2022年2022年高三數(shù)學(xué)畢業(yè)班課本知識點整理歸納之十六

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載2021-20xx 年高三畢業(yè)班數(shù)學(xué)課本學(xué)問點整理歸納之十六第十六章平面幾何一.常用定理（僅給出定理,證明請讀者完成）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載梅涅勞斯定理設(shè)a' 、 b ' 、 c ' 分別為 abc的三邊 bc,ca,ab或其延長線上的點, 如a' 、 b '、 c '精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載三點共線,就精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ba'a' ccb'b' aac'1. c' b精品學(xué)習(xí)

2、資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載梅涅勞斯定理的逆定理條件同上,如ba'a'ccb'b' aac 'c' b1. 就a' 、 b '、 c ' 三點共線；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載塞 瓦定理設(shè)a' 、 b ' 、 c ' 分 別為 abc 的 三邊bc, ca, ab 或其延長線上的點 ,如精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載aa' 、 bb '、 cc &#

3、39; 三線平行或共點,就ba'a' ccb'b' aac'1. c' b精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載塞瓦定理的逆定理設(shè)a'、 b' 、c ' 分別為 abc的三邊bc, ca,ab 或其延長線上的點,如精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ba'a' ccb'b' aac'c' b1. 就aa' 、 bb '、 cc ' 三線共點或相

4、互平行；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載角元形式的塞瓦定理a'、 b' 、 c ' 分別為 abc 的三邊bc, ca, ab 所在直線上的點,就精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載aa' 、 bb '、 cc ' 平行或共點的充要條件為sin sinbaa' a' acsin sinacc' c' cbsin sincbb'1. b' ba精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下

5、載廣義托勒密定理設(shè) abcd為任意凸四邊形,就ab.cd+bc.ad ac.bd,當且僅當a, b, c,d四點共圓時取等號；斯特瓦特定理設(shè) p 為 abc的邊 bc上任意一點, p 不同于 b, c,就有精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載22ap =ab.pc +ac2.bcbp -bp.pc.bc精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載西姆松定理過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊的垂線,就三垂足共線；西姆松定理的逆定理如一點在三角形三邊所在直線上的射影共線,就該點在三角形的外接圓上；九點圓定理三角形三條高的垂足.三邊的中點以及垂心與頂點的三條連線段的中點,這九

6、點共圓；蒙日定理三條根軸交于一點或相互平行；（到兩圓的冪 （即切線長） 相等的點構(gòu)成集合為一條直線,這條直線稱根軸）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載歐拉定理 abc的外心 o,垂心 h,重心 g三點共線,且og二.方法與例題1 gh .2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1同一法； 即不直接去證明,而為作出滿意條件的圖形或點,然后證明它與已知圖形或點重合；000例 1在 abc中, abc=70, acb=30,p,q為 abc內(nèi)部兩點, qbc= qcb=10,0pbq= pcb=20,求證： a, p, q三點共線；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載0

7、 證明 設(shè)直線 cp交 aq于 p1 ,直線 bp交 aq于 p2,由于 acp= pcq=10,所以ap qp1ac ,cq精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載在 abp, bpq, abc中由正弦定理有精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載sinabap2 bsinap2abp2qp2,sin 200sinbq,bp2 qabsin 30 0ac.sin 700精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由,得ap1 qp1ap2 qp2；又由于p1, p2 同在線段aq上,所以p1, p2 重合,又 bp

8、與精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載cp僅有一個交點,所以p1, p2 即為 p,所以 a, p, q共線； 2面積法；例 2見圖 16-1 , abcd中, e,f 分別為 cd,bc上的點,且be=df,be交 df于 p,求證：ap為 bpd的平分線； 證明 設(shè) a 點到 be, df 距離分別為h1、h 2,就精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載s abe1 be2h1 、 sadf1 df2h2 、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又由于s abe1s abcd=sadf,又 be=df；2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以 h1=h

9、2,所以 pa為 bpd的平分線；3幾何變換；例 3（蝴蝶定理） 見圖 16-2 ,ab為 o的一條弦, m為 ab 中點, cd,ef 為過 m的任意弦, cf, de分別交 ab于 p, q；求證： pm=m；q精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 證明 由題設(shè) omab；不妨設(shè)afbd ；作 d關(guān)于直線om的對稱點d ' ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載連 結(jié) pd ' 、 d ' m 、 dd ' 、 d ' f, 就 d ' mdm .p m d'dm q.

10、要 證pm=mq, 只 需 證精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載pd ' mmdq,又 mdq=pfm,所以只需證f, p,m,d ' 共圓；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由于pfd ' =1800 -mdd ' =1800- md ' d=180 - pmd' ；（由于dd 'om；ab/dd ' ）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載0所以 f, p, m, d ' 四點共圓；所以 pd&#

11、39; m mdq；所以 mp=m；q精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 4平面上每一點都以紅.藍兩色之一染色,證明：存在這樣的兩個相像三角形,它們的相像比為1995 ,而且每個三角形三個頂點同色； 證明 在平面上作兩個同心圓,半徑分別為1 和 1995,由于小圓上每一點都染以紅.藍兩色之一,所以小圓上必有五個點同色,設(shè)此五點為a, b,c, d, e,過這兩點作半徑并將半徑延長分別交大圓于a1,b1, c1, d1,e1,由抽屜原理知這五點中必有三點同色,不妨 設(shè)為 a1, b1, c1,就 abc與 a1b1c1 都為頂點同色的三角形,且相像比為1995； 4三角法；0例 5

12、設(shè) ad, be 與 cf為 abc的內(nèi)角平分線,d, e, f 在 abc的邊上,假如edf=90,求 bac的全部可能的值； 解見圖 16-3 ,記 ade=, edc= ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由題設(shè) fda=2- , bdf=2- ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載aedecede精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由正弦定理：sinsina 、 sin2,sin c精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載得 aesinsinc ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡

13、迎下載cesinsin a2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又由角平分線定理有aeabab,又bc,所以sinsincsin c ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ecbcsin csin asinsin a2sin a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載化簡得sinsin2 cos a ,同理2sinsinbdfadf2 cos a ,即2coscos2 cos a .2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以 sinsincoscos,所以 sin cos -cos sin =sin- =0.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又-

14、 < - < 、 所以 = ；所以5向量法；cos a212,所以 a= ；23精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 6設(shè) p 為 abc所在平面上的一點,g為 abc的重心,求證：pa+pb+pc>3pg. 證明 由于精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載papbpcpggapggbpggc3 pggagbgc ,又 g為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載abc重心,所以gagbgc0.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（事實上設(shè)ag交 bc于 e,就ag2gegbgc,所以 gagbgc0 ）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - -

15、 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以 papbpc3pg ,所以| pa | pb | pc | papbpc |3 | pg |.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又由于pa、 pb、 pc 不全共線,上式“=”不能成立,所以pa+pb+pc>3p；g精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載6解析法；例 7 h為 abc的垂心, p 為任意一點, hlpa,交 pa 于 l,交 bc于 x, hmpb,交 pb于 m,交 ca于 y, hnpc交 pc于 n,交 ab于 z,求證： x, y, z

16、三點共線； 解以 h為原點,取不與條件中任何直線垂直的兩條直線為x 軸和 y 軸,建立直角坐標精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載系,用x k 、y k 表示點 k 對應(yīng)的坐標, 就直線 pa的斜率為ypxp直線 hl 的方程為xx p-x a+yy p-y a=0.y a ,直線 hl斜率為xpxay axa ,yp精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又直線 ha的斜率為y a,所以直線bc的斜率為xax a,直線 bc的方程為xxa+yya=xax b+yayb、y a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又點 c

17、在直線 bc上,所以xcxa+ycy a=xax b+yayb.同理可得x bxc+yby c=xaxb+yay b=xax c+yayc.又由于 x 為 bc 與 hl 的交點,所以點 x 坐標滿意式和式,所以點 x 坐標滿意xxp+yyp=xax b+yayb. 同理點 y 坐標滿意 xx p+yyp=xbxc+ybyc. 點 z 坐標滿意 xx p+yyp=xcx a+ycya. 由知,表示同始終線方程,故 x, y, z 三點共線；7四點共圓；例 8 見圖 16-5 ,直線 l 與 o相離, p 為 l 上任意一點, pa,pb 為圓的兩條切線, a, b為切點,求證：直線 ab過定點

18、；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載 證明 過 o作 ocl 于 c,連結(jié) oa,ob,bc,op,設(shè) op交 ab于 m,就 opab,又由于 oapa, obpb, ocpc；所以 a, b, c 都在以 op為直徑的圓上,即o, a, p, c,b 五點共圓； ab與 oc為此圓兩條相交弦,設(shè)交點為q,又由于 opab, occp,所以 p, m, q, c 四點共圓,所以om.op=o.qoc；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2由射影定理2,所以,所以oa2（定值）；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載oa=om.opoa=oq.oc

19、oq=oc精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以 q為定點,即直線ab 過定點；三.習(xí)題精選1 o1 和 o2 分別為 abc的邊 ab,ac上的旁切圓,o1 與 cb,ca的延長線切于e, g,o2 與 bc, ba的延長線切于f,h,直線 eg與 fh交于點 p,求證： pabc；2設(shè) o的外切四邊形abcd的對角線ac,bd的中點分別為e,f,求證： e,o,f 三點共線；3已知兩小圓 o1 與 o2 相外切且都與大圓o相內(nèi)切, ab 為 o1 與 o2 的一條外公切線,a, b 在 o 上, cd 為 o1 與 o2 的內(nèi)公切線,o1 與 o2 相切于點p,且 p, c 在直線ab的同一側(cè),求證：p為 abc的內(nèi)心；4 abc內(nèi)有兩點m, n,使得 mab= nac且 mba= nbc,求證：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡