的逃逸率Escape Escape statisticsstatistics： 由以上討論可知，在沒有噪聲激勵的情況下，如果(rgu)振幅大于臨界值，布朗粒子將逗留在穩(wěn)定區(qū)內(nèi)，在一極限環(huán)內(nèi)運(yùn)動。如果(rgu)存在噪聲的激勵，粒子將逃離穩(wěn)定區(qū)，隨著噪聲強(qiáng)度的增大，粒子越容易逃離，用逃逸率來衡量粒子

16、逃逸的容易度，研究隨著噪聲強(qiáng)度的增大，逃逸率將如何變化。 在此逃逸率是用平均首次穿越時間的倒數(shù)來計算的。為了測量(cling)不同噪聲強(qiáng)度下粒子的逃逸率，選取初始狀態(tài)為x(0)=-1，v(0)=-1，計算粒子首次通過極限值xth=5的平均時間，也可以選取穩(wěn)定區(qū)內(nèi)的其他初始狀態(tài)，這并不影響我們模擬的結(jié)果。第19頁/共32頁第十九頁，共32頁。20非線性摩擦(mc)下的逃逸率逃逸率隨噪聲強(qiáng)度(qingd)的變化如下圖：20第20頁/共32頁第二十頁，共32頁。21非線性摩擦(mc)下的逃逸率結(jié)論：結(jié)論： （1）逃逸率并不是單調(diào)增加的隨著噪聲強(qiáng)度的增加，明顯地，）逃逸率并不是單調(diào)增加的隨著噪聲強(qiáng)度的

17、增加，明顯地，當(dāng)振幅足夠大時，噪聲強(qiáng)度超過一定的范圍，逃逸率隨噪聲強(qiáng)當(dāng)振幅足夠大時，噪聲強(qiáng)度超過一定的范圍，逃逸率隨噪聲強(qiáng)度的增大度的增大(zn d)而減小，隨后又隨著噪聲強(qiáng)度的增加而增大而減小，隨后又隨著噪聲強(qiáng)度的增加而增大(zn d)，產(chǎn)生了最大值和最小值。，產(chǎn)生了最大值和最小值。 （2）當(dāng)）當(dāng)A=0.41時，逃逸率的最大值是更顯著的，一般而言，時，逃逸率的最大值是更顯著的，一般而言，當(dāng)振幅比較大時，對所有的噪聲強(qiáng)度而言。逃逸率都會減小，當(dāng)振幅比較大時，對所有的噪聲強(qiáng)度而言。逃逸率都會減小，但是在噪聲強(qiáng)度較弱時，減小的更明顯。但是在噪聲強(qiáng)度較弱時，減小的更明顯。 （3）隨著振幅的增加，逃逸

18、率的最大值將會在更大的噪聲）隨著振幅的增加，逃逸率的最大值將會在更大的噪聲強(qiáng)度處取得，當(dāng)振幅足夠大時，逃逸率的最大值將消失，逃逸強(qiáng)度處取得，當(dāng)振幅足夠大時，逃逸率的最大值將消失，逃逸率隨著噪聲強(qiáng)度的增大率隨著噪聲強(qiáng)度的增大(zn d)嚴(yán)格遞增。嚴(yán)格遞增。21第21頁/共32頁第二十一頁，共32頁。22非線性摩擦(mc)下的逃逸率 為了更好的理解逃逸率與噪聲強(qiáng)度的關(guān)系，畫出了在不同(b tn)噪聲強(qiáng)度下的粒子逃逸軌跡如下圖：無噪聲激勵的情況無噪聲激勵的情況(qngkung)下，下，粒子在極限環(huán)內(nèi)運(yùn)粒子在極限環(huán)內(nèi)運(yùn)動，沒能逃出勢壘動，沒能逃出勢壘在噪聲強(qiáng)度很小的在噪聲強(qiáng)度很小的情況下，粒子在極情況

19、下，粒子在極限環(huán)內(nèi)運(yùn)動一段時限環(huán)內(nèi)運(yùn)動一段時間，最后通過分界間，最后通過分界線逃出勢壘線逃出勢壘隨著噪聲強(qiáng)度的隨著噪聲強(qiáng)度的增大，粒子更有增大，粒子更有可能逃出勢壘，可能逃出勢壘，在極限環(huán)內(nèi)只運(yùn)在極限環(huán)內(nèi)只運(yùn)動幾圈動幾圈在一定的噪聲強(qiáng)度在一定的噪聲強(qiáng)度范圍內(nèi)，隨著噪聲范圍內(nèi)，隨著噪聲強(qiáng)度的增大，逃逸強(qiáng)度的增大，逃逸率減小，粒子穩(wěn)定率減小，粒子穩(wěn)定在極限環(huán)內(nèi)，降低在極限環(huán)內(nèi)，降低了逃逸的可能，但了逃逸的可能，但是最終也逃出勢壘是最終也逃出勢壘22第22頁/共32頁第二十二頁，共32頁。23非線性摩擦(mc)下的逃逸率Summary:Summary: 論文研究了在非線性摩擦函數(shù)的情況下，逃逸率與噪

20、聲強(qiáng)度呈現(xiàn)非單調(diào)的關(guān)系，這與線性情況下的單調(diào)關(guān)系完全不一致。 依賴噪聲的非單調(diào)逃逸率并非僅僅限制(xinzh)在一維的模型中，也可能在高維的模型中存在。23第23頁/共32頁第二十三頁，共32頁。進(jìn)一步研究(ynji)的問題 1. 1.非高斯型噪聲非高斯型噪聲 2. 2.分?jǐn)?shù)階摩擦分?jǐn)?shù)階摩擦 3. 3.生物生物(shngw)(shngw)系統(tǒng)中的應(yīng)用：腫瘤模型和神經(jīng)元模型系統(tǒng)中的應(yīng)用：腫瘤模型和神經(jīng)元模型 基于隨機(jī)微分方程的腫瘤演化機(jī)制及動力學(xué)行為研究基于隨機(jī)微分方程的腫瘤演化機(jī)制及動力學(xué)行為研究第24頁/共32頁第二十四頁，共32頁。1.非高斯型的噪聲(zoshng) 以上我們提到的噪聲都是

21、高斯白噪聲，即概率密度函數(shù)服從正態(tài)分布，功率譜密度是常數(shù)的噪聲，自然界中并不存在真正的白噪聲，只是在噪聲相關(guān)時間遠(yuǎn)小于確定性系統(tǒng)的弛豫時間時，噪聲之間的關(guān)聯(lián)才可以近似地忽略，當(dāng)作白噪聲來處理。則概率密度函數(shù)不服從正態(tài)分布的噪聲為非高斯型噪聲，可以通過(tnggu)高斯白噪聲的線性表達(dá)形成非高斯型噪聲。假設(shè)(t)為非高斯(o s)噪聲，則(t)滿足下列線性方程：)(2)2/() 1(22tDDqdtd其中，表示相關(guān)時間，(t)表示高斯白噪聲，D表示噪聲強(qiáng)度，q表示(t)偏離高斯分布的程度。第25頁/共32頁第二十五頁，共32頁。26261、Grunwald-Letnikov（GL）分?jǐn)?shù)）分?jǐn)?shù)(f

22、nsh)階導(dǎo)數(shù)定義階導(dǎo)數(shù)定義 對于連續(xù)函數(shù)對于連續(xù)函數(shù)y=f(t)，依據(jù)整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的定義，它的一階，依據(jù)整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的定義，它的一階導(dǎo)數(shù)定義式為：導(dǎo)數(shù)定義式為：hhtftfdttdfh)()(lim)(0依據(jù)相同的定義，可以(ky)推出二階導(dǎo)數(shù)的定義式：200022)2()(2)(lim)2()()()(1lim)()(lim)(hhtfhtftfhhtfhtfhhtftfhhhtftfdttfdhhh同理可得函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)為：26第26頁/共32頁第二十六頁，共32頁。27272.分?jǐn)?shù)(fnsh)階導(dǎo)數(shù)GL定義3033)3()2(3)(3)(lim)(hhtfhtfhtftfdttfdh以此類

23、推，n階導(dǎo)數(shù)的一般(ybn)定義可以記為：njjnhnnjhtfjnhdttfd00)() 1(1lim)(式中：) 1() 1() 1()!( !jnjnjnjnjn推廣以上等式，當(dāng)n為任意正實(shí)數(shù)，可以導(dǎo)出GL分?jǐn)?shù)(fnsh)階導(dǎo)數(shù)的形式：00)() 1(1lim)(jjhtjhtfjhtfD27第27頁/共32頁第二十七頁，共32頁。282828) 1() 1() 1()!( !jjjjj其中(qzhng)：2、黎曼、黎曼-劉維爾（劉維爾（RL）分?jǐn)?shù)）分?jǐn)?shù)(fnsh)階微積階微積分定義分定義（1）RL分?jǐn)?shù)階積分分?jǐn)?shù)階積分 首先定義2階積分函數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)定義在區(qū)間 ，且函數(shù)f(x)的一階積分函數(shù)在該區(qū)