大學物理：11-1 平面簡諧波的波函數(shù)

1、第十章第十章 機械波機械波第一講第一講 平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波的波函數(shù)內(nèi)容提要內(nèi)容提要1.波動的幾個概念波動的幾個概念2.平面簡諧波函數(shù)平面簡諧波函數(shù)3.波函數(shù)的物理意義波函數(shù)的物理意義4.舉例舉例第十章第十章 機械波機械波第一講第一講 平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波的波函數(shù)波動無處不在（波動無處不在（the wave motion all around us）Mechanical wavesElectromagnetic wave第十章第十章 機械波機械波第一講第一講 平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波的波函數(shù)Wave is a propagating disturbance that tra

2、nsfers energy, momentum and information as its own characteristic speed from one region of space to another.波源波源介質(zhì)介質(zhì)+彈性作用彈性作用機械波機械波1 機械波的形成機械波的形成Disturbance (oscillation)Water, Air第十章第十章 機械波機械波第一講第一講 平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波的波函數(shù)1）橫波（）橫波（Transverse waves） 質(zhì)點振動方向與波的質(zhì)點振動方向與波的 傳播方向相傳播方向相垂直垂直的波的波.2 波的分類波的分類 （Accor

3、ding to the direction of particle motion）第十章第十章 機械波機械波第一講第一講 平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波的波函數(shù)特征：特征：具有交替出現(xiàn)的波峰和波谷具有交替出現(xiàn)的波峰和波谷.偏振面（偏振面（Plane of polarization）：）：振動或擾動所發(fā)生的平面振動或擾動所發(fā)生的平面僅固體中傳播僅固體中傳播第十章第十章 機械波機械波第一講第一講 平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波的波函數(shù)2）縱波：質(zhì)點振動方向與波的傳播方向互相）縱波：質(zhì)點振動方向與波的傳播方向互相平行平行的波的波. 特征：具有交替出現(xiàn)的密部和疏部特征：具有交替出現(xiàn)的密部和疏部.可在固體、

4、液體和氣體中傳播可在固體、液體和氣體中傳播思考：縱波存在偏振面嗎？思考：縱波存在偏振面嗎？第十章第十章 機械波機械波第一講第一講 平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波的波函數(shù)非橫波又非縱波。非橫波又非縱波。而是而是縱波與橫波縱波與橫波的合成的合成波速波速想一想：水想一想：水表面波屬于表面波屬于什么波？什么波？第十章第十章 機械波機械波第一講第一講 平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波的波函數(shù)T是拉緊度，是拉緊度，是線密度是線密度0.3mm0.4mm0.5mm0.51g/m0.91g/m1.49g/m第十章第十章 機械波機械波第一講第一講 平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波的波函數(shù)波速波速 u 與媒質(zhì)性質(zhì)的關系與媒質(zhì)

5、性質(zhì)的關系*：1. The velocity of wave on a string22 sin/ 22/ 2umTTTrmlr Tu第十章第十章 機械波機械波第一講第一講 平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波的波函數(shù)2. Generalize to the other waves:1/2magnitude of a force factormass factoruTu lKu tGu lEuIn liquid In solid楊氏模量楊氏模量切變模量切變模量體積模量，體積模量，即壓縮系數(shù)即壓縮系數(shù)第十章第十章 機械波機械波第一講第一講 平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波的波函數(shù)3 波線波線(wave ra

6、y) 波面波面 波前波前(wavefronts)球球 面面 波波平平 面面 波波波前波前*波面波面振動狀態(tài)（位相）相同的點連成的面振動狀態(tài)（位相）相同的點連成的面波線波線研究波動抓住一條波線研究即可。研究波動抓住一條波線研究即可。相鄰波面間距相鄰波面間距為一個波長為一個波長常見的常見的還有柱還有柱面波，面波，特點如特點如何？何？第十章第十章 機械波機械波第一講第一講 平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波的波函數(shù)4. 波動的特點：波動的特點：（1）每個質(zhì)點只在平衡位置附近振動，不向前運動。）每個質(zhì)點只在平衡位置附近振動，不向前運動。（3）所有質(zhì)點同一時刻位移不同，形成一個波形。）所有質(zhì)點同一時刻位移不同

7、，形成一個波形。（4）振動狀態(tài)、波形、能量向前傳播。）振動狀態(tài)、波形、能量向前傳播。（2）后面質(zhì)點重復前面質(zhì)點的振動狀態(tài)，有）后面質(zhì)點重復前面質(zhì)點的振動狀態(tài)，有位相落后位相落后。第十章第十章 機械波機械波第一講第一講 平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波的波函數(shù)5. 描述波動的基本量描述波動的基本量y(x,t0)Wave length: space period A snapshot at some instant t0第十章第十章 機械波機械波第一講第一講 平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波的波函數(shù)In one time period, some oscillatory state propagate o

8、ne space period.波速（相速）波速（相速）（Phase speed）/uT波源定波源定媒質(zhì)定媒質(zhì)定Ttutx/y(x0,t)Time period: T An oscillation at any given position x0第十章第十章 機械波機械波第一講第一講 平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波的波函數(shù)),(txyy 各質(zhì)點相對平各質(zhì)點相對平衡位置的衡位置的位移位移波線上各質(zhì)點波線上各質(zhì)點平衡平衡位置位置二二 一維簡諧波的波函數(shù)一維簡諧波的波函數(shù)(one-dimensional harmonic wave function) 介質(zhì)中任一質(zhì)點（坐標為介質(zhì)中任一質(zhì)點（坐標為 x）

9、相對其平衡位置的）相對其平衡位置的位移（坐標為位移（坐標為 y）隨時間的變化關系，即）隨時間的變化關系，即 稱稱為波函數(shù)為波函數(shù).),(txy1波函數(shù)波函數(shù)(Wave function)第十章第十章 機械波機械波第一講第一講 平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波的波函數(shù)cos(/)Atx u相位落后法相位落后法 波函數(shù)波函數(shù)cos(2/)yAtx點點O 的振動狀態(tài)的振動狀態(tài)cos()OyAt2波函數(shù)的建立波函數(shù)的建立t時刻時刻O點的振動等于點的振動等于t+t時刻時刻P點的振動點的振動t=x/u帶入帶入P點的振動函數(shù)，得到點的振動函數(shù)，得到P點的初相位點的初相位=-x/uu=/T=/2第十章第十章 機械

10、波機械波第一講第一講 平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波的波函數(shù)cos ()cos2/xyAtAtxuyxuAAO想一想：想一想：u沿沿x x軸軸負向負向, ,波函數(shù)如何寫？波函數(shù)如何寫？誰比誰相位落后？誰比誰相位落后？ 當振源不位于坐標原點時，如何寫波動方程？當振源不位于坐標原點時，如何寫波動方程？ oxPxuQL2 ()coscos()xLxLyAtAtu第十章第十章 機械波機械波第一講第一講 平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波的波函數(shù) 波函數(shù)的等價表示：表達為指數(shù)形式波函數(shù)的等價表示：表達為指數(shù)形式2cos( ) Atkxk，波數(shù)波數(shù)(wave number)cos2txAT（+ ）( ) Reit

11、 kxAe（）()() ReikxitAee（）cos () cos2/xyAtuAtx,2uTT第十章第十章 機械波機械波第一講第一講 平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波的波函數(shù)三三 波函數(shù)的物理意義波函數(shù)的物理意義cos ()cos2 ()xtxyAtAuT1cos()xyAtu1xu初位相為初位相為 的振動方程的振動方程 yTt0振動曲線振動曲線 x一定一定1cos()xyAtu x y0波動曲線波動曲線 t 一定一定1xx 1tt x,t均變均變?各質(zhì)元離開平衡位置的分布各質(zhì)元離開平衡位置的分布波動波動第十章第十章 機械波機械波第一講第一講 平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波的波函數(shù)若若 均變化，

12、表示波形的傳播均變化，表示波形的傳播-行波行波tx, ( )cos ()cos ( )xxxyAtAttuuyxuOt時刻時刻xx 即振動狀態(tài)在即振動狀態(tài)在t時間傳播了時間傳播了ut 距離，即波形以速度距離，即波形以速度u傳播。傳播。想一想想一想: :如何判斷波形圖上質(zhì)點振動方向如何判斷波形圖上質(zhì)點振動方向? ?tt時刻時刻xu t 在在t+t時刻時刻x+ x處質(zhì)點振動狀態(tài)與處質(zhì)點振動狀態(tài)與t時刻時刻x處質(zhì)點振動處質(zhì)點振動狀態(tài)相同狀態(tài)相同,即：即：第十章第十章 機械波機械波第一講第一講 平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波的波函數(shù)1. .已知波函數(shù)求各物理量（系數(shù)比較法，定義法）已知波函數(shù)求各物理量（

13、系數(shù)比較法，定義法）2. .已知各物理量求波函數(shù)已知各物理量求波函數(shù)寫寫波波函函數(shù)數(shù)一一般般步步驟驟 選選定定坐坐標標并并明明確確波波的的傳傳播播方方向向。 選選取取參參考考點點的的位位置置，寫寫出出其其振振動動方方程程。 比比較較位位于于x處處的的任任一一點點和和參參考考點點（振振源源 或或波波源源）位位相相的的領領先先或或落落后后關關系系。由由參參 考考點點的的 振振動動表表達達式式得得出出波波的的表表達達式式第十章第十章 機械波機械波第一講第一講 平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波的波函數(shù)1）給出下列波函數(shù)所表示的波的給出下列波函數(shù)所表示的波的傳播方向傳播方向和和x=0點的初相位點的初相位.)

14、(2cosxTtAy)(cosuxtAy 2）平面簡諧波的波函數(shù)為平面簡諧波的波函數(shù)為 式中式中 為正常數(shù)，求波長、波速、波傳播方為正常數(shù)，求波長、波速、波傳播方向上相距為向上相距為 的兩點間的相位差的兩點間的相位差.)cos(CxBtAyCBA,d)cos(CxBtAy)(2cosxTtAyC2BT2CBTudCd2討討 論論),(向向x 軸軸正正向傳播向傳播(向向x 軸軸負負向傳播向傳播, =-第十章第十章 機械波機械波第一講第一講 平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波的波函數(shù) 3 ） 如圖簡諧波如圖簡諧波以余弦函數(shù)表示，以余弦函數(shù)表示，求求 O、a、b、c 各各點振動點振動初相位初相位.)(Oy

15、xuabcAAt=T/4t =0o2a0b2cOyAOyAOyAOyA第十章第十章 機械波機械波第一講第一講 平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波的波函數(shù)cm/ycm/x5 . 0102581114s/cm10u 例例1. 波形如圖波形如圖0t cm1A cm12 s2 . 11012uT s/rad35T2 先寫先寫 點振動方程點振動方程o0 3 y3 005cos()cos()33yAtt波動方程波動方程55cos()cos()333103xxyttus ,g,cm(制制)（1）寫出波動方程。）寫出波動方程。關鍵確定關鍵確定由圖可知由圖可知解：（解：（1）o第十章第十章 機械波機械波第一講第一講

16、平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波的波函數(shù)cm/ycm/x5 . 0102581114s/cm10u 220cos ()xyAtu x2處處110cos ()xyAtux1處處（2）求）求 兩處質(zhì)點振動位相差。兩處質(zhì)點振動位相差。cm11x,cm5x21解：解：位相差位相差212121122()()22()(5 11)12xxxxuxx 反位相反位相第十章第十章 機械波機械波第一講第一講 平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波的波函數(shù)cm/ycm/x5 . 0102581114s/cm10u （3）畫）畫 時波形曲線，時波形曲線， 此刻此刻 處質(zhì)點振處質(zhì)點振 動位移、速度、加速度？動位移、速度、加速度？4T3

17、t cm2x cm/ycm/x5 . 0102581114s/cm10u 4T3t 0t 5cos()3103xyt位移位移振動速度振動速度tyv振動加速度振動加速度2225532() cos()0334103yTat 5323cos()cos0341032T5532535sin()sin5.23cm/s334103323T0t 第十章第十章 機械波機械波第一講第一講 平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波的波函數(shù)cm/ycm/x5 . 0102581114s/cm10u （4）若圖為）若圖為 波形，波形， 波動方程如何？波動方程如何？s2 . 0t 方法方法1：3t0 6Ts2 . 0t36TT20

18、00 )t35cos(yo )10 xt(35cosy 將波形倒退將波形倒退 得出得出 波形，再寫方程！波形，再寫方程！6 0t 波形波形cm/ycm/x5 . 0102581114s/cm10u 0t s2 . 0t 方法方法2：00 .解：關鍵是求解：關鍵是求o點的初位相點的初位相第十章第十章 機械波機械波第一講第一講 平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波的波函數(shù) 例例2 反射波在反射波在S處相位改變處相位改變 。如圖示，如圖示，已知：已知：波長為波長為 ，tAy cos0 求：求：反射波函數(shù)反射波函數(shù)),(txy 解：解： 全反射，全反射， A不變。不變。 全反射壁全反射壁 (l- - x)lx y0 =Acost入入反反S0實際上實際上x應該看成是波傳播的路程。隨著傳播的路程的增大，應該看成是波傳播的路程。隨著傳播的路程的增大，相位在減小。即沿著波傳播的方向，相位是減小的（落后相位在減小。即沿著波傳播的方向，相位是減小的（落后的）。的）。（1）式當中，坐標）式當中，坐標x剛好是傳播的路程剛好是傳播的路程2 cos),(xtAtxy入射波入射波x是坐標是坐標（1）第十章第十章 機械波機械波第一講第一講 平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波的波函數(shù)2 cos),(xlltAtxy半波損失半波損失 全反射壁全反射壁 (l- - x)lx y0 =Acost入入反反S0反射波相