(完整word版)作三角形鉛錘高是解決三角形面積問(wèn)題的一個(gè)好辦法

1、1作三角形鉛錘高是解決三角形面積問(wèn)題的一個(gè)好辦法- 二次函數(shù)教學(xué)反思馬培川最近教學(xué)二次函數(shù)遇到很多求三角形面積的問(wèn)題，經(jīng)過(guò)研究，我發(fā)現(xiàn)作三角形鉛錘高是解決三角形面積問(wèn)題的一個(gè)好辦法。在課堂上我還風(fēng)趣地說(shuō)遇到“歪歪三角形中間砍一刀”，同學(xué)們很快掌握了這種方法現(xiàn)總結(jié)如下：如圖 1,過(guò)厶ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫ABC的“水平寬”（a），中間的這條直線在ABC內(nèi)部線段的長(zhǎng)度叫厶ABC的“鉛垂高（h）” .我們例 1. （2009 深圳）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A 的坐標(biāo)為（一 2, 0）,連結(jié) OA,將線段OA繞原點(diǎn)O 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 120 ，得到線段 O

2、B. （1）求點(diǎn) B 的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過(guò) A、O、B 三點(diǎn)的拋物線的解析式；（3）在（2）中拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)。，使厶 BOC 的周長(zhǎng)最??？若存在，求出點(diǎn) C 的坐標(biāo)；若不 存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（ 4）如果點(diǎn) P 是（2）中的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且在 x 軸的下方，那么 PAB 是否有最 大面積？若有，求出此時(shí) P 點(diǎn)的坐標(biāo)及 FAB 的最大面積；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由 .解：（1） B （1,3 ）（2）設(shè)拋物線的解析式為 y=ax（x+a），代入點(diǎn) B （1,麗），得a 巫，因此333（3） 如圖，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線 x= 1，當(dāng)點(diǎn) C 位于對(duì)稱(chēng)軸與線段 AB 的交點(diǎn)時(shí)， BOC 的周長(zhǎng)最

3、小.+k 出設(shè)直線 AB 為 y=kx+b.所以廣 b V3,解得彳3因此直線 AB 為 yx 十2至，當(dāng) x= 1 時(shí)，y 二*3,-2k +b =0.|2 亦333b=L 3因此點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（一 1,.3/3）.（4）如圖，過(guò) P 作 y 軸的平行線交 AB 于 D.122X3當(dāng) x=-時(shí)， PAB 的面積的最大值為 冬 3，此時(shí) P2 8例 2. （2009 益陽(yáng)）如圖 2，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C（ 1, 4）,交 x 軸于點(diǎn) A（3, 0），交 y 軸于點(diǎn) B.求拋物線和直線 AB 的解析式；（2）點(diǎn) P 是拋物線（在第一象限內(nèi)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié) PA, PB,C 時(shí)，求厶 CAB

4、 的鉛垂高 CD 及SCAB； （3）是否存在一點(diǎn) P,使 SAPAB=-SA CAB,若存在,8=2S.CAB=1 3 2=3（平方單位）假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P,設(shè) P 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為PAB 的鉛垂高為 h,則93化簡(jiǎn)8333 15得：4x212x 9二0解得，x將x代入yj - -x22x 3中，解得 P 點(diǎn)坐標(biāo)為（一，）222 4. 2例 3. （2009 江津）如圖，拋物線y H-X - bx c與 x 軸交于 A（1,0）,B（-3, 0）兩點(diǎn)，（1）求該拋物線的解析式；（2）設(shè)（1）中的拋物線交 y 軸于 C 點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)Q,使得 QAC 的周長(zhǎng)最??？若存在，求

5、出Q 點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 （3）在（1）中的拋物線上的第二象限上是否存在一點(diǎn)卩，使厶PBC的面積最大？，若存在，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)及厶PBC的面積最大值若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由當(dāng) P 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)求出 P 點(diǎn)的坐標(biāo);22912h=y1=2(yD(XB-XA)2x22仝 x .32若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由因?yàn)?C 點(diǎn)坐標(biāo)為（1,4）所以當(dāng) x=l時(shí)，yy= 4, y2= 2 所以CD = 4-232 1 b c 0 b =-,解：將 A(1 , 0) , B( 3, 0)代目二-x2bx C中得二_9_3b + c = 05 = 3拋物線解析式為：y = _x2_2x 3(2)存在。理由如下：

6、由題知 A、B 兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸 X = -1 對(duì)稱(chēng)y =2(3)答：存在。理由如下:、29卄設(shè) P 點(diǎn)(x, -x -2x 3)(-3：x 0) T S.ppc二S四邊形BPCO -SBOC S四邊形BPCO一召右S四邊形BPCO C 的坐標(biāo)為： (0 , 3)直線 BC 解析式為：y = x 3Q 點(diǎn)坐標(biāo)即為 *1的解y = X +3直線 BC 與x - -1的交點(diǎn)即為 Q 點(diǎn)，此時(shí) AQC 周長(zhǎng)最小/y = _x2- 2x 3Q( 1 , 2)x = -1亠、1 1有最大值，則SBPC就最大，二S四邊形BPCO=SRt BPE S直角梯形PEOCBE PE OE( PE OC) 2

7、 23、22，+927口927S四邊形BPCO最大值=二SBPC最大=2 8B2 8.點(diǎn) P 坐標(biāo)為(-3,15)4241133=-(x 3)( -X2-2x 3) (-X)(-X2-2x 3 3)=(x )2222-3時(shí)，2-3時(shí)2時(shí)，-x2-2x 39272928274同學(xué)們可以做以下練習(xí):1.(2006 浙江湖州)已知如圖，矩形 OABC 勺長(zhǎng) OA=J3，寬 OC=1 將厶 AOC 沿 AC 翻折得 APC(1)填空：/ PCB= , P 點(diǎn)坐標(biāo)為(，);(2)若 P, A 兩點(diǎn)在拋物線 y=4x2+bx+c 上，求 b, c 的值，并說(shuō)明點(diǎn) C 在此拋物線上；3(3)在(2)中的拋物

8、線 CP 段(不包括 C, P 點(diǎn))上，是否存在一點(diǎn) M,使得四邊形 MCA 啲面積最大？若存在，求出這個(gè)最大值及此時(shí) M 點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。2.(湖北省十堰市 2009)如圖， 已知拋物線y二ax2 bx 3( a*0)與x軸交于點(diǎn) A(1, 0)和點(diǎn) B ( 3, 0),與 y 軸交于點(diǎn) C. (1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn) M，問(wèn)在對(duì) 稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)卩，使厶 CMP 為等腰三角形？若存在， 請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存 在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)如圖，若點(diǎn)E 為第二象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接 BE、CE，求四邊形 BOCE 面積53

9、.（2010 年恩施）如圖 11,在平面直角坐標(biāo)系中， 二次函數(shù)y =x2 bx c的圖象與 x 軸交于 A、B兩點(diǎn)，A 點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B 點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），與 y 軸交于 C（0，-3）點(diǎn)，點(diǎn) P 是直線 BC 下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn).（1） 求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式./ /（2） 連結(jié) PO、PC,并把 POC 沿 CO 翻折，得到四邊形 POP c,那么是否存在點(diǎn) P,使四邊形 POP C為菱形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（3） 當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABPC 的面積最大并求出此時(shí) P 點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形 ABPC 的最一2 + J10Q P 點(diǎn)的

10、坐標(biāo)為(-,_3)226（3）過(guò)點(diǎn) P 作y軸的平行線與BC 交于點(diǎn) Q,與 OB 交于點(diǎn) F，設(shè) P （x,x2- 2x - 3）,易得，直線BC的解析式為y = x - 3則 Q 點(diǎn)的坐標(biāo)為（x, x 3）.S四邊形ABPC二S.ABCSBPQS.CPQ=?AB OC -QP OE -QPEB=-4 3-(-X23x) 32 2審+752 83當(dāng)3 時(shí)，四邊形ABPC 的面積最大此時(shí) P 點(diǎn)的坐標(biāo)為3-15，四邊形 ABPC 的面積、24丿的最大值為7587225. (2010 綿陽(yáng))如圖，拋物線 y = ax + bx + 4 與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為 A (- 4, 0)、B (2,

11、 0),與(1 )求拋物線的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)D 的坐標(biāo);(2)在直線 EF 上求一點(diǎn) H，使 CDH 的周長(zhǎng)最小，并求出最小周長(zhǎng);(3)若點(diǎn) K 在 x 軸上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng) K 運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)， EFK 的面積最大？并求出最大面積.所以拋物線的解析式為y=_!x2_X4，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(一1,-).2 2(2)設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與 x 軸交于點(diǎn) M .因?yàn)?EF 垂直平分 BC,即 C 關(guān)于直線 EG 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 B，連結(jié) BD 交于 EF 于一點(diǎn)，則這一點(diǎn)為所求點(diǎn)H，使 DH + CH最小，即最小為DH + CH = DH + HB = BD =BM2DM2=3132CDH 的周

12、長(zhǎng)最小值為 CD + DR + CH =二242k1b0,3設(shè)直線 BD 的解析式為 y = k1x + b，貝 U9解得 k - , b1 = 3.)k1+b1二，2所以直線 BD 的解析式為 y = + 3 .由于 BC = 25, CE = BC / 2 = .5 , Rt CEG COB ,2得 CE : CO = CG : CB，所以 CG = 2.5 , GO = 1.5 .G( 0, 1.5).同理可求得直線 EF 的解析式為 y = 1 x + -.2 2聯(lián)立直線 BD 與 EF 的方程，解得使厶 CDH 的周長(zhǎng)最小的點(diǎn) H ( - ,15).481(3)如圖所示，設(shè) K (t,112t +4), xFvtvxE .過(guò) K 作 x 軸的垂線交 EF 于 N.2則 KN = yK yN = _1 嚴(yán)-t 4 (lt +3)= -t23 5.22 222 2所以 SAEFK = S KFN + S KNE :1=KN (t +3) +丄KN (1 t)=2KN=