2022年2022年高中數(shù)學(xué)不等式典型例題解析

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載概念.方法.題型.易誤點及應(yīng)試技巧總結(jié)不等式一不等式的性質(zhì) ：1同向不等式可以相加； 異向不等式可以相減 ：如 abc、 d,就a cb d（如 ab、 cd ,就 acbd ）,但異向不等式不行以相加；同向不等式不行以相減；2左右同正不等式：同向的不等式可以相乘,但不能相除； 異向不等式可精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載以相除 ,但不能相乘：如 ab0、 cd0 ,就 acbd （如 ab0、0cd ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載n就 ab ）； cd精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3左右同正不等

2、式：兩邊可以同時乘方或開方：如 abn an b ；0 ,就 abn 或精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載4如 ab0 , ab ,就 11 ；如 abab0 , ab ,就 11 ；如ab精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載222（1）對于實數(shù) a、 b、 c 中,給出以下命題：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 如a2b、 就acbc； 如acbc、 就ab ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 如ab0、 就a 2babb 2 ； 如a ab0、就 11 ；ab精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 如ab0、 就a； 如abb0、就

3、 ab ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 如ca b0、 就acab； 如ab、 11 ,就 a cbab0、 b0 ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載其中正確的命題為 （答：） ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（2）已知1xy1 ,1xy3 ,就 3xy 的取值范疇為 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（3）已知 ab c ,且 abc0、 就（答： 13xyc 的取值范疇為 a7 ）；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載二不等式大小比較的常用方法：（答：2、1）2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1作差：作差后

4、通過分解因式.配方等手段判定差的符號得出結(jié)果；2作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的代數(shù)式） ；3分析法；4平方法；5分子（或分母）有理化；6利用函數(shù)的單調(diào)性；7查找中間量或放縮法；8圖象法；其中比較法（作差.作商）為最基本的方法；如精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（1）設(shè) a0且a1、 t0 ,比較1 loga2tt和 log a1 的大小2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（答：當(dāng)a1 時, 1 logtt1log（ t1 時取等號） ；當(dāng) 0a1 時,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1 logtlo

5、gt1 （ taa221時取等號）；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載aa22（2）設(shè) a2 ,1pa, qa22 a24 a 2 ,試比較p、 q 的大小精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（答： pq ）；（3）比較 1+log x 3 與 2 log x2 x0且x1) 的大小精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（答：當(dāng)0x1或 x4時,1+log3x 3 2log x 2 ；當(dāng)1x4時,1+log3x 3 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2log x 2 ；當(dāng) x4 時, 1+ logx33 2log x 2 ）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 -

6、 - - 歡迎下載三利用重要不等式求函數(shù)最值時,你為否留意到： “一正二定三相等,和定積最大,積定和最小 ”這 17 字方針； 如（ 1） 以下命題中正確選項精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a. yx1 xx2的最小值為 23精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載b . yx22的最小值為 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載c . y23 x4 x x0 的最大值為 243精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載d. y23x4 x x0 的最小值為 243（答： c）；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 2） 如 x2 y1 ,就 2x

7、4y 的最小值為 （答： 22 ）；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 3） 正數(shù) x、 y 滿意 x2 y1,就 1x1 的最小值為 y（答： 322 ）；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載4. 常用不等式 有：（1）a 2b22abab 22依據(jù)目標(biāo)不等式左右11精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載的運算結(jié)構(gòu)選用 ；（2）a.b.cr,a2b 2c2ababbcca（當(dāng)且僅當(dāng) abc精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載時,取等號）；（ 3）如 ab0、 m0 ,就 bbm （糖水的濃度問題） ；如aam精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎

8、下載假如正數(shù) a . b 滿意 aba b3 ,就 ab 的取值范疇為 （答： 9、）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載五證明不等式的方法：比較法.分析法.綜合法和放縮法比較法的步驟為：作差（商）后通過分解因式. 配方.通分等手段變形判定符號或與1 的大小,然后作出結(jié)論； .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載常用的放縮技巧有：1111111精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載nn1nn1n 2nn1n1n精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載111k1kkk1k1k2kk1k精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如（ 1） 已知

9、 ab c ,求證：a 2bb 2cc 2 aab 2bc 2ca2；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2已知 a、 b、 cr ,求證：a 2 b 2b 2 c2c2 a 2abc abc ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（3）已知a、b、 x、 yr,且 11 、 xy ,求證：xy；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載abxayb4如a.b.c為不全相等的正數(shù),求證：abbcca精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載lglglg ab 222lcg ；lglg精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（5）已知a、b、cr ,求證：a2

10、b 2b 2c2c2 a2abc abc ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載6 如 nn *,求證： n121n1n21n ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載7 已知 | a | | b | ,求證： | a | b | a | b | ；| ab | ab |精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（8）求證： 11112 ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2232n2六簡潔的一元高次不等式的解法：標(biāo)根法：其步驟為：（1）分解成如干個一次因式的積, 并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正；（2）將每一個一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上, 從最大根的右上方依次

11、通過每一點畫曲線；并留意 奇穿過精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載偶彈回 ；（ 3）依據(jù)曲線顯現(xiàn)f x的符號變化規(guī)律,寫出不等式的解集；如精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（1）解不等式 x1x2 20 ；（答： x | x1 或 x2 ）；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（2）不等式 x2x22x30 的解集為 （答： x | x3 或 x1 ）；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（3）設(shè)函數(shù)f x.g x的定義域都為 r,且f x0的解集為 x |1x2 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載g x0 的解集為,就不等式f xg

12、x0 的解集為 （答： 、12、 ）；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（4）要使?jié)M意關(guān)于 x 的不等式2 x 29xa0 （解集非空） 的每一個 x 的值精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載至少滿意不等式 x2 .4 x30和x26 x80 中的一個,就實數(shù) a 的取值范疇為（答： 7、 81 ）8精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載七分式不等式的解法 ：分式不等式的一般解題思路為先移項使右邊為0,再通分并將分子分母分解因式, 并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正,最終用標(biāo)根法求解； 解分式不等式時,一般不能去分母,但分母恒為正或恒為負(fù)時可去分母； 如精品學(xué)習(xí)資

13、料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（1）解不等式5xx22 x31（答： 1、12、3 ）；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 2 ） 關(guān)于 x 的 不 等 式 axb0 的 解 集 為1、 , 就 關(guān) 于 x 的不 等式精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載axbx20 的解集為 （答： 、12、 ）.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載八肯定值不等式的解法：1分段爭論法（ 最終結(jié)果應(yīng)取各段的并集）： 如解不等式 | 23 x |2| x1 |42精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（

14、2）利用肯定值的定義；（ 3）數(shù)形結(jié)合； 如解不等式 | x | x（ 4）兩邊平方： 如1|3（答： xr ）；（答： 、12、 ）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如不等式 | 3x2 | | 2xa | 對 xr恒成立,就實數(shù) a 的取值范疇為 ；（答： 4 ）3九含參不等式的解法 ：求解的通法為“定義域為前提,函數(shù)增減性為基礎(chǔ),分類爭論為關(guān)鍵”留意解完之后要寫上： “綜上,原不等式的解集為 ” ；留意：按參數(shù)爭論, 最終應(yīng)按參數(shù)取值分別說明其解集； 但如按未知數(shù)爭論, 最終應(yīng)求并集. 如精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2（1）如 loga31 ,就 a 的取值

15、范疇為 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（答： a1 或02a）；3ax 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（2）解不等式ax1xar精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（答：a或 x0 ）0 時, x | x0 ；a0時, x | x1 或 x0 ；a a0 時, x | 1ax0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載提示：（ 1） 解不等式為求不等式的解集,最終務(wù)必有集合的形式表示；（ 2）不等式解集的端點值往往為不等式對應(yīng)方程的根或不等式有意義范疇的端點值；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如關(guān)于 x 的不等式axb0的解集為 、

16、1,就不等式x2axb0 的解集為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 （答：（ 1、2）十一含肯定值不等式的性質(zhì)：a.b 同號或有 0| ab | | a | b |a.b 異號或有 0| ab | | a | b | a | b | | ab | ；| a | b | | ab | .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如設(shè) fxx2x13 ,實數(shù) a 滿意 | xa |1 ,求證： |f xf a |2| a |1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載十二不等式的恒成立 、 能成立 、 恰成立等問題 ：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式？（常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分

17、別變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題,也可抓住宅給不等式的結(jié)構(gòu)特點,利用數(shù)形結(jié)合法）1). 恒成立問題精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如不等式 fx如不等式 fxa 在區(qū)間 d 上恒成立 、 就等價于在區(qū)間 d 上b 在區(qū)間 d 上恒成立 、 就等價于在區(qū)間 d 上fx minafx maxb精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如（ 1） 設(shè)實數(shù)x、 y 滿意 x2 y121 ,當(dāng)xyc0 時, c 的取值范疇為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（答：21、）；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（

18、2）不等式 x4x3a 對一切實數(shù) x 恒成立,求實數(shù) a 的取值范疇 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（答： a1 ）；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（3） 如不等式 2x1范疇 m x21 對滿意 m2 的全部 m 都成立,就 x 的取值7131（答：（、）；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載221 n 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（4）如不等式 值范疇為 1 n a2對于任意正整數(shù) n 恒成立,就實數(shù) a 的取n精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（答： 2、 3 ）；2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（5）如不等式取值范疇 .x22mx2m10 對 0x1的全部實數(shù) x 都成立,求 m 的精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2). 能成立問題如在區(qū)間d 上存在實數(shù)x 使不等式fx（答： m1 ）2a 成立 、 就等價于在區(qū)間d 上精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載fx maxa ；如在區(qū)間 d 上存