2022年2022年高二數(shù)學第八章圓錐曲線方程知識復習

1、精選學習資料 - - - 歡迎下載高二數(shù)學第八章圓錐曲線方程學問復習二次曲線系（一）共焦點圓錐曲線系x2y 2c2tt1當 t>0 時,表示共焦點（±c、0）的橢圓系；當-c2 <t<0 時,表示共焦點（±c、0）的雙曲線系； 當 t<-c 2 時無軌跡；例 1 已知橢圓的焦點坐標為（0,3 ）,（ 0, -3 ）,且經(jīng)過點（ 1, -2）,求橢圓的標準方程；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解：c3 、c 23 ；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2又焦點坐標為 （ 0, 3 ）

2、,（ 0,-3 ）,曲線為橢圓, 故設(shè)所求方程為xty1 t0 23t精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載橢圓過點（1,-2）, 1t21 ；23t精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載化簡整理得t2-2t-3=0 ； t=3 或 t=-1 （舍去）精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2故所求橢圓方程為x2y1 ；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載36說明運用共焦點曲線系建立方程時,一為要留意焦點所在的坐標軸,二為應(yīng)留意參數(shù) t 的取值范疇；x2y 21例 2求以橢圓1 的焦點為焦點, 以直線 yx 為漸近線

3、的雙曲線方程1332x2y 2解 由橢圓方程1 知 a2=13 ,b2=3 ,就 c2=10 ,焦點在x 軸上；1332設(shè)共焦點的雙曲線系方程為精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載x210ty1 0t t10 、精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載其漸近線方程為x10ty0 、t精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載已知雙曲線的漸近線方程為y1 x ,2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載t10t1,解得 t=2 ；4x 2y 2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載故所求雙曲線方程為1.82說明這里由于顯現(xiàn)參數(shù)t 的二次根式,所以設(shè)t>0

4、,但要轉(zhuǎn)變共焦點的二次曲線系方程中相應(yīng)的符號；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2與橢圓xa 22y1 共焦點的二次曲線系方程也可以設(shè)為 b 2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載x2a 2ky 2b2k1 （ 0<b<a ,就 a2>k b2, k 為參數(shù)）；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（二）具有相同離心率的圓錐曲線系精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 3 已知橢圓的離心率為求橢圓的標準方程；1 ,焦點在 x 軸上,且被直線y21 x2 截得的弦長為235 ,精品學習資料精選

5、學習資料 - - - 歡迎下載解：b a21e21123,又其焦點在x 軸上,4精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載22xy設(shè)橢圓方程為0 .4322即3 x4 y120.1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載將yx 22 代入,整理得精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載x22 x430.由韋達定理可知：x1+x 2 =-2、x 1 x2=4-3由弦長公式,有精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載351k 2 xx1k 22x1x24 x1 x2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載12212=1224

6、 43精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載=5 33精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解得4 ；x2y 2x 2y 2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載故所求橢圓方程為4 ,即1.431612說明應(yīng)用具有相同離心率的圓錐曲線系方程時,同樣要留意其焦點所在的坐標軸及圓錐曲線的類型；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（三）共漸近線的雙曲線系x 2y 20a 2b 2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載明顯,它們的公共漸近線為x 2y 20.a 2b 2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載x2y 2例 4 求與雙曲線1 共漸近線且與直

7、線x-y-1=0 相切的雙曲線方程；164x2y 2解：設(shè)此雙曲線方程為、精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載x2由方程組164y 2416精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載xy10消去 x 得 3y2-2y+ （-1） =0 ；由雙曲線與直線相切知精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載44341 0、得4 .3精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載將代入方程組得3所求的雙曲線方程為3x2-12y2=4 ；求軌跡的幾種方法求軌跡方程為解析幾何中主要類型題之一,求軌跡的方法通常有：定義法.參數(shù)法.交軌法.轉(zhuǎn)化法.待定系數(shù)法；下面我們逐一介紹；（一）定義法利用

8、圓和圓錐曲線的定義及其標準方程,依據(jù)已知條件,直接定出軌跡方程的方法叫做定義法；例 1 過原點 o 的一條直線交圓x2+y-1 2=1 于點 q,在直線oq 上取一點p,使點 p到直線 y=2 的距離等于 |pq|,當直線pq 繞點 o 旋轉(zhuǎn)時,求動點p 的軌跡方程； 解：如下列圖,設(shè)動點p 的坐標為 x、y ,作 pd 垂直于直線y=2 ,垂足為d ；（ 1）當點 p 不在 y 軸上時,pdpqrtp d a rtpqa從而 1= 2；又 pd oa, 1= 3；從而 2= 3； |op|=|oa|=2；這時,點p 的軌跡方程為x2+y 2 =4x 0；（ 2）當點 p 在 y 軸上時,精品

9、學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載點 q 與 d 重合于點a, y 軸上任一點p 都滿意 |pd|=|pq|；這時,點 p 的軌跡方程為 x=0 ；于為由（ 1）,（ 2）可知,動點p 的軌跡方程為x2+y 2=4x 0 或 x=0 ；（二）參數(shù)法精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 2已知 mon=120°,長為 2求 ab 中點 p 的軌跡方程；3 的線段 ab 的兩段 a,b 分別在 om ,on 上滑動,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載分析中點 p 依靠于 a,b 兩點,設(shè)a,b 的橫坐標為參數(shù),利用|ab|= 23 消去參數(shù),便可得到 p

10、的軌跡方程；解：如下列圖,以o 為原點, mon 的平分線為x 軸的正方向,就射線on,om 的精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載方程分別為y3x x0 和y3x x0 ；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載設(shè) p x、 y、bx1 、3 x1、 a x2 、3 x2x10、 x20 ,就精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載xx1x223yx1x22ab23 、精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2x1x3 x1223 、精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載x2即x1-x 22+3x 1+x 22

11、= 12把式代入式中,得精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載22y32 x 2312、精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載即x 2y1.29精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解方程組精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載y3 xy 2x 219留意x0得x32精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載故動點 p 的軌跡方程為y 23精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載x 29（三）交軌法1 x ；2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載當動點 p 為兩條動直線（或動曲線）的交點時,求動點

12、p 的軌跡方程,可挑選適當?shù)?參數(shù),表示這兩條動直線（或動曲線）的方程,從而解方程組消去參數(shù),便得動點p 的軌精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載跡方程；例 3 如圖 824 所示,在直角坐標系xoy 中,已知矩形oabc 的邊長 |oa|=a、|oc|=b,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載點 d 在 ao 的延長線上, 且 |do |=a,設(shè) m ,n 分別為 oc,bc 邊上的動點, 且 ommcbn0 ,nc精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載求直線 dm 與 an 的交點 p 的軌跡方程；解如下列圖,點a,d 的坐標分別為 a、0、-a、0 ；精品學習

13、資料精選學習資料 - - - 歡迎下載設(shè) bnt 0ta ,就點 n 的坐標為 a-t、b ；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載ombn,mcncombn.ocbc從而ombnocbcbt . a精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載點m的坐標為直線 dm 的方程為0 、 bt；axay1abt精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載直線 an 的方程為yxabt設(shè) 動 點p的 坐 標 為 x、y , 就 從 式 中 消 去 參 數(shù)t , 得p的 軌 跡 方 程 為精品學習資料

14、精選學習資料 - - - 歡迎下載x 2y 2a 2b 21 x0 、 y0 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（四）代入法*對于已知曲線c:fx、y=0上的各點m ,依據(jù)某種法就,同一平面上的點p 與它對應(yīng),精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載當點 m 在曲線 c 上移動時,點p 的軌跡為曲線c * ,就稱c為 c 的相伴曲線；求相伴曲線精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載c * 的方程一般用代入法；其步驟如下：設(shè)點 p,m 的坐標分別為x、y、x1、y1,就 fx 1、y1=0 ；由點 m 與點 p 的關(guān)系,求得x1 =fx、y、y 1=gx、y、 然后用

15、代入法,即可得到點p 的軌跡方程為2ffx、y、gx、y=0 ；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2例 4從原點 o 作圓 x-2 +y動點 m 的軌跡方程；=4 的動弦 op,把 op 延長到 m ,使 op1 pm,求2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解 如下列圖,設(shè)點m ,p 的坐標分別為x、y、x 1、y1,就22x12y14op1 pm 、 2op1 .pm2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載從而 x11 x1 y2、 y12.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載111122xx1即3yy13把式代入式中,得22x2y4、33于為,動點

16、m 的軌跡方程為精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2x6y 236.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（五）待定系數(shù)法當曲線的議程的類型已知時,求這曲線方程的詳細表達式,可用待定系數(shù)法；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 5求以直線 4 x5 y0 和 4 x5 y400 為漸近線, 焦點在直線y40 上且精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載焦距為 441 的雙曲線方程；4 x5 y04 x5 y400x5y4解如下列圖,解方程組得即兩直線的交點坐標為（5, -4）；又雙曲線的中心為o（ 5, -4）；由已知條件可設(shè)這雙曲線的方程為精品學習資料精

17、選學習資料 - - - 歡迎下載22x5y4a 2b 21 ab 、b0 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載x5y4為0精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載ab即： b x5 a y4 0精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載b4結(jié)合已知漸近線方程a5精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載從而可設(shè) a5k 、b4 k k0 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2c441、c241 ；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載c 2a 2b 241k 2441、k2.精品學習資料精選學習資料 -

18、- - 歡迎下載于為 a=10 ,b=8；故所求的雙曲線方程為22x5y41.10064求最值方法總結(jié)解析幾何中的最值涉及代數(shù).三角.幾何諸方面的學問,問題復雜,解法敏捷；現(xiàn)把這類問題的解法總結(jié)如下：（一）利用綜合幾何法求最值利用平面幾何中的極值定理求解最值問題的方法叫做綜合幾何法；這種解法假如運用得當,往往顯得特別簡捷.明快；例 1 如下列圖,在平面直角坐標系xoy 中, a,b 為 y 軸正方向上給定的兩點,試在x軸正方向上求一點c,使 acb 取得最大值；解：如下列圖,過a,b 兩點作圓與x 軸正方向相切于點c；設(shè) c為 x 軸正方向上異于點 c 的任一點,連結(jié)bc,ac, bc, ac

19、,就由平面幾何學問,易得acb acb,從而點 c 即為所求；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載設(shè) obb、 oaa ,就由切割線定理,得精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2ocoboaab ,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載ocab ；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載即所求的點c 的坐標為ab、0 ；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（二）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2例 2 過點 b（0,-b）作橢圓 x2y1 ab0 的弦,求這些弦長精品

20、學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載a 2b 2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載的最大值；x 2y 2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解：如下列圖,設(shè)點mx、y 為橢圓上任一點,就1,a 2b 2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載即x 2a 2 12y. b 2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載從而bmx 2yb 2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載a 2c 2b 223bya 2 y 2y2b 232ybc2b .2byb 22a 2c精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎

21、下載3于為,（1）如 bc2b 、即a2 b、就當yb32 時,|bm |取得最大值ca；（ 2）如 bb , cc 2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載即 a2b ,就當 y=b 時, |bm |取得最大值精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載22cb3b2bc 2a222b ；c精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（三）利用判別式法求最值例 3過點 a（ 1,4）作始終線在兩坐標軸上的截距都為正,且其和為最小,求這直線的方程；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解 設(shè)所求的直線為xay1 a b0 、b0 ,就 1a41 ,從而 a bb、b4 ；

22、b4精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載sabb4 sbbb4b 23b、b 23b、b4精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載即 b 2 3s b4s0 ；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載 b 為實數(shù),3s 216s0 、精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載即s9s10 ；由 b 4,可知 s1、 s 9；當 s=9 時,易得 b=6、a=3 ；即當 a=3、b=6 時, s 有最小值9；精品學習資料精選學習資料

23、- - - 歡迎下載故所求的直線方程為xy362x+y-6=0 ；（四）利用不等式法求最值1 ,即精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 3 中, sabbb4b4b44 b4 54精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載b4 、b40 b4 b42b44.b4精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載s459.s 取最小時,4b4b4 ,解得 b6 ；（以下略）精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（五）利用三角求最值例 2 中,設(shè)橢圓上任一點m a cosa、b sin a、a 為參數(shù)；精品學習資料精選學習資料 -

24、- - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載就|bm |2a cos a02b sin ab精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載b 2a 2b 2a 2s i n2 as i na2b 2b 2s i na2a 2b 2a 4精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載b 2a 2a 2b 222ab0、ba0精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1b 2當b 2a 20 即 a2b 時精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載取 sin ab 2b 2a 2精

25、品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載得 bm 最 大a 4a 2a 2b 2c精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載b 2當b 2a 21 即 ba2b 時精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載bm2b取 sin a1 得最大例 3 中,設(shè)直線傾斜角的補角為（如圖）,橫縱截距分別為a.b 由銳角三角函數(shù),就精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載a14 cota b54 cottan精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載b 41 tan524 cottan9精品學習

26、資料精選學習資料 - - - 歡迎下載tan 24、tan2 （正值已舍去）精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載故所求直線方程為：y42 x1 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解題方法總結(jié)：（ 1）恰當挑選坐標系,以簡化運算；（ 2）重視圓錐曲線的定義,曲線的幾何性質(zhì)在解題中的作用；定義為運用數(shù)形結(jié)合思想方法解題的重要依據(jù),定義解題可簡化運算,提高速度；（ 3）三種圓錐曲線的統(tǒng)肯定義揭示了圓錐曲線都為“一個動點到一個定點和一條定直線的距離之比為一個常數(shù)”的動點軌跡這一本質(zhì)屬性,因此, 在三種圓錐曲線的運算和證明中,當題中涉及到離心率.定點.定直線時,要不失時機地運用統(tǒng)肯

27、定義解題；（ 4）要判定動點的軌跡,往往需要先求出它的軌跡方程,然后依據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特點,再確定為何種曲線；求軌跡方程的主要方法見前一章總結(jié)；在求軌跡方程時要留意依據(jù)數(shù)形結(jié)合,檢驗軌跡的完備性和純粹性；（ 5）涉及到直線與圓錐曲線的問題,要留意方程思想和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用；（ 6）求圓錐曲線中的最值問題,一方面留意定義和有關(guān)性質(zhì)的運用,另一方面可考慮轉(zhuǎn)化為肯定的函數(shù)關(guān)系；然后運用函數(shù)求最值的各種方法求解,這里在特殊留意代數(shù).三角.平面幾何學問的綜合敏捷應(yīng)用；（ 7）求解有些圓錐曲線綜合問題,經(jīng)常要引入適當?shù)膸椭鷧?shù)；因此,適當?shù)靥暨x參數(shù),設(shè)而不求,可化難為易,減小運算量；試題選析如圖,已知梯形abc

28、d 中, |ab|=2|cd |,點 e 分有向線段ac 所成的比為,雙曲線過精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載c.d.e 三點,且以a.b 為焦點；當233時,求雙曲線離心率e 的取值范疇；4精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解法 1 如下列圖, 以 ab 的垂直平分線為y 軸,直線 ab 為 x 軸,建立直角坐標系xoy, 就 cd y 軸；由于雙曲線經(jīng)過點c.d ,且以 a.b 為焦點,由雙曲線的對稱性性c.d 關(guān)于 y 軸對稱；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載依題意,記ac、0 、 cc 、h 2、e x0 、 y0、其中 c1ab 為雙曲線的半焦

29、距,h 為梯形2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載的高；由定比分點坐標公式得精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載c cx0212 ch、 y0；211精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載x 2設(shè)雙曲線的方程為a 2y1 ,就離心率 ec ；2b 2a精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載由點 c.e 在雙曲線上,將點c.e 的坐標和ec 代入雙曲線方程得a精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載e2h24b21 ,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2222e2h1.411b 22212由式得heb4精品學習資料精選學習資料 - - - 歡