復(fù)變函數(shù)與與積分變換：第四章 第1,2節(jié)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1、復(fù)數(shù)列的極限復(fù)數(shù)列的極限復(fù)級(jí)數(shù)的概念復(fù)級(jí)數(shù)的概念第四章第四章 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)第一節(jié)第一節(jié) 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)級(jí)數(shù)的性質(zhì)復(fù)級(jí)數(shù)的性質(zhì)一一. 復(fù)數(shù)列的極限復(fù)數(shù)列的極限設(shè)設(shè)ibannlim時(shí)，使得當(dāng)NnNN, 0)(, 0), 2 , 1(nn為一復(fù)數(shù)列，其中為一復(fù)數(shù)列，其中.nnniba .nbbaannnnlim,limaib Th1|nn注注: 1)2)0|0nn二二. 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)表達(dá)式表達(dá)式nnn211其最前面其最前面n項(xiàng)的和項(xiàng)的和(部分和部分和)nnkkns211定義：定義： 部分和數(shù)列部分和數(shù)列 ns收斂收斂，那么稱級(jí)數(shù)那么稱級(jí)數(shù)1nn收斂收斂。部分和數(shù)列部分和數(shù)列 ns不收斂，

2、那么稱級(jí)數(shù)不收斂，那么稱級(jí)數(shù)1nn發(fā)散。發(fā)散。稱為稱為無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)設(shè)復(fù)數(shù)列設(shè)復(fù)數(shù)列,nnnaib 1nns 11Re( ),Im( )nnnnasbs定理定理2：1. 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念(1)收斂收斂1nn11,nnnnba都收斂。都收斂。0limlimnnnnba0limnn2. 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)收斂收斂1nnlim0nn (級(jí)數(shù)收斂的必要條件級(jí)數(shù)收斂的必要條件)證證:(2)1nn1nn 和和 都收斂都收斂111()nnnnnnn(3)收斂收斂, c為復(fù)常數(shù)為復(fù)常數(shù)1nn11nnnncc(4)1nn 11,nnnnab都收斂。都收斂。收斂收斂1nn收斂，且收

3、斂，且1nn11nnnn2. 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)證證: 因因收斂收斂221nnnab 且且2222,nnnnnnaabbab11,nnnnab都收斂。都收斂。收斂收斂1nn11|,nnkkkk 又因因此又因因此11|kkkk 或或11limlim|nnkknnkk (4)收斂收斂1nn收斂，且收斂，且1nn11nnnn絕對(duì)絕對(duì)收斂收斂證證:發(fā)散發(fā)散, 而而1nn1nn收斂收斂, 稱稱1nn為條件收斂為條件收斂絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂1nn11,nnnnba都絕對(duì)收斂。都絕對(duì)收斂。1nn可用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判定法來(lái)判定其斂散性。可用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判定法來(lái)判定其斂散性。例例1：下列數(shù)列是否收斂？如果收

4、斂，求出其極限：下列數(shù)列是否收斂？如果收斂，求出其極限。1(2)1innen ninnsincos11(5)2. 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)(1)( 1)1nnin 發(fā)散發(fā)散1例例2：求證：求證0, | 1, | 1lim1, 1, | 11nn 不不存存在在且且例例3：下列級(jí)數(shù)是否收斂？是否絕對(duì)收斂？：下列級(jí)數(shù)是否收斂？是否絕對(duì)收斂？11(1)1ninn 1(8 )(2)!nnin 1( 1)1(3)2nnnin 發(fā)散發(fā)散絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂條件收斂條件收斂0cos()(4)2nnin 發(fā)散發(fā)散冪級(jí)數(shù)的概念冪級(jí)數(shù)的概念冪級(jí)數(shù)的收斂范圍冪級(jí)數(shù)的收斂范圍第四章第四章 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)第二節(jié)第二節(jié) 冪級(jí)

5、數(shù)冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì)冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì)設(shè)設(shè)), 2 , 1()(nzfn為一復(fù)變函數(shù)列，其中各項(xiàng)在為一復(fù)變函數(shù)列，其中各項(xiàng)在D內(nèi)有內(nèi)有表達(dá)式表達(dá)式)()()()(211zfzfzfzfnnn稱為稱為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。1( )( )nns zfz 和函數(shù)和函數(shù)一一. 冪級(jí)數(shù)概念冪級(jí)數(shù)概念有定義有定義,zD 0,zD 01()nnfz 收斂，收斂， 和為和為0()s z收斂，收斂，nnnnnnzczfazczf)( )()(或nnnnnazcazcazccazc)()()()(22100nnnnnzczczcczc22100冪級(jí)數(shù)的收斂定理（冪級(jí)數(shù)的收斂定理（Abel定理定理）如

6、果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù)0nnnzc在在 z =z0(不等于零不等于零)收斂，那么對(duì)滿足收斂，那么對(duì)滿足|z|z1|的的z，級(jí)數(shù)必發(fā)散，級(jí)數(shù)必發(fā)散。冪函數(shù)冪函數(shù)在在a處的冪級(jí)數(shù)處的冪級(jí)數(shù)在在0處的冪級(jí)數(shù)處的冪級(jí)數(shù)RCROCCxy二二. 冪級(jí)數(shù)的收斂圓與收斂半徑冪級(jí)數(shù)的收斂圓與收斂半徑收斂圓收斂圓: 收斂半徑收斂半徑: R:|RCzR 0nnnzc在在 |z|R發(fā)散發(fā)散;在在 |z|=R時(shí)收斂性不確定時(shí)收斂性不確定.二二. 冪級(jí)數(shù)的收斂圓與收斂半徑冪級(jí)數(shù)的收斂圓與收斂半徑利用Abel定理，可以定出冪級(jí)數(shù)得收斂范圍。對(duì)于一個(gè)冪級(jí)數(shù)來(lái)說(shuō)，它的收斂情況不外乎下述三種：對(duì)于所有的正實(shí)數(shù)都是收斂的。此時(shí)級(jí)數(shù)在整個(gè)復(fù)

7、平面上處處絕對(duì)收斂。a）對(duì)于所有的正實(shí)數(shù)除z0外都是發(fā)散的。此時(shí)級(jí)數(shù)在整個(gè)復(fù)平面上除原點(diǎn)外處處發(fā)散。b）既存在使級(jí)數(shù)收斂得的正實(shí)數(shù)，也存在使級(jí)數(shù)發(fā)散的正實(shí)數(shù)。c）收斂半徑例zznn110三三. 冪級(jí)數(shù)的收斂半徑的求法冪級(jí)數(shù)的收斂半徑的求法比值法比值法0nnnzc0lim1nnncc1R根值法根值法0|limnnnc1R特別特別,()0 或或,R 時(shí)時(shí),在復(fù)平面內(nèi)處處收斂在復(fù)平面內(nèi)處處收斂;() 或或0,R 時(shí)時(shí),只在只在 z=0處收斂處收斂.0nnnzc在在 |z|R發(fā)散發(fā)散;在在 |z|=R時(shí)收斂性不確定時(shí)收斂性不確定.例例1. 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑0(1)(cos)

8、nnin z 01(3)cos(1)nnzn 0(2)ln()nnzin 0) 1(nnnz1lim1nnncc1R在圓周|z1|=1上，收斂z=0,0) 1(nnnz=2,01nn發(fā)散在收斂圓周上，既有級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)，也有級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn)。0(1)(cos)nnin z 2ch cosnnneeninceeeeeccnnnnnnnn111limlimeR1例例2. 求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù)201nnnzzzz nnnzszzzzz1211,(| 1)1 解解.的收斂范圍與和函數(shù)的收斂范圍與和函數(shù).在在 |z|1時(shí)收斂時(shí)收斂, 其余發(fā)散其余發(fā)散1,1z R=1, 2011,| 11nnnzzzzzz 四四.

9、 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)0( )nnnf za z 1rR 0( )nnng zb z 2rR 000( )( )nnnnnnnnnnf zg za zb zabz00( ) ( )nnnnnnf z g za zb z 01 12200nnnnnna bababa bz 12min( ,)Rr r (1) 設(shè)設(shè)則則(2) 復(fù)合運(yùn)算（代換運(yùn)算）復(fù)合運(yùn)算（代換運(yùn)算）設(shè)設(shè)0( )nnnf za z rz 又設(shè)在又設(shè)在|z| R 內(nèi)，內(nèi)，g(z)解析且滿足解析且滿足|g(z)|r，那么，那么 0( ( )( )nnnf g zag z (|z| R)00)(nnnzzc(3) 定理定理：設(shè)冪級(jí)數(shù)設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為的收斂半徑為R， 解析性解析性: f(z)是收斂圓是收斂圓|z-z0|R內(nèi)的解析函數(shù)。內(nèi)的解析函數(shù)?？蓪?dǎo)性可導(dǎo)性: f(z)在收斂圓在收斂圓|z-z0|R內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)，內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)，110)()(nnnzznczf 可積性可積性: f(z