雙縫干涉條紋間距公式的推導(dǎo)兩種方法

1、名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備雙縫干涉條紋間距公式的推導(dǎo)名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備y··dOd22如圖建立直角坐標系，其x 軸上橫坐標為差為波長整數(shù)倍n（零除外）的雙曲線簇。其中x 2y 21222ndn222名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備雙縫干涉條紋間距公式的推導(dǎo)xd 的點與 d 的點為兩波源。這兩個波源的振動情況完全相同，則這兩個波源發(fā)生干涉時的加強區(qū)為到兩個波源的距離22d ,0 、 d ,0 為所有雙曲線的公共焦點。這個雙曲線簇的方程為：22y··dOdx22用直線 yl 去截這簇雙曲線，直線與雙曲線的交點為加強的點。將yl 代入雙曲線

2、簇的方程，有：名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備x 2l 21222ndn222解得：xn4l 22n2 2d上式中， d 的數(shù)量級為 10 4 m ，為 10 7 m 。故 d 2n 2 2d 2 ， x 的表達式簡化為：xnl 242d204l4其中 l 的數(shù)量級為 10 m ， d 的數(shù)量級為 10m 。故10 ， x 的表達式簡化為：l 2n lx n2ddl可見，交點橫坐標成一等差數(shù)列，公差為，這說明：d（ 1）條紋是等間距的；l（ 2）相鄰兩條紋的間距為。dl至此，證明了條紋間距公式：x。d名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備楊氏雙縫干涉條紋間距到底是不是相等的？海軍航空工程學(xué)院李磊 梁吉峰 選自物理教

3、師第 11期在楊氏雙縫干涉實驗中，在現(xiàn)行的高中物理教科書中得出相鄰的明紋（或者暗紋）中心間距為：x L /d，其中 L 為雙縫與屏的間距，d 為雙縫間距，對單色光而言，其波長 為定值，所以我們得出的結(jié)論是干涉圖樣為等間距的一系列明暗相同的條紋，但是在現(xiàn)行的高中物理教科書中所給的干涉條紋的照片卻并非如此，如圖1。我們可以看到只是在照片中央部分的干涉條件是等間距的，但是在其邊緣部分的條紋的間距明顯與中央部分的條紋間距不同。問題到底出在哪里呢？首先我們來看現(xiàn)行的教科書上對于楊氏雙縫干涉的解釋，如圖2。設(shè)定雙縫 S1、S2 的間距為 d，雙縫所在平面與光屏P 平行。雙縫與屏之間的垂直距離為L ，我們在

4、屏上任取一點P1，設(shè)定點 P1 與雙縫 S1、S2 的距離分別為 r1 和 r2，O 為雙縫 S1、 S2的中點，雙縫 S1、S2 的連線的中垂線與屏的交點為P0，設(shè) P1 與 P0 的距離為 x，為了獲得明顯的干涉條紋，在通常情況下L>>d ，在這種情況下由雙縫S1、 S2 發(fā)出的光到達屏上P1 點的光程差r 為S2 M r2 r1 dsin，（1）名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備其中 也是 OP0 與 OP1 所成的角。因為 d<<L ， 很小，所以xsin tan L（2）因此r dsin dxL當(dāng)rd x± k時，屏上表現(xiàn)為明條紋，其中k 0， 1，2， ，（

5、3）L當(dāng)rd x1k 0， 1，2， 。（3）L±（ k 2 ） 時，屏上表現(xiàn)為暗條紋，其中是我們繼續(xù)算得光屏上明條紋和暗條紋的中心位置。當(dāng) x± kL時，屏上表現(xiàn)為明條紋，其中k 0， 1， 2， 。（ 4）d1L當(dāng) x±（ k 2） d 時，屏上表現(xiàn)為暗條紋，其中k 0， 1，2， 。（ 4）我們還可以算出相鄰明條紋（或者暗條紋）中心問的距離為xxk 1 xkL 。（ 5）d至此我們得出結(jié)論：楊氏雙縫干涉條紋是等間距的。問題就在于以上的推導(dǎo)過程中，我們用過兩次近似，第1 次是在運用公式rr2 r1 dsin的時候，此式近似成立的條件是S1P1S2 很小，因此有

6、 S1M S2P1 ，S1M OP1，因此 P0OP1 S2S1M ，如果要保證 S1P1S2 很小，只要滿足d<<L 即可，因此r dsin是滿足的。第 2次近似是因為 d<<L ，很小，所以 sin tan。下面我們通過表 1 來比較 sin與 tan的數(shù)值。表 11°2°3°4°5°6°7°sin 0.0174520.0348990.0523590.0697560.0871550.1045280.121869tan0.0174550.0349200.0524070.0699260.0874880

7、.1051040.1227848°9°10°11°sin 0.1391730.1564340.1736480.190808tan0.1405400.1583840.1763260.194380從表 1 中我們可以看出當(dāng) 6°時， tan sin 0.6% 。因此當(dāng) 6°時，相對誤差就超過了 0.6%，因此我們通常說 sintan成立的條件是 5°，當(dāng) 5°時，sin名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備sin tan就不再成立。而在楊氏雙縫干涉實驗中，很小所對應(yīng)的條件應(yīng)該是x<<L ，這應(yīng)該對應(yīng)于光屏上靠近P0 的點

8、，在此種情況下上述的推導(dǎo)過程是成立的，干涉條紋是等間距的。而當(dāng) x 較大時，也就是光屏上離P0 較遠的點所對應(yīng)的角也較大，當(dāng) 5°時， sintan就不再成立，上述推導(dǎo)過程也就不完全成立了，（ 2）式就不能再用了。此時 sin xL2x2所以， r dsindx± k，屏上表現(xiàn)為明條紋，其中k 0， 1，2， ，L2x2dx1r dsin2x2±（ k 2 ） ，屏上表現(xiàn)為暗條紋，其中k 0， 1， 2， 。L因此可以得到光屏上明紋或者暗紋的中心位置為x±Lk，屏上表現(xiàn)為明條紋，其中k 0， 1，2， ，d 2k 22L (k1 )x±2，屏上表現(xiàn)為暗條紋，其中k 0，1， 2， 。1 ) 2d 2(k22則相鄰的明條紋中心問距為x 明 xk 1 明 一 xk 明 L( k1)Lkd 2(k 1)2 2d 2k 2 2鄰暗條紋中心間距為x 暗 xk 1 暗 一 xk 暗 L( k 11 )L(k1)22d 2(k 11)2 2d 2(k1)2 222由上式可見相鄰的明、暗條紋就不再是等間距的了，這也正如教科書上的照片所示的條紋分布。名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備下面我們通過一個實例來定量計算等間距條紋的條數(shù)。14例 1：用氦氖激光器（頻率為4.74× 10 Hz）的紅光照射間距為2mm 的雙縫時，試求我們能觀察到的